Nhắc lại bài toán quy hoạch toán học. Cho C ⊂ X là tập đóng lồi khác rỗng trong không gian Euclide X. Giả sử k : C → R là hàm lồi, nửa liên tục dưới và hàm g : X → Rm là hàm liên tục với các thành phần lồi. Xét bài toán
(P) : inf x∈C,g(x)≤0 k(x) = inf x∈Xf(x), trong đó f(x) := ( k(x) nếu x ∈ C và g(x) ≤0,
∞ trong các trường hợp còn lại.
Điều kiện g(x) = (g1(x), g2(x), ..., gm(x)) ≤ 0 nghĩa là gi(x) ≤ 0, i = 1,2, ..., m. Trong trường hợp này, A = Rm với mêtric Euclide và mỗi
a ∈ A được liên kết với một hàm
fa(x) :=
(
k(x) nếu x ∈ C và g(x) ≤a,
∞ trong các trường hợp còn lại. Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.3.3. Giả sử có ít nhất một điểm x¯ thỏa mãn điều kiện ràng buộc chính quy gi(¯x) < 0,∀i. Giả sử thêm rằng tồn tại a ∈ Rm sao cho
ai > 0, i= 1,2, ..., m và
Aa := {x∈ X : g(x) ≤ a}
là tập khác rỗng, bị chặn, đồng thời tồn tại b ∈ R sao cho với mọi x ∈ Aa
thì k(x) ≤ b. Khi đó, nếu bài toán (P) có nhiều nhất một nghiệm thì nó đặt chỉnh.
Chứng minh. Đặt d = gi(¯x) < 0. Với mọi a0 sao cho d < a0 < a ta có
¯
x ∈ Aa0 (hay Aa0 khác rỗng) và Aa0 ⊂ Aa. Hơn nữa, Aa là tập compact nên Aa0 cũng là tập compact. Vậy bài toán Pa0 với hàm
fa0(x) :=
(
k(x) nếu x ∈ C và g(x) ≤ a0,
∞ trong các trường hợp còn lại. là có nghiệm inffa0 = minAa0 fa0.
Lấy dãy (an) hội tụ về 0. Khi đó Aan là các tập compact khác rỗng, có tính chất giao hữu hạn nên ∩∞
n=1Aan 6= ∅. Lấy xn ∈ Aan với
fan(xn) = inffan, khi ấy có dãy con cũng kí hiệu xn → x0 thỏa điều kiện
KẾT LUẬN
Trong luận văn này chúng tôi đã thu được các kết quả sau:
1. Trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích hàm: hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, sự hội tụ yếu, hàm liên hiệp Fenchel và khả vi Frechet. Trình bày sơ lược về khái niệm bài toán tối ưu và một số tính chất liên quan đến nghiệm của nó. Hệ thống lại khái niệm về sự hội tụ của dãy các tập đóng theo các nghĩa khác nhau. Phân tích sự hội tụ của dãy các hàm theo epigraph của chúng. 2. Trình bày các dạng đặt chỉnh của bài toán tối ưu. Trong đó nêu lên
định nghĩa, các đặc trưng của mỗi dạng đặt chỉnh và tìm mối liên hệ giữa chúng.
3. Dựa vào sự hội tụ của các dãy tập đóng, sự hội tụ của dãy hàm theo epigraph để phân tích tính ổn định của bài toán tối ưu có ràng buộc.
4. Trình bày về một khái niệm đặt chỉnh mở rộng của bài toán tối ưu. Phân tích được một số đặc trưng của tính đặt chỉnh này.
Qua quá trình thực hiện, luận văn này đã giúp tôi nắm chắc hơn về các vấn đề cơ bản của giải tích, được biết thêm về các khái niệm hội tụ của dãy tập, dãy hàm. Đặc biệt, tôi đã có được cái nhìn tổng quan về các bài toán tối ưu đặt chỉnh cũng như lịch sử phát triển của lĩnh vực này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nỗ lực tìm tòi và nghiên cứu nhưng do kiến thức còn hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung lẫn hình thức. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ quý thầy cô giáo và các bạn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Hoàng (2014), Giải tích hàm (Giáo trình dành cho học viên cao học các chuyên ngành Toán), Đại học sư phạm Huế.
[3] Nguyễn Mậu Nam (2001), Tính đặt chỉnh và tính ổn định của bài toán tối ưu, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học sư phạm Huế.
[4] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
Tiếng Anh
[5] Dontchev A.L , Zolezzi T. (1993), Well-posed Optimization Prob- lems, Springer-Verlag Berlin Heidelber.
[6] Lucchetti R.(2006), Convexity and Well-Posed Problems, Springer- Verlag New York.
[7] Rockafellar R.T., Wets R.J.-B. (1998), Variational Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelber.