Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 6 PGS TS trần lộc hùng

Ước lượng vữngVí dụ 1 Trung bình mẫu X là một ước lượng vững của tham số µ, vì... Chú ýcó thể dễ dàng kiểm tra các phương sai của các ước lượng không chệch khác của tham số θ Crame-Rao..

Trang 1

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

PGS.TS Trần Lộc Hùng

Tp Hồ Chí Minh, 10/ 2013

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETINGKHOA CƠ BẢN, BỘ MÔN TOÁN-THỐNG KÊ

Trang 3

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

PGS.TS Trần Lộc Hùng

Tp Hồ Chí Minh, 10/ 2013

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

Trang 4

Từ khóa (Key Words)

Ước lượng tham số

Độ tin cậyKhoảng ước lượng

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 4 / 60

Trang 5

Độ tin cậy

Khoảng ước lượng

Trang 6

Độ tin cậy

Khoảng ước lượng

Trang 7

Chương 6 Ước lượng tham số tổng thể

Trang 8

Trang 9

Trang 10

Trang 11

Trang 12

Đặt vấn đề

Giả sử ωn= {X1, X2, , Xn} là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫu

nhiên X có quy luật xác suất Q(x , θ) Vấn đề đặt ra là:

ˆ

θ = f (ωn) = f (X1, X2, , Xn)

Trang 13

Đặt vấn đề

Giả sử ωn= {X1, X2, , Xn} là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫu

nhiên X có quy luật xác suất Q(x , θ) Vấn đề đặt ra là:

ˆ

θ = f (ωn) = f (X1, X2, , Xn)

Trang 14

Đặt vấn đề

Giả sử ωn= {X1, X2, , Xn} là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫunhiên X có quy luật xác suất Q(x , θ) Vấn đề đặt ra là:

ˆ

θ = f (ωn) = f (X1, X2, , Xn)

Trang 15

6.1 Ước lượng điểm

Trang 16

Ước lượng không chệch

2 Nếu E (ˆθ) 6= θ, thì thống kê ˆθ là ước lượng chệch so với tham số θ

Trang 17

Trang 18

j =1

Xj) = 1n

nX

Trang 19

j =1

Xj) = 1n

nX

j =1

E (Xj) = µ

Trang 20

j =1

2 n

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Trang 24

Trang 25

Trang 28

Ước lượng vững

Định lý 1

Trang 29

Định lý 1

Trang 30

Trang 32

Ví dụ 1

Trung bình mẫu X là một ước lượng vững của tham số µ, vì

Trang 33

Ví dụ 1

Trung bình mẫu X là một ước lượng vững của tham số µ, vì

Trang 34

Ví dụ 2

Trang 35

Ước lượng hiệu quả

Định nghĩa

Trang 36

Định nghĩa

Trang 37

Định nghĩa

nhất của tham số θ

Trang 38

Chú ý

có thể dễ dàng kiểm tra

các phương sai của các ước lượng không chệch khác của tham số θ

Crame-Rao

Trang 39

Chú ý

Crame-Rao

Trang 40

Chú ý

Crame-Rao

Trang 41

Bất đẳng thức thông tin Crame-Rao

Trang 42

Bất đẳng thức thông tin Crame-Rao

Trang 43

Kết luận

quả) của tham số θ, nếu

nIn(θ)

Trang 44

Ví dụ 1

quả của tham số µ

Trang 46

Trang 48

Trang 53

Ước lượng hợp lý cực đại

Định nghĩa 1

Hàm L(X1, X2, , Xn, θ) =Qnj =1pXj(x , θ) được gọi là hàm hợp lý củatham số θ

Định nghĩa 2

hàm hợp lý L(X1, X2, , Xn, θ) đạt giá trị cực đại (địa phương) tại điểm θ

Trang 54

Thuật toán Fisher tìm ước lượng hợp lý cực đại

Trang 55

Giải thích

thì dxdf (x0) = 0 (Điều ngược lại không đúng)

x0 và f (x0) < 0, thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số f

4 Vì vậy mà Fisher đã xét điểm cực đại của hàm ln L(X1, X2, , Xn, θ)thay cho hàm L(X1, X2, , Xn, θ) > 0.

Trang 56

Ví dụ 1

cực đại của tham số µ

Trang 61

Ví dụ 2

Xin mời các bạn giải ví dụ 2!

Trang 62

Chú ý

Trung bình mẫu X là các ước lượng tốt cho tham số µ của tổng thể

1 là ước lượng không chệch của tham số µ

2 là ước lượng vững của tham số µ

3 là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ

4 là ước lượng hiệu quả của tham số µ

Vì vậy, trong nhiều bài toán thống kê mà biến ngẫu nhiên X có phân

cho trung bình tổng thể µ

Trang 63

Chú ý

Trang 64

Chú ý

Trang 65

Chú ý

là ước lượng hiệu quả của tham số µ

Trang 66

Chú ý

Trang 67

Chú ý

Trang 68

Ước lượng mô men

Định nghĩa

nghiệm của hệ phương trình

Trang 69

Định nghĩa

nghiệm của hệ phương trình

ˆ

ở đây, ˆµj = En(Xj) = 1nPni =1Xij là mô men mẫu cấp j, j = 1, 2,

và µj = E (Xj) =Pni =1xijpi là mô men tổng thể cấp j , j = 1, 2,

Trang 70

Ví dụ 1

Trang 71

Trung bình mẫu X là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ.

2 Phương sai mẫu S 2 là ước lượng mô men của phương sai tổng thể σ 2

Trang 72

Suy ra,

Trang 73

Trang 74

1 Trung bình mẫu X là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ.

2 Phương sai mẫu S là ước lượng mô men của phương sai tổng thể σ

Trang 75

1 Trung bình mẫu X là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ.

Trang 76

6.2 Ước lượng khoảng

Trang 77

Đặt vấn đề

Bài toán

Giả sử X ∼ F (x , θ), θ là tham số chưa biết, cần ước lượng Từ mẫu

ωn= {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê ˆθ1 và ˆθ2,sao cho

Xác suất γ ∈ (0, 1) được gọi là độ tin cậy cho khoảng ước lượng

ˆ1; ˆθ2

Trang 78

Đặt vấn đề

Bài toán

Giả sử X ∼ F (x , θ), θ là tham số chưa biết, cần ước lượng Từ mẫu

Trang 79

Xác suất γ ∈ (0, 1) thường được chọn gần 1 như

Trang 80

Các thống kê ˆθ1 và ˆθ2 thường được chọn nếu chúng là ước lượng tốtcho tham số cần ước lượng θ

Trang 81

Các thống kê ˆθ1 và ˆθ2 thường được chọn nếu chúng là ước lượng tốtcho tham số cần ước lượng θ

Trang 82

Trang 83

Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể

Bài toán 1

Mẫu được chọn với cỡ n đủ lớn, trong thực tế mẫu có n ≥ 30 đượccoi là mẫu lớn

Trang 84

Bài toán 1

Trang 85

Cơ sở lý thuyết

Định lý 1

Giả sử (X1, X2, , Xn) là mẫu sinh ra từ n quan sát độc lập của một biến

phối tiệm cận chuẩn khi n → ∞, tức là

Trang 86

ωn= {X1, X2, , Xn}

Trang 87

Trang 88

Φ0(zγ

2) = γ2

Trang 89

Φ0(zγ

2) = γ2Hàm Laplace

1

√2π

0

e−12 y 2

dy

Trang 93

Ví dụ 1

Thống kê số phút đi làm muộn của một cơ quan, có kết quả sau X số

Cho biết X ∼ N(µ, σ = 0.1) Với độ tin cậy 0.95 hãy xác định khoảng

ước lượng đối xứng cho số phút đi làm muộn trung bình

Để sai số ước lượng không vượt quá = 0.01 với độ tin cậy 0.99 thìcần quan sát một mẫu có cỡ bao nhiêu?

Trang 94

Trang 95

Bài toán 2

tham số µ Từ mẫu ωn= {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê ˆθ1 và

Trang 96

Bài toán 2

tham số µ Từ mẫu ωn= {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê ˆθ1 và

Trang 97

Giải thích

ˆ

S2 n

√

n ∼ Tn−1

có phân phối Student với n-1 bậc tự do

Trang 98

Giải thích

ˆ

S2 n

√

n ∼ Tn−1

có phân phối Student với n-1 bậc tự do

Trang 99

Giải thích

ˆ

S2 n

√

n ∼ Tn−1

Trang 100

Trang 101

Trang 102

Trang 103

Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể khi chưa biết σ2

Trường hợp mẫu nhỏ, n < 30 cũng thường sử dụng phân phốiStudent để ước lượng

Chú ý khi n lớn thì các phân vị chuẩn và student trùng nhau (theođịnh lý tiệm cận chuẩn của phân phối Student), hay

tγ

2

Trang 104

Trường hợp mẫu nhỏ, n < 30 cũng thường sử dụng phân phối

Student để ước lượng

Trang 105

Trường hợp mẫu nhỏ, n < 30 cũng thường sử dụng phân phối

Student để ước lượng

tγ

2

Trang 106

Ví dụ 2

Thống kê số phút (X) đi vào lớp muộn của sinh viên một trường đại học,

có kết quả thống kê sau

lượng đối xứng cho số phút vào lớp muộn trung bình của sinh viên

Xét trường hợp tần suất nj có giá trị 1 cho tất cả giá trị của X

Trang 107

Ví dụ 2

Thống kê số phút (X) đi vào lớp muộn của sinh viên một trường đại học,

có kết quả thống kê sau

Trang 108

Khoảng ước lượng cho xác suât tổng thể p

Bài toán 3

Giả sử X ∼ Bn(p), p ∈ (0, ) Từ mẫu ωn= {X1, X2, , Xn}, xác định hai

thống kê ˆθ5 và ˆθ6,sao cho

Mẫu sinh ra từ phép thử Bernoulli, với xác suất thành công p ∈ (0, 1)

Sử dụng định lý tiệm cận chuẩn (chương 5)

Trang 109

Mẫu sinh ra từ phép thử Bernoulli, với xác suất thành công p ∈ (0, 1)

Sử dụng định lý tiệm cận chuẩn (chương 5)

Trang 110

Cơ sở lý thuyết

Định lý 3

Giả sử tiến hành n quan sát độc lập, với xác suất thành công của mỗiquan sát là p, p ∈ (0, 1) Gọi k là số quan sát thành công trong n quansát, 0 ≤ k ≤ n Khi đó, biến ngẫu nhiên Z =

k

n −p

√p(1−p)

√

n có phân phốitiệm cận chuẩn khi n → ∞, tức là

lim

n− ppp(1 − p)

Trang 111

Bài toán 3

suất tổng thể p với độ tin cậy γ xác định bởi

fn− zγ 2

rfn(1 − fn)

n < p < fn+ zγ2

rfn(1 − fn)n

Trang 112

Bài toán 3

suất tổng thể p với độ tin cậy γ xác định bởi

fn− zγ 2

rfn(1 − fn)

n < p < fn+ zγ2

rfn(1 − fn)n

Trang 113

Ví dụ 3

Thăm dò 1500 sinh viên học năm thứ nhất hệ tín chỉ, có 30 sinh viên gặp

khó khăn trong phương pháp học Với độ tin cây 0.90 hãy ước lượng tỷ lệ

sinh viên gặp khóa khăn trong phương pháp học trong toàn trường

gọi p là tỷ lệ sinh viên gặp khó khăn trong phương pháp học của toàn

z0.45= 1.65

Khoảng ước lượng cho p với độ tin cậy 0.9 là

0.02 − 1.65

r0.02(1 − 0.02)

r0.02(1 − 0.02)1500

Trang 114

Ví dụ 3

Thăm dò 1500 sinh viên học năm thứ nhất hệ tín chỉ, có 30 sinh viên gặpkhó khăn trong phương pháp học Với độ tin cây 0.90 hãy ước lượng tỷ lệsinh viên gặp khóa khăn trong phương pháp học trong toàn trường

gọi p là tỷ lệ sinh viên gặp khó khăn trong phương pháp học của toàn

z0.45= 1.65

Khoảng ước lượng cho p với độ tin cậy 0.9 là

0.02 − 1.65

r0.02(1 − 0.02)

r0.02(1 − 0.02)1500

Định dạng
Số trang	124
Dung lượng	0,99 MB