Chứng minh định lý bất biến dickson của steinberg

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI VIỆT ĐỨC CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN DICKSON CỦA STEINBERG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN ĐẶNG HỒ HẢI Huế, Năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Bùi Việt Đức ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu, xin gửi đến TS Nguyễn Đặng Hồ Hải lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt q trình Thầy giảng dạy lớp Cao học K23 q trình tơi hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn tất quý thầy, khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Huế Chân thành cảm ơn Anh, Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt Anh, Chị chuyên ngành Đại số lý thuyết số tất bạn bè ln hỗ trợ tơi suốt q trình tơi học tập Cuối xin cảm ơn Bố, Mẹ tồn thể gia đình tơi-những người động viên tơi nhiều động lực giúp tơi hồn thành Luận văn Mặc dù cố gắng Luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong thầy giáo bạn đánh giá, góp ý để Luận văn hồn chỉnh Bùi Việt Đức iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời mở đầu Đại số bất biến Dickson 1.1 Nhóm tuyến tính tổng qt trường hữu hạn 1.2 Tác động nhóm tuyến tính tổng quát lên đại số đa thức 1.3 Phát biểu định lý Dickson 11 1.4 Ví dụ minh họa với n = 1, 13 Chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg 14 2.1 Định lý Steinberg 14 2.2 Hai bổ đề phụ trợ 15 2.3 Chứng minh mệnh đề (ar ) (br ) Định lý Steinberg 18 2.4 Chứng minh mệnh đề (cr ) Định lý Steinberg 21 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 LỜI MỞ ĐẦU Cố định số nguyên tố p xét đại số đa thức S := Fq [x1 , , xn ] trường hữu hạn Fq với q lũy thừa p Bằng cách đồng nhóm tuyến tính tổng quát G := GL(n, Fq ) với nhóm tự đẳng cấu tuyến tính khơng gian véc tơ V := Fq x1 , , xn , ta thu tác động nhóm G lên đại số đa thức S Đại số S G gồm đa thức S bất biến tác động G xác định lần L Dickson [1] vào năm đầu kỉ 20 Cụ thể, Dickson chứng minh S G đại số đa thức S G = Fq [Qn,0 , , Qn,n−1 ] Qn,r , ≤ r ≤ n − 1, đa thức biến x1 , , xn xác định đẳng thức sau đây: n−1 qn (t − a1 x1 − · · · − an xn ) = t (a1 , ,an )∈Fn q r (−1)n−r Qn,r tq + r=0 Các đa thức Qn,r , ≤ r ≤ n − 1, gọi bất biến Dickson đại số Fq [Qn,0 , , Qn,n−1 ] gọi đại số bất biến Dickson nhóm GLn (Fq ), hay cho gọn đại số Dickson GLn (Fq ) Những cơng trình Milgram–Man, Singer, Adams–Wilkerson, Rector, Lam, Mùi, Smith–Switzer (xem tài liệu tham khảo [6]) cho thấy đại số Dickson đóng vai trò quan trọng lý thuyết bất biến modular nhóm tuyến tính tổng qt tơ pô đại số Chứng minh nguyên thủy Dickson phức tạp Sau nhiều chứng minh khác đề xuất, kể đến chứng minh Ore (1933), nhóm Bourbaki (1968) Wilkerson (1983) Robert Steinberg, tác giả biểu diễn Steinberg [4] tiếng lý thuyết biểu diễn nhóm, đề xuất chứng minh khác báo [5] cho định lý Dickson Theo Steinberg, chứng minh đơn giản chứng minh có, điểm đặc biệt cho phép đồng thời kết luận S G đại số đa thức khẳng định S mô đun tự vành S G với sở gồm đơn thức xi11 · · · xinn ≤ ir < q n − q r−1 với r Sự kiện S mô đun tự S G thú vị từ quan điểm lý thuyết biểu diễn nhóm tuyến tính tổng qt, theo kết S Mitchell, Fq ⊗S G S có nhân tử hợp thành với biểu diễn quy Fq [G], việc khảo sát Fq ⊗S G S biểu diễn modular G vấn đề mở Với đề tài "Chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg", mong muốn tìm hiểu bất biến nhóm tuyến tính tổng qt đồng thời tìm hiểu làm sáng tỏ phép chứng minh Steinberg cho định lý bất biến Dickson Trong tương lai, điều kiện cho phép, mong muốn sử dụng kiến thức tìm hiểu luận văn để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm tuyến tính tổng quát Luận văn bao gồm hai chương Chương Đại số bất biến Dickson Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày nhóm tuyến tính tổng quát GLn (Fq ) trường hữu hạn, tác động GLn (Fq ) lên đại số đa thức Fq [x1 , , xn ] Sau phát biểu Định lý bất biến Dickson minh họa cho trường hợp n = 1, Chương Chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg Trong chương chúng tơi trình bày chứng minh Steinberg dựa theo báo [5] Trước hết phát biểu kết tổng quát, gồm ba phần, Steinberg mà trường hợp riêng hai phần đầu Định lý Dickson Sau để trình bày chứng minh kết tổng quát này, trình bày hai bổ đề phụ trợ liên quan đến bất biến Dickson Tiếp theo chúng tơi trình bày chứng minh hai phần đầu Định lý Steinberg, dựa hai bổ đề phụ trợ dựa kết sau lý thuyết mở rộng trường: (1) Mở rộng trường LG ⊂ L có bậc |G| G nhóm hữu hạn nhóm tự đẳng cấu trường L Phần thứ ba Định lý Steinberg nói tính độc lập đại số tập đa thức P1 , , Pn Fq [x1 , , xn ] Điều chứng minh sau dựa hai bổ đề phụ trợ dựa kiện sau bậc siêu việt: (2) Nếu mở rộng trường Fq (P1 , , Pn ) ⊂ Fq (x1 , , xn ) mở rộng đại số bậc siêu việt Fq (P1 , , Pn ) Fq n, P1 , , Pn độc lập đại số trường Fq CHƯƠNG Đại số bất biến Dickson Trong chương này, ta mô tả tác động nhóm tuyến tính tổng qt GLn (Fq ) lên đại số đa thức Fq [x1 , , xn ] cảm sinh tác động tự nhiên GLn (Fq ) lên Fq -không gian véc tơ với sở x1 , , xn Sau đó, ta phát biểu định lý Dickson mô tả tất đa thức bất biến tác động nhóm GLn (Fq ), nêu ví dụ minh họa cho trường hợp n = 1, Chứng minh Định lý Dickson Steinberg trình bày chương sau 1.1 Nhóm tuyến tính tổng quát trường hữu hạn Cố định p số nguyên tố q môt lũy thừa p Nhắc lại rằng, sai khác đẳng cấu, tồn trường hữu hạn có q phần tử Khi q = p, Fp ∼ = Z/pZ, Z/pZ trường số nguyên modulo p với phép tốn thơng thường Khi q = pk , k > 1, trường Fq đẳng cấu với Fp [x]/(f ) f đa thức bất khả quy bậc k vành đa thức Fp [x] Lưu ý rằng, trường hữu hạn Fq có đặc số p, nên ta có đẳng thức sau (x + y)p = xp + y p , tổng quát hơn, m m m (x + y)p = xp + y p , với x, y ∈ Fq , với m ∈ N Điều có hệ số nhị p thức , ≤ i ≤ p − 1, chia hết cho p i Định nghĩa 1.1.1 Với số nguyên dương n, kí hiệu GLn (Fq ) tập hợp ma trận vuông cấp n khả nghịch với hệ số trường hữu hạn Fq Tập GLn (Fq ) với phép toán nhân ma trận nhóm, gọi nhóm tuyến tính tổng quát cấp n trường hữu hạn Fq Với n = 1, GL1 (Fq ) ∼ = F× q nên GL1 (Fq ) có q − phần tử Trong trường hợp tổng quát, số phần tử GLn (Fq ) cho bởi: Mệnh đề 1.1.2 Nhóm GLn (Fq ) có (q n − 1)(q n − q) (q n − q n−1 ) phần tử Chứng minh Mỗi phần tử GLn (Fq ) đồng với có thứ tự gồm n véc tơ cột a1 , a2 , , an độc lập tuyến tính khơng gian Fnq Vì véc tơ a1 thuộc Fnq khác véc tơ khơng nên có q n − cách chọn a1 Tương tự, véc tơ a2 độc lập tuyến tính với a1 nên a2 khơng thuộc khơng gian Fnq sinh a1 , có q n − q cách chọn a2 Tiếp tục trình này, chọn véc tơ a1 , , ai−1 , ta có q n − q i−1 cách chọn véc tơ khơng thuộc khơng gian Fnq sinh a1 , , ai−1 Mệnh đề chứng minh tự đồng cấu tuyến tính Fq [x1 , , xn ] Như thế, tác động biến Fq [x1 , , xn ] thành mơ đun phân bậc vành nhóm Fq [GLn (Fq )] Ví dụ 1.2.4 Cho n = 1, nhóm tuyến tính tổng qt cấp trường Fq GL1 (Fq ) = {(a)|a ∈ Fq × } Chẳng hạn với g = (a) ∈ GL1 (Fq ), P (x) = x2 + x + ∈ Fq [x], ta có gP (x) = (ax)2 + ax + Ví dụ 1.2.5 Cho n = 2, nhóm tuyến tính tổng qt cấp trường Fq       a b    GL2 (Fq ) =   |a, b, c, d ∈ Fq , ad − bc =    c d  Nhóm tuyến tính tổng quát GL2 (Fq ) tác động lên đại số đa thức Fq [x1 , x2 ] sau: gP (x1 , x2 ) = P (ax1 + bx2 , cx1 + dx2 )   a b  P (x1 , x2 ) ∈ Fq [x1 , x2 ], g =   ∈ GL2 (Fq ) c d Chẳng hạn với p = 2, P (x1 , x2 ) = x1 + x1 x2 + x22 , ma trận g = 10   a b    ∈ GL2 (F2 ) tác động lên đa thức P sau: c d gP =(ax1 + bx2 )2 + (ax1 + bx2 )(cx1 + dx2 ) + (cx1 + dx2 )2 =ax1 + bx22 + acx1 + adx1 x2 + bdx22 + cx1 + dx22 + bcx1 x2 =(a + ac + c)x1 + (ad + bc)x1 x2 + (b + bd + d)x22 =x1 + x1 x2 + x22 =P Như g(x1 + x1 x2 + x22 ) = x1 + x1 x2 + x22 với g ∈ GL2 (F2 ) Khi ta nói đa thức P = x1 + x1 x2 + x22 đa thức bất biến tác động nhóm GL2 (F2 ) Định lý Dickson phát biểu mô tả tất đa thức thuộc Fq [x1 , , xn ] bất biến tác động nhóm GLn (Fq ) 1.3 Phát biểu định lý Dickson Tập đa thức Fq [x1 , x2 , , xn ] bất biến tác động nhóm GLn (Fq ) ký hiệu Fq [x1 , , xn ]GLn (Fq ) Rõ ràng Fq [x1 , , xn ]GLn (Fq ) đại số đại số Fq [x1 , , xn ] GLn (Fq ) Định lý 1.3.1 (Định lý bất biến Dickson) Đại số Fq [x1 , xn ] đại số đa thức: GLn (Fq) Fq [x1 , xn ] = Fq [I0 , I1 , , In−1 ], 11 Ir , ≤ r ≤ n − 1, đa thức biến x1 , x2 , , xn xác định công thức sau đây: x1 x2 xn xq1 xq2 xqn xq2 r+1 xq2 xq1 n Ir = [0, 1, · · · , rˆ, · · · , n] := [0, 1, · · · , n − 1] r+1 n xq1 xq2 r−1 xqn xqn xqn r+1 n x1 x2 xn xq1 xq2 xqn n−1 xq1 Nhận xét 1.3.2 r−1 r−1 xq1 ··· n−1 xq2 n−1 xqn 1) Mặc dù bất biến Ir cho dạng phân thức, chương sau ta thấy chúng thật đa thức thuộc Fq [x1 , , xn ] 2) Các đa thức Ir gọi bất biến Dickson nhóm GLn (Fq ) đại số Fq [I0 , I1 , , In−1 ] gọi đại số bất biến Dickson hay đại số Dickson nhóm GLn (Fq ) Vì Ir phụ thuộc vào tham số n, tài liệu sau này, người ta hay kí hiệu Ir thành Dn,r , để Dickson, Qn,r [6] 12 1.4 Ví dụ minh họa với n = 1, Ví dụ 1.4.1 Với n = 1, ta có I0 = GL1 (Fq ) [1] xq1 = = xq−1 [0] x1 = Fq [xq−1 ] Vậy Fq [x1 ] Ví dụ 1.4.2 Với n = 2, I0 , I1 cho đa thức sau: xq1 xq1 [1, 2] I0 = = [0, 1] xq2 xq2 x1 x2 2 xq1 xq2 − xq1 xq2 = (x1 xq2 − xq1 x2 )q−1 , = x1 xq2 − xq1 x2 xq1 xq2 x1 xq1 [0, 2] I1 = = [0, 1] x2 xq2 x1 x2 2 x1 xq2 − xq1 x2 (q−1)i (q−1)j = = x1 x2 q q x1 x2 − x1 x2 i+j=q xq1 xq2 Như vậy, theo định lý Dickson, ta có GL2 (Fq ) Fq [x1 ,x2 ] (q−1)i (q−1)j x2 = Fq (x1 xq2 − xq1 x2 )q−1 , x1 i+j=q Cụ thể với q = 2, ta có GL2 (F2 ) F2 [x1 ,x2 ] = F2 [x1 x22 + x21 x2 , x1 + x1 x2 + x22 ] 13 CHƯƠNG Chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg Trong chương này, ta trình bày chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg dựa theo báo [5] 2.1 Định lý Steinberg Steinberg [5] thu Định lý bất biến Dickson (Định lý 1.3.1) trường hợp riêng định lý sau đây: Định lý 2.1.1 (Steinberg) Với ≤ r ≤ n, kí hiệu G(r) nhóm GLn (Fq ) gồm ma trận có r hàng giống với ma trận đơn vị Khi đó, G(r) (ar ) Fq [x1 , , xn ] G(r−1) mô đun tự Fq [x1 , , xn ] với sở xir |i < q n − q r−1 G(r) (br ) Fq [x1 , , xn ] đại số sinh x1 , , xr , Ir , , In−1 (cr ) x1 , , xr , Ir , , In−1 độc lập đại số Fq 14 1) Phát biểu thứ hai thứ ba với r = Định Nhận xét 2.1.2 lý bất biến Dickson 2) Kết hợp phát biểu thứ với r thay đổi từ đến n, ta suy Fq [x1 , , xn ] một đun tự Fq [x1 , , xn ]GLn (Fq ) với sở gồm đơn thức xi11 · · · xinn ≤ ir < q n − q r−1 với r 2.2 Hai bổ đề phụ trợ Để chứng minh Định lý 2.1.1, Steinberg trước hết sử dụng hai Bổ đề sau đây: Bổ đề 2.2.1 Đa thức biến số T , hệ số vành Fq [x1 , , xn ], n T q − In−1 T q n−1 + In−2 T q n−2 n − + (−1) I0 T, có q n nghiệm phân biệt Fq -tổ hợp tuyến tính x1 , x2 , , xn Chứng minh Đặt f (T ) = x1 xn T xq1 xqn Tq n xq1 n xqn Tq n Bằng cách khai triển Laplace theo cột cuối cùng, ta n f (T ) = Λn T q − Λn−1 T q n−1 + Λn−2 T q 15 n−2 n − + (−1) Λ0 T, x1 x2 xn xq1 xq2 xqn r−1 Λr = r−1 xq1 xq2 r+1 xq1 xqn r+1 xq2 r+1 xqn xqn n n x2q xq1 r−1 ≤ r ≤ n , n Với T = a1 x1 + a2 x2 + + an−1 xn−1 + an xn , ∈ Fq , tổ hợp tuyến tính x1 , , xn , ta có qr (T ) qr = (a1 x1 + a2 x2 + + an−1 xn−1 + an xn ) qr qr qr qr = (a1 x1 ) + (a2 x2 ) + + (an−1 xn−1 ) + (an xn ) r r r r r r r r = aq1 xq1 + aq2 xq2 + + aqn−1 xqn−1 + aqn xqn r r r r = a1 xq1 + a2 xq2 + + an−1 xqn−1 + an xqn Do f (a1 x1 + · · · + an xn ) = x1 xn a1 x1 + a2 x2 + + an−1 xn−1 + an xn xq1 xqn a1 xq1 + a2 xq2 + + an−1 xqn−1 + an xqn n xq1 n xqn n n n n a1 xq1 + a2 xq2 + + an−1 xqn−1 + an xqn = 0, cột cuối tổ hợp tuyến tính n cột Như q n tổ hợp tuyến tính x1 , , xn nghiệm f (T ) Theo định nghĩa 16 Ir , ta có Ir = Λr /Λn Ta kết luận đa thức n f (T )/Λn = T q − In−1 T q n−1 + In−2 T q n−2 n − + (−1) I0 T có q n nghiệm tổ hợp tuyến tính x1 , x2 xn Bổ đề chứng minh Nhận xét 2.2.2 Theo Bổ đề trên, ta có đẳng thức n (T − x) = T q − In−1 T q n−1 + In−2 T q n−2 n − + (−1) I0 T, x∈Fq x1 , ,xn Fq x1 , , xn Fq -không gian véc tơ với sở x1 , , xn Vì phần tử GLn (Fq ) tự đẳng cấu Fq x1 , , xn , ta thấy bất biến Ir bất biến tác động GLn (Fq ) Hơn nữa, đẳng thức cho ta kết luận Ir đa thức biến x1 , , xn Bổ đề sau hệ trực tiếp Bổ đề 2.2.1 Nó đóng vai trị cốt yếu chứng minh Định lý 2.1.1 Bổ đề 2.2.3 Với ≤ r ≤ n, xr nghiệm đa thức hệ số dẫn đầu có bậc q n − q r−1 với hệ số Fq [x1 , , xr−1 , Ir−1 , , In−1 ] Chứng minh Đặt (T − x) Fk (T ) = x∈Fq x1 , ,xk Rõ ràng Fn (T ) chia hết cho Fr−1 (T ) Fn (T ) đa thức chuẩn Fr−1 (T ) biến T có bậc q n − q r−1 Hơn Fn (T ) lấy hệ số Fq [I0 , I1 , , In−1 ] theo Bổ đề 2.2.1, Fn (T ) lấy hệ số Fr−1 (T ) lấy hệ số Fq [x1 , x2 , , xr−1 ] nên Fr−1 (T ) Fq [x1 , x2 , , xr−1 ,I0 , I1 , , In−1 ] 17 Do đa thức I0 , I1 , , Ir có bậc tồn thể cao q n − q r−1 nên Fn (T ) Fr−1 (T ) lấy hệ số Fq [x1 , , xr−1 , Ir−1 , , In−1 ] Fn (T ) Như xr nghiệm đa thức thỏa mãn tính chất mong Fr−1 (T ) muốn Chứng minh mệnh đề (ar ) (br ) Định lý 2.3 Steinberg Steinberg chứng minh phát biểu (ar ) (br ) Định lý 2.1.1 quy nạp, bước lập luận chứng minh Steinberg đúc kết lại định lý tổng quát sau đây: Định lý 2.3.1 (Steinberg) Cho k trường, G, H hai nhóm hữu hạn GLn (k) H ⊂ G Giả sử S tập k[X]H T tập k[X]G thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) S sinh k[X]H , 2) S \ T = {Y }, 3) Tồn số nguyên dương m ≤ |G/H| đa thức a0 , , am−1 ∈ k[T ] cho a0 + a1 Y + · · · am−1 Y m−1 + Y m = Khi đó, 1) k[X]H mô đun tự k[X]G với sở {Y i | ≤ i < |G/H|}, 18 2) T sinh k[X]G Trong định lý này, k[X] đại số đa thức k[x1 , , xn ], với tập S ∈ k[X], k[S] đại số sinh phần tử tập S, tức tập tổ hợp k-tuyến tính si11 · · · skik với sj ∈ S Ta nói S ⊂ A sinh A A = k[S] Trong chứng minh sau này, ta sử dụng kí hiệu k(S) để trường phân thức miền nguyên k[S] Chứng minh 1) Lấy F thuộc k[X]H Theo điều kiện 1, ta có F thuộc k[S] Theo điều kiện 2, ta có F ∈ k[T ][Y ], tức viết F thành đa thức theo biến Y với hệ số k[T ] Theo điều kiện 3, giả sử đa thức có bậc theo biến Y nhỏ |G/H| Như k[X]H k[T ]-mô đun với hệ sinh 1, Y, , Y |G/H|−1 Vì T ⊂ k[X]G nên k[T ] ⊂ k[X]G , k[X]H k[X]G -mơ đun với hệ sinh 1, Y, , Y |G/H|−1 (*) Chuyển từ vành đa thức k[X] qua trường phân thức k(X), ta thấy 1, Y, , Y |G/H|−1 hệ sinh không gian véc tơ k(X)H trường k(X)G (**) Thật vậy, với phân thức p/q thuộc k(X)H , ta giả sử q ∈ k[X]G cách thay mẫu số q tích q := g · q ∈ k[X]G Khi g∈G H viết p/q = p /q p ∈ k[X] H (vì q ∈ k[X] ), tử số p tổ hợp tuyến tính 1, Y, , Y |G/H|−1 với hệ số k[X]G , theo (*) Như p /q tổ hợp tuyến tính 1, Y, , Y |G/H|−1 với hệ số trường k(X)G 19 Bây ta sử dụng kết sau lý thuyết mở rộng trường [3, Chapter 3]: Nếu G nhóm hữu hạn nhóm tự đẳng cấu trường L, L khơng gian véc tơ |G|-chiều trường LG Hệ H nhóm G dãy mở rộng trường LG ⊂ LH ⊂ L cho ta [LH : LG ] = [L : LG ]/[L : LH ] = |G|/|H| Như k(X)H không gian véc tơ |G/H|-chiều k(X)G , theo (**), hệ 1, Y, , Y |G/H|−1 sở không gian véc tơ Tính độc lập tuyến tính hệ k(X)G kéo theo tính độc lập tuyến tính hệ k[X]G Kết hợp điều với (*) ta suy k[X]H mô đun tự k[X]G với sở 1, Y, , Y |G/H|−1 Khẳng định chứng minh 2) Lấy F thuộc k[X]G , ta có F thuộc k[X]H Tương tự đoạn đầu |G/H|−1 ci Y i với ci ∈ k[T ] Vì T chứa chứng minh trên, ta viết F = i=0 k[X]G nên hệ số ci thuộc k[X]G , đẳng thức |G/H|−1 ci Y i F.Y = i=0 với tính độc lập tuyến tính k[X]G hệ 1, Y, , Y |G/H|−1 kéo theo F = c0 ∈ k[T ] Như ta chứng minh đa thức F thuộc k[X]G thuộc k[T ], tức T sinh k[X]G Khẳng định chứng minh Chứng minh (ar ) (br ) Định lý 2.1.1 Nhắc lại ta cần chứng minh mệnh đề sau đây: 20 G(r) (ar ) Fq [x1 , , xn ] mô đun tự Fq [x1 , , xn ] G(r−1) với sở xir |i < q n − q r−1 G(r) (br ) Fq [x1 , , xn ] đại số sinh x1 , , xr , Ir , , In−1 Ở G(r) nhóm GLn (Fq ) gồm ma trận có r hàng giống với ma trận đơn vị Xuất phát từ mệnh đề hiển nhiên (bn ), ta chứng minh mệnh đề (br ) kéo theo mệnh đề (ar ) (br−1 ) Giả sử (br ) đúng, tức Fq [x1 , , xn ] G(r) đại số sinh x1 , , xr , Ir , , In−1 Khi đó, theo Bổ đề 2.2.3, ta suy xr nghiệm G(r) đa thức chuẩn có bậc q n − q r−1 với hệ số Fq [x1 , , xn ] Như ta thấy giả thiết Định lý 2.3.1 thỏa mãn với G = G(r − 1), H = G(r), S = {x1 , , xr , Ir , , In−1 }, T = {x1 , , xr−1 , Ir−1 , , In−1 }, Y = xr , đó, theo Định lý 2.3.1, ta thu mệnh đề (ar ) (br−1 ) 2.4 Chứng minh mệnh đề (cr ) Định lý Steinberg Ta cần chứng minh đa thức x1 , , xr , Ir , , In−1 độc lập đại số Fq Theo Bổ đề 2.2.3, mở rộng trường Fq (x1 , , xr , Ir , , In−1 ) ⊂ Fq (x1 , , xn ) 21 mở rộng đại số, x1 , , xn đại số Fq (x1 , , xr , Ir , , In−1 ) Điều dẫn đến kết luận bậc siêu việt Fq (x1 , , xr , Ir , , In−1 ) Fq bậc siêu việt Fq (x1 , , xn ) Fq , tức n [2, Chapter VIII] Từ suy phần tử sinh x1 , , xr , Ir , , In−1 độc lập đại số Fq 22 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu phép chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg dựa theo báo [5], luận văn hoàn thành đạt kết sau: - Trình bày khái qt nhóm tuyến tính tổng quát GLn (Fq ) mô tả tác động nhóm tuyến tính tổng qt GLn (Fq ) lên đại số đa thức Fq [x1 , , xn ] cảm sinh tác động tự nhiên GLn (Fq ) lên Fq -không gian véc tơ với sở x1 , , xn - Phát biểu kết tổng quát, gồm ba phần, Steinberg mà trường hợp riêng hai phần đầu Định lý Dickson Sau trình bày chứng minh kết tổng quát Tuy nhiên, thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên nhiều vấn đề luận văn chưa giải triệt để Bên cạnh khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn bè quan tâm góp ý, bổ sung để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Leonard Eugene Dickson A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem Trans Amer Math Soc., 12(1):75–98, 1911 [2] Serge Lang Algebra, volume 211 of Graduate Texts in Mathematics Springer-Verlag, New York, third edition, 2002 [3] James S Milne Fields and galois theory (v4.50), 2014 Available at www.jmilne.org/math/ [4] Robert Steinberg Prime power representations of finite linear groups Canad J Math., 8:580–591, 1956 [5] Robert Steinberg On Dickson’s theorem on invariants J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math., 34(3):699–707, 1987 [6] Clarence Wilkerson A primer on the Dickson invariants In Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982), volume 19 of Contemp Math., pages 421–434 Amer Math Soc., Providence, RI, 1983 24 ... CHƯƠNG Chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg Trong chương này, ta trình bày chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg dựa theo báo [5] 2.1 Định lý Steinberg Steinberg [5] thu Định lý bất. .. "Chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg" , chúng tơi mong muốn tìm hiểu bất biến nhóm tuyến tính tổng qt đồng thời tìm hiểu làm sáng tỏ phép chứng minh Steinberg cho định lý bất biến Dickson. .. chúng tơi phát biểu Định lý bất biến Dickson minh họa cho trường hợp n = 1, Chương Chứng minh Định lý bất biến Dickson Steinberg Trong chương chúng tơi trình bày chứng minh Steinberg dựa theo