bài tập ứng dụng của tích phân

Câu 1. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10ms thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D. 20m. Lời giải. Lúc dừng hẳn thì Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường là Chọn C. Câu 2. Một vật đang chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần nhất với kết quả nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải. Ta có Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc thì nên ta có Suy ra Tại thời điểm Chọn B. Câu 3. Một vật đang chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét? A. . B. . C. . D. . Câu 4. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao m so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc của khí cầu bằng bao nhiêu? A. B. C. D. Câu 5. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc (kmh) phụ thuộc vào thời gian (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng đường người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy. A. km. B. km. C. km. D. km.

A– BÀI TẬP TÍNH DIỆN TÍCH VÀ QUÃNG ĐƯỜNG Câu Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, v t  5t  10  m/s  tô chuyển động chậm dần với vận tốc   , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A 0,2m B 2m C 10m D 20m v t  �� � 5t  10  � t  Lời giải Lúc dừng hẳn   Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô quãng đường �2 s�  t  10 t  5t  10  dt  � � �  10m �2 �0 Chọn C Câu Một vật chuyển động với vận tốc 6m/s tăng tốc với gia tốc a t  m/s t 1 , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Hỏi vận tốc vật sau 10 giây gần với kết sau đây? A 14 m/s B 13m/s C 11m/s D 12 m/s v  t   � dt  3ln t   C t 1 Lời giải Ta có Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t  v  6m/s nên ta có 3ln1  C  � C  v  t   3ln t    m/s  Suy Tại thời điểm t  10 s �� � v  10   3ln11  �13m/s Chọn B   Câu Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Hỏi quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc mét? 4000 4300 m m A B 1900 m C a  t   3t  t m/s 2200 m D Câu Tại nơi khơng có gió, khí cầu đứng yên độ cao 162 m so với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v  t   10t  t  m/s  , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v khí cầu bao nhiêu? A v  5m/s B v  7m/s C v  9m/s D v  3m/s Câu Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần �1 � I � ; 8� parabol với đỉnh �2 �và trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính quảng đường s người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ chạy A s  km B s  2,3 km C s  4,5 km D s  5,3 km v t  at  bt  c Lời giải Hàm vận tốc   có dạng đường parabol qua điểm O  0;  � � c0 a  32 � � � abc  � � b  32 � �a b � c0 � �  c 8 �4 �1 � I � ; 8� �2 � A  1;  , nên suy �� � v  t   32t  32t  m/s  Vậy quảng đường người khoảng thời gian 45 phút là: s�  32t  32t  dt 4,5km Chọn C ( ) Câu Cho đồ thị hàm số hình vẽ bên Diện tích S hình phẳng phần tơ đậm hình tính theo cơng thức sau đây? y= f x A S = �f ( x) dx - B C D S = �f ( x) dx + �f ( x) dx - - S = �f ( x) dx + �f ( x) dx 0 0 S = �f ( x) dx + �f ( x) dx - Câu Cho hai hàm số y = f1 ( x) , y = f2 ( x) 1( ) hạn đường cong xác định công thức sau đây? y = f x , y = f2 ( x) a;b liên tục [ ] Diện tích hình phẳng đường thẳng x = a, x = b ( a < b) S giới b A b S = �f1 ( x) - f2 ( x) dx B a b S= C f ( x) �� � a Câu Diện tích hình phẳng S a b f2 ( x) � dx � � S=� f2 ( x) - f1 ( x) � dx � � S = �f1 ( x) + f2 ( x) dx D a giới hạn y = 2x, y = 4- x đồ thị hàm số Ox trục hồnh (như hình vẽ) tính cơng thức đây? A B 0 S = � 2xdx + � ( 4- x) dx C ( ) ( 2x dx S = � 2x - + x dx D S = � 2xdx + � ( 4- x) dx S = �4- x - ) Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: �x �4 � 2x = 4- x � � � x = 2; �2 � �x - 10x +16 = �4- x = � x = 4; � 2x = � x = Dựa vào hình vẽ, ta có S Câu Tính diện tích hình phẳng đường thẳng x = A S= B S= S = � 2xdx + � ( 4- x) dx 2- giới hạn đồ thị hàm số C S= Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: Diện tích hình phẳng: Chọn B 2 +1 D ( , trục hoành ) S = 2- x 1+ x2 = � x = CASIO S = �x 1+ x2 dx = � x 1+ x2 dx = y = x 1+ x2 2- Chọn B y = f ( x) Câu 10 Cho hàm số hàm số [1;2] y = g( x) = x f ( x liên tục � ) có đồ thị đoạn hình vẽ bên Biết phần diện tích miền S= tơ màu 2, tính giá trị tích phân I = �f ( x) dx A I = B I = C I = 10 D I = Lời giải Diện tích phần tơ màu S = �g( x) dx S= Theo giả thiết Đặt 5 � x f ( x2 ) dx = � 2 t = x �� � dt = 2xdx Khi Đổi cận: x = 1� t = � � � � �x = � t = 4 =� x f ( x2 ) dx = �f ( t) dt �� � �f ( t) dt = 21 hay �f ( x) dx = Câu 11 Cho viên gạch men có dạng hình vng OABC hình vẽ Sau tọa O 0;0 , A 0;1 , B 1;1 , C 1;0 độ hóa, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) hai đường cong hình đồ 3 thị hàm số y = x y = x Tính tỷ số diện tích phần tơ đậm so với diện tích phần cịn lại hình vng A B C D Lời giải Diện tích hình vng có cạnh S1 = 12 = m2 Chọn D 1 Diện tích phần tơ đậm : CASIO S2 = �3 x - x3 dx = Do diện tích phần cịn lại : D S = S1 - S2 = 1- = m2 S 1 = m �� � = 2 DS Chọn D Câu 23 Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng / m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A C 7.862.000 7.128.000 đồng đồng B D Giả sử elip có phương trình Từ giả thiết, ta có 7.653.000 7.826.000 đồng đồng x2 y2 + =1 a2 b2 2a = 16 �� �a= 2b = 10 �� � b = � �y = 64- x2 x y � + = 1�� �� � 64 25 y=64- x2 � � Vậy phương trình elip ( E1) ( E2 ) E , E , x =Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( 1) ( ) � 5 p 3� � � S = 2� 64- x2 dx = � 64- x2 dx = 80� + � m2 � � � � - 4 Do x= 4 B – BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn đường y = 2x – x y = Thì thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox có giá trị bằng? 16 A 15 (đvtt) 15 B 16 (đvtt) 5 C (đvtt) 6 D (đvtt) Câu 2: Thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đườn y  x  4, y  2x  4, x  0, x  quay quanh trục Ox bằng:  32 32 D A B 6 C 6 Câu 3: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường x y  x2 e2 , x  1, x  2, y  quanh trục ox là: 2 A (e  e) B (e  e) C e D e Câu 4: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y , y  0, x  1, x  x quanh trục ox là: A 6 B 4 C 12 D 8 Câu 5: Cho hình phẳng  H giới hạn đường y  sin x ; x  ; y  x   Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình  H quay quanh Ox A 2 2 B Câu 6: Cho hình phẳng giới hạn đường y  khối tròn xoay tạo thành bằng: A   B 2 C  D x y  x quay xung quanh trục Ox Thể tích C D  Câu 7: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  0, y   x quanh trục ox là: 7 A 12 13 C 6 B 6 D 2 Câu 8: Thể tích vật thể trịn xoang quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x ; x  y quanh trục ox  A 10 4 B 3 C 10  D 10 Câu 9: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 8x x = B 4 C 16 quanh trục ox là: A 12 D 8 Câu 10: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y   x , y  quanh a trục ox có kết dạng b a+b có kết là: C 31 D 25 A 11 B 17 Câu 11: Thể tích khối trịn xoay tạo nên quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y = (1- x)2, y = 0, x = x = bằng: 8 B 5 C 2 D C 3 3 D 10 A 2 Câu 12: Thể tích khối trịn xoay tạo phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y = x2 x = y2 bằng: 10 B A 10 Câu 13: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng D giới hạn đường y  x  , trục hoành, x  2, x  quanh trục Ox bằng: A �x  1dx B �  x  1 dx 2 C �  y  1 dx 2 D  x  1 dx � 2 Câu 14: Thể tích khối trịn xoay tạo lên hình phẳng (H) giới hạn đường y   x  ; y  trục Ox quay xung quanh Ox 1 � ( x  1) dx   � dx A C 1 1 1 1 1 � ( x  2) dx   � dx � ( x  2) dx   � dx B 1 D � ( x  2) dx 1 1 ... diện tích phần tơ đậm so với diện tích phần cịn lại hình vng A B C D Lời giải Diện tích hình vng có cạnh S1 = 12 = m2 Chọn D 1 Diện tích phần tơ đậm : CASIO S2 = �3 x - x3 dx = Do diện tích. .. ) có đồ thị đoạn hình vẽ bên Biết phần diện tích miền S= tơ màu 2, tính giá trị tích phân I = �f ( x) dx A I = B I = C I = 10 D I = Lời giải Diện tích phần tơ màu S = �g( x) dx S= Theo giả thiết... ( E2 ) E , E , x =Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( 1) ( ) � 5 p 3� � � S = 2� 64- x2 dx = � 64- x2 dx = 80� + � m2 � � � � - 4 Do x= 4 B – BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH Câu 1: Cho hình phẳng