Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 1 phan văn tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mơ Khí tượng 10:04:54 GIỚI THIỆU • “Lý thuyết xác suất & thống kê toán học” môn học bổ sung cho sinh viên ngành Khí tượng, Thủy văn Hải dương học: o o o • • • Phương pháp tính Cơ chất lỏng Lý thuyết xác suất & thống kê toán học Số đơn vị học trình: (45 tiết) Tài liệu tham khảo: Hình thức thi: Vấn đáp (Lý thuyết + Bài tập) 10:04:54 QUI ƯỚC Tuyệt đối không sử dụng điện thoại di động học 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ NHN THỨC N EWTON • • Trong thực tế thường gặp toán: Cho tập hợp hữu hạn, đòi hỏi ghép phần tử lại thành nhóm theo quy luật tuỳ thuộc vào nội dung tốn, tính số nhóm tạo thành Giải tích tổ hợp ngành tốn học chun nghiên cứu loại toán 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON 1.1 Chỉnh hợp • Ví dụ: Cho ba chữ số 2, 3, Hỏi tạo số có chữ số khác từ ba chữ số cho • Giải: Từ số o o o Lấy ghép với với ta 23, 25; Lấy ghép với với ta 32, 35; Lấy ghép với với ta 52, 53 Kết ta thu số tất o o Để ý số tạo thành nhóm có thứ tự gồm số cho Mỗi nhóm gọi chỉnh hợp chập từ phần tử 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON Định nghĩa Ta gọi chỉnh hợp chập k từ n phần tử cho (k < n) nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phân tử cho • N hư từ n phần tử ta tạo nên nhiều chỉnh hợp • N ếu dùng ngơn ngữ tập hợp chỉnh hợp chập k từ n phần tử tập thứ tự tập hợp n phần tử cho • Số lượng chỉnh hợp chập k tạo nên từ n phần ký hiệu Ank 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON Cơng thức tổng qt tính Ank • Giả sử tập cho gồm n phần tử a1, a2 an • Với k=1: Mỗi phần tử đứng riêng coi chỉnh hợp chập • N hư vậy: An1 = n • Với k=2: lấy chỉnh hợp chập (nghĩa phần tử ai) đem ghép với n − phần tử lại tạo n − chỉnh hợp chập • N hư vậy: An2 = n(n-1) • Tương tự ta có: An3 = n(n-1)(n-2) • Hay, tổng qt: Ank = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) • Cũng thu cơng thức theo cách khác: o o Ta có n cách chọn phần tử đứng đầu, kết hợp với (n-1) cách chọn phần tử đứng thứ hai, v.v., kết hợp với (n-k+1) cách chọn phần tử đứng thứ k Vì có tất n(n − 1) (n − k + 1) chỉnh hợp chập k n 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON Ví dụ 1: Tính A53 • Ta có: A53 = 5.4.(5−3+1) = 5.4.3 = 60 Ví dụ Một lớp phải học 10 môn, ngày học môn Hỏi có cách xếp thời khóa biểu ngày • Một cách xếp thời khố biểu ngày việc ghép môn 10 môn với o o • • mơn phải khác với nhóm mơn thứ tự xếp khác khác Vì cách xếp ứng với chỉnh hợp chập 10 phần tử Vậy, có tất A102 = 10.(10-2+1) = 10.9 = 90 (cách) 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON 1.2 Chỉnh hợp lặp • Trong định nghĩa chỉnh hợp, đòi hỏi phần tử có mặt nhóm khơng q lần N ếu bỏ qua hạn chế ta có khái niệm chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho, phần tử có mặt 1, 2, , k lần nhóm tạo thành Chú ý: Vì phần tử xuất nhiều lần chỉnh hợp lặp nên k lớn n 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • Ví dụ: Cho ba chữ số 2, 3, Hỏi tạo số có chữ số từ ba chữ số cho Giải: Từ số • Lấy ghép với 2,3,5 ta 22, 23, 25; o Lấy ghép với 2,3,5 ta 32, 33, 35; o Lấy ghép với 2,3,5 ta 52, 53, 55 o Kết ta thu số tất o Để ý số tạo thành nhóm gồm chữ số khơng thiết khác lấy từ số cho chữ số xuất lần o Mỗi nhóm gọi chỉnh hợp lặp chập từ phần tử ~k Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử ký hiệu An • o 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • • Ví dụ 1: Để đăng ký số máy cho loại máy mới, người ta dùng số số: 1,2,3 ,9 Hỏi đánh số máy? Giải: Ở số máy máy chỉnh hợp lặp chập từ phần tử cho Vậy, số lượng máy ~3 đánh số A = 93 = 729 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • • Ví dụ Để truyền tin tín hiệu mc-xơ gồm hai ký hiệu chấm (.) vạch (−), người ta mã hoá chữ bảng chữ thành nhóm có thứ tự gồm khơng q ký hiệu Biết ký hiệu có mặt nhiều lần nhóm có thứ tự tạo thành Hỏi mã chữ ? Giải: Mỗi nhóm có thứ tự gồm k ký hiệu (1 ≤ k ≤ 4) tạo nên chỉnh hợp lặp chập k từ phần tử cho (hai phần tử ký hiệu chấm (.) vạch (−)) Vì số chữa mã là: ~1 ~ ~ ~ A2 + A2 + A2 + A2 = 21 + 2 + 23 + = + + + 16 = 30 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • • Ví dụ Mỗi ký tự bảng mã ASCII (American Standard Code for Information Interchange) tạo thành dãy bit Bit đại lượng trạng thái; hệ số nhị phân nhận hai giá trị (0, 1) Hỏi có ký tự bảng mã ASCII? Giải: Trong hệ số nhị phân, số thứ tự ký tự bảng mã ASCII xác định dãy chữ số 0-1 Các số 0000 0000, 0000 0001,…, 1111 1110, 11111111 Tức số ký tự bảng mã ASCII ~8 A2 = 28 = 256 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • • Ví dụ Trong máy tính, số ngun có dấu số tạo dãy bit (0-1), bit xác định dấu (1- âm, 0- dương), dãy bit xác định giá trị số Hãy cho biết giá trị lớn nhất, nhỏ (phạm vi biến thiên) của: 1) Số nguyên byte (8 bit); 2) Số nguyên byte (16 bit); 3) Số nguyên byte (32 bit); 4) Số nguyên byte (64 bit) Giải: Về nhà 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON 1.3 Hoán vị Định nghĩa: Hoán vị n phần tử nhóm có thứ tự gồm đầy đủ tất phần tử cho • Các hốn vị n phần tử khác thứ tự xếp phần tử • Một hốn vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phân tử • Do số hốn vị tạo nên từ n phần tử Pn = Ann = n(n-1)(n-2)…(n-n+1) = n(n-1)(n-2)…3.2.1 Pn = n! 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • • • • Ví dụ Một phịng thi có 30 chỗ ngồi Hỏi có cách đánh số báo danh cho 30 thí sinh? Giải: Số cách đánh số báo danh số hoán vị 30 vị trí Vậy có tất 30! cách đánh Ví dụ 2: Phịng họp có n chỗ ngồi bố trí theo hình chữ U hướng bàn chủ tọa Trong số n người đến dự có hai người quen Hỏi có cách xếp chỗ ngồi để hai người ngồi cạnh nhau? Giải: Hai người quen ngồi cạnh xem bị “ghép đơi” thành người Do đó, số cách xếp số hoán vị (n-1), tức 2(n-1)! 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • • Ví dụ Trong số n người đến dự “hội nghị bàn trịn” có hai người quen Hỏi có cách xếp chỗ ngồi để hai người ngồi cạnh nhau? Giải: Về nhà 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON 1.4 Tổ hợp Định nghĩa: Tổ hợp chập k từ n phần tử (k ≤ n) nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác trích từ n phần tử cho • Cũng hiểu tổ hợp chập k tập gồm k phần tử tập n phần tử cho • Một tổ hợp chỉnh hợp, chỉnh hợp khác thứ tự xếp coi tổ hợp k C • Số tổ hợp chập k từ n phần tử ký hiệu n 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON k C Cơng thức tổng qt tính n • • • • • Giả sử từ n phần tử cho ta tính Cnk tổ hợp chập Mỗi tổ hợp tập gồm k phần tử trích từ n phần tử ban đầu, khơng thự tự Đối với tổ hợp ta tiến hành hoán vị phần tử theo cách tất k! chỉnh hợp N hư Cnk tổ hợp có tất k!Cnk chỉnh hợp chập k, tức là: k!Cnk = Ank Ank n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) Hay k = C = n k! k! 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • Biến đổi lại ta có: Ank n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) C = = k! k! k n Ank n(n − 1)(n − 2) ( n − k + 1)(n − k )(n − k − 1) 2.1 n! C = = = k! k!( n − k )! k!( n − k )! k n • • Ví dụ: Một giải bóng đá tổ chức thành bảng A, B, C, D, E, bảng có đội Trong vịng loại, đội bảng thi đấu theo thể thức “đấu vịng” Hỏi có tất trận đấu vòng loại? Giải: Trong bảng, trận đấu ứng với nhóm gồm phần tử phần tử (không biệt thứ tự) Vì bảng có số trận đấu 6! 6.5.4! 6.5 C6 = • 2!(6 − 2)! = 2.4! = Ỵ Có tất 15 x = 75 trận đấu loại = 15 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • Các tính chất tổ hợp • Sử dụng công thức Ank n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1)(n − k )(n − k − 1) 2.1 n! C = = = k! k!(n − k )! k!(n − k )! k n • dễ dàng suy ra: Cn0 = Cnn = C =C k n k −1 n −1 C =C k n n−k n +C k n −1 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON 1.5 Nhị thức Newton (a + b) = a + 2ab + b Một số đẳng thức đáng nhớ quen thuộc (a + b) = a + 3a 2b + 3ab + b (a − b) = a − 2ab + b (a − b) = a − 3a 2b + 3ab − b • • • Bằng phép nhân đa thức thu khái triển (a+b)4, (a+b)5, (a-b)4, (a-b)5, Ỵ Cần xác định biểu thức tổng quát tính (a+b)n, với n nguyên dương Để ý số mũ biểu thức vế trái có mối liên hệ với số mũ hệ số hạng tử vế phải: o o o Tổng số mũ nhân tử hạng tử số mũ vế trái (n) Số mũ a vế phải giảm dần từ n đến 0, b tăng từ đến n Các hệ số tuân theo qui luận mà ta cần xác định qui luật 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON 1.5 Nhị thức Newton Công thức tổng quát n(n − 1) n − 2 n(n − 1) (n − k + 1) n − k k a b + + a b + + b n (a + b) = a + na b + k! n Để ý: Do đó: n n −1 n(n − 1) (n − k + 1) = Cnk k! (a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n − 2b + + Cnk a n − k b k + + Cnnb n Hay gọn hơn: n (a + b) n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON 1.5 Nhị thức Newton n (a + b) = ∑ Cnk a n − k b k n k =0 (x+a)0 1 1 … (x+a)2 … (x+a)1 … (x+a)3 1 (x+a)4 … … (a + b) = 1a 4b + 4a 3b1 + 6a 2b + 4a1b + 1a 0b (a + b) = a + 4a 3b + 6a 2b + 4ab + b 10:04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON Một số tập: 10:04:54 ... ASCII xác định dãy chữ số 0 -1 Các số 0000 0000, 0000 00 01, …, 11 11 111 0, 11 111 111 Tức số ký tự bảng mã ASCII ~8 A2 = 28 = 256 10 :04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN... • ? ?Lý thuyết xác suất & thống kê tốn học? ?? mơn học bổ sung cho sinh viên ngành Khí tượng, Thủy văn Hải dương học: o o o • • • Phương pháp tính Cơ chất lỏng Lý thuyết xác suất & thống kê tốn học. .. số hốn vị tạo nên từ n phần tử Pn = Ann = n(n -1 ) (n-2)…(n-n +1) = n(n -1 ) (n-2)…3.2 .1 Pn = n! 10 :04:54 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON • • • • Ví dụ Một phịng