Định lý fourier, định lý sturm về nghiệm của đa thức và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sơ lược không gian metric 1.2 Hàm liên tục, hàm khả vi 1.3 Ước chung lớn hai đa thức 3 Một số định lý nghiệm thực áp dụng 2.1 Quy tắc Fourier De Gua số nghiệm thực đa thức 2.2 Định lý Budan-Fourier số nghiệm đa thức khoảng 2.3 Một số ví dụ áp dụng định lý Fourier 2.4 Quy tắc Budan định lý Fourier cho hàm khả vi k lần 2.5 Định lý Hurwitz 2.6 Cô lập nghiệm dựa vào dãy Sturm 8 16 21 24 33 36 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Trong chương trình bậc phổ thơng, học sinh tiếp cận với đa thức từ bậc THCS, đến THPT chuyên Bài toán đếm số nghiệm đa thức với hệ số thực khoanh vùng nghiệm đa thức ẩn hệ số thực xuất hầu hết kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế Hiện tài liệu đa thức đa dạng phong phú Tuy nhiên, đa số khó học sinh bắt đầu tiếp cận Vì tơi lựa chọn "Định lý Fourier, Định lý Sturm nghiệm đa thức áp dụng" để nghiên cứu phục vụ cho học sinh lớp chun tốn phổ thơng Để khảo sát số nghiệm đa thức với hệ số thực luận văn sử dụng quy tắc Fourier quy tắc De Gua đếm số lần đổi dấu số lần ổn định dấu dấu đa thức để xác định số nghiệm thực số nghiệm ảo thức cho Tiếp theo luận văn trình bày định lý Budan-Fourier để khảo sát số nghiệm đa thức khoảng cho trước Và sau luận văn xét hàm mở rộng sử dụng quy tắc Budan, định lý Fourier để khảo sát số nghiệm cho hàm khả vi k lần Cuối luận văn định lý Hurwitz định lý Sturm xác định số nghiệm đa thức thực dựa vào phân bố dấu dãy hệ số thực đa thức cho Luận văn gồm chương: Chương Trình bày số kiến thức liên quan để chứng minh cho định lý chương Chương Trình bày số quy tắc, định lý nghiệm thực đa thức số ví dụ áp dụng quy tắc để xác định số nghiệm đa thức Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo suốt trình học tập thực luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết Mai Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm nhắc lại số kiến thức sử dụng luận văn, kiến thức tham khảo số tài liệu [7], [?] 1.1 Sơ lược không gian metric Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho X tập hợp Một ánh xạ khoảng cách d xác định X ánh xạ d : X × X → [0, ∞), (x, y) → d(x, y) thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z ∈ X : (1) d(x, y) = x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (ii) Một không gian metric cặp (X, d) X tập hợp d ánh xạ khoảng cách xác định X Ví dụ 1.1.2 +) Tập số thực R với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = |x − y| không gian metric +) Tập R = R ∪ {−∞, ∞} với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = | arctan x − arctan y| không gian metric Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X, d) (i) Cho điểm x ∈ X số thực ε > Một hình cầu mở B(x, ε) xác định B(x, ε) = {y ∈ X | d(x, y) < ε} (ii) Một tập U X gọi tập mở x ∈ U tồn ε > cho B(x, ε) ⊆ U Một tập V X gọi tập đóng X \ V tập mở (iii) Một lân cận điểm x ∈ X tập A X thỏa mãn hai điều kiện: (a) x ∈ A; (b) A chứa cầu mở B(x, ε) (với số thực ε > đó) (iv) Một dãy (xn ) không gian metric (X, d) gọi hội tụ a ∈ X với > tồn n0 ∈ N để d(xn , a) < với n > n0 (v) Không gian metric (X, d) gọi compact dãy X có dãy hội tụ X Ví dụ 1.1.4 Tập R với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = | arctan x − arctan y| không gian metric compact Định nghĩa 1.1.5 (Điểm giới hạn) Cho tập hợp A không gian metric (X, d) x ∈ X Ta nói x điểm giới hạn (hoặc điểm dính) A lân cận U x có giao với A điểm khác x Định nghĩa 1.1.6 (Điểm cô lập) Cho tập hợp A không gian metric (X, d) x ∈ A Ta nói x điểm lập A tồn lân cận U x mà U không giao với A điểm khác x 1.2 Hàm liên tục, hàm khả vi Tiếp theo ta nhắc lại số khái niệm hàm liên tục hàm số biến số thực Định nghĩa 1.2.1 Cho X ⊆ R, hàm số f : X → R điểm x0 ∈ X Nếu với ε > tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ X : |x − x0 | < δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói hàm f liên tục x0 Nếu f liên tục điểm x ∈ X ta nói f liên tục X Như vậy, cách phát biểu tương đương, ta thấy f hàm số liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.2.2 Cho A ⊆ R, hàm số f : A → R gọi liên tục bên phải điểm x0 ∈ A ε > tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ A : x0 ≤ x < x0 + δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε Tương tự ta nói f liên tục bên trái x0 ∈ A với ε > tồn δ > cho x ∈ {x ∈ A : x0 − δ ≤ x < x0 } ta có |f (x) − f (x0 )| < ε Như hàm số f : A → R liên tục x0 ∈ A f liên tục bên phải liên tục bên trái x0 Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số f : [a, b] → R Nếu f liên tục (a, b), liên tục bên phải điểm a liên tục bên trái điểm b ta nói f liên tục đoạn [a, b] Tiếp theo nhắc lại khái niệm hàm khả vi Xét hàm số y = f (x) xác định lân cận điểm x0 ∈ R Cho x0 số gia ∆x bé cho x0 + ∆x ∈ U Khi ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) gọi số gia đối số ∆x điểm x0 (x0 ) ∆y = f (x0 +∆x)−f có giới hạn hữu hạn Định nghĩa 1.2.4 Nếu tỉ số ∆x ∆x ∆x → giới hạn gọi đạo hàm hàm f x x0 kí hiệu f (x0 ); ta nói hàm f khả vi x0 Như vậy, ta có f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x→0 ∆x f (x0 ) = lim Định nghĩa 1.2.5 Cho U tập hợp mở R, f : U → R hàm xác định U Hàm f gọi khả vi U f khả vi điểm U Khi ta nói hàm số f có đạo hàm f U Tiếp theo ta nhắc lại định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi Định lý 1.2.6 (Định lí Lagrange) Giả sử f hàm liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm điểm khoảng (a, b) Khi tồn điểm c ∈ (a, b), cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Định lý 1.2.7 (Định lí Cauchy) Giả sử f g hai hàm số liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm điểm khoảng (a, b), g (x) = với x ∈ [a, b] Khi tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) f (c) = g(b) − g(a) g (c) Định lí Lagrange trường hợp riêng Định lý Cauchy với g(x) = x f (x0 +∆x)−f (x0 ) ∆x ∆x→0− Định nghĩa 1.2.8 Nếu giới hạn lim tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm bên trái f (x) x0 , ký hiệu f− (x0 ) Nếu ∆y giới hạn lim + ∆x tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm bên phải ∆x→0 f (x) x0 , ký hiệu f+ (x0 ) Quy tắc 1.2.9 Quy tắc L’Hospital (đọc Lơ-pi-tan) quy tắc tốn học dùng để khử dạng vô định 00 ∞ ∞ tính giới hạn nhiều (x) có ứng dụng khác Quy tắc L’Hospital phát biểu sau: Nếu lim fg(x) x→a dạng 0 có giới hạn giới hạn f (x) g (x) (x) lim fg (x) x→a tồn Định lý 1.2.10 Giả sử f g hàm liên tục tập [a, b] khả vi (a, b) Giả sử g (x) khác (a, b), limx→a+ f (x)/g (x) tồn tại, limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = Khi lim+ x→a 1.3 f (x) f (x) = lim+ g(x) x→a g (x) Ước chung lớn hai đa thức Mục ta xét k trường xét đa thức vành k[x] Định lý 1.3.1 (Định lý phép chia dư) Cho đa thức f (x), g(x) ∈ k[x] với g(x) = Khi tồn cặp q(x), r(x) ∈ k[x] cho f (x) = q(x)g(x) + r(x), r(x) = deg(r(x)) < deg(g(x)) Ta gọi q(x) thương gọi r(x) phần dư phép chia f (x) cho g(x) Định nghĩa 1.3.2 (Ước đa thức) Trong phép chia p(x) cho q(x), phần dư r(x) đồng ta nói đa thức p(x) chia hết cho đa thức q(x) Như vậy, p(x) chia hết cho q(x) tồn đa thức s(x) cho p(x) = q(x).s(x) Trong trường hợp ta nói q(x) chia hết p(x), q(x) ước p(x) Định nghĩa 1.3.3 (Ước chung hai đa thức) Nếu g(x) chia hết p(x) g(x) chia hết q(x) ta nói g(x) ước chung p(x) q(x) Định nghĩa 1.3.4 (Ước chung lớn nhất) Cho p(x) q(x) đa thức không đồng thời Ước chung lớn p(x) q(x) đa thức d(x) thoả mãn đồng thời hai điều kiện: (1) d(x) ước chung p(x) q(x); (2) Nếu d (x) ước chung p(x) q(x) d (x) ước d(x) Chú ý 1.3.5 (Thuật toán Euclide) Cho đa thức f0 , f1 ∈ k[x] với f1 = Đặt f2 phần dư chia f0 cho f1 , tiếp tục quy nạp, ta đặt fi+1 phần dư chia fi−1 cho fi (nếu fi = 0) Rõ ràng dãy f0 , f1 , , fi , (dãy gọi dãy phần dư đa thức f0 , f1 ) hữu hạn, trái lại fi = nên ta có dãy giảm vơ hạn số tự nhiên deg(f1 ) > deg(f2 ) > > deg(fi ) > điều không xảy Lấy d(x) phần dư fr cuối khác không, ý r ≤ min{deg(f0 ), deg(f1 )} Khi d(x) ước chung lớn f0 f1 32 Mặt khác, ta nhận thấy V (f, ξ, n) = (vì f (k) (ξ) = với k < n), ta có T (u, ξ) f (ξ) = Nếu đảo lại f (ξ) = a ≤ u < ξ , u đủ gần ξ , tính chất liên tục f suy f không triệt tiêu [u, ξ], ta có Z(f, (u, ξ]) = sign(f (u)) = sign(f (ξ)) Nhưng ta lại có V (f, u, n) số chẵn hai đầu mút f (u) f (n) (u) có dấu (có thể kiểm tra điều phép quy nạp) Mặt khác, ta nhận thấy V (f, ξ, n) = f (ξ) f (n) (ξ) có dấu, V (f, ξ, n) = cho trường hợp lại (vì f (k) (ξ) = với < k < n) Vì vậy, dấu f (ξ) f (u) nhau, dấu f (n) (ξ) f (n) (u) (theo giả thiết), nên ta kết luận V (f, u, n) − V (f, ξ, n) luôn số chẵn không âm, ta có Z(f, (u, ξ]) = = V (f, u, n) − V (f, ξ, n) − 2s, với s ∈ N Điều kết thúc việc chứng minh T (u, v) tất trường hợp u, v đủ gần ξ a ≤ u ≤ ξ ≤ v ≤ b Như vậy, ta suy T (a, b) Cuối cùng, cách thay a b x x (tương ứng) kết trên, ta có Z(f, (x, x ]) = V (f, x, n) − V (f, x , n) − 2s V (f, x, n) − V (f, x , n) = Z(f, (x, x ]) + 2s ≥ với x x > x Do đó, V (f, x, n) hàm số giảm, khẳng định (i) định lý Chú ý 2.4.8 Cho hàm số f khả vi m lần [a, b], ta hỏi "có hay khơng việc V (f, a, m) − V (f, b, m) số âm?" Thực ra, câu trả lời hàm số f sau đây: f (x) = x2 − x − 1, với [a, b] = [0, 1], m = Thật vậy, f (0) = −1, f (0) = −1, f (1) = −1 f (1) = Do V (f, 0, 1) = 0, V (f, 1, 1) = Như V (f, 0, 1) − V (f, 1, 1) = −1 Nguyên nhân đạo hàm bậc f f (x) = 2x − bị triệt tiêu có đổi dấu [0, 1] 33 2.5 Định lý Hurwitz Mục tham khảo tài liệu [5] Định lý 2.5.1 (Định lý Hurwitz) Sử dụng định nghĩa kí hiệu trình bày Mục 2.4 Cho [a, b] ⊆ R f : [a, b] → R hàm khả vi n lần [a, b] (với n ∈ N) Giả sử đạo hàm f (n) không triệt tiêu không đổi dấu [a, b] Khi đó, tồn ≤ m ≤ n để f (m) (a) = f (m) (b) = 0, Z(f, (a, b]) = Z(f (m) , (a, b]) + V (f, a, m) − V (f, b, m) − 2s với s ∈ N Chú ý 2.5.2 Nếu m = n, định lý Định lý Fourier mở rộng (Định lý 2.4.6) Như phần cuối Mục 2.4, số V (f, a, m) − V (f, b, m) số âm Giả thiết f (m) (b) = điều kiện bắt buộc định lý Ta chứng tỏ điều qua ví dụ sau: Lấy hàm f (x) = (x − 1)3 − ta có Z(f, (0, 1]) = Z(f , (0, 1]) = Ngoài ra, dãy số f (0), f (0), − 2, 3, −6, f (1), − 1, 0, f (0) dãy f (1), f (1), Suy V (f, 0, 2) − V (f, 1, 2) = Do khơng thể tồn đẳng thức sau s số nguyên Z(f, (0, 1]) = = Z(f , (0, 1]) + V (f, 0, 2) − V (f, 1, 2) − 2s = − 2s Tương tự, ta xét thêm hàm số f (x) = −x2 + 2, ta lấy m = [a, b] = [0, 1] Khi ta thu V (f, 0, 1) = V (f, 1, 1) = Mặt khác, ta lại có Z(f, (0, 1]) = 0, Z(f , (0, 1]) = Do đẳng thức sau không xảy Z(f, (0, 1]) = = Z(f , (0, 1]) + V (f, 0, 1) − V (f, 1, 1) − 2s = − 2s Do điều kiện f (m) (a) = điều kiện cần thiết định lý 34 Chứng minh Định lý 2.5.1 Ta sử dụng số phần chứng minh định lý Fourier có Ta cho số m với ≤ m ≤ n, ta nói T (u, v, m) a ≤ u < v ≤ b Z(f, (u, v]) = Z(f (m) , (u, v]) + V (f, u, m) − V (f, v, m) − 2s, với s ∈ N Khi m cố định, ta viết tắt T (u, v, m) T (u, v) Như biết trước T cộng tính Ta cần phải chứng minh T (a, b, m) với n ∈ N f (n) khơng triệt tiêu có dấu không đổi [a, b], tồn m ≤ n để f (m) (a), f (m) (b) = Khi m = n khẳng định trùng với khẳng định thứ hai định lý Fourier (Định lý 2.4.6) Như định lý trường hợp Đặc biệt, m = n = Cho ξ ∈ [a, b] m ≤ n, ta cần phải chứng minh T (u, v) = T (u, v, m) u, v đủ gần ξ , với f (m) (u)f (m) (v) = Vì điều với m = n = 0, nên ta giả sử quy nạp với m ≤ n ≤ N, với N ∈ N Ta đặt n = N + 1, giả thiết f (n) khơng thay đổi dấu [a, b] Như ý trên, định lý m = n, từ ta giả định m < n Nếu tồn số k mà m ≤ k < n cho f (k) (ξ) = 0, dấu f (k) phải giữ nguyên lân cận ξ , tính liên tục f (k) Do đó, với u v đủ gần ξ , theo giả thiết phép quy nạp (k thay vào chỗ n) ta suy T (u, v, m) Đặc biệt, ta suy T (u, v, m) với ξ = b = v (theo giả thiết định lý) Vì vậy, ta giả sử f (k) (ξ) = với k ≥ m ξ < b Nếu có số k mà < k < m làm cho f (k) (ξ) = 0, f (k) khơng thay đổi dấu lân cận ξ Do đó, với u, v đủ gần ξ , từ giả thiết phép quy nạp ta suy Z(f, (u, v]) = Z(f (k) , (u, v]) + V (f, u, k) − V (f, v, k) − 2s Z(f (k) , (u, v]) = Z((f (k) )(m−k) , (u, v])+V (f (k) , u, m−k)−V (f (k) , v, m−k)−2s Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, f (k) (α) = 0, ta thấy V (f, α, n) = V (f, α, k) + V (f (k) , α, n − k) (*) 35 Vì thế, từ hai phương trình ta suy Z(f, (u, v]) = Z(f (m) , (u, v]) + V (f, u, m) − V (f, v, m) − 2s , với s = s + s Điều cho thấy T (u, v) trường hợp Phần lại, ta xét trường hợp f (k) (ξ) = với k mà < k < n a ≤ ξ < b Ta giả sử điều kiện Khi đó, ý f (m) (a) = theo giả thuyết, nên ξ = a Hơn nữa, từ định lý Fourier (Định lý 2.4.6) ta suy số nghiệm f (m) (a, b] hữu hạn (vì V (f (m) , a, n − m) − V (f (m) , b, n − m) ≤ n − m) Ta kí hiệu S tập hợp nghiệm f (m) [a, b] (rõ ràng ξ ∈ S ) Vì S hữu hạn nên điểm S điểm cô lập, f (m) (x) = với x = ξ đủ gần tới ξ Từ suy với u, v lân cận ξ a < u < ξ < v < b, ta có f (m) (u) = f (m) (v) = Ngoài ra, Z(f (m) , (u, v]) = n − m f (k) (ξ) = với m ≤ k < n (nghĩa ξ nghiệm f (m) [u, v] có bội n − m) Định lý Fourier áp dụng u v , nên ta có Z(f, (u, v]) = V (f, u, n) − V (f, v, n) − 2s, Z(f (m) , (u, v]) = V (f (m) , u, n − m) − V (f (m) , v, n − m) − 2s Thực tế, lại Z(f (m) , (u, v]) = n − m V (f (m) , u, n − m) − V (f (m) , v, n − m) ≤ n − m, nên từ đẳng thức thứ hai ta suy s = Vì vậy, cách trừ vế cho vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ kết hợp với (*) ta Z(f, (u, v]) = Z(f (m) , (u, v]) + V (f, u, m) − V (f, v, m) − 2s Điều kết thúc việc chứng minh kết T (u, v) f (m) (u)f (m) (v) = 0, hai điều kiện sau đúng: ξ∈ / S a ≤ u ≤ ξ ≤ v ≤ b, với u, v lân cận ξ " ” ξ ∈ S a ≤ u < ξ < v ≤ b, với u, v lân cận ξ " 36 Nhưng điểm thuộc S bị lập, nên lân cận xung quanh ξ thu gọn theo cách để f (m) (u)f (m) (v) = với u, v đủ gần ξ , với u, v = ξ ξ ∈ S Do đó, điều kiện f (m) (u)f (m) (v) = bị bỏ qua khẳng định trên, nên theo Bổ đề 2.4.7, ta kết luận T (a, b) 2.6 Cô lập nghiệm dựa vào dãy Sturm Mục tham khảo phần tài liệu [4, Mục 4.2], ví dụ tham khảo [2] phần sử dụng phần mềm website Sturm phát biểu định lý mạnh dựa Định lý Fourier mở rộng (Định lý 2.4.6) với chứng minh bắt chước bước chứng minh Fourier, chứng minh có thêm chút cải tiến khéo léo tạo khác biệt lớn hai định lý Các hàm số mà chúng tính tốn số lần đổi dấu sử dụng Fourier đa thức đầu vào f f, f , f , , f (n) Như ta thấy chứng minh định lý Fourier, x di chuyển theo trục Ox từ trái sang phải, qua nghiệm đạo hàm f (i) (với i > 0), số lần đổi dấu giảm bớt giữ nguyên Ý tưởng Sturm loại bỏ trường hợp số lần đổi dấu giảm (vì khơng thể xảy với dãy hàm mà Sturm xem xét) Chỉ có trường hợp mà số lần đổi dấu giảm x qua nghiệm f Ta xem xét ý tưởng Sturm chi tiết (phần tham khảo tài liệu [4, Chương 4].) Định nghĩa 2.6.1 (Dãy Sturm) Cho trước đa thức f (x), xét đa thức f0 (x) = f (x), f1 (x) = f (x) xét đa thức fi (x) (với i > 1) số −1 × [số dư phép chia fi−2 (x) cho fi−1 (x)] Nói cách khác, dãy đa thức 37 fi tính cách sau: f0 = f ; f1 = f ; f2 = −r2 (với r2 dư phép chia f0 cho f1 , tức r2 = f0 − f1 q1 ); f3 = −r3 (với r3 dư phép chia f1 cho f2 , tức r3 = f1 − f2 q2 ); fi+1 = −ri+1 (với ri+1 dư phép chia fi−1 cho fi ; ri+1 = fi−1 − fi qi ); fn = −rn (với rn dư phép chia fn−2 cho fn−1 ; rn = fn−2 − fn−1 qn−1 ); fn+1 = (với dư phép chia fn−1 cho fn ) Khi dãy f0 (x), f1 (x), , fn−1 (x), fn (x) gọi dãy Sturm f (x) Định lý 2.6.2 (Định lý Sturm) Giả sử f đa thức, kí hiệu w(x) số lần đổi dấu dãy Sturm đa thức f lấy giá trị điểm x Khi f (a) = 0, f (b) = a < b, số nghiệm phân biệt f khoảng (a, b) với số w(a) − w(b) Chứng minh Trước tiên, ta giả sử khơng có nghiệm chung hàm liên tiếp dãy Sturm f Ta cho điểm x di chuyển từ a đến b quan sát tượng Ta xem xét điều xảy x qua nghiệm α hàm fi dãy Sturm f với i > Theo định nghĩa dãy Sturm, ta có fi−1 (α) = qi (α)fi (α) − fi+1 (α) Lưu ý ta giả thiết hàm liên tiếp ft ft+1 khơng có nghiệm chung Do fi−1 (α) = −fi+1 (α) = fi (α) = 0; từ fi−1 , fi+1 hàm liên tục, nên lân cận α, ta thấy dấu fi−1 (x) fi+1 (x) đối Vì vậy, khơng ảnh hưởng fi (x) thay đổi dấu từ dương sang âm từ âm sang dương x chuyển qua α; w(x) không thay đổi x qua nghiệm α fi với i > (xem Hình 2.12) Bây ta quan sát xem điều xảy x qua nghiệm α f0 Xét f1 đạo hàm f0 , lân cận α dấu f0 38 α + − − fi−1 fi fi+1 α + + − Hình 2.12: Số lần đổi dấu dãy Sturm không bị ảnh hưởng x chuyển qua nghiệm fi với i > f1 chuyển từ khác sang nhau, làm cho số lần đổi dấu dãy Sturm bị giảm (xem lại minh họa Hình 2.1 đầu Mục 2.2) Nghĩa w(x) bị giảm bớt x chuyển qua nghiệm f0 = f (*) Tiếp theo ta xét trường hợp có nghiệm chung cặp hàm fi fi+1 Ta quan sát nhận thấy hai đặc điểm nhỏ sau đây: Thứ hàm fn cuối dãy Sturm f ước chung lớn f f Việc tạo dãy Sturm tuân theo bước tương tự thuật toán Euclid dùng để tính ước chung lớn Nó khác điểm nhân vào phần dư với số -1, ta làm việc với đa thức làm việc với số nguyên, nên điều không ảnh hưởng đến việc fn ước chung f f Thứ hai α nghiệm chung hai hàm liên tiếp dãy Sturm f , α nghiệm tất hàm dãy Sturm Thật vậy, fi (α) = fi+1 (α) = 0, theo định nghĩa dãy Sturm, ta có: fi+2 (α) = qi+1 (α)fi+1 (α) − fi (α) ⇒ fi+2 (α) = fi+3 (α) = qi+2 (α)fi+2 (α) − fi+1 (α) ⇒ fi+3 (α) = fn−2 (α) = qn−3 (α)fn−3 (α) − fn−4 (α) ⇒ fn−2 (α) = fn−1 (α) = qn−2 (α)fn−2 (α) − fn−3 (α) ⇒ fn−1 (α) = fn (α) = qn−1 (α)fn−1 (α) − fn−2 (α) ⇒ fn (α) = và, theo cách tương tự fi−1 (α) = qi (α)fi (α) − fi+1 (α) ⇒ fi−1 (α) = fi−2 (α) = qi−1 (α)fi−1 (α) − fi (α) ⇒ fi−2 (α) = f (α) = q1 (α)f1 (α) − f2 (α) ⇒ f (α) = 39 Vì vậy, khơng thể xảy trường hợp α nghiệm hàm liên tiếp Nếu điều xảy α nghiệm tất hàm dãy Sturm Từ hai điều đây, ta xét trường hợp α nghiệm chung f tất fi Khi ta xét dãy Sturm g0 , g1 , , gn hàm gcd(f,f ) ; ta dễ thấy độ dài dãy độ dài dãy Sturm f (tức n = n), ta có fi = gi × gcd(f, f ) với i = 0, 1, 2, , n Vì vậy, x khơng phải nghiệm gcd(f, f ) (tức là: x khơng nghiệm fn ), ta thu dãy Sturm f xét x cách nhân phần tử dãy Sturm g (xét x) với số gcd(f, f )(x) Vì vậy, số lần đổi dấu hai trường hợp nhau, tức là, số lần đổi dấu dãy Sturm f xét x với số lần đổi dấu dãy Sturm f g = gcd(f,f ) ; ta thấy g có nghiệm với f , tất nghiệm g nghiệm đơn Vì vậy, tính chất giảm w(x) f y hệt tính chất giảm w(x) g Theo kết hợp với (*), ta suy số nghiệm phân biệt f khoảng (a, b) với độ giảm w(x) x chuyển từ a đến b, tức với số w(a) − w(b) Chứng minh Ta thấy g = f / gcd(f, f ) khơng có nghiệm bội Đồng thời ta thấy w(x) f với w(x) g (bởi dãy Sturm f dãy thu cách nhân gcd(f, f ) vào dãy Sturm g ) Do để chứng minh định lý ta thay f g , tức chứng minh định lý với giả thiết f nghiệm bội, Bây đến cuối chứng minh ta giả sử f khơng có nghiệm bội Ta nhận thấy dãy Sturm f có đặc điểm sau: (1) fn số khác 0; (2) Hai hàm liên tiếp dãy Sturm khơng có nghiệm chung [a, b]; (3) Nếu x ∈ [a, b] nghiệm fj với ≤ j ≤ n − fj−1 (x) fj+1 (x) trái dấu Lấy r1 < < rs dãy nghiệm hàm dãy Sturm [a, b] Trước hết ta giả sử a < r1 rs < b Chú ý w(x) không đổi (ri , ri+1 ) Do ta cần chứng tỏ rằng: c < d số cho có nghiệm r fj thỏa mãn c < r < d, w(c) − w(d) = r nghiệm f0 , w(c) − w(d) = r không nghiệm f0 (Khi 40 kết luận định lý suy từ đẳng thức sau: w(a) − w(b) = [w(x0 ) − w(x1 )] + [w(x1 ) − w(x2 )] + + [w(xs−1 ) − w(xs )] xj chọn cho rj < xj < rj+1 , x0 = a, xs = b) Giả sử r nghiệm fj với ≤ j ≤ n − Khi từ (3) ta thấy fj−1 (r) fj+1 (r) có dấu trái nhau; theo (2) dấu fj−1 (và fj+1 ) không đổi thay r c d, sign(fi (c)) = sign(fi (d)) với i = j , sign(fj (c)) = −sign(fj (d)) Do có lần đỏi dấu tình sau số sau đây: {fj−1 (c), fj (c), fj+1 (c)} {fj−1 (d), fj (d), fj+1 (d)} Nếu r không nghiệm f , ta có w(c) = w(d) Nếu r nghiệm f f (c) f (d) trái dấu Ta có f (r) = 0, nên f (c) f (d) có dấu Nếu f (c) < f phải tăng, f (d) > 0, f (c) > f (d) > 0; f (c) > f phải giảm, f (d) < 0, f (c) < f (d) < Do có lần đổi dấu {f (c), f (c)} khơng có lần đổi dấu {f (d), f (d)} Vì w(c) = w(d) + Nếu a = r1 , f (a) = 0, nên từ lập luận cho ta thấy v(a) = v(x0 ) với x0 đủ gần a mà x0 ≤ a Nếu rs = b, f (b) = 0, nên v(b) = v(xs ) với xs đủ gần b mà b ≤ xs Cuối cùng, a < r1 rs < b ta lấy x0 = a xs = b Chú ý 2.6.3 Để có hiểu biết cụ thể rõ Định lý Sturm, ta khảo sát ví dụ sau (phần tham khảo tài liệu [2]) Ví dụ 2.6.4 Xét đa thức f = x3 − 3x2 − 4x + 13 Sử dụng Định lý Sturm để cô lập nghiệm phương trình f (x) = Ta tính tốn dãy Sturm sau: - Đặt f0 = f - Tính đạo hàm f1 = f = 3x2 − 6x − - Tính dư r2 phép chia f0 cho f1 : 1 14 35 f0 = ( x − )f1 + (− x + ), 3 3 suy r2 = − 14 3x+ 35 Khi ta đặt f2 = −r2 = 14 3x − 35 41 - Tính dư r3 phép chia f1 cho f2 : f1 = ( 9 x + )f2 + (− ), 14 28 suy r3 = − 41 Khi lấy f3 = −r3 = 14 - Dư phép chia f2 cho f3 0, nên ta dừng Suy ta thu dãy Sturm f sau: f0 = x3 − 3x2 − 4x + 13, f1 = 3x2 − 6x − 4, 35 14 f2 = x − , 3 f3 = Do đó, ta có bảng dấu hàm dãy Sturm: x −∞ −3 −2 ∞ f0 − − + + + + + f1 + + + − − + + f2 − − − − − + + f3 w(x) + + + + + + + Các dấu hàm dãy Sturm xét x bảng Từ ta thấy w(−∞) − w(−3) = − = 0, nên f vô nghiệm (−∞, −3); w(−3) − w(−2) = − = 1, nên f có nghiệm (−3, −2) w(−2) − w(2) = − = 0, nên f vô nghiệm (−2, 2) w(2) − w(3) = − = 0, nên f có nghiệm (2, 3) N (3) − N (∞) = − = 0, nên f có nghiệm (3, +∞) Kết luận f (x) có nghiệm âm khoảng (−3, −2), f (x) có nghiệm thực dương (2, 3) Ví dụ 2.6.5 Xét đa thức f (x) = x5 − x4 + 3x3 + 9x2 − x + (kí hiệu f0 ) Sử dụng Định lý Sturm để lập nghiệm phương trình f (x) = 42 Đạo hàm f f (x) f1 (x) = 5x4 − 4x3 + 9x2 + 18x − Ta sử dụng phần mềm máy tính (chẳng hạn phần mềm online web: https://planetcalc.com/7718/) để tính tốn phần dư ri thương qi−1 phép chia fi−2 cho fi−1 gán −ri cho fi Ta nhận được: Bảng Mã: f0 = q1 f1 + r2 , 26 144 2 124 r2 = x3 + x − x+ , 25 25 25 25 1 q1 = x − , 25 26 144 124 ⇒ f2 = −r = − x − + x− 25 25 25 25 Bây giờ, chia f1 (x) cho f2 (x) để có phần dư r3 thương q2 , Hình 2.13: Minh họa phần mềm tìm thương dư r3 = 31250 1400 25375 x − x+ 169 169 169 43 125 5150 x− 26 169 25375 31250 1400 x + x− ⇒ f3 = − 169 169 169 Bây giờ, chia f2 (x) cho f3 (x) để có phần dư r4 thương q3 , q2 = − r4 = 6487741 478608 x− 9765625 1953125 2197 7666516 x+ 390625 244140625 478608 6487741 x+ ⇒ f4 := − 9765625 1953125 Cuối cùng, chia f3 (x) cho f4 (x) ta có dư r5 thương q4 , q3 = r5 = − 42900302734375 249057889249 305175781250 3796439453125000 x+ 1096428229 42090783283081 42900302734375 f5 = 249057889249 Do đó, ta thu dãy Sturm sau q= f0 = x5 − x4 + 3x3 + 9x2 − x + 5, f1 = 5x4 − 4x3 + 9x2 + 18x − 1, 26 144 2 124 f2 = − x3 − x + x− , 25 25 25 25 31250 1400 25375 f3 = − x + x− , 169 169 169 6487741 478608 f4 = − x+ , 9765625 1953125 42900302734375 f5 = 249057889249 Bảng dấu dãy Sturm lấy giá trị x chọn nằm bảng sau: 44 x −∞ −3 −2 −1 ∞ f − − − + + + + + + f1 + + + − − + + + + f2 + − − − − − − − − f3 − − − − − − − − − f4 + + + + + − − − − f5 + + + + + + + + + Số lần đổi dấu 3 2 2 2 Từ bảng ta thấy w(−∞) − w(−2) = − = 0, nên f vô nghiệm (−∞, −2); w(−2) − w(−1) = − = 1, nên f có nghiệm (−2, −1) w(−1) − w(∞) = − = 0, nên f vô nghiệm (−1, ∞) Do đó, theo Định lý Sturm, ta biết có nghiệm −2 −1 khơng có nghiệm thực khác 45 Kết luận Luận văn "Định lý Fourier, Định lý Sturm nghiệm đa thức áp dụng" nhằm giới thiệu số quy tắc, định lý nghiệm đa thức thực xét số ứng dụng chúng, cụ thể: Nhắc lại vài kiến thức có liên quan: khơng gian mê tric, hàm liên tục, hàm khả vi, ước chung lớn hai đa thức Trình bày chứng minh chi tiết cho quy tắc định lý quan trọng xác định nghiệm thực đa thức hệ số thực (Quy tắc Fourier, Quy tắc De Gua, Định lý Fourier, Quy tắc Budan, Định lý Fourier mở rộng, Định lý Hurwitz, Định lý Sturm) Ngồi chương ta trình bày số ví dụ áp dụng quy tắc định lý 46 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Anh [1] Alex Gonzalez, "Metric and topological spaces", https:// www.math ksu.edu/ agondem/Ab12-13Metric_files/Metric %20and%20topological%20spaces.pdf [2] Christina Hewitt, “Real roots of univariate polynomials with real cofficients”, April 1, 2018 (https://aszanto.math.ncsu.edu/MA722/ln05.pdf) [3] Craig Smory’nski (2008), “History of Mathematics A Supplement”, Springer [4] Eric Javier Biagioli (2016), Methods for bounding and isolating the real roots of univariate polynomials, D Sc thesis (supervised by Dr Roberto Imbuzeiro Oliveira and Dr Luis Penaranda) [5] Michael Bensimhoun (2016), "Historical account and ultra-simple proofs of Descartes’ rule of signs, De gua, Fourier and Budan’s rules", Jerusalem, https://arXiv:1309.6664v5 [math.HO] 25 Jul 2016 [6] N B Conkwright (1943), An elementary proof of the Budan-Fourier Theorem, The American Mathematical Monthly, Vol 50 (10), pp 603605 [7] Teo Mora (2003), Solving Polynomial Equation Systems I, Cambridge ... HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... số nghiệm thực đa thức 2.2 Định lý Budan-Fourier số nghiệm đa thức khoảng 2.3 Một số ví dụ áp dụng định lý Fourier 2.4 Quy tắc Budan định lý Fourier cho hàm khả vi k lần 2.5 Định. .. Olympic quốc tế Hiện tài liệu đa thức đa dạng phong phú Tuy nhiên, đa số khó học sinh bắt đầu tiếp cận Vì tơi lựa chọn "Định lý Fourier, Định lý Sturm nghiệm đa thức áp dụng" để nghiên cứu phục vụ