Bài toán đặt chỉnh và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ MAI THỊ HỒI AN BÀI TỐN ĐẶT CHỈNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ MAI THỊ HỒI AN BÀI TỐN ĐẶT CHỈNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HOÀNG Thừa Thiên Huế, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Họ tên tác giả Mai Thị Hoài An i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Hồng Trong suốt q trình thực hiện, thầy ln tận tình bảo, động viên cho ý kiến quý báu Tôi xin gửi đến thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Huế, thầy giáo Khoa Tốn trường Đại học sư phạm Huế, Khoa Toán trường Đại học khoa học Huế giúp tơi có kiến thức khoa học điều kiện thuận lợi để hồn thành cơng việc học tập nghiên cứu Chân thành cảm ơn bạn cao học viên Cao học khóa 24, cảm ơn người thân, bạn bè, đồng nghiệp thân thiết hỗ trợ, giúp đỡ tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác suốt thời gian qua Huế, tháng năm 2017 Mai Thị Hoài An ii MỤC LỤC Lời cam đoan .i Lời cảm ơn ii Mục lục Danh mục ký hiệu CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm nửa liên tục 1.1.3 Sự hội tụ yếu không gian định chuẩn 1.1.4 Khả vi Frechet 1.1.5 Hàm liên hiệp Fenchel 1.2 Bài toán tối ưu số tính chất cực trị 1.3 Bài toán đặt chỉnh Hadamard 11 1.4 Siêu hội tụ 11 1.4.1 Sự hội tụ dãy tập đóng 11 1.4.2 Sự hội tụ epi dãy hàm 14 1.1 Một số khái niệm giải tích CHƯƠNG BÀI TỐN ĐẶT CHỈNH 17 17 2.1.1 Đặt chỉnh Tykhonov đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa suy rộng 17 2.1.2 Đặt chỉnh Levitin-Polyak đặt chỉnh mạnh 24 2.2 Tính ổn định 28 2.3 Về khái niệm đặt chỉnh mở rộng 33 2.3.1 Định nghĩa 34 2.1 Một số dạng đặt chỉnh 2.3.2 Một số đặc trưng tính đặt chỉnh mở rộng 34 2.3.3 Sự tương đương tính đặt chỉnh Tykhonov tính đặt chỉnh mở rộng 37 2.3.4 Áp dụng vào toán quy hoạch toán học 37 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 DANH MỤC KÝ HIỆU Ký hiệu N, N∗ , R R c(X) C(X) Ý nghĩa ký hiệu tập hợp số tự nhiên, số nguyên dương, số thực tập hợp số thực mở rộng tập hợp tất tập đóng khơng gian mêtric X tập hợp tất tập lồi đóng khơng gian định chuẩn X diam A đường kính tập hợp A d(x, A) khoảng cách từ điểm x đến tập hợp A D(A, B) khoảng cách hai tập hợp A B e(A, C) độ lệch tập A tập C h(A, C) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp A C B(x, r), B[x, r] hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x bán kính r khơng gian mêtric X rB hình cầu mở tâm O bán kính r không gian định chuẩn X Br [A] {x ∈ X : d(x, A) ≤ r} epi f đồ thị hàm f dom f miền hữu hiệu hàm f fa tập mức hàm f với mức a Min f tập hợp điểm cực tiểu hàm f F(X) {f : X → [−∞; ∞] : f thường lồi } Γ (X) {f ∈ F(X) : f hàm nửa liên tục dưới} xn x dãy (xn ) hội tụ yếu x MỞ ĐẦU Tối ưu hoá lĩnh vực phát triển mạnh toán học nhằm đáp ứng yêu cầu thực tế nhiều lĩnh vực sống kinh tế, xã hội, y học, Khi giải vấn đề thực tế việc tìm giải pháp tối ưu đóng vai trị quan trọng Đó phương án hợp lí nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu cao Bài toán tối ưu lý thuyết tối ưu tốn tìm cực tiểu hàm số f : Rn → R, số ràng buộc Một vấn đề đặt thực mơ hình hóa tốn thực tế số liệu ban đầu thường thu thập thực nghiệm nên chúng có tính chất xấp xỉ Chính điều dẫn đến kết sai lệch Thật có ý nghĩa thay đổi đủ nhỏ kiện ban đầu không làm thay đổi đáng kể nghiệm tối ưu giá trị tối ưu của toán gốc Do đó, bên cạnh chủ đề thuật tốn tìm nghiệm đặt chỉnh lớp tốn tối ưu dành nhiều quan tâm nghiên cứu thời gian gần Tính đặt chỉnh tốn tối ưu tiếp cận theo hai hướng Hướng thứ tính đặt chỉnh Hadamard, Hadamard giới thiệu vào năm 1902, tồn tại, nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm giá trị tối ưu vào thay đổi liệu ban đầu toán tối ưu Hướng thứ hai tính đặt chỉnh Tykhonov, nghiên cứu A.N Tykhonov vào năm 1966, tồn tại, nghiệm hội tụ dãy xấp xỉ đến nghiệm Kiểu đặt chỉnh thứ hai phát biểu cho tốn tối ưu khơng ràng buộc phát triển mạnh tính ứng dụng phương pháp số Trong năm này, E.S.Levitin B.T.Polyak mở rộng tính đặt chỉnh Tykhonov cho tốn tối ưu có ràng buộc xét dãy xấp xỉ nằm tập ràng buộc toán tối ưu khoảng cách từ dãy xấp xỉ đến tập ràng buộc dần Trong năm gần đây, khái niệm đặt chỉnh mở rộng nghiên cứu lớp toán tối ưu phụ thuộc tham số Cụ thể, cho X A khơng gian mêtric, X gọi không gian miền xác định, A gọi không gian liệu Mỗi a ∈ A liên kết với hàm giá trị thực mở rộng fa xác định X, tương ứng với tốn cực tiểu minx∈X fa (x) Tính đặt chỉnh tốn fa địi hỏi tồn nghiệm toán fa phụ thuộc liên tục nghiệm vào thay đổi tham số a Đây mở rộng thực quan trọng thú vị thống ý tưởng tính đặt chỉnh Tykhonov tính ổn định Với kiến thức giải tích trang bị q trình học tập như: khơng gian tơpơ, giải tích lồi, tốn tối ưu, tính nửa liên tục hàm số, , tơi mong muốn tìm hiểu hiểu sâu sắc toán tối ưu đặt chỉnh Do đó, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Hồng, tơi chọn nghiên cứu đề tài "Bài tốn đặt chỉnh số ứng dụng" cho luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn nghiên cứu dạng đặt chỉnh toán tối ưu đặt chỉnh Tykhonov, đặt chỉnh Levitin - Polyak, đặt chỉnh mạnh; tính ổn định nghiệm tốn tối ưu khái niệm đặt chỉnh mở rộng Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Bài toán đặt chỉnh CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương dành để trình bày số kiến thức giải tích sử dụng chương sau, phần lớn nội dung tham khảo từ tài liệu [4],[6] Phần đầu nêu lên số khái niệm giải tích hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, hội tụ yếu, hàm liên hiệp Fenchel khả vi Frechet Phần thứ hai trình bày khái niệm tốn tối ưu tổng qt Trong đề cập đến định lí tồn nghiệm mối liên hệ tập mức với cực trị Phần thứ ba trình bày khái niệm đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard Phần cuối trình bày hội tụ dãy tập hợp c(X) theo số nghĩa khác hội tụ epi dãy hàm Mục đích phần để phục vụ cho việc khảo sát tính ổn định toán tối ưu nhiễu loạn tác động lên tập ràng buộc lên hàm mục tiêu 1.1 Một số khái niệm giải tích 1.1.1 Hàm lồi Cho X không gian tuyến tính Xét phiếm hàm nhận giá trị thực mở rộng f : X → R := [−∞; ∞] Các tập hợp dom f := {x ∈ X : f (x) < ∞}, epi f := {(x, r) ∈ X × R : f (x) ≤ r} gọi miền hữu hiệu đồ thị f Ngoài ra, với a ∈ R, ta gọi tập mức hàm f (với mức a) f a := {x ∈ X : f (x) ≤ a} Định nghĩa 1.1.1 Hàm f : X → [−∞; ∞] gọi thường dom f = ∅ f (x) > −∞ với x ∈ X, gọi hàm lồi Mệnh đề sau làm mà khái niệm đặt chỉnh mạnh hữu ích thuật toán sử dụng phương pháp hàm phạt Chú ý kết tương tự khơng cho tốn mà đơn đặt chỉnh Tykhonov Mệnh đề 2.1.5 Cho X không gian Banach, g ∈ Γ(X) f : X → R hàm nửa liên tục bị chặn Giả sử lim f (x) = ∞ x →∞ có x¯ cho g(¯ x) < Cho A := {x ∈ X : g(x) ≤ 0} giả sử toán cực tiểu (A, f ) đặt chỉnh mạnh Cuối cùng, đặt fn (x) := f (x) + n max{g(x), 0}, cho dãy ( n ) thỏa n → cho xn ∈ X cho fn (xn ) ≤ inf fn (x) + x∈X n , ∀n ∈ N Khi xn → a với a nghiệm tốn (A, f ) Chứng minh Ta có  f (x) fn (x) = f (x) + ng(x) x ∈ A x ∈ X\A Mà f bị chặn g(x) > 0, ∀x ∈ X\A nên −∞ < inf f ≤ inf fn ≤ inf f X X A Khi xn ∈ X\A ta có fn + n − inf f fn (xn ) − f (xn ) inf X X ≤ g(xn ) = n n Do lim sup g(xn ) ≤ Hơn nữa, f (xn ) ≤ fn (xn ) ≤ inf x∈X fn (x) + n nên dãy (xn ) bị chặn Lập dãy (yn ) sau: g(xn ) ≤ đặt yn = xn , g(xn ) > đặt g(xn ) g(xn ) yn = x¯ + (1 − )xn g(xn ) − g(¯ x) g(xn ) − g(¯ x) Khi (yn ) ⊂ A g(xn ) d(xn , yn ) = xn − x¯ → g(xn ) − g(¯ x) 26 Vậy d(xn , A) → Hơn nữa, lim sup f (xn ) ≤ lim sup fn (xn ) ≤ inf f n→∞ n→∞ A nên (xn ) dãy cực tiểu mạnh Vì (A, f ) đặt chỉnh mạnh nên xn → a với a nghiệm toán (A, f ) Mệnh đề 2.1.6 Cho X không gian mêtric đầy đủ, A ⊂ X tập đóng f : X → (−∞, +∞] hàm nửa liên tục Khi khẳng định sau tương đương: (i) Bài toán cực tiểu (A, f ) đặt chỉnh mạnh (ii) inf >0,a>inf A f diam{x ∈ X : f (x) ≤ a d(x, A) ≤ } = Chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho toán cực tiểu (A, f ) đặt chỉnh mạnh Giả sử inf >0,a>inf A f diam{x ∈ X : f (x) ≤ a d(x, A) ≤ } = 2r > Khi tồn hai dãy (an ) ( n ) cho an ↓ inf A f , lim diam{x ∈ X : f (x) ≤ an d(x, A) ≤ n→∞ n} n ↓ = 2r > Với n, tồn xn , yn cho f (xn ) ≤ an , d(xn , A) ≤ n , f (yn ) ≤ an , d(yn , A) ≤ n d(xn , yn ) ≥ r Với cách xác định trên, (xn ), (yn ) dãy cực tiểu hóa Vì (A, f ) đặt chỉnh mạnh nên (xn ), (yn ) hội tụ x¯ điểm cực tiểu f A, điều vơ lí d(xn , yn ) ≥ r > Vậy ta phải có inf >0,a>inf A f diam{x ∈ X : f (x) ≤ a d(x, A) ≤ } = (ii) ⇒ (ii) Giả sử inf >0,a>inf A f diam{x ∈ X : f (x) ≤ a d(x, A) ≤ } = Khi đó, với δ > 0, tồn > a > inf A f cho diam{x ∈ X : f (x) ≤ a d(x, A) ≤ } < δ Gọi (xn ) dãy cực tiểu mạnh, tức lim sup f (xn ) ≤ inf f d(xn , A) → A Khi đó, với > trên, tồn số tự nhiên n0 để f (xn ) ≤ a d(xn , A) ≤ , ∀n ≥ n0 Và d(xn , xm ) ≤ diam{x ∈ X : f (x) ≤ a d(x, A) ≤ } < δ, ∀m, n ≥ n0 27 hay (xn ) dãy Cauchy Mà X không gian mêtric đầy đủ nên (xn ) hội tụ điểm x¯ ∈ X Vì d(xn , A) → A tập đóng nên x¯ ∈ A Vì f nửa liên tục nên f (¯ x) ≤ lim inf f (xn ) ≤ lim sup f (xn ) ≤ inf f n→∞ A n→∞ hay x¯ điểm cực tiểu f A Vậy toán (A, f ) đặt chỉnh mạnh Ví dụ 2.1.6 Cho A ⊂ Rn tập lồi đóng, f : Rn → R hàm lồi, nửa liên tục có điểm cực tiểu A Khi tốn (A, f ) đặt chỉnh Levitin-Polyak (và đặt chỉnh mạnh) 2.2 Tính ổn định Phần dành để trình bày ổn định tốn cực tiểu có ràng buộc Trước hết, ta xem xét nhiễu loạn tác động lên tập ràng buộc Cho X không gian mêtric, f : X → R hàm nhận giá trị thực liên tục X (A, f ) toán cực tiểu hàm f tập A ⊂ X Giả sử (c(X), τ ) siêu tôpô c(X) Dãy tập (An ) hội tụ A c(X), kí hiệu An → A, D(An , F ) → D(A, F ), ∀F ∈ Ω, Ω ⊂ c(X) Xét hàm v : (c(X), τ ) → [−∞, +∞], v(A) = inf{f (x) : x ∈ A} Định lý 2.2.1 Cho A, An ∈ c(X) thỏa mãn điều kiện sau: (i) a ∈ R cho f a = {x ∈ X : f (x) ≤ a} = ∅ f a ∈ Ω; (ii) D(A, E) = lim D(An , E), ∀E ∈ Ω; (iii) inf{f (x) : x ∈ X} = inf >0 inf{f (x); x ∈ B [A]} Khi v(A) := inf x∈A f (x) = lim v(An ) n→∞ Chứng minh Ta phải chứng minh lim inf v(An ) ≥ v(A) Bằng phản chứng, giả sử có dãy (An ), mà để đơn giản ta kí hiệu 28 với số n số thực a cho v(An ) < a < v(a) Vì v(An ) = inf{f (x) : x ∈ An } < a nên tồn x ∈ An cho f (x) < a hay x ∈ f a Vậy An ∩f a = ∅ Từ điều kiện (i) (ii) ta D(A, f a ) = có dãy (ak ) ⊂ f a cho d(ak , A) = Với > 0, từ số hạng trở ta có d(ak , A) < hay ak ∈ B [A] Theo điều kiện (iii) ta f (ak ) > a, mâu thuẫn với ak ∈ f a Kết hợp với tính nửa liên tục hàm v ta v(A) = lim v(An ) n→∞ Từ chứng minh ta thấy thay điều kiện (iii) điều kiện D(A, E) = ⇒ A ∩ E = ∅, ∀E ∈ Ω kết Định lí 2.2.1 Điều kiện (iii) định lí mang tính kỹ thuật Sau vài trường hợp cụ thể mà điều kiện thỏa mãn Mệnh đề 2.2.1 Mỗi điều kiện sau suy điều kiện (iii) định lí • Có > cho f liên tục B [A] • Bài tốn (A, f ) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng Chứng minh Cho toán (A, f ) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng Đặt a = inf >0 inf{f (x); x ∈ B [A]} Vì B [A] ⊃ A với > nên a ≤ inf{f (x) : x ∈ A} Ta cần chứng minh inf{f (x) : x ∈ A} ≥ a Theo định nghĩa infimum, tồn dãy (xn ) cho f (xn ) < a + n1 d(xn , A) < n1 Khi lim sup f (xn ) ≤ a ≤ inf A f d(xn , A) = hay (xn ) dãy cực tiểu mạnh Do (xn ) có dãy hội tụ điểm cực tiểu hàm f A Vậy inf A f ≤ a Các hệ sau rút trực tiếp từ kết Hệ 2.2.1 Cho X không gian mêtric Cho f : X → R liên tục với tập mức compact Cho (An ) dãy tập đóng hội tụ theo nghĩa Wijsman A Khi v(A) = lim v(An ) n→∞ 29 Chứng minh Tôpô Wijsman xác định hội tụ hàm khoảng cách D(An , F ) → D(A, F ), ∀F ∈ Ω với Ω họ tập compact X Do hai điều kiện đầu định lí 2.2.1 thỏa mãn Hơn nữa, với tính compact tập mức dãy cực tiểu mạnh có dãy hội tụ điểm cực tiểu f A Do tốn (A, f ) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng Đây điều kiện để suy (iii) Định lí 2.2.1 Vậy v(A) = lim v(An ) n→∞ Hệ 2.2.2 Cho X không gian mêtric Cho f : X → R liên tục Cho (An ) dãy tập đóng hội tụ A với tơpơ proximal Hơn nữa, giả sử tốn (A, f ) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng Khi v(A) = lim v(An ) n→∞ Chứng minh Tơpơ proximal xác định hội tụ hàm khoảng cách với Ω họ tập đóng X Với tính liên tục hàm f tính đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng toán (A, f ) nên điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn Vậy v(A) = lim v(An ) n→∞ Hệ 2.2.3 Cho X không gian mêtric Cho f : X → R liên tục với tập mức bị chặn Cho (An ) dãy tập đóng hội tụ A với tôpô proximal bị chặn Hơn nữa, giả sử toán (A, f ) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng Khi v(A) = lim v(An ) n→∞ Chứng minh Tôpô proximal bị chặn xác định hội tụ hàm khoảng cách với Ω họ tập đóng bị chặn X Các tập mức f đóng bị chặn nên thuộc Ω Cùng với tính đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng toán (A, f ) điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn Vậy v(A) = lim v(An ) n→∞ Hệ 2.2.4 Cho X không gian định chuẩn Cho f : X → R hàm liên tục lồi Cho (An ) dãy tập lồi đóng hội tụ A 30 với tơpơ tuyến tính Hơn nữa, giả sử toán (A, f ) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng Khi v(A) = lim v(An ) n→∞ Chứng minh Tơpơ tuyến tính xác định hội tụ hàm khoảng cách với Ω họ tập lồi đóng X Vì hàm f liên tục lồi nên tập mức f tập lồi đóng Cùng với tính đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng tốn (A, f ) điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn Vậy v(A) = lim v(An ) n→∞ Hệ 2.2.5 Cho X không gian định chuẩn Cho f : X → R hàm liên tục, lồi có tập mức bị chặn Cho (An ) dãy tập lồi đóng hội tụ A với tơpơ slice Hơn nữa, giả sử tốn (A, f ) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng Khi v(A) = lim v(An ) n→∞ Chứng minh Tôpô slice xác định hội tụ hàm khoảng cách với Ω họ tập lồi đóng bị chặn X Các tập mức f tập lồi đóng bị chặn nên thuộc Ω Cùng với tính đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng tốn (A, f ) điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn Vậy v(A) = lim v(An ) n→∞ Cho X không gian Banach phản xạ, hàm f : X → R lồi nửa liên tục Xét toán cực tiểu hàm f tập lồi đóng C Ta tiếp tục tìm hiểu tính ổn định toán trước thay đổi tập ràng buộc Trước hết, đưa kết bổ trợ chứng minh chi tiết tài liệu [6] Mệnh đề 2.2.2 Cho X không gian Banach phản xạ f ∈ Γ (X) Giả sử f có điểm cực tiểu tập lồi đóng C X Khi lựa chọn sau đúng: • Min f tập khơng bị chặn; • f a tập bị chặn với a ∈ R Mệnh đề 2.2.3 Cho X không gian Banach phản xạ f : X → R hàm lồi liên tục Hơn nữa, giả sử f có tập mức bị chặn 31 có điểm cực tiểu tập lồi đóng Cho Cn , C ∈ C(X) M cho Cn −→ C Khi inf f → inf f, Cn C MinCn f MinC f Chứng minh Theo giả thiết, f có có điểm cực tiểu tập lồi đóng nên ta đặt cn = MinCn f, c = MinC f M Vì Cn −→ C nên với c ∈ C tồn dãy (xn ) cho xn → c Do lim sup f (cn ) ≤ lim sup f (xn ) = f (c) Từ suy dãy (cn ) bị chặn chứa tập mức bị chặn (chẳng hạn tập mức có độ cao f (c) + 1) Khi có dãy (cnj ) điểm c¯ ∈ C cho cnj c¯ Hơn nữa, inf f ≥ lim sup f (cnj ) = f (¯ c) C nên c¯ điểm cực tiểu f C Vì C hàm f có điểm cực tiểu nên c¯ = c Vậy cn c¯ Nếu thêm vào mệnh đề giả thiết toán (A, f ) đặt chỉnh Tykhonov tập lồi đóng A ta kết mạnh hội tụ điểm cực tiểu Đây kết quan trọng mối liên hệ tính ổn định toán với hội tụ Mosco tập ràng buộc tính đặt chỉnh Tykhonov Định lý 2.2.2 Cho X không gian Banach phản xạ, f : X → R hàm lồi, liên tục, bị chặn tập bị chặn toán (A, f ) đặt chỉnh Tykhonov tập lồi đóng A ⊂ X Cho Cn , C ⊂ X tập lồi đóng X Khi M Cn −→ C ⇒ MinCn f → MinC f Chứng minh Gọi x¯ điểm cực tiểu hàm f X Vì (A, f ) đặt chỉnh Tykhonov tập lồi đóng nên MinCn f, MinC f đơn tử, ta kí hiệu chúng cn c Từ kết Mệnh đề 2.2.3, ta cn c¯ 32 Xét trường hợp c = x¯ Vì f (cn ) → f (c) = inf X f nên dãy (cn ) dãy cực tiểu toán (X, f ) Mà toán (X, f ) đặt chỉnh Tykhonov nên cn → c Trong trường hợp c = x¯, đặt a = f (c) Vì f hàm liên tục nên x¯ ∈ int f a Với hai tập lồi đóng khác rỗng rời f a C, có siêu phẳng tách chúng Khi có 0∗ = x∗ ∈ X ∗ , r ∈ R cho C ⊂ H + := {x ∈ X : x∗ , x ≥ r} f a ⊂ H − := {x ∈ X : x∗ , x ≤ r} Kí hiệu H := {x ∈ X : x∗ , x = r} H0 := {x ∈ X : x∗ , x = 0} Khi tồn l ∈ X cho x∗ , l = X = H0 ⊕ sp{l}, sp{l} khơng gian sinh l Với x ∈ X tồn x0 ∈ H0 m ∈ R cho x = x0 +ml Do với n ta ln tìm xn ∈ H0 , mn ∈ R cho cn −c = xn +mn l Ta có x∗ , cn − c = mn x∗ , l Vì cn → c nên lim x∗, cn − c = Do mn → hay cn − (c + xn ) → Vì f liên tục tập bị chặn nên |f (cn ) − f (c + xn )| → Do c + xn ∈ H f (c + xn ) → f (c) Hơn nữa, c điểm cực tiểu f H Thật vậy, ta có c ∈ H Giả sử tồn c ∈ H cho f (c ) < f (c) c ∈ int f a c ∈ / H, mâu thuẫn Mặt khác, toán (H, f ) đặt chỉnh Tykhonov nên c + xn → c cn → c 2.3 Về khái niệm đặt chỉnh mở rộng Phần trình bày khái niệm đặt chỉnh giới thiệu năm gần Trong nêu lên định nghĩa, số đặc trưng tính đặt chỉnh xem xét tương đương tính đặt chỉnh Tykhonov với tính đặt chỉnh 33 2.3.1 Định nghĩa Cho X A khơng gian mêtric, X gọi không gian miền xác định, A gọi không gian liệu Với a ∈ A liên kết với hàm giá trị thực mở rộng fa xác định X Khi a ∈ A tương ứng với toán cực tiểu minx∈X fa (x) Định nghĩa 2.3.1 Ta nói tốn a ∈ A đặt chỉnh mở rộng hay đơn giản đặt chỉnh (i) Tồn x0 ∈ X cho fa (x0 ) ≤ fa (x), ∀x ∈ X (ii) Với dãy an ⊂ A cho an → a, inf fan hữu hạn, (xn ) ⊂ X cho fan (xn ) − inf fan → xn → x0 2.3.2 Một số đặc trưng tính đặt chỉnh mở rộng Mệnh đề 2.3.1 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, a ∈ A cho hàm liên kết fa nửa liên tục Giả sử a đặt chỉnh Khi lim diam {∪fbinf fb +δ : d(a, b) < δ} = δ→0 Ngược lại, giả sử (i) Hàm giá trị inf(.) hữu hạn quanh điểm a; (ii) lim diam {∪fbinf fb +δ : d(a, b) < δ} = δ→0 Khi a đặt chỉnh Chứng minh Đặt Aδ = {∪fbinf fb +δ : d(a, b) < δ} Giả sử a đặt chỉnh Bằng phản chứng, giả sử lim diam Aδ = 2r > δ→0 Khi tồn dãy (δn ) hội tụ cho diam Aδn ≥ 2r, ∀n ∈ N Với n ∈ N, chọn xn , yn ∈ Aδn thỏa mãn d(xn , yn ) ≥ r Khi tồn an , bn cho d(a, bn ) < δn , d(a, bn ) < δn fan (xn ) ≤ inf fan +δn , fbn (yn ) ≤ inf fbn +δn 34 Vậy an → a, bn → b fan (xn )−inf fan → 0, fbn (yn )−inf fbn → 0, n → ∞ Vì a đặt chỉnh nên xn → x0 , yn → x0 với x0 nghiệm toán fa Điều mâu thuẫn với d(xn , yn ) ≥ r, ∀n ∈ N Vậy lim diam Aδ = δ→0 Tiếp theo, ta chứng minh điều ngược lại Vì fainf fa +δ ⊂ Aδ với δ > nên từ giả thiết (ii) ta có lim diam fainf fa +δ = Theo tiêu chuẩn δ→0 Furi-Vignoli tốn fa đặt chỉnh Tykhonov đặc biệt có nghiệm x¯ ∈ δ>0 Aδ Giả sử (an ) ⊂ A, an → a (xn ) ⊂ X, fan (xn ) − inf fan → Với > 0, lim diam Aδ = nên tồn 0≤δ< cho ta có diam Aδ < Cố định δ ∈ (0; ), tồn n0 ∈ N δ→0 cho với δ mà d(an , a) < δ fan (xn ) − inf fan < δ với n > n0 hay xn ∈ Aδ , ∀n > n0 Vậy với > 0, tồn n0 ∈ N cho d(xn , xm ) ≤ diam Aδ < với m, n > n0 Do (xn ) dãy Cauchy nên hội tụ x0 ∈ X Ta thấy với δ > 0, tồn nδ cho xn ∈ Aδ , ∀n > nδ Vậy x0 ∈ δ>0 Aδ Hơn nữa, lim diam Aδ = nên δ>0 Aδ đơn tử Do δ→0 x0 = x¯ hay (xn ) hội tụ đến nghiệm toán fa hay a đặt chỉnh Định nghĩa 2.3.2 Cho D ⊂ R2+ cho (0, 0) ∈ D Hàm c : D → [0; +∞) gọi hàm buộc c(0, 0) = 0; (tn , sn ) ∈ D với n, sn → 0, c(tn , sn ) → tn → Mệnh đề 2.3.2 Cho (X, d) không gian mêtric, (A, δ) không gian mêtric khác giả sử a ∈ A đặt chỉnh Khi tồn 35 hàm buộc c x¯ ∈ X cho fb (x) ≥ inf fb + c[(d(x, x¯), δ(a, b))], (2.3) với x ∈ X b ∈ A Ngược lại, giả sử inf(.) hữu hạn quanh điểm a tồn hàm buộc c điểm x¯ thỏa mãn (2.3) Khi a đặt chỉnh Chứng minh Giả sử a đặt chỉnh với nghiệm x¯ Với t ≥ 0, s ≥ 0, đặt c(t, s) = inf inf (fb (x) − inf fb ) δ(a,b)=s d(x,¯ x)=t Khi hàm c(., ) thỏa mãn (2.3) c(t, s) ≥ với (t, s) ∈ R2+ , c(0, 0) = fa (¯ x)−inf fa = Xét (tn , sn ) ∈ D với n, sn → 0, c(tn , sn ) → Theo định nghĩa infimum, với n ∈ N, tồn bn , xn cho δ(a, bn ) = sn , d(xn , x¯) = tn cho fbn (xn ) − inf fbn ≤ c(tn , sn ) + n Do bn → a c(tn , sn ) → nên fbn (xn ) − inf fbn → Mà a đặt chỉnh nên xn → x¯ hay tn → Vậy c hàm buộc Ngược lại, cho dãy (xn ) thỏa mãn fa (xn ) → inf fa Từ (2.3) ta có fa (xn ) ≥ inf fa + c[(d(xn , x¯), 0)] Do c[(d(xn , x¯), 0)] → Vì c hàm buộc nên xn → x¯ Hơn nữa, fa hàm nửa liên tục nên fa (¯ x) ≤ lim inf fa (xn ) ≤ lim fa (xn ) = inf fa xn →¯ x xn →¯ x hay x¯ điểm cực tiểu fa Tiếp theo, giả sử (an ) ⊂ A, an → a (xn ) ⊂ X, fan (xn ) − inf fan → Ta có fan (xn ) ≥ inf fan + c[(d(xn , x¯), δ(a, an ))] Do c[(d(xn , x¯), δ(a, an ))] Mà δ(a, an ) → nên d(xn , x¯) → hay xn → x¯ Vậy a đặt chỉnh 36 2.3.3 Sự tương đương tính đặt chỉnh Tykhonov tính đặt chỉnh mở rộng Dựa vào định nghĩa, tốn f đặt chỉnh f đặt chỉnh Tykhonov Sau số lớp toán quan trọng mà tính đặt chỉnh Tykhonov dẫn đến tính đặt chỉnh mở rộng Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Cho F(X) họ hàm số xác định X trang bị với tôpô khả mêtric hội tụ tập bị chặn X Cho F(X) bốn trường hợp sau: (i) F(X) := {f : X → R : f hàm nửa liên tục f (x) ≥ ψ(x), ∀x ∈ X}, ψ hàm bị chặn X (ii) F(X) := {f : X → R : f hàm liên tục f (x) ≥ ψ(x), ∀x ∈ X}, ψ hàm bị chặn X (iii) X không gian Banach thực F(X) := {f : X → R : hàm liên tục, nửa lồi bị chặn tập bị chặn} (iv) X không gian Banach thực F(X) := {f : X → R : f hàm liên tục l Khi đó, f ∈ F(X) đặt chỉnh Tykhonov f đặt chỉnh mở rộng 2.3.4 Áp dụng vào toán quy hoạch toán học Nhắc lại toán quy hoạch toán học Cho C ⊂ X tập đóng lồi khác rỗng không gian Euclide X Giả sử k : C → R hàm lồi, nửa liên tục hàm g : X → Rm hàm liên tục với thành phần lồi Xét toán (P) : inf k(x) = inf f (x), x∈C,g(x)≤0 x∈X f (x) := k(x) x ∈ C g(x) ≤ 0, ∞ trường hợp lại Điều kiện g(x) = (g1 (x), g2 (x), , gm (x)) ≤ nghĩa gi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m Trong trường hợp này, A = Rm với mêtric Euclide 37 a ∈ A liên kết với hàm fa (x) := k(x) x ∈ C g(x) ≤ a, ∞ trường hợp cịn lại Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.3.3 Giả sử có điểm x¯ thỏa mãn điều kiện ràng buộc quy gi (¯ x) < 0, ∀i Giả sử thêm tồn a ∈ Rm cho > 0, i = 1, 2, , m Aa := {x ∈ X : g(x) ≤ a} tập khác rỗng, bị chặn, đồng thời tồn b ∈ R cho với x ∈ Aa k(x) ≤ b Khi đó, tốn (P) có nhiều nghiệm đặt chỉnh Chứng minh Đặt d = gi (¯ x) < Với a cho d < a < a ta có x¯ ∈ Aa (hay Aa khác rỗng) Aa ⊂ Aa Hơn nữa, Aa tập compact nên Aa tập compact Vậy toán Pa với hàm fa (x) := k(x) x ∈ C g(x) ≤ a , ∞ trường hợp cịn lại có nghiệm inf fa = minAa fa Lấy dãy (an ) hội tụ Khi Aan tập compact khác rỗng, có tính chất giao hữu hạn nên ∩∞ n=1 Aan = ∅ Lấy xn ∈ Aan với fan (xn ) = inf fan , có dãy kí hiệu xn → x0 thỏa điều kiện g(x0 ) ≤ an với n ∈ N nên x0 ∈ A0 38 KẾT LUẬN Trong luận văn thu kết sau: Trình bày số khái niệm kết giải tích hàm: hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, hội tụ yếu, hàm liên hiệp Fenchel khả vi Frechet Trình bày sơ lược khái niệm tốn tối ưu số tính chất liên quan đến nghiệm Hệ thống lại khái niệm hội tụ dãy tập đóng theo nghĩa khác Phân tích hội tụ dãy hàm theo epigraph chúng Trình bày dạng đặt chỉnh tốn tối ưu Trong nêu lên định nghĩa, đặc trưng dạng đặt chỉnh tìm mối liên hệ chúng Dựa vào hội tụ dãy tập đóng, hội tụ dãy hàm theo epigraph để phân tích tính ổn định tốn tối ưu có ràng buộc Trình bày khái niệm đặt chỉnh mở rộng toán tối ưu Phân tích số đặc trưng tính đặt chỉnh Qua trình thực hiện, luận văn giúp nắm vấn đề giải tích, biết thêm khái niệm hội tụ dãy tập, dãy hàm Đặc biệt, tơi có nhìn tổng quan toán tối ưu đặt chỉnh lịch sử phát triển lĩnh vực Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực tìm tịi nghiên cứu kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ quý thầy cô giáo bạn Xin chân thành cảm ơn! 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hoàng (2014), Giải tích hàm (Giáo trình dành cho học viên cao học chuyên ngành Toán), Đại học sư phạm Huế [3] Nguyễn Mậu Nam (2001), Tính đặt chỉnh tính ổn định toán tối ưu, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học sư phạm Huế [4] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, Nhà xuất giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [5] Dontchev A.L , Zolezzi T (1993), Well-posed Optimization Problems, Springer-Verlag Berlin Heidelber [6] Lucchetti R.(2006), Convexity and Well-Posed Problems, SpringerVerlag New York [7] Rockafellar R.T., Wets R.J.-B (1998), Variational Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelber 40 ... x¯ Vậy a đặt chỉnh 36 2.3.3 Sự tương đương tính đặt chỉnh Tykhonov tính đặt chỉnh mở rộng Dựa vào định nghĩa, tốn f đặt chỉnh f đặt chỉnh Tykhonov Sau số lớp toán quan trọng mà tính đặt chỉnh Tykhonov... đích luận văn nghiên cứu dạng đặt chỉnh toán tối ưu đặt chỉnh Tykhonov, đặt chỉnh Levitin - Polyak, đặt chỉnh mạnh; tính ổn định nghiệm toán tối ưu khái niệm đặt chỉnh mở rộng Ngoài phần mở đầu,... 34 2.1 Một số dạng đặt chỉnh 2.3.2 Một số đặc trưng tính đặt chỉnh mở rộng 34 2.3.3 Sự tương đương tính đặt chỉnh Tykhonov tính đặt chỉnh mở rộng