Cho (X, d) là một không gian mêtric, A ⊂X, f : X →(−∞,+∞]. Xét bài toán tối ưu có ràng buộc (A, f). Về nguyên tắc, khái niệm đặt chỉnh Tykhonov cũng có thể được sử dụng trong bài toán tối ưu có ràng buộc bằng cách thể xem xét hạn chế của f trên A và áp dụng khái niệm
cho bài toán cực tiểu (A, f). Nhưng điều đó chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết. Trong thực tế, một số thuật toán cho bài toán ràng buộc sử dụng phương pháp cung cấp các nghiệm xấp xỉ mà nghiệm đó không nằm trong tập ràng buộc, nhưng ngày càng tiến đến gần nó. Do đó điều cần thiết là phải xem xét các dãy cực tiểu hội tụ về tập ràng buộc. Định nghĩa 2.1.4. Một dãy (xn) được gọi là một dãy cực tiểu Levitin- Polyak (Levitin-Polyak minimizing sequence) nếu
limf(xn) = inf
A f và d(xn, A) →0.
Một dãy (xn) được gọi là một dãy cực tiểu mạnh (strong minimizing sequence) nếu
lim supf(xn) ≤ inf
A f và d(xn, A) → 0.
Định nghĩa 2.1.5. Bài toán (A, f) được gọi là đặt chỉnh Levitin-Polyak
(t.ư, đặt chỉnh mạnh) nếu mọi dãy cực tiểu Levitin-Polyak (t.ư, dãy cực tiểu mạnh) hội tụ về một điểm cực tiểu của f trên A.
Ví dụ 2.1.5. TrongR2 xét bài toán cực tiểu(A, f)vớif(x, y) = x2−x4y2
và A = {(x, y) : y = 0}. Trên A, f(x, y) = x2 ≥ 0 nên infAf = 0 và
M inAf = {(0,0)}. Với mọi dãy cực tiểu (xn,0) ta có f(xn,0) = x2n →
infAf = 0 nên xn → 0. Vậy (xn,0) → (0,0). Do đó (A, f) đặt chỉnh Tykhonov. Tuy nhiên dãy cực tiểu Levitin-Polyak (xn,xn1 ) không hội tụ về (0,0) nên (A, f) không đặt chỉnh Levitin-Polyak.
Rõ ràng một dãy cực tiểu Levitin-Polyak thì là dãy cực tiểu mạnh. Do đó nếu (A, f) đặt chỉnh mạnh thì nó đặt chỉnh Levitin-Polyak. Trong một số trường hợp sau điều ngược lại cũng đúng, khi đó hai khái niệm này trùng nhau.
(i) Hoặc là f liên tục đều, hoặc f liên tục đều trên các tập bị chặn và A
bị chặn (trong trường hợp này, hai định nghĩa trên đều thống nhất với tính đặt chỉnh Tykhonov).
(ii) f liên tục và X là không gian định chuẩn.
Mệnh đề sau đây chỉ ra làm thế nào mà khái niệm đặt chỉnh mạnh có thể hữu ích trong thuật toán sử dụng các phương pháp hàm phạt. Chú ý rằng kết quả tương tự không đúng cho bài toán mà đơn thuần chỉ đặt chỉnh Tykhonov.
Mệnh đề 2.1.5. Cho X là một không gian Banach, g ∈ Γ(X) và f :
X →R là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Giả sử lim
kxk→∞f(x) =∞
và có x¯ sao cho g(¯x) < 0. Cho A := {x ∈ X : g(x) ≤ 0} và giả sử rằng bài toán cực tiểu (A, f) là đặt chỉnh mạnh. Cuối cùng, đặt
fn(x) := f(x) +nmax{g(x),0},
cho dãy (n) thỏa n →0 và cho xn ∈ X sao cho
fn(xn) ≤ inf
x∈Xfn(x) +n,∀n∈ N.
Khi đó xn → a với a là nghiệm của bài toán (A, f). Chứng minh. Ta có fn(x) = f(x) nếu x ∈ A f(x) + ng(x) nếu x ∈ X\A . Mà f bị chặn dưới và g(x) > 0,∀x∈ X\A nên −∞ < inf X f ≤ inf X fn ≤ inf A f. Khi xn ∈ X\A ta có g(xn) = fn(xn)−f(xn) n ≤ inf X fn+n−inf X f n .
Do đó lim supg(xn) ≤ 0. Hơn nữa, f(xn) ≤ fn(xn) ≤ infx∈X fn(x) + n
nên dãy (xn) bị chặn. Lập dãy (yn) như sau: nếu g(xn) ≤ 0 thì đặt
yn = xn, nếu g(xn) > 0 thì đặt yn = g(xn) g(xn)−g(¯x)x¯+ (1− g(xn) g(xn)−g(¯x))xn. Khi đó (yn) ⊂ A và d(xn, yn) = g(xn) g(xn)−g(¯x)kxn−x¯k→ 0.
Vậy d(xn, A) → 0. Hơn nữa, lim sup n→∞ f(xn) ≤ lim sup n→∞ fn(xn) ≤ inf A f
nên (xn) là dãy cực tiểu mạnh. Vì (A, f) là đặt chỉnh mạnh nên xn → a
với a là nghiệm của bài toán (A, f).
Mệnh đề 2.1.6. Cho X là một không gian mêtric đầy đủ, A ⊂ X là một tập đóng và f : X → (−∞,+∞] là hàm nửa liên tục dưới. Khi đó những khẳng định sau là tương đương:
(i) Bài toán cực tiểu (A, f) là đặt chỉnh mạnh.
(ii) inf>0,a>infAf diam{x ∈ X : f(x) ≤a và d(x, A) ≤ }= 0
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Cho bài toán cực tiểu (A, f) là đặt chỉnh mạnh. Giả sử
inf
>0,a>infAf diam{x ∈ X : f(x) ≤ a và d(x, A) ≤ } = 2r > 0.
Khi đó tồn tại hai dãy (an) và (n) sao cho an ↓ infAf, n ↓ 0 và
lim
n→∞diam{x ∈ X : f(x) ≤ an và d(x, A) ≤ n} = 2r > 0.
Với mỗi n, tồn tại xn, yn sao cho f(xn) ≤ an, d(xn, A) ≤ n, f(yn) ≤ an,
d(yn, A) ≤ n và d(xn, yn) ≥ r. Với cách xác định trên, (xn), (yn) là các dãy cực tiểu hóa. Vì (A, f) đặt chỉnh mạnh nên (xn), (yn) hội tụ về x¯ là điểm cực tiểu của f trên A, điều này vô lí vì d(xn, yn) ≥ r > 0. Vậy ta phải có inf>0,a>infAf diam{x ∈ X : f(x) ≤ a và d(x, A) ≤ } = 0.
(ii) ⇒ (ii). Giả sử inf>0,a>infAf diam{x ∈ X : f(x) ≤ a và d(x, A) ≤
} = 0. Khi đó, với mọi δ >0, tồn tại > 0 và a > infAf sao cho
diam{x ∈ X : f(x) ≤a và d(x, A) ≤}< δ.
Gọi (xn) là một dãy cực tiểu mạnh, tức là
lim supf(xn) ≤ inf
A f và d(xn, A) → 0.
Khi đó, với > 0 ở trên, tồn tại số tự nhiên n0 để
f(xn) ≤ a và d(xn, A) ≤,∀n ≥ n0.
Và do đó
hay (xn) là một dãy Cauchy. Mà X là không gian mêtric đầy đủ nên
(xn) hội tụ về một điểm x¯ ∈ X. Vì d(xn, A) → 0 và A là tập đóng nên
¯
x ∈ A. Vì f nửa liên tục dưới nên
f(¯x) ≤ lim inf
n→∞ f(xn) ≤lim sup
n→∞
f(xn) ≤ inf
A f
hay x¯ là điểm cực tiểu của f trên A. Vậy bài toán (A, f) đặt chỉnh mạnh.
Ví dụ 2.1.6. Cho A ⊂ Rn là một tập lồi đóng, f : Rn → R là hàm lồi, nửa liên tục dưới và có duy nhất một điểm cực tiểu trên A. Khi đó bài toán (A, f) đặt chỉnh Levitin-Polyak (và đặt chỉnh mạnh)