Luyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toánLuyện khảo sát hàm số môn toán, câu 1a và 1b đề toán
Các chuyên đề luyện thi cao đẳng đại học 2009 Đại số Giải tích LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ Biên soạn : Trần Quốc Việt Email góp ý : viet204@gmail.com NỘI DUNG Hướng dẫn chung 1.1 Vài lời nói đầu 1.2 Một số điều cần lưu ý Nội dung ôn tập 2.1 Bài tập đề nghị 2.2 Hướng dẫn đáp số 11 Thân tặng bạn học sinh chuẩn bị thi Cao đẳng - Đại học 2009 Khảo sát hàm số 1.2 Một số điều cần lưu ý Hướng dẫn chung 1.1 Vài lời nói đầu Câu I gồm phần, để giải chúng cách trọn vẹn phải thực hành tốt nội dung sau: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số có dạng sau: i y = ax3 + bx2 + cx + d iii y = ii ax+b cx+d y = ax4 + bx2 + c ax2 +bx+c dx+e iv y = Suy đồ thị : từ đồ thị đầu suy đồ thị có chứa | · | Diễn đạt điều kiện ngôn từ thành mệnh đề dạng đẳng thức bất đẳng thức Ví dụ : (Câu I ý đề A-2008) Cho hàm số y= mx2 + (3m2 − 2)x − x + 3m Tìm giá trị m để góc hai tiệm cận đồ thị hàm số 45◦ Mục tiêu ta tìm m (1 ẩn) ta cần phương trình bất phương trình chứa ẩn m Nhớ hàm hữu tỷ dạng bậc bậc có đồng thời tiệm cận đứng (d1 ) tiệm cận xiên (d2 ) Do (d1 ; d2 ) = (Oy; d2 ) = 45◦ ⇔ (Ox; d2 ) = 45◦ ⇔ hsg (d2 ) = tan 45◦ Như điều kiện toán tương đương với đẳng thức cuối cùng, ta đưa tốn việc giải phương trình để tìm ẩn m Viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến thỏa : tiếp xúc với đồ thị điểm, qua điểm cho trước, thỏa điều kiện Tính diện tích miền phẳng S giới hạn đường cong; tìm điều kiện tham số m để diện tích S thỏa điều kiện Tóm lại, nhiều trường hợp ý câu I, ta cần biết diễn đạt lại điều kiện thành ràng buột dạng: phương trình-bất phương trình hệ phương trình-hệ bất thương trình giải chúng 1.2 Một số điều cần lưu ý Khảo sát hàm số theo mục sau Dạng hàm số TXĐ y Hàm đa thức có có Hàm hữu tỷ có có y Tiệm cận BBT + CTrị BLL + Điểm uốn Đồ thị khơng khơng có khơng có khơng có có khơng có Cần phải đặt điều kiện tồn cho đối tượng tốn Ví dụ, hàm hữu tỷ ngồi đk mẫu khác cịn có điều kiện để tiệm cận tồn tại, khơng hàm hữu tỷ biến thành hàm đa thức Chẳng hạn, Câu I ý đề A-2008, cho hàm số y= mx2 + (3m2 − 2)x − x + 3m Tìm giá trị m để góc hai tiệm cận đồ thị hàm số 45◦ Trần Quốc Việt 1.2 Một số điều cần lưu ý Khảo sát hàm số Trước ta cần đặt đk m để tiệm cận tồn Ta viết y= mx2 + (3m2 − 2)x − 6m − = mx − + x + 3m x + 3m Nếu 6m − = hàm số trở thành hàm bậc I, khơng có tiệm cận Do đó, điều kiện để tiệm cận tồn 6m − = Hoặc, ta muốn làm việc với điểm cực trị hàm số, cực trị phụ thuộc vào tham số, ta cần phải đặt điều kiện để chúng tồn tại, đáp số cuối ta phải thỏa điều kiện Để viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ta cần sử dụng điều kiện tiếp xúc Nhắc lại: cho hàm số (C) : y = f (x) đường thẳng (d) : y = ax + b Ta có mệnh đề ax + b = f (x) (1) có nghiệm (d) tiếp xúc (C) ⇔ Hệ pt a = f (x) (2) Chú ý: nghiệm hệ pt x0 tiếp điểm, tức là, tọa độ tiếp điểm lúc M0 (x0 ; y0 ) với x0 nghiệm hệ (1)(2) y0 = ax0 + b = f (x0 ) Khi lý luận theo điều kiện cần đủ cho toán tham số, sau dùng điều kiện Cần để khoang vùng giá trị tham số, thiết phải check lại điều kiện Đủ, tức là, phải kiểm tra loại trừ giá trị tham số không thỏa yêu cầu Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.1 Bài tập đề nghị Nội dung ôn tập 2.1 Bài tập đề nghị Bài Cho hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm m để phương trình 2|x|3 − 9x2 + 12|x| + = m có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình |2x3 − 9x2 + 12x + 3| = m có nhiều nghiệm phân biệt Bài (A-2006) Cho hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm m để phương trình 2|x|3 − 9x2 + 12|x| − = m có nghiệm phân biệt Bài Cho hàm số y = −x4 + 8x2 − 10 có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm m để phương trình | − x4 + 8x2 − 10| = m có nghiệm phân biệt Bài Cho hàm số y = x2 − 4x + có đồ thị (C) x−2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x2 − (4 + m)|x| + + 2m = Bài Cho hàm số y = x2 − 5x + có đồ thị (C), m tham số x−5 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm t thuộc R √ 161− Bài Cho hàm số y = 1−t2 − (m + 5)41− √ 1−t2 + 5m + = x2 + x + có đồ thị (C) x−1 Khảo sát biến thiên vẽ (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A(9; 7) Bài Cho hàm số y = x2 + x + có đồ thị (C) x−1 Khảo sát biến thiên vẽ (C) Trần Quốc Việt 2.1 Bài tập đề nghị Khảo sát hàm số Tìm điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Tìm điểm Ox cho kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến vng góc với Bài Cho hàm số y = 2x2 + mx + m (1), m tham số x+1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A B, biết tiếp tuyến A B vng góc với Bài Cho hàm số y = −x4 + 2x2 + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A(0 ; 3) Tìm điểm trục tung cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Bài 10 Cho hàm số y = x2 + x + có đồ thị (C) x+3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết song song với (D) : 5x − 9y − 41 = Tìm điểm Oy mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến hai nhánh (C) Bài 11 Cho hàm số y = (2m − 1)x − m2 (1), m tham số x−1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Biện luận theo k số nghiệm phương trình x = k x−1 Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng (D) : y = x Bài 12 (B-2008) Cho hàm số y = 4x3 − 6x2 + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm M(−1 ; −9) Bài 13 (B-2006) Cho hàm số y = x2 + x − có đồ thị (C) x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.1 Bài tập đề nghị Bài 14 (D-2005) Gọi (Cm ) đồ thị y = m x − x + (1), m ∈ R 3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Gọi M điểm thuộc (Cm ) có hồnh độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) điểm M song song với đường thẳng 5x − y = Bài 15 (B-2004) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x (1) có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C) điểm uốn chứng minh ∆ tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Bài 16 (D-2002) Cho hàm số y = (2m − 1)x − m2 (1) (m tham số) x−1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = −1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) hai trục tọa độ Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x Bài 17 Cho hàm số y = 2x2 + (1 − m)x + + m (1) có đồ thị (Cm ), m tham số x−m Chứng tỏ ∀m = −1 đồ thị (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định Tìm điều kiện m đề hàm số (1) đồng biến khoảng (1 ; +∞) Bài 18 Cho hàm số y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + (1), m tham số Định m để hàm số (1) đồng biến khoảng (2; +∞) Định m để hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Bài 19 Cho hàm số y = x2 + 5x + m2 + (1) có đồ thị (Cm ), m tham số x+3 Tìm điều kiện m đề hàm số (1) đồng biến khoảng (1 ; +∞) Cho M ∈ (Cm ) tùy ý, tính tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận (Cm ) Bài 20 Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 6mx có đồ thị (Cm ), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (Cm ) m = Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng (Dm ) : y = (m − 18)x điểm phân biệt Trần Quốc Việt 2.1 Bài tập đề nghị Khảo sát hàm số Bài 21 Cho hàm số y = x3 + 3x2 − có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm cực đại Tìm m ∈ R để đường thẳng (Dm ) : y = 3mx + cắt (C) điểm phân biệt cách Bài 22 Cho hàm số y = x2 + x − có đồ thị (C) x−1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm hai nhánh (C) hai điểm phân biệt A B cho đoạn AB ngắn Bài 23 Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + 3m − có đồ thị (Cm ), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (Cm ) m = Tìm m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành điểm theo thứ tự lập thành cấp số cộng Xác định cấp số cộng tương ứng Bài 24 Cho hàm số y = −x4 + 2(m + 2)x2 − 2m − có đồ thị (Cm ), m tham số Tìm điều kiện m để (Cm ) cắt Ox điểm lập thành cấp số cộng Tìm điều kiện m để (Cm ) cắt Ox điểm phân biệt cho có điểm thuộc (−3 ; 3) Bài 25 Cho hàm số y = (m2 + m + 1)x + có đồ thị (Cm ), m tham số x+m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (Cm ) m = Tìm điểm đường thẳng (D) : x = cho đồ thị hàm số (1) không qua với giá trị m ∈ R Bài 26 (A-2008) Cho hàm số y = mx2 + (3m2 − 2)x − (1), m tham số x + 3m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm giá trị m để góc hai tiệm cận đồ thị hàm số (1) 45◦ Bài 27 (A-2008) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt √ 2x + √ √ √ 2x + − x + − x = m , (m ∈ R) Bài 28 (D-2008) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.1 Bài tập đề nghị Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng qua I(1 ; 2) với hệ số góc k (k > −3) cắt (C) điểm phân biệt I,A,B I trung điểm AB Bài 29 (A-2007) Cho hàm số y = x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m (1) , m tham số thực x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông O Bài 30 (B-2007) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − (1) , m ∈ R Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị cách gốc tọa độ O Bài 31 (D-2007) Cho hàm số y = 2x có đồ thị (C) x+1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm tọa độ M ∈ (C), biết tiếp tuyến M cắt Ox, Oy A, B cho diện tích OAB Bài 32 (D-2006) Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Gọi (D) đường thẳng qua điểm A(3 ; 20) có hệ số góc m Tìm điều kiện m để (D) cắt (C) điểm phân biệt Bài 33 (A-2005) Gọi (Cm ) đồ thị hàm số : y = mx + (1), m ∈ R x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (Cm ) m = Tìm m để hàm số (1) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm ) đến tiệm cận xiên √ Bài 34 (B-2005) Gọi (Cm ) đồ thị hàm số : y = x2 + (m + 1)x + m + (1), m ∈ R x+1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (Cm ) m = Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm ) ln ln có diểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng √ cách chúng 20 Trần Quốc Việt 2.1 Bài tập đề nghị Khảo sát hàm số Bài 35 (A-2002) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm k để phương trình −x3 + 3x2 + k − 3k = có nghiệm phân biệt Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Bài 36 (A-2003) Cho hàm số y = mx2 + x + m (1) (m tham số) x−1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt điểm có hồnh độ dương Bài 37 (A-2004) Cho hàm số y = −x2 + 3x − (1) (m tham số) 2(x − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB = Bài 38 (B-2002) Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực trị Bài 39 (B-2003) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ Bài 40 (D-2003) Cho hàm số y = x2 −2x+4 x−2 có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng (dm ) : y = mx + − 2m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Bài 41 (D-2004) Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x + (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 10 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số Hướng dẫn : Đồ thị hàm số Bài 15 Hướng dẫn : Đồ thị hàm số Hệ số góc tiếp tuyến y = x2 − 4x + = (x − 2)2 − ≥ −1 Bài 16 2) S = −1 + ln 3) m = Hướng dẫn : 2) Đồ thị Diện tích S = −1 Trần Quốc Việt −3x − dx = x−1 −3x − −1 x−1 dx = −1 + ln 19 2.2 Hướng dẫn đáp số Khảo sát hàm số √ Bài 17 1) A(-1;-2) (T ) : y = x − 2) m ≤ − 2 Hướng dẫn : Bước : Tìm điểm cố định (Cm ) Với m, x ∈ R cho x = m, ta có y= 2x2 + (1 − m)x + + m ⇔ y(x−m) = 2x2 +(1+m)x+1+m ⇔ m(y−x+1) = xy−2x2 −x−1 (1) x−m Điểm A(x0 ; y0 ) điểm cố định (Cm ) (x0 ; y0 ) thỏa (1) với m = x0 , tức là: y −x +1 = x0 = ∧ y0 = 0 ⇔ 2x2 − x − = x0 = −1 ∧ y0 = −2 0 Bước 2: Chứng minh y không phụ thuộc vào m điểm cố định y = 2x2 − 4mx + m2 − 2m − (x − m)2 ) Ta thấy y (1) = m2 − 6m + (m − 1)2 y (−1) = m2 + 2m + = (hằng số) (m + 1)2 Đường thẳng qua A(-1;-2) với hệ số góc k = y (−1) = (T ) : y = x − Tóm lại (Cm ) ln tiếp xúc với (T ) A(-1;-2) 2) Hàm số đồng biến (1; +∞) m≤1 ∆ ≤0 ∆ y (1) S Bài 18 1) m ≤ 12 2) 12 ≤m≤ y ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) m ∈ (1; +∞) Tức > ≥ < √ ⇔ m≤3−2 12 Hướng dẫn : 1) Đạo hàm y = 3x2 − 6(2m + 1)x + 12m + Lập luận: hàm số (1) đồng biến (2; +∞) y ≥ , ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ 3x2 − 6(2m + 1)x + 12m + ≥ , ∀x ∈ (2; +∞) ∆≤0 ∆ > ⇔ y (2) ≥ S < 2 ⇔ m≤ 12 2) Chú ý miền (−∞; −1) ∪ (2; +∞) gồm hai phần rời Do ta lập luận: hàm số (1) đồng biến (−∞; −1) ∪ (2; +∞) y ≥ , ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) (2) y(−1) < y(2) (3) 20 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số Điều kiện (3) giải m > − 17 Ta giải điều kiện (2) sau 18 y ≥ , ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) ⇔ 3x2 − 6(2m + 1)x + 12m + ≥ , ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) ∆≤0 ∆ > ⇔ y (2) ≥ y (−1) ≥ −1 < S < 2 ⇔ − ≤m≤ 12 12 Bình luận : Nếu việc sử dụng tam thức bậc hai phức tạp ta có cách khác sau 1) Ta có: y ≥ , ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ 3x2 − 6(2m + 1)x + 12m + ≥ , ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ 12m(x − 1) ≤ 3x2 − 6x + , ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ 12m ≤ Khảo sát hàm số y = f (x) = 3x2 −6x+5 x−1 3x2 − 6x + , ∀x ∈ (2; +∞) x−1 miền (2; +∞) ta thu kết sau Vậy ta có 12m ≤ f (x) , ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ 12m ≤ f (2) = ⇔ m≤ 12 3) Tương tự, ta có y ≥ , ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) ⇔ 3x2 − 6(2m + 1)x + 12m + ≥ , ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) ⇔ 12m(x − 1) ≤ 3x2 − 6x + , ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) 3x2 − 6x + ⇔ 12m ≤ , ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) x−1 12m ≤ 3x2 −6x+5 , ∀x ∈ (2; +∞) x−1 ⇔ 12m ≥ 3x2 −6x+5 , ∀x ∈ (−∞; −1) x−1 ⇔ − Trần Quốc Việt ≤m≤ 12 12 21 2.2 Hướng dẫn đáp số Khảo sát hàm số ta sử dụng đồ thị sau Bài 19 1) |m| ≤ 2) khoảng cách δ = m2 √ Hướng dẫn : 1) Lập luận tương tự 2) Gọi δ trị số cần tìm Ta viết y= x2 + 5x + m2 + m2 =x+2+ x+3 x+3 Khi m = đồ thị (Cm ) đường thẳng, tiệm cận xem trùng với (Cm ) δ = Khi m = đồ thị (Cm ) có tiệm cận đứng (∆1 ) : x + = tiệm cận xiên (∆2 ) : x − y + = Ta có M (a; b) ∈ (Cm ) ⇔ b = a + + m2 (1) a+3 Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta có d(M ; ∆ ) = d(M ; ∆ ) = |a+3| √ 12 |a−b+3| √ 12 +12 = |a + 3| (2) = |a−b+2| √ (3) m Rút (1) vào (3) nhân với (2) ta có δ = d(M ; ∆1 ).d(M ; ∆2 ) = |a + 3| √2|a+3| = Bài 20 2) m > 39 m2 √ m = 12 Hướng dẫn : 1) Đồ thị hàm số 22 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số Phương trình hồnh độ giao điểm (Dm ) (Cm ) : (m − 18)x = x3 + 3x2 − 6mx ⇔ x(x2 + 3x − m + 12) = x=0 (1) ⇔ x + 3x − m + 12 = (2) Lập luận: (Dm ) cắt (Cm ) điểm phương trình (2) có nghiệm khác 0, tức là, m > 39 ∆ >0 ⇔ f (0) = m = 12 Bài 21 2) y = y = − x − 3) m = Hướng dẫn : 1) Đồ thị hàm số 2) Tìm tọa độ điểm cực đại viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước 3) Lý luận theo điều kiện cần đủ Ta có : x3 + 3x2 − = 3mx + ⇔ x3 + 3x2 − 3mx − = (1) Để ý rằng, đường thẳng, điểm cách điểm trung điểm điểm cịn lại Do ta lập luận: Điều kiện tốn ⇔ Phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 , x3 cho x1 + x3 = 2x2 Điều kiện cần : Giả sử phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 , x3 cho x1 + x3 = 2x2 Theo định lý Viét cho phương trình bậc , ta có x1 + x2 + x3 = 3x2 = − ⇒ x2 = −1 tức là, phương trình (1) có nghiệm −1 Ta suy (−1)3 + 3(−1)2 − 3m(−1) − = ⇒ m = b Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = có nghiệm x1 , x2 , x3 x1 + x2 + x3 = − a , x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = c , a d x1 x2 x3 = − a Trần Quốc Việt 23 2.2 Hướng dẫn đáp số Khảo sát hàm số Điều kiện đủ : Giả sử m = Phương trình (1) viết lại x3 + 3x2 − 4x − = ⇔ x = −1 ∨ x = −1 + √ ∨ x = −1 − √ Quả nhiên phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa x1 + x3 = 2x2 Tóm lại : Điều kiện cần đủ để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 , x3 cho x1 + x3 = 2x2 m = Bài 22 2) A + √ ; 3+ √ 2+ √ B − √ ; 3− √ 2− √ Hướng dẫn : 1) Đồ thị hàm số 2) Giả sử A(x1 ; y1 ) thuộc nhánh phải (x > 1) B(x2 ; y2 ) thuộc nhánh trái (x < 1) Ta có y =x +2+ 1 1 x1 −1 AB = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = (x1 − x2 )2 + + y =x +2+ (x1 − 1)(1 − x2 ) 2 x2 −1 Đặt a = x1 − b = − x2 ta thấy a, b > x1 − x2 = a + b Áp dụng BĐT Cauchy lần, ta có AB = (x1 − x2 )2 + + = (a + b)2 + + = (a + b)2 (x1 − 1)(1 − x2 ) 2 ab + +2 a2 b2 ab Cauchy ≥ 4ab a2 b2 + +2 ab = 8ab + +8 ab Cauchy ≥2 Đẳng thức có a = b 8ab = ab √ 8ab + = + ab 1 ⇔ a = b = √ ⇔ x1 = + √ , x2 = − √ 4 2 √ Vậy AB nhỏ AB = + A + 24 √ ; 3+ √ 2+ √ , B 1− √ ; 3− √ 2− √ Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số Bài 23 2) m = |− √ √ √ √ 3; − 3; 3; ∨ m = 3 17 √ √ √ √ | − 3; − 3; 3; 3 Hướng dẫn : 2) Đổi biến đưa phương trình bậc phương trình bậc 2, dùng điều kiện "nghiệm tạo thành CSC" để xác định m cách lý luận Cần Đủ Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) với Ox t=x x4 − 2(m + 1)x2 + 3m − = (1) ⇐⇒ ≤ t = t2 − 2(m + 1)t + 3m − (2) Ta có nhận xét sau • Thứ : (1) có nghiệm x1 < x2 < x3 < x4 (2) có nghiệm < t1 < t2 tương ứng nghiệm sau x1 < √ − t2 x2 √ < − t1 • Thứ hai : trường hợp xảy x +x {x1 ; x2 ; x3 ; x4 } CSC ⇔ x +x < < = 2x2 x3 √ t1 ⇔ < x4 √ < √ t2 − t2 √ √ t1 = t1 ⇔ t2 = 9t1 = 2x3 Như ta lập luận Điều kiện tốn ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t2 = 9t1 > Điều kiện cần : Giả sử phương trình (2) có nghiệm t2 = 9t1 > Sử đụng đĩnh lý Viét ta có m+1 m+1 ⇒ − 2(m + 1) 17 ∨ m= ⇒ m= 3 t1 + t2 = 10t1 = 2(m + 1) ⇒ t1 = Điều kiện đủ : Giả sử m = Kết luận : m = ∨ m= ∨ m= 17 m+1 + 3m − Thế giá trị m vào (2) ta thấy t2 = 9t1 > 17 Bài 24 2) {m = | − 3; −1; 1; 3} ∨ m = − 13 | − 1; − ; ; 3) m > 3 Hướng dẫn : 2) Tương tự 3) Lập luận: ĐK tốn ⇔ Phương trình f (t) := −t2 + 2(m + 2)t − 2m − = có nghiệm < t1 < < t2 (−1).f (9) < ⇔ ⇔ m>3 (−1).f (0) > √ √ Bài 25 2) M (0; a) với −2 14 − < a < 14 − Trần Quốc Việt 25 2.2 Hướng dẫn đáp số Khảo sát hàm số Hướng dẫn : 1) Đồ thị hàm số 2) Ta có M ∈ (D) ⇔ M (2; a) Lập luận: ∀m ∈ R , M (2; a) ∈ (Cm ) Khảo sát (C0 ) : y = ⇔ ∀m ∈ R , a = 2m2 + 2m + (1) m+2 2x2 +2x+3 x+2 Sử dụng đồ thị (C0 ) ta thấy mệnh đề (1) xảy đường √ √ thẳng (∆a ) : y = a không cắt (C0 ), tức là, −2 14 − < a < 14 − Bài 26 2) m = ±1 Hướng dẫn : 1) Đồ thị hàm số 2) Xem phần ví dụ phần √ √ √ Bài 27 + ≤ m < + Hướng dẫn : Lập bảng biến thiên cho hàm số f (x) bên vế trái phương trình Kiểm tra điều sau f (x) = (2x)3 − (6 − x)3 + 1 √ −√ 6−x 2x , ∀x ∈ (0, 6) Và f (x) > x ∈ (0, 2), f (x) < x ∈ (2, 6) f (2) = Bên đồ thị để tham khảo 26 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số Bài 28 Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Chứng minh phương trình hồnh độ giao điểm ln có nghiệm phân biệt I giao điểm Dùng định lý Viét công thức trung điểm chứng minh xA + xB = 2xI √ Bài 29 2) m = −4 ± Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Giải phương trình y = x = −2 ± m Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu y = có Trần Quốc Việt 27 2.2 Hướng dẫn đáp số Khảo sát hàm số nghiệm phân biệt, tức là, m = Lúc ta định tung độ cực trị sau yctr = 2xctr + 2(m + 1) gọi A,B cực trị − → OA = (−2 + m ; 2m − 2) −→ − OB = (−2 − m ; −2) Điều kiện toán : √ − → −→ − − −→ → − OA ⊥ OB ⇔ OA.OB = ⇔ (−2 + m)(−2 − m) + (2m − 2)(−2) = ⇔ m = −4 ± √ Đối chiếu điều kiện m = ta nhận m = −4 ± Bài 30 2) m = ± Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Điều kiện cần đủ để đồ thị có cực đại, cực tiểu phương trình y = có nghiệm phân biệt, tức là, ∆ > 0; ta xác định tọa độ cực trị Cực đại, cực tiểu cách O OA = OB Từ ta xác định m Bài 31 2) M(− ; −2) , M(1 ; 1) Hướng dẫn : 1) Đồ thị 28 Đạo hàm tử, đạo hàm mẫu tọa độ Ở ta không cần quan tâm đến điểm cực đại, cực tiểu Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số 2) Gọi m hoành độ M ∈ (C), ta lập phương trình tiếp tuyến (C) M (tiếp tuyến phụ thuộc vào m) Xác định tọa độ A, B theo m dùng điều kiện S∆OAB = 1/4 để xác định m Bài 32 2) m > 15 ∧ m = 24 Hướng dẫn : 1) Đồ thị Bài 33 2) m = Hướng dẫn : 1) Đồ thị Trần Quốc Việt 29 2.2 Hướng dẫn đáp số Khảo sát hàm số Bài 34 Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Xét dấu y tìm tọa độ CĐ CT theo m Bài 35 2) (−1 < k < 3) ∧ (k = 0) ∧ (k = 2) 3) y = 2x − m2 + m Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Xem y y đa thức Lấy y chia cho y x − y=y m x− 3 m dư 2x − m2 + m Tức + 2x − m2 + m Do hoành độ cực trị thỏa y = nên tọa độ chúng thỏa phương trình y = 2x − m2 + m tức đường thẳng (Dm ) : y = 2x − m2 + m qua điểm cực trị Bình luận : Bài tốn phát triển thành : "Định m để đường thẳng qua hai điểm cực trị thỏa điều kiện xyz " Bài 36 2) − < m < Hướng dẫn : 1) Đồ thị 30 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số 2) Điều kiện toán tương đương với điều kiện : phương trình y = có nghiệm phân biệt cho < x1 < x2 Ta dùng tam thức bậc hai đưa vấn đề việc khảo sát hàm số Bài 37 2) m = √ 1± Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Viết phương trình hồnh độ giao điểm Lập luận: điều kiện toán tương đương với phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm phân biệt x1 , x2 cho (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = ⇔ (x1 − x2 )2 = ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = y1 = y2 = m tổng S = x1 + x2 tích P = x1 x2 xác định theo m Giải m đối chiếu điều kiện ∆ > Bài 38 2) m < −3 ∨ < m < Hướng dẫn : 1) Đồ thị Trần Quốc Việt 31 2.2 Hướng dẫn đáp số Khảo sát hàm số 2) Lập luận: đồ thị có cực trị phương trình y = có nghiệm phân biệt, tức là, phương trình 4mx3 + 2(m2 − 9)x = ⇔ 2x(2mx2 + m2 − 9) = ⇔ x = 0 = 2mx2 + m2 − (1) có nghiệm phân biệt Điều tương đương với phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác Bài 39 2) m > Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Điều kiện toán: tồn A(a ; a3 − 3a2 + m) B(b ; b3 − 3b2 + m) phân biệt nhận O(0; 0) làm trung điểm Điều xảy a + b = 0(1) Hệ (a3 − 3a2 + m) + (b3 − 3b2 + m) = có nghiệm (a, b) a = b (2) rút (1) vào (2), ta có quan hệ tương đương: a+b=0 (1) (a3 − 3a2 + m) + (b3 − 3b2 + m) = (2) b = −a ⇔ m = a2 (3) (4) Như điều kiện toán tương đương với phương trình (4) có nghiệm a = 0, tức là, m > Bài 40 2) m > 32 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Điều kiện toán tương đương với phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm phân biệt khác Bài 41 2) m = 0, m = ±2 Hướng dẫn : 1) Đồ thị 2) Xác định điểm uốn theo m Điều kiện toán tương đương với tọa điểm uốn thỏa y = x + Trần Quốc Việt 33 ... (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực trị Bài 39 (B-2003) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m... Hướng dẫn : Đồ thị hàm số Bài 14 2) m = 18 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn đáp số Hướng dẫn : Đồ thị hàm số Bài 15 Hướng dẫn : Đồ thị hàm số Hệ số góc tiếp tuyến... qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Bài 36 (A-2003) Cho hàm số y = mx2 + x + m (1) (m tham số) x−1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm