Mệnh đề 2.3.1. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, a ∈ A sao cho hàm liên kết fa là nửa liên tục dưới. Giả sử a đặt chỉnh. Khi đó
lim
δ→0diam{∪fbinffb+δ : d(a, b) < δ} = 0.
Ngược lại, giả sử
(i) Hàm giá trị inf(.) là hữu hạn quanh điểm a;
(ii) lim
δ→0diam{∪fbinffb+δ :d(a, b) < δ} = 0.
Khi đó a đặt chỉnh.
Chứng minh. Đặt Aδ = {∪fbinffb+δ : d(a, b) < δ}.
Giả sử a đặt chỉnh. Bằng phản chứng, giả sử lim
δ→0diamAδ = 2r > 0.
Khi đó tồn tại dãy (δn) hội tụ về 0 sao cho
diamAδn ≥ 2r, ∀n ∈ N.
Với mỗi n ∈ N, chọn được xn, yn ∈ Aδn thỏa mãn
d(xn, yn) ≥ r.
Khi đó tồn tại an, bn sao cho
Vậy
an →a, bn → b và fan(xn)−inffan → 0, fbn(yn)−inffbn → 0, khi n→ ∞.
Vì a đặt chỉnh nên xn → x0, yn → x0 với x0 là nghiệm duy nhất của bài toán fa. Điều này mâu thuẫn với d(xn, yn) ≥ r, ∀n ∈ N. Vậy
lim
δ→0diamAδ = 0.
Tiếp theo, ta chứng minh điều ngược lại. Vì fainffa+δ ⊂ Aδ với mọi
δ > 0 nên từ giả thiết (ii) ta có lim
δ→0diamfinffa+δ
a = 0. Theo tiêu chuẩn Furi-Vignoli thì bài toán fa đặt chỉnh Tykhonov và đặc biệt là nó có nghiệm x¯ ∈ T
δ>0Aδ. Giả sử
(an) ⊂ A, an → a và (xn) ⊂X, fan(xn)−inffan →0.
Với mọi > 0, vì lim
δ→0diamAδ = 0 nên tồn tại 0 sao cho với mọi δ mà
0 ≤ δ < 0 ta có diamAδ < . Cố định δ ∈ (0;0), khi đó tồn tại n0 ∈ N sao cho
d(an, a) < δ và fan(xn)−inffan < δ với mọi n > n0
hay
xn ∈ Aδ, ∀n > n0.
Vậy với mọi > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho
d(xn, xm) ≤diamAδ < với mọi m, n > n0.
Do đó (xn) là một dãy Cauchy nên nó hội tụ về x0 ∈ X. Ta cũng thấy rằng với mọi δ > 0, tồn tại nδ sao cho xn ∈ Aδ, ∀n > nδ. Vậy
x0 ∈ T
δ>0Aδ. Hơn nữa, vì lim
δ→0diamAδ = 0 nên T
δ>0Aδ đơn tử. Do đó
x0 = ¯x hay (xn) hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán fa hay a đặt chỉnh.
Định nghĩa 2.3.2. Cho D ⊂ R2
+ sao cho (0,0) ∈ D. Hàm c : D →
[0; +∞) được gọi là hàm buộc nếu
c(0,0) = 0; (tn, sn) ∈ D với mọi n, sn → 0, và c(tn, sn) → 0 thì tn → 0.
Mệnh đề 2.3.2. Cho (X, d) là một không gian mêtric, (A, δ) là một không gian mêtric khác và giả sử a ∈ A đặt chỉnh. Khi đó tồn tại một
hàm buộc c và x¯∈ X sao cho
fb(x) ≥ inffb +c[(d(x,x¯), δ(a, b))], (2.3)
với mọi x ∈ X và b ∈ A.
Ngược lại, giả sử inf(.) hữu hạn quanh điểm a và tồn tại một hàm buộc
c và một điểm x¯ thỏa mãn (2.3). Khi đó a đặt chỉnh.
Chứng minh. Giả sử ađặt chỉnh với nghiệm duy nhấtx¯. Vớit≥ 0, s ≥0, đặt c(t, s) = inf δ(a,b)=s inf d(x,x¯)=t (fb(x)−inffb).
Khi đó hàm c(., .) thỏa mãn (2.3) và c(t, s) ≥ 0 với mọi (t, s) ∈ R2 +,
c(0,0) = fa(¯x)−inffa = 0. Xét(tn, sn) ∈ D với mọi n, sn →0, c(tn, sn) →
0. Theo định nghĩa của infimum, với mỗi n ∈ N, tồn tại bn, xn sao cho
δ(a, bn) = sn, d(xn,x¯) = tn sao cho
fbn(xn)−inffbn ≤ c(tn, sn) + 1
n.
Do đó bn → a và c(tn, sn) →0 nên fbn(xn)−inffbn → 0. Mà a đặt chỉnh nên xn → x¯ hay tn →0. Vậy c là hàm buộc.
Ngược lại, cho dãy (xn) thỏa mãn fa(xn) →inffa. Từ (2.3) ta có
fa(xn) ≥inf fa+ c[(d(xn,x¯),0)].
Do đó c[(d(xn,x¯),0)] → 0. Vì c là hàm buộc nên xn → x¯. Hơn nữa, fa
là hàm nửa liên tục dưới nên
fa(¯x) ≤ lim inf
xn→x¯ fa(xn) ≤ lim
xn→x¯fa(xn) = inffa
hay x¯ là điểm cực tiểu của fa. Tiếp theo, giả sử
(an) ⊂ A, an → a và (xn) ⊂X, fan(xn)−inffan →0. Ta có fan(xn) ≥ inffan +c[(d(xn,x¯), δ(a, an))]. Do đó c[(d(xn,x¯), δ(a, an))]. Mà δ(a, an) → 0nên d(xn,x¯) →0 hay xn → ¯ x. Vậy a đặt chỉnh.