ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 1 Câu 1.(2,0 điểm) a) Giải bất phương trình: b) Giải hệ phương trình: Câu 2.(2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ phương trình sau có nghiệm Câu 3.(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho điểm và các đường thẳng . Viết phương trình đường tròn có tâm sao cho cắt tại và cắt tại thỏa mãn Câu 4. (2,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và .Tính và . 2. Cho a,b thỏa mãn: .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 5. (2,0 điểm) Cho với a,b thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên đôi một phân biệt và sao cho: . Tìm tất cả các bộ số (a;b). Câu 6: (2,0 điểm) Giải phương trình . Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm và điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua , cắt tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác lớn nhất. Câu 8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình Câu 9 (2,0 điểm). Cho các số không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng : . Câu 10.(2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho . a) Gọi D là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo . Xác định tọa độ D. b) Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt đoạn thẳng CD tại M sao cho tứ giác ABCM có diện tích bằng 24.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ Câu 1.(2,0 điểm) a) Giải bất phương trình: x − x + ≥ 2(2 − x) x − 10 x + xy = y + y 4x + + y2 + = b) Giải hệ phương trình: Câu 2.(2,0 điểm) x − m = y ( x + my ) x − y = xy Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm Câu 3.(2,0 điểm) d : x − y − = 0, Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) đường thẳng d2 : x + y − = d d Viết phương trình đường trịn (C ) có tâm I cho (C ) cắt A, B cắt C , D thỏa mãn AB + CD + 16 = AB.CD Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL CM b = 5−2 AL Tính c cos A (2 + a )(1 + b) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Cho a,b ∈ ¡ thỏa mãn: P = 16 + a + + b Câu (2,0 điểm) Cho f ( x ) = x − ax + b với a,b ∈ ¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn số nguyên m, n, p đôi phân biệt ≤ m, n, p ≤ cho: f ( m) = f ( n) = f ( p) = Tìm tất số (a;b) 2 Câu 6: (2,0 điểm) Giải phương trình cos x(tan x + tan x) = sin x + cos x 2 Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y − x − y − = tâm I điểm M (3; 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M , ∆ cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn x4 − 2x = y − y (x , y ∈ ¡ ) 2 x − y = Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình Câu (2,0 điểm) Cho số a, b, c không âm cho tổng hai số dương Chứng minh : ( ) a b c ab + bc + ca + + + ≥6 b+c a+c a+b a+b+c A ( 3;1) , B ( −3;9 ) , C ( 2; −3) Câu 10.(2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho uuu r a) Gọi D ảnh A qua phép tịnh tiến theo BC Xác định tọa độ D Điều kiện: | www.thuvienhoclieu.com b) Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt đoạn thẳng CD M cho tứ giác ABCM có diện tích 24 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ĐỀ 01 Câu1 Đáp án Điểm x≥ Đặt t = x − ( t ≥ ) x = t + Khi ta có Điều kiện: x − x + − 2(2 − x )t ≥ ⇔ x + 2tx − 4t − 3(t + 1) + ≥ 1.0 ⇔ ( x + t ) − (2t + 1) ≥ ⇔ ( x + 3t + 1)( x − t − 1) ≥ 1điểm x + 3t + > 0; ∀x ≥ ; ∀t ≥ ⇔ x − ≥ t (do ) x ≥ x − ≥ x −1 ⇔ ⇔ x ≥ + x − 2x + ≥ 2x −1 x − ≥ t Với ta có Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S = [2 + 2; +∞) x + xy = y10 + y (1) x + + y + = (2) Điều kiện: x≥− 1,0 Th1: y = ⇒ x = không thỏa mãn điểm Câu2 điểm x x (1) ⇔ ÷ + = y + y ⇔ (t − y )(t + t y + t y + ty + y ) = y y Th2: y ≠ ta có: với t=x/y 2 2 2 ⇔ (t − y ) (t + y ) + (t + y ) (t − yt + y ) + = ⇔ t=y hay y = x 23 x ≤ ⇔ x + + x + = ⇔ x + 37 x + 40 = 23 − x x − 42 x + 41 = Thay vào (2): ⇒ x = ⇒ y = ±1 ( x; y ) = { (1;1);( −1;1)} Đối chiếu đk ta nghiêm hệ là: my − y + m = (1) x − yx − y = (2) Hệ cho tương đương với: y ≥ ∆x = y2 + y ≥ ⇔ y ≤ −4 Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm Th1: m = 0, ta có y = 0, x = Suy m = thỏa mãn Điều kiện: | www.thuvienhoclieu.com 2.0 Th2: m ≠ Phương trình (1) (ẩn y ) khơng có nghiệm thuộc khoảng (−∞; −4] ∪ [0; +∞) (*) nghiệm (1) có nghiệm thuộc (−4;0), điều kiện là (1) vô 1 ∆ = − 4m < m ∈ (−∞; − ) ∪ ( ; +∞) ∆ = − 4m ≥ − ≤ m < ∆ = − 4m < 2 − − m −4 < + 8m ( A) 2m −4 < y < 1 + − 4m − m < − − 8m − < < −4 < y2 < 2m ⇔ ⇔ (B) y,y (với nghiệm phương trình (1)) 1 − ≤ m < − ⇔ ⇔− ≤m Câu3 điểm 4.a điểm Gọi R bán kính đường trịn (C ) cần tìm ( 36 AB = AE = R − ; CD = 2CF = R − 5 2,0 5) 4 36 36 R − ÷+ R − ÷+ 16 = 20 R − R2 − 5 5 Theo giả thiết ta có: ⇔ 8R − 16 = (5 R − 4)(5 R − 36) ⇔ R − = (5R − 4)(5R − 36) 6 R> R> 2 2 ⇔ (2 R − 4) = (5 R − 4)(5 R − 36) (do ) ⇔ R = 2 ( 5) 2 Vậy phương trình đường trịn (C ) cần tìm (C ) : ( x − 2) + ( y − 4) = uuu r r b uuu c uuur AL = AB + AC b+c b+c Ta có: uuu r uuu r uuu r uuur uuuu r CA + CB AB − AC CM = = 2 uuu r uuuu r AL ⊥ CM ⇔ AL CM =0 Theo giả thiết: uuu r uuur uuu r uuur ⇔ b AB + c AC AB − AC = ⇔ bc + bc cos A − 2cb cos A − 2cb = ( )( ) ⇔ ( c − 2b ) ( + cos A ) = ⇒ c = 2b (do cos A > −1) Khi đó: CM = b2 + a c2 a − b2 − = Điều kiện: | www.thuvienhoclieu.com 1.0 AL2 = uuur uuur AB + AC ( ) = uuu r uuur AB + AC + AB AC = ( 9b − a ) 9 ( ) CM CM a − b a − b2 a2 = 5−2 ⇔ = = − ⇔ = − ⇔ = 6− AL AL2 9b − a 9b − a b2 b + c − a 5b − a −1 cos A = = = 2bc 4b a b = 2 2 2 C/M : a + b + c + d ≥ (a + c) + (b + d ) ấu xẩy khi: c d ( ) 4.b 1điểm 1.0 a2 a2 p (a + 4b ) 2 = 1+ ÷ + 1+ b ≥ + + b ÷ = + 16 4 Áp dụng (1) ta có : (1 + 2a )(1 + b) = a + 2b + ab = 2⇔ (2) Mặt khác: a + ≥ 2a 3(a + 4b2 ) ⇒ + ≥ 2a + 4b + 2ab ⇒ a + 4b ≥ 4b + ≥ 4b a + 4b ≥ 2ab Mà: (3) b= p ≥ 17 Từ (1) (3) suy ra: Dấu “=” xẩy khi: a=1 b= Vậy: MinP = 17 Đạt a=1 số f(m),f(n),f(p) dương, âm có số dấu nên: Th1: f(m),f(n),f(p) -7 ⇒ loại phương trình f(x)-7=0 có nghiệm phân biệt 2,0 Th2: f (m) = f (n) = f ( p ) = −7 Khơng tính tổng qt,giả sử m>n m− p ≥ n− p ta có: m,n nghiệm pt: x − ax + b − = p nghiệm pt: x − ax + b + = nên : Câu điểm n − p = ⇒ n − m = 9(l ) m + n = a p−m = ⇒ n − p = −2 (n − p)( n + p − a) = 14 ⇒ (n − p)( p − m) = 14 ⇒ n − m = −9(l ) (m − p)( m + p − a) = 14 p − m = −7 Th3: f ( m) = f ( n) = −7 f ( p ) = ,khiđó hồn tồn tương tự ta có: m − p = −7 m − p = ( p − n)(m − p ) = −14 ⇒ p − n = p − n = −2 ∈ 1;9 { (11;17), (13; 29), (7; −1), (9;7)} Do m,n,p [ ] nên tìm là: (a;b)= Câu Điều kiện: cosx ≠ (*) PT cho tương đương 2sin x + 2sin x.cos x = sin x + cos x ⇔ 2sin x(sin x + cos x) = sin x + cos x ⇔ (sin x + cos x)(2sin x − 1) = Điều kiện: | www.thuvienhoclieu.com 2,0 +) sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ π 5π ⇔ x = + k 2π ; x = + k 2π 6 + Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm PT π π 5π x = − + kπ ; x = + k 2π ; x = + k 2π (k ∈ ¢ ) 6 sin x = Câu 2,0 (C ) có tâm I (1; 2) , bán kính R = Ta có IM = < R nên M nằm đường tròn (C) Gọi H hình chiếu I AB đặt IH = t , < t ≤ Ta có S IAB = f '(t ) = IH AB = t − t 2 Xét hàm f ( x) = t − t ;0 < t ≤ − 2t 2 > 0, ∀t ∈ ( 0; ] 9−t Ta có , suy f (t ) đồng biến d ( I; ∆) = t = S Vậy IAB lớn , hay H ≡ M uuu r Khi ∆ nhận IM véc tơ pháp tuyến, suy ∆ : x − = Câu ( 0; 2] ⇒ f (t ) ≤ f (2) 2,0 điểm Đặt x + y = a, x − y = b Để cho tiện ta đặt = c ( ab ) Từ phương trình thứ hai hệ, ta có: = c3 ⇔ ab = c a+b a −b ab ,y = x − y = (a + b ) 2 , suy Từ (a − b) a + 3b a + c b x − y = (a + b) − = = 2 ab 2 a + c 3b (a + b ) = ⇔ c(a + b ) = a + c 3b 2 Phương trình thứ hệ trở thành: 0,25 x= c(a + b ) = a + c 3b ab = c Ta có hệ , suy c c c a + ÷ = a + ⇔ ca + c3 = a + ac ⇔ (ca − 1)(a − c ) = ⇔ a = ∨ a = c a a c - Nếu a = c,b = x= c +1 +1 −1 = ,y = 2 Điều kiện: | www.thuvienhoclieu.com 0,25 0,25 Câu + c3 − c3 −1 x = + c ÷= = , y = − c ÷= = a = ,b = c 3 2c 2c 2c 2c 3 c - Nếu 3 + 3 − −1 (x; y ) = ; ÷, ; ÷ ÷ 3 Vậy hệ cho có hai nghiệm 2,0 điểm Đặt P= a b c ab + bc + ca + + + b+c a+c a+b a+b+c Giả sử a ≥ b ≥ c , ab ac b.b c.c + ≥ + = b+c a+c a+b b+c c+b b c b+c + ≥ a+b a Suy a + c a t at P≥ + + t a a+t Đặt t = b + c a t at a + t at + + = + ≥6 a a+t at a + t Ta có t (AM-GM) Do P ≥ (đpcm) Chú ý: Đẳng thức xảy a + t = at chẳng hạn ( a, b, c) thỏa mãn 7+3 (a; b; c ) = ;1; ÷ ÷ (HS khơng cần nêu bước này) Câu 10(2,0 điểm) a/ uuur BC = ( 5; −12 ) uuur uuur uur ( A ) ⇔ AD = BC D = TuBC xD − = xD = ⇔ ⇔ D ( 8; −11) y − = − 12 y = − 11 D D 16 uuu r d ( ( CM ) , ( AB ) ) = d ( C , ( AB ) ) = AB = ( −6;8 ) ⇒ AB = 10 ;Pt(AB): x + y − 15 = ⇒ b/ ( AB + CM ) d ( ( CM ) , ( AB ) ) S ◊ABCM = = 24 ⇒ CM = AB CD CM = = = 2 suy M trung điểm CD ⇒ M ( 5; −7 ) Do M thuộc đoạn thẳng CD, x + y − 13 = Pt (AM) là: Hết ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ Câu (3,0 điểm) Điều kiện: | www.thuvienhoclieu.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Cho hàm số y = x − 3x + hàm số y = − x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ b) Giải bất phương trình: − x2 + 4x − − >0 2x − Câu (3,0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng ∆ đường phân giác góc A có phương trình 2x + y − = ; Khoảng cách từ C đến ∆ gấp lần khoảng cách từ B đến ∆ Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung b) Cho tam giác ABC vng A, gọi α góc hai đường trung tuyến BM CN sin α ≤ tam giác Chứng minh Câu (3,0 điểm) uuur uuur uuur uuur BD = BC; AE = AC a) Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng b) Chouu tam giác ABCuurvuông A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ r uur r 2 2 2 2 thức: b IB + c IC − 2a IA = ; Tìm điểm M cho biểu thức ( b MB + c MC − 2a MA ) đạt giá trị lớn Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: + ( 6x + 2) 2x2 −1 = ( 5x2 + 4x ) b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh rằng: + + x2 + + y2 + + z + + ≤ xyz x y z Câu 5: (3,0 điểm) tan a) Cho b a b−a 3sin a = tan tan = 2 Chứng minh : − 3cos a 1 + = 0 sin 250 b) Chứng minh : cos 290 35 sin x + cos8 x = cos8 x + cos x + 64 16 64 c) Câu 6: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: 6 a) sin x + 3sin x cos x + cos x = +8 = 12 cos x + 5sin x + 14 b) + cot2x.tan x + = 6(1 − sin 2 x) cos x c) ; α Câu 7(1,0 điểm): Tìm giá trị để phương trình : 12 cos x + 5sin x + (cos α + 3sin α − 3)x + ( cos α − 3sin α − 2)x + sin α − cos α + = có nghiệm x =1 Câu 8(2,0 điểm): Điều kiện: | www.thuvienhoclieu.com r a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 Hãy xác định r phương trình d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ v 2 b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường trịn ( C) cór phương trình : x + y − 2x + 4y − = Tìm ảnh ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Câu Ý Nội dung Điểm a Cho hàm số y = x − 3x + hàm số y = − x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm đoạn thẳng AB cách trục tọa độ 1,5 Yêu cầu toán ⇒ PT sau có hai nghiệm phân biệt x − x + = − x + m hay x − x + − m = (*)có ∆ ' > ⇔ m>1 Gọi xA ; xB nghiệm (*), I trung điểm AB ta có xI = yI = − x I + m = m − Yêu cầu toán ⇔ y I = x I ⇔ m − = ⇔ m = 2; m = Kết hợp ĐK, kết luận b xA + xB =1 ; m=2 − >0 2x − (1) Giải bất phương trình: − x + x − − x + x − > ⇔ < x < 2;2 < x < x ≠ TXĐ: ⇔ (1) − x2 + x − > x < − x + x − > > x − , bất phương trình nghiệm với x: 1< x < 2 x − > < x < 3⇒ − x + x − > bất pt cho ⇔ 2x − > − x + 4x − Nếu 5 x > 2+ ;x < 2− 2 ⇔ x − 16 x + 16 > − x + x − ⇔ x − 20 x + 19 > 5 2+