Phần này dành để trình bày về sự ổn định của bài toán cực tiểu có các ràng buộc. Trước hết, ta đi xem xét những nhiễu loạn chỉ tác động lên tập ràng buộc.
Cho X là không gian mêtric, f : X → R là một hàm nhận giá trị thực liên tục trên X và (A, f) là bài toán cực tiểu của hàm f trên tập
A ⊂ X. Giả sử (c(X), τ) là một siêu tôpô trên c(X). Dãy tập (An) hội tụ về A trong c(X), kí hiệu An → A, nếu và chỉ nếu
D(An, F) →D(A, F), ∀F ∈ Ω,
trong đó Ω ⊂ c(X). Xét hàm
v : (c(X), τ) →[−∞,+∞], v(A) = inf{f(x) : x ∈ A}.
Định lý 2.2.1. Cho A, An ∈ c(X) và thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) nếu a ∈ R sao cho fa = {x ∈ X : f(x) ≤a} 6= ∅ thì fa ∈ Ω;
(ii) D(A, E) = limD(An, E), ∀E ∈ Ω;
(iii) inf{f(x) : x ∈ X} = inf>0inf{f(x);x ∈ B[A]}. Khi đó v(A) := infx∈Af(x) = lim
n→∞v(An).
Chứng minh. Ta phải chứng minh lim infv(An) ≥ v(A). Bằng phản chứng, giả sử có dãy con của (An), mà để đơn giản ta cũng kí hiệu
với chỉ số n và số thực a sao cho
v(An) < a < v(a).
Vì v(An) = inf{f(x) : x ∈ An} < a nên tồn tại x ∈ An sao cho f(x) < a
hayx ∈ fa. VậyAn∩fa 6= ∅. Từ điều kiện (i) và (ii) ta đượcD(A, fa) = 0
và do đó có một dãy (ak) ⊂ fa sao cho d(ak, A) = 0. Với mọi > 0, từ một số hạng nào đó trở đi ta có d(ak, A) < hay ak ∈ B[A]. Theo điều kiện (iii) ta được f(ak) > a, mâu thuẫn với ak ∈ fa. Kết hợp với tính nửa liên tục trên của hàm v ta được v(A) = lim
n→∞v(An).
Từ chứng minh trên ta thấy rằng nếu thay điều kiện (iii) bởi điều kiện
D(A, E) = 0 ⇒A∩E 6= ∅, ∀E ∈ Ω
thì kết quả của Định lí 2.2.1 vẫn đúng. Điều kiện (iii) trong định lí trên chỉ mang tính kỹ thuật. Sau đây là một vài trường hợp cụ thể mà điều kiện này được thỏa mãn.
Mệnh đề 2.2.1. Mỗi điều kiện sau suy ra điều kiện (iii) của định lí trên.
• Có > 0 sao cho f liên tục đều trên B[A].
• Bài toán (A, f) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng.
Chứng minh. Cho bài toán (A, f) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng. Đặt a = inf>0inf{f(x);x ∈ B[A]}. Vì B[A] ⊃ A với mọi > 0 nên
a ≤ inf{f(x) : x ∈ A}. Ta cần chứng minh inf{f(x) : x ∈ A} ≥ a. Theo định nghĩa infimum, tồn tại một dãy (xn) sao cho f(xn) < a+ n1
và d(xn, A) < 1n. Khi đó lim supf(xn) ≤ a ≤ infAf và d(xn, A) = 0 hay
(xn) là một dãy cực tiểu mạnh. Do đó (xn) có một dãy con hội tụ về một điểm cực tiểu của hàm f trên A. Vậy infAf ≤ a.
Các hệ quả sau đây được rút ra trực tiếp từ các kết quả trên. Hệ quả 2.2.1. Cho X là một không gian mêtric. Cho f : X → R liên tục với các tập mức dưới compact. Cho (An) là một dãy các tập đóng hội tụ theo nghĩa Wijsman về A. Khi đó v(A) = lim
Chứng minh. Tôpô Wijsman được xác định bởi sự hội tụ của hàm khoảng cách
D(An, F) →D(A, F), ∀F ∈ Ω
với Ω là họ các tập con compact của X. Do đó hai điều kiện đầu của định lí 2.2.1 được thỏa mãn. Hơn nữa, với tính compact của các tập mức thì các dãy cực tiểu mạnh đều có một dãy con hội tụ về một điểm cực tiểu của f trên A. Do đó bài toán (A, f) đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng. Đây là điều kiện để suy ra (iii) trong Định lí 2.2.1. Vậy
v(A) = lim
n→∞v(An).
Hệ quả 2.2.2. Cho X là một không gian mêtric. Cho f : X → R liên tục. Cho (An) là một dãy các tập đóng hội tụ về A với tôpô proximal. Hơn nữa, giả sử bài toán (A, f) là đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng. Khi đó v(A) = lim
n→∞v(An).
Chứng minh. Tôpô proximal được xác định bởi sự hội tụ của các hàm khoảng cách với Ω là họ các tập con đóng của X. Với tính liên tục của hàm f và tính đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng của bài toán
(A, f) nên các điều kiện của Định lí 2.2.1 được thỏa mãn. Vậy v(A) = lim
n→∞v(An).
Hệ quả 2.2.3. Cho X là một không gian mêtric. Cho f : X → R liên tục với các tập mức dưới bị chặn. Cho (An) là một dãy các tập đóng hội tụ về A với tôpô proximal bị chặn. Hơn nữa, giả sử bài toán (A, f) là đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng. Khi đó v(A) = lim
n→∞v(An).
Chứng minh. Tôpô proximal bị chặn được xác định bởi sự hội tụ của các hàm khoảng cách với Ω là họ các tập con đóng bị chặn của X. Các tập mức dưới của f đóng và bị chặn nên thuộc Ω. Cùng với tính đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng của bài toán (A, f) thì các điều kiện của Định lí 2.2.1 được thỏa mãn. Vậy v(A) = lim
n→∞v(An).
Hệ quả 2.2.4. Cho X là một không gian định chuẩn. Cho f : X → R
với tôpô tuyến tính. Hơn nữa, giả sử bài toán (A, f) là đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng. Khi đó v(A) = lim
n→∞v(An).
Chứng minh. Tôpô tuyến tính được xác định bởi sự hội tụ của các hàm khoảng cách với Ω là họ các tập con lồi đóng của X. Vì hàm f liên tục và lồi nên các tập mức dưới của f là các tập lồi đóng. Cùng với tính đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng của bài toán (A, f) thì các điều kiện của Định lí 2.2.1 được thỏa mãn. Vậy v(A) = lim
n→∞v(An).
Hệ quả 2.2.5. Cho X là một không gian định chuẩn. Cho f : X → R
là hàm liên tục, lồi và có các tập mức dưới bị chặn. Cho (An) là một dãy các tập lồi đóng hội tụ về A với tôpô slice. Hơn nữa, giả sử bài toán
(A, f) là đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng. Khi đó v(A) = lim
n→∞v(An). Chứng minh. Tôpô slice được xác định bởi sự hội tụ của các hàm khoảng cách với Ω là họ các tập con lồi đóng bị chặn của X. Các tập mức dưới của f là các tập lồi đóng bị chặn nên thuộc Ω. Cùng với tính đặt chỉnh mạnh theo nghĩa suy rộng của bài toán (A, f) thì các điều kiện của Định lí 2.2.1 được thỏa mãn. Vậy v(A) = lim
n→∞v(An).
Cho X là một không gian Banach phản xạ, hàm f : X → R lồi và nửa liên tục dưới. Xét bài toán cực tiểu của hàm f trên một tập lồi đóng
C. Ta tiếp tục tìm hiểu về tính ổn định của bài toán trước sự thay đổi của tập ràng buộc. Trước hết, chúng tôi đưa ra một kết quả bổ trợ đã được chứng minh chi tiết trong tài liệu [6].
Mệnh đề 2.2.2. Cho X là không gian Banach phản xạ và f ∈ Γ(X). Giả sử f có một điểm cực tiểu trên mỗi tập lồi đóng C của X. Khi đó một và chỉ một trong các lựa chọn sau đúng:
• Minf là một tập không bị chặn;
• fa là một tập bị chặn với mọi a ∈ R.
Mệnh đề 2.2.3. Cho X là không gian Banach phản xạ và f : X → R
chỉ có một điểm cực tiểu trên mỗi tập lồi đóng. Cho Cn, C ∈ C(X) sao cho Cn −M→C. Khi đó inf Cn f → inf C f, MinCnf * MinCf.
Chứng minh. Theo giả thiết, f có chỉ có một điểm cực tiểu trên mỗi tập lồi đóng nên ta có thể đặt
cn = MinCnf, c = MinCf.
Vì Cn −M→ C nên với c ∈ C tồn tại dãy (xn) sao cho xn → c. Do đó
lim supf(cn) ≤ lim supf(xn) =f(c).
Từ đó cũng suy ra rằng dãy (cn) bị chặn vì nó được chứa trong một tập mức dưới bị chặn (chẳng hạn tập mức có độ cao f(c) + 1). Khi đó có một dãy con (cnj) và một điểm c¯∈ C sao cho cnj * ¯c. Hơn nữa,
inf
C f ≥ lim supf(cnj) = f(¯c)
nên c¯là một điểm cực tiểu của f trên C. Vì trên C hàm f chỉ có một điểm cực tiểu duy nhất nên c¯= c. Vậy cn * ¯c.
Nếu thêm vào mệnh đề trên giả thiết bài toán (A, f) đặt chỉnh Tykhonov trên mỗi tập lồi đóng A thì ta sẽ được kết quả mạnh hơn về sự hội tụ của các điểm cực tiểu. Đây là một kết quả quan trọng về mối liên hệ giữa tính ổn định của bài toán với sự hội tụ Mosco của các tập ràng buộc và tính đặt chỉnh Tykhonov.
Định lý 2.2.2. Cho X là không gian Banach phản xạ, f : X → R là hàm lồi, liên tục, bị chặn trên các tập bị chặn và bài toán (A, f) đặt chỉnh Tykhonov trên mỗi tập con lồi đóng A ⊂ X. Cho Cn, C ⊂ X là các tập con lồi đóng của X. Khi đó
Cn M
−→C ⇒MinCnf → MinC f.
Chứng minh. Gọi x¯ là điểm cực tiểu của hàm f trên X. Vì (A, f) đặt chỉnh Tykhonov trên mỗi tập con lồi đóng nên MinCn f, MinCf là đơn tử, ta kí hiệu chúng lần lượt là cn và c. Từ kết quả của Mệnh đề 2.2.3, ta được cn * c¯.
Xét trường hợp c = ¯x. Vì f(cn) → f(c) = infXf nên dãy (cn) là dãy cực tiểu của bài toán (X, f). Mà bài toán (X, f) đặt chỉnh Tykhonov nên cn → c.
Trong trường hợp c 6= ¯x, đặt a = f(c). Vì f là hàm liên tục nên
¯
x ∈ intfa. Với hai tập lồi đóng khác rỗng rời nhau fa và C, có một siêu phẳng tách chúng. Khi đó có 0∗ 6= x∗ ∈ X∗, r ∈ R sao cho
C ⊂H+ := {x ∈ X : hx∗, xi ≥ r} và fa ⊂H− := {x ∈ X : hx∗, xi ≤ r}.
Kí hiệu
H := {x ∈ X : hx∗, xi = r} và H0 := {x ∈ X : hx∗, xi = 0}.
Khi đó tồn tại l ∈ X sao cho hx∗, li 6= 0 và
X = H0 ⊕sp{l},
trong đó sp{l} là không gian sinh bởi l. Với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất
x0 ∈ H0 và m ∈ R sao cho x = x0+ml. Do đó với mọi nta luôn tìm được
xn ∈ H0, mn ∈ Rsao chocn−c = xn+mnl. Ta cóhx∗, cn −ci = mnhx∗, li. Vì cn → c nên limhx∗, cn −ci = 0. Do đó mn → 0 hay
kcn −(c+ xn)k→ 0.
Vì f liên tục đều trên các tập bị chặn nên
|f(cn)−f(c+ xn)| → 0.
Do đó
c+xn ∈ H và f(c+xn) →f(c).
Hơn nữa, c là điểm cực tiểu của f trên H. Thật vậy, ta có c ∈ H. Giả sử tồn tại c0 ∈ H sao cho f(c0) < f(c) thì c0 ∈ intfa và do đó c0 ∈/ H, mâu thuẫn. Mặt khác, bài toán (H, f) đặt chỉnh Tykhonov nên c + xn → c
và do đó cn →c.