SỞ GD ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai (1) với x là ẩn số. a) Giải phương trình (1) khi m = 6. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn . Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 3.(5,0 điểm) a) Cho góc thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . Câu 4. ( 5,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình , . a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE. b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm. Câu 5. (2,0 điểm) Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Hết Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x − x + m = (1) với x ẩn số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x + x x1 = Câu (3,0 điểm) x + x y − xy + xy − y = x + y − xy (2 x − 1) = Giải hệ phương trình: Câu 3.(5,0 điểm) P= 4sin α − cos α sin α + cos α a) Cho góc α thỏa mãn tan α = Tính giá trị biểu thức uuur uuu r uuur uuur BD = BC; AE = AC b) Cho tam giác ABC Gọi D, E Điểm K đoạn AD thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK Câu ( 5,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình CD : x − y + = , 16 E ;1÷ 3 a) Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao CD BE b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Câu (2,0 điểm) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + 2 a +b +c abc Hết -Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn Họ tên thí sinh : Số báo danh : HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu a) Nội dung Điểm Phương trình x − x + m = 5,0 Giải phương trình (1) m = 1,5 Khi m = PT (1) có dạng: x − x + = 0,5 ' Ta có: ∆ = + = > 0,5 PT (1) có nghiệm phân biệt: x1 = x2 = 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có nghiệm x1 , x2 ∆ ≥ hay m ≤ Áp dụng hệ thức Viet, ta có Hai nghiệm x1 , x2 dương x1 + x2 = 5; x1 x2 = m ïìï x1 + x > í ïïỵ x1x > 0,5 hay m > Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 (*) Ta có: Suy Ta có Hay ( x1 + x ) 0,5 25 25 0 t = => m = (thoả mãn (*)) Với 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vơ nghiệm Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm dương x 1, x2 thoả mãn x1 x + x x = x + x y − xy + xy − y = x + y − xy (2 x − 1) = Giải hệ phương trình: 3,0 ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy = ⇔ 2 ( x − y ) + xy = Hệ a = x − y b = xy Đặt Hệ trở thành: Hệ 1,0 a + ab + b = a + b = (*) 0,5 2 a + a − 2a = a (a + a − 2) = (*) ⇔ ⇔ 2 b = − a b = − a Từ tìm 0,5 (a; b) ∈ { (0; 1); (1; 0); (−2; − 3)} x2 − y = ⇔ x = y =1 xy = ( a ; b ) = (0; 1) Với ta có hệ 0,5 x2 − y = ⇔ ( x; y ) = (0; −1);(1;0);( −1;0) xy = ( a ; b ) = (1; 0) Với ta có hệ Với 0,5 (a; b) = (−2; −3) ta có hệ 3 x − y = −2 y = − y = − ⇔ ⇔ ⇔ x = −1; y = x x xy = − 3 x + 2x + = ( x + 1)( x − x + 3) = Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0,5 Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { (1; 1);(0; − 1);(1; 0);( −1; 0);( −1; 3)} 5,0 Cho góc α thỏa mãn tan α = Tính giá trị biểu thức a) P= sin α − cos α sin α + cos α 2,5 ( 4sin α − cos α ) ( sin α + cos α ) 4sin α − cos α P= = sin α + cos3 α sin α + cos3 α = = 1.0 4sin α − sin α cos α + 4sin α cos α − cos α sin α + cos α 0,5 tan α − tan α + tan α − tan α + = 0,5 4.8 − + 4.2 − = 8+2 0,5 uuur uuu r uuur uuur BD = BC; AE = AC b) Cho tam giác ABC Gọi D, E Điểm K b) 2,5 AD đoạn thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK A uuur uuur uuu r uuur uuu r AE = AC ⇒ BE = BC + BA (1) 4 Vì E K 0,5 B uuur uuur uuur uuur uuu r AK = x AD ⇒ BK = xBD + ( − x ) BA (1) Giả sử uuur uuu r uuur uuur uuur 2x uuur uuur AK = x.AD ⇒ BK = BD + (1 − x)BA BD = BC 3 Mà nên m 2x 3m uuu r uuur − = &1 − x − =0 Do BC; BA khơng phương nên Tốn học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn D C 0,5 0,5 0.5 uuur uuur AD x = ;m = AK = AD ⇒ =3 Vậy AK Từ suy 0,5 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có 16 E ;1÷ phương trình CD : x − y + = , 5,0 Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I 2,5 a) giao CD BE A D I E 0,5 C B BA EA = =2⇒ E Ta có BC EC chân đường phân giác Do BD = BC ⇒ BE ⊥ CD ⇒ BE : 3x + y − 17 = 0,5 x − 3y +1 = I = BE ∩ CD ⇒ tọa độ điiểm I nghiệm hệ 3 x + y − 17 = Giải hệ phương trình ⇒ I ( 5; ) 1,0 b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Đặt BC = a > ⇒ AB = 2a, AC = a 5, CE = 0,5 2,5 a BC a · CBE = 450 ⇒ IB = IC = = 2 Do Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0,5 0,5 (1) Tam giác EIC vuông I ⇒ IE = EC − IC ⇒ IE = a (2) uur uur ⇒ IB = − IE ⇒ B (4;5) Từ (1) (2) Gọi C (3c − 1; c ) từ 0,5 c = BC = ⇔ c − 4c + = ⇔ c = 0,5 Với c = ⇒ C (2;1), A(12;1) (KTM) Với c = ⇒ C (8;3), A(0; −3) (TM) 0,5 Vậy A(0; −3), B (4;5), C (8;3) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2,0 1 + 2 a +b +c abc Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab + bc + ca ≥ 33 a b c 1= a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ ⇒P≥ ⇒P≥ ≥ 0,5 3 ⇒ ab + bc + ca ≥ abc abc ≥ 9abc + 2 a +b +c ab + bc + ca 0,5 1 + + + 2 a +b +c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 0,5 + = 30 2 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ( a + b + c ) Vậy giá trị nhỏ P 30 chẳng hạn Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn a=b=c= 0,5 `SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TOÁN 10 (đề thi đề nghị) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình x + − 3x b) Giải hệ phương trình Câu (4,0 điểm) = 3x + 1− x xy 2 x + y + x + y = x + y = x2 − y a) Tìm tập xác định hàm số : y = b) Gọi x − + x −1 − x + x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x − mx + m − = x1 x + x + x 22 + 2(1 + x1 x ) Với giá trị m A đạt giá trị nhỏ Đặt Câu (3,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: x y Q= + 1− x 1− y Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có 18 − BC = ,các đường thẳng AB AC qua điểm M(1; ) N(0; ) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 điểm B có hồnh độ dương Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện = tam giác ABC tam giác cân b) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC uuur uuuur uuuu r uuur cho NC = NA I trung điểm đoạn MN Chứng minh : BC + NM = BM + NC Hãy uuur uur uuu r biểu diễn vecto AI theo hai vecto AB AC A= -Hết Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN Câu Câu 5,0 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10 Nội dung 3x + = − x (1) x + − 3x Điểm 2,5 a) Giải phương trình: ĐK: x ≥ 0; x ≠ x + + 3x 3x + = 1− x 1− x Khi đó: (1) ⇔ 0,25 0.5 0.5 ⇔ x + + 3x = 3x + 0.5 0.5 ⇔ x + 3x = − x − + 21 10 − + 21 x= 10 Vậy (1) có nghiệm: xy 2 x + y + x + y = x + y = x2 − y b) Giải hệ phương trình Điều kiện: x > − y ( x + y ) − + xy − 1 = x+ y ⇔ ( x + y − 1) x + y + x + y = ⇒x= ( ) PT thư tương đương: ⇒ x + y = x = x = −2 ∨ y = y = Kết hợp với PT hai ta 0.25 2,5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 x = x = −2 ∨ y = y = Vậy, hệ cho có nghiệm Câu Nội dung a) Tìm tập xác định hàm số : y = Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn x − + x −1 − x + Điể m 1.5 4,0 x − ≥ x − ≥ x + ≥ x − + x −1 − x + ≥ x ≥ ⇔ 2 x − 3x + ≥ − x ĐK: ⇔ b) Gọi 0.5 0.5 21 ≤x≤6 x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x − mx + m − = A= Đặt 0.5 x1 x + x + x 22 + 2(1 + x1 x ) Với giá trị m A đạt giá trị nhỏ 2 + PT có hai ngiệm ∆ ≥ ⇔ m − 4m + ≥ 0, ∀m + x1 + x = m; x1 x = m − A= 0.25 0.25 0.5 x1 x + ( x1 + x ) + 0.5 4m + m2 + ( m + 2) = − ≥ −1 m +2 A nhỏ m = −2 Cho hai số thực dương x, y biểu thức sau: = Câu 3,0 2.5 0.5 0.5 thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ Q= x 1− x + y 1− y Q= Viết lại x −1+1 1− x 1− x + + y −1+1 1− y 1− y ≥ = 1− x + 1− y (1 − x )(1 − y ) ≥ Theo Cô si: ( Do x+y=1 ) Theo Bunhiacopski: 1− x + 1− y ≤ 1− x +1− y = − ( 1− x + 1− y) 1− x +1− y =2 (1) ( Do x+y=1 ) (2) Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn Trừ theo vế (1) (2) ta có : Q ≥ 1 − x = − y ⇔x=y= x + y = Dấu đẳng thức xảy Câu 4,0 Vậy minQ = Phương trình đường thẳng ∆ qua N vng góc với AH 18 x− y =− Tọa độ giao điểm I AH với ∆ nghiệm hệ PT 18 16 x − y = − ⇒ I (− ; ) 7 x + y = N ( − : 2) Gọi N1 giao điểm ∆ AB, suy Đường thẳng AB qua hai điểm M N1 nên có PT 7x+3y = 7x + 3y = ⇒ A(−1 : 3) x + y = Tọa độ điểm A nghiệm hệ Giả sử B (b; − 7b ) d ( B, AH ) = 0.5 0.25 0,5 0,5 0,25 0,25 0.25 0,5 0.5 BC = 2 Khi 4b + b = ⇒ B (2;−4) ⇒ =2 2⇒ b = −4(loai ) PT đường thẳng BC: x-y = 0.5 0.25 0.5 x - y = ⇒ H (4 : −2) ⇒ C (6;0) Tọa độ điểm H nghiệm hệ x + y = Câu Nội dung Câu 4,0 a) Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện = tam giác ABC tam giác cân sin A = a b ; sin B = 2R 2R + Viết a2 + b2 − c2 cos C = 2ab + + Thay vào = 2, rút gọn ta b=c + Vậy tam giác ABC cân A b) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC cho NC = NA I trung điểm đoạn MN Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn Điể m 2,0 0.5 0.5 0.75 0.25 2.0 10 Câu Nội dung Điể m 2,0 Câu 2 a) Giải phương trình x + 12 + = 3x + x + (1) 0,25 5,0 ĐK: x ≥ 5/3 (*) ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM x + 12 − = 3x − 6MÔN + x :+TOÁN − 10 - NĂM HỌC 2017-2018 TRƯỜNG HỒ⇔ NGHINH KhiTHPT đó: (1) 0,25 Thời gian 2 :150 phút (Không kể thời gian giao x −4 x −4 ⇔ = ( xđề) − 2) + 0,5 x + 12 + x2 + + 0,25 x+2 x+2 − − 3÷= ( x − ) ÷ x2 + + x + 12 + ⇔ ⇔ x = (thỏa (*)) 0,5 1 x+2 x+2 < ⇒ − với x) A + 11x + 21 > −1 < x < ⇔ N xI > ( −1;3) ∪ ( 7; +∞ ) Vậy tập xác định hàm số cho D = Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): M C2 x −B ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 0,25 0,25 0,25 0,25 74 Câu (5,0 điểm) a.(3đ) Giải bất phương trình x − 2x + x + 3x ≥ 2x b.(2đ) Giải hệ phương trình x − 6x y + 9xy − 4y = (1) x − y + x + y = (2) Câu (3,0 điểm) a (2đ) Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – Gọi A,B giao điểm (p) với Ox Tìm m y ≥ 25 ; +∞) 0.5đ 2đ 0.25 đ (1) ⇔ (x − 4y)(x − y)2 = Câu x = 4y ⇔ x= y Khi x = 4y: 0.5 đ x = 4y x = 32 − 15 HÖ⇔ ⇔ x − y + x + y = y = 8− 15 Khi x=y: x = y x = HÖ⇔ ⇔ x − y + x + y = y = 0.5đ 0.5đ KL: Hệ có tập nghiệm S = {(2;2),(32 − 15;8− 15)} 0.25 đ a Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – Gọi A,B giao điểm (P) với Ox Tìm m < cho đường thẳng d: y= m cắt (P) hai điểm 2đ Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 76 phân biệt M, N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích Ta chọn A(-1;0), B(4/3;0) (3 đ) Pthđgđ (P) d: 3x2 – x – 4- m = (*) −49 m> 12 ĐK: ∆ > ⇔ M,N giao điểm nên xM , xN hai nghiệm (*) 49 + 12m MN = x M − x N = (x M + x N ) − 4x M x N = A B, M N đối xứng qua trục đối xứng (P) nên bốn điểm tạo m = − m (do m < 0) nên hình thang cân có hai đáy AB, MN, độ dài đường cao = 49 + 12m + −7m− m 49+ 12m SABMN = (− m) = =6 m = (lo¹i) ⇔ m − 28m− 48 = ⇔ m = −2 (nhËn) m = −4 (nhËn) Vậy m = -4 , m = -2 thỏa mãn đề Cho sina.sinb = 5cosa.cosb TÝnh S = b Tõ gi¶ thiÕt cã tana.tanb = 0.25 đ 0.25 đ 0.5 d 0.5 đ 0.25 đ 1 + 2 sin a− 5cos a sin b − 5cos2 b 1+ tan2 a 1+ tan2 b + tan2 a − tan2 b − 40 − 4tan2 a − 4tan2 b = tan2 a.tan2 b − 5tan2 a − 5tan2 b + 25 4(10 − tan2 a − tan2 b) = = 5(10 − tan2 a − tan2 b) S= Câu (3,0 điể m) 0.25 đ Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c T= + + 1− a 1− b 1− c − (1 − a) − (1 − b) − (1 − c) T= + + 1− a 1− b 1− c 1 =( + + ) − ( − a + − b + − c) 1− a 1− b 1− c Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 1đ 0.25 đ 0.25 đ 0.5đ 3đ 0.5 đ 77 1 + + 1− a 1− b 1− c Đặt 1 1 A= + + ≥3 1− a 1− b 1− c (1 − a)(1 − b)(1 − c) A= 0.5 đ Lại có : − a + − b + − c ≥ 3 (1 − a)(1 − b)(1 − c) ⇔ − (a + b + c) = ≥ (1 − a)(1 − b)(1 − c) ⇔ (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ Suy A≥ 0.25 đ 27 0.25 đ Đặt B = - ( − a + − b + − c ) ( − a + − b + − c) ≤ 3(1 − a + − b + − c) = 0.5 đ ⇔ < 1− a + 1− b + 1− c ≤ 0.25 đ Suy B ≥ − T=A+B T =A+B≥ 27 − 6= 2 a=b=c= KL: MinT= Trong mặt phẳng lấy 2n + điểm ( n ∈ ¥ ) cho ba điểm ln có hai điểm mà khoảng cách hai điểm nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa n + điểm nêu Câu (2,0 điể m) Chọn điểm A 2n + điểm Vẽ đường trịn (A;1), có hai khả : a) Nếu tất điểm thuộc hình trịn (A;1) tốn thỏa mãn b) Nếu tất điểm thuộc hình trịn (A;1) Khi đó, có điểm gọi B khơng thuộc hình trịn (A;1) Vẽ đường trịn (B;1) Gọi C điểm 2n + điểm cịn lại Xét ba điểm A, B, C phải có AC BC nhỏ Nếu AC nhỏ C thuộc hình trịn (A;1) Nếu BC nhỏ C thuộc hình trịn (B;1) Do 2n + điểm cịn lại thuộc (A;1) thuộc (B;1) nên theo ngun lí Dirichlet có n + điểm thuộc (A;1) (B;1) Nói cách khác có n+ điểm thoả mãn đề Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0.5đ 0.25 đ 2đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 78 Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh 2 với điểm M a.MA + b.MB + c.MC ≥ abc 3đ Câu (3,0 điể m) Câu (4,0 điể m uuuu r uuur uuur ( a.MA + b.MB + c.MC) ≥0 uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur ⇔ a2 MA + b2 MB2 + c2 MC2 + 2ab.MA.MB + 2bc.MB.MC + 2ac.MA.MC ≥ ⇔ a2 MA + b2 MB2 + c2 MC2 + ab.(MA + MB2 − AB2 ) + bc.( MB + MC − BC ) + ac.( MA + MC − AC 2 2 2 ) ≥0 ⇔ a( a + b + c) MA + b( a + b + c) MB2 + c( a + b + c) MC2 ≥ abc2 + bca2 + acb2 ⇔ ( a + b + c) ( a.MA + b.MB2 + c.MC2 ) ≥ abc( a + b + c) ⇔ a.MA + b.MB2 + c.MC2 ≥ abc uuuu r uuur uuur r Dấu xảy a.MA + b.MB + c.MC = ⇔ M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B, AB = 16 ( ;1) 2BC D trung điểm AB, E nằm cạnh AC mà AC = 3EC Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + = Tìm tọa độ điểm A, B, C Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0.5 đ 1đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 4đ 79 EA BA = = Ta có EC BC nên BE phân giác góc B Suy BE vng góc DC, nên DC có ptrình 16 3(x − ) + 1(y − 1) = ⇔ 3x + y − 17 = ⇒ I = DC ∩ BE = (5; 2) a a IE = ; IB = 2 Gọi BC= a tính uur uu r ⇒ IB = −3IE ⇒ B(4;5) C ∈ x − 3y + = ⇒ c(3c − 1;c) 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ BC = 2BI ⇔ c − 4c + = c = ⇒ C(2;1) ⇔ c = ⇒ C(8;3) 0.5 đ KL: A(12;1), B(4,5), C(2;1) A(0;-3), B(4;5), C(8,3) 0.5 đ Chú ý: thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo dựa vào thang điểm cho điểm tương ứng SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH MƠN: TỐN 10 Năm học: 2017 - 2018 ĐỀ Câu 1: (5,0 điểm) a Giải bất phương trình: 2x + > − x Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn ( x − + 3x + ) 80 2 x − = 2 y + x x + xy + x − y − y = y + b Giải hệ phương trình: Câu 2: (4,0 điểm) y = f(x) = x x − + a Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số: b Tìm giá trị tham số m cho hàm số y = f(x) = x + (2m+ 1)x + m − có giá trị bé đoạn [0;1] Câu 3: (4,0 điểm) a Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ ab + bc + ca b c a b Tìm giá trị lớn biểu thức: P= yz x − + zx y − + xy z − xyz Câu 4: (4,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm BC I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - = Gọi D , E chân đường cao kẻ từ điểm B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình DE x - = điểm D có hoành độ dương Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB.Chứng minh diện tích ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’C’ vượt qua phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện tam giác có diện tích phần tư diện tích tam giác ABC HẾT - KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn Điể m 81 Câu 2x + > a) Giải phương trình (5,0 điểm Điều kiện: ≤ x ≤ ) + 2x + > − x ( 2− x ( x − + 3x + ) ( 2,0 0,2 x − + x + ⇔ (3 x + 4) − ( x − 1) > − x ⇔ 3x + − x − > − x ) x − + 3x + > ⇔ x + > − x + x − ⇔ (2− x )( x −1) < x + ( x − + 3x + ) Giải tìm tập nghiệm bất phương trình S= [ ) 0,5 0,5 0,2 1;2] 2 x + = 2 y + x x + xy + x − y − y = y + b) Giải hệ phương trình xy + x − y − y ≥ Điều kiện: y ≥ - Xét phương trình thứ hai hệ: 2 x + xy + x − y − y = y + ⇔ ( x − y − 1) + 3( xy + x − y − y − y − 1) = 3( y +1) =0 ⇔ ( x − y − 1) xy + x − y − y + y +1 ⇔ x − y − = (vì theo điều kiện biểu thức ngoặc vng ln dương x −1 thay vào phương trình thứ ta được: + Với x2 + = x − + x2 2( x + 2) ⇔ ( x − 2) − + + x + 2 = x −1 +1 x +5+3 x ≥ Điều kiện: Khi đó, ta có: 0,5 3,0 0,2 0,5 0,5 0,2 y= 2( x + 2) − + x +5+3 x −1 +1 +x+2= ÷> + ( x + 2) 1− ÷ x −1 +1 x +5 + Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0,2 0,5 0,2 82 Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( 2; ) Câu Câu 2(4,0 điểm) ãn a/ Lập bảng y = f(x) = x x − + biến thiên Đáp án vẽ đồ 0,5 thị hàm Điểm số: 1,5 x2 − 2x+1 , x ≥ y = f(x) = -x + 2x + 1, x 2 f(x) dồng biến [0;1] +Nếu ⇒ f(x)= f(0) = m2 − 1= 0;1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ m = (thỏa ) m = − (khơng thỏa) Tốn học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 83 + Nếu x0 = −m− −3 > 1⇒ m < 2 f(x) nghịch biến [0;1] 0,25 ⇒ f(x)=f(1) = (m+ 1)2 = 0;1 ⇒ m=0 (không thỏa ) m=-2 (thỏa) 0,25 Vậy m = m=-2 Câu3 (4,0 điểm) a/ Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: 0,25 2,0 a b c + + ≥ ab+ bc + ca b c a Ta có (a− b)2 ≥ ⇒ a2 − ab+ b2 ≥ ab ⇒ a3 + b3 ≥ ab(a+ b) Tương tự (b − c) ≥ (c − a)2 ≥ ⇒ a3 2 + b ≥ a + ab b ⇒ b3 + c ≥ b2 + bc c ⇒ c3 2 + a ≥ c + ca a a3 b3 c3 2 + b + + c + + a ≥ a + ab + b2 + bc + c2 + ca c a Suy b ⇒ đccm b/ Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 2,0 yz x − + zx y − + xy z − xyz P xác định x ≥ 1,y ≥ 4,z ≥ P= 0,25 y− x−1 z−9 + + x y z 0,25 0,25 Ta có Áp dụng Bđt Cơsi ta có: x −1≤ x − 1+ x −1 ⇒ ≤ x 2 y− ≤ z− ≤ y− y − 4+ ⇒ ≤ y 11 z − 9+ z −1 ⇒ ≤ ⇒P≤ z 12 11 ⇒ Max P= 12 , đạt x=2, y=8, z=18 Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0,5 0,5 0,25 0,25 84 Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 85 Câu (4,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm BC I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - = Gọi D , E chân đường cao kẻ từ điểm B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình DE x - = điểm D có hồnh độ dương 4,0 Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm I tứ giác AEHD nội tiếp đường 0,5 tròn tâm F 0,5 Vậy IF đường trung trực ED Do IF ⊥ ED Suy phương trình IF : y-1=0 0,25 Suy F (1 ; 1) 0,25 Suy A(-1 ;2) 0,5 D thuộc DE suy D(2 ;d) 0,25 d = + ( x − 1) = ⇒ d = −1 Do FD = FA suy Do y D > nên D(2; 3) 0,25 Phương tình AC: x - 3y + = 0,25 0,5 Đường BC qua I vng góc AH nên có phương trình BC 2x – y – 11 0,25 =0 Suy C ( 8; 5) 0,25 Suy B ( ; -3 ) 0,25 A D F E H C B I Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 86 Câu5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB.Chứng minh diện tích ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’ vượt qua phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện tam giác có diện tích phần tư diện tích tam giác ABC S = S∆ABC SA = S∆AB'C' SB = S∆BA 'C' SC = S∆CA 'B' Kí hiệu , , , Ta có SA AC'.AB'.sinA AC'.AB' = = S AC.AB AC.AB.sinA SB BC'.BA ' = S BC.BA SC CA '.CB' = S CA.CB SA SB SC AB'.AC'.BC'.BA '.CA '.CB' = AB.AC.BC.BA.CA.CB S Suy AC'.BC' AB'.CB' BA '.CA ' 2 AB AC BC2 = 1 AC'.BC' ≤ (AC'+ BC')2 = AB2 4 Mặt khác: 1 AB'.CB' ≤ (AB'+ CB')2 = AC2 4 1 BA '.CA ' ≤ (BA '+ CA ')2 = BC2 4 S S S 1 ⇒ A B C≤ 4 S3 SC SA SB ≤ ≤ ≤ S S S Suy Dấu xảy đồng thời A’, B’, C’ tương ứng trung điểm BC, CA, AB Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 3,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 87 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 88 ... ( 4sin α − cos α ) ( sin α + cos α ) 4sin α − cos α P= = sin α + cos3 α sin α + cos3 α = = 1.0 4sin α − sin α cos α + 4sin α cos α − cos α sin α + cos α 0,5 tan α − tan α + tan α − tan α + = 0,5... góc thỏa mãn điều kiện Tính A = 3cos α + tan α 2 cosα = sin α + cos 2α = ⇔ cos 2α = ⇔ 2 cosα =3 ta có π 2