bài tập tính đơn điệu của hàm số

BÀI GIẢNG: BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM MÔN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM A KỸ NĂNG – PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI I LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC Các bước xét dấu biểu thức P  x  Bước 1: Tìm nghiệm P  x  tức giải P  x   tìm giá trị x mà P  x  không xác định Bước 2: Sắp xếp giá trị x vừa tìm theo thứ tự từ bé đến lớn Bước 3: Lập bảng kẻ trục xét dấu, áp dụng quy tắc xét dấu học Bước 4: Kết luận: P  x   0; P  x   x  ? Các quy tắc xét dấu cần nhớ + “Phải trái khác” – Xét dấu bậc + “Trong trái ’’– Xét dấu bậc hai Chú ý: P  x  đổi dấu qua nghiệm bội lẻ giữ dấu qua nghiệm bội chẵn + “Bội lẻ đổi, bội chẵn khơng” + “Hai bốn sáu tám làm ngơ, Một ba năm bẩy chơi cờ ca-rô” Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức f  x   x  x  1 x   + TXĐ: D  R x  + f  x    x  x  1 x      x    x  + Bảng xét dấu Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! x -∞ f(x) - + +∞ - + + Kết luận: f  x    x   0;1   2;   f  x    x   ;0   1;2  Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức f  x    x3  x  11x  + TXĐ: D  R + f  x    x  1; x  2; x  + Bảng xét dấu x -∞ f(x) + - +∞ + - + Kết luận: f  x    x   ;1   2;3 f  x    x  1;2   3;   Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức f  x    x   x  1   x  2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + TXĐ: D  R + f  x    x  2 (Nghiệm đơn), x  1 ( Nghiệm kép), x  (Nghiệm bội ba) + Bảng xét dấu -∞ x f(x) -2 - -1 + +∞ 3/2 + - + Kết luận: f  x    x   2; 1   1;  2  3  f  x    x   ; 2    ;   2   x   x  5 f  x   x   x  1 Ví dụ 4: Xét dấu biểu thức + TXĐ: D  R \ 2; 1 + Nghiệm tử: x  (Nghiệm đơn) x  (Nghiệm bội bốn) + Nghiệm mẫu: x  2 ( Nghiệm đơn) x  1 ( Nghiệm kép) + Bảng xét dấu x f(x) -2 -∞ + -1 - - +∞ + + + Kết luận: f  x    x   ; 2    4;5   5;   f  x    x   2; 1   1;4  II NHẮC LẠI LÝ THUYẾT TÍNH ĐƠN ĐIỆU Định lý I Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Tổng kết: Xét f  x  có đạo hàm K  f ' x   f  x   I   f ' x   f  x    f '  x    f  x   const Định lý II Với hữu hạn, xi  K   f '  x   0, f '  xi    f  x    II   f ' x  0, f ' x   f x         i  III PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU Cho hàm số y  f  x  Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm f '  x  Tìm đủ điểm xi  i  1, 2, , n  mà f '  x   * f '  x  không xác định ** Bước 3: Lập bảng biến thiên xét dấu f '  x  Bước 4: Kết luận khoảng ĐB, NB B LUYỆN TẬP LOẠI HÀM ĐA THỨC Bài 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a y   5x b y  x  x  Hướng dẫn giải a y   5x + TXĐ: D  R + y '  5  0x  R + Kết luận: Hàm số cho nghịch biến R Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! b y  x  x  + TXĐ: D  R + y '  2x  + Giải y '   x  + Bảng biến thiên +∞ -∞ x - y' + +∞ +∞ y + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  2;   nghịch biến khoảng  ;  Bài 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y   x3  3x  1 b y  x3  x  x  c y  x3  3x  3x  d y   x3  x  3x  Hướng dẫn giải a y   x3  3x  + TXĐ: D  R + y '  3x  x  + Giải y '   3  x  1     x  1 + Bảng biến thiên x -∞ -1 - y' +∞ + - y -4 +∞ -∞ Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + Kết luận: Hàm số  /  1;1 ;   ; 1 1;   1 b y  x3  x  x  + TXĐ: D  R + y '  x2  x   a  b  c  0  x  1 + Giải y '    x  + Bảng biến thiên -∞ x -1 + y' +∞ - + +∞ 19 y -∞ - + Kết luận: Hàm số  /  ; 1  2;   ;  /  1;2  c y  x3  3x  3x  + TXĐ: D  R Cách 1: + y '  3x  x  + Giải y '   x  1 + Bảng biến thiên x -1 -∞ + y' +∞ + +∞ y -∞ + Kết luận: Hàm số  /R Cách 2: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!   + y '  3x  x   x  x    x  1  0x  R + Ta thấy y '  0x  1 y '   x  1 Theo định lý II, hàm số cho đồng biến R d y   x3  x  3x  + TXĐ: D  R + y '   x2  2x  + Giải y '  : pt vô nghiệm + Bảng biến thiên x -∞ +∞ - y' +∞ y -∞ + Kết luận: Hàm số  /R Cách 2:   + y '   x  x    x  x      x  1   0x  R + Ta thấy y '  0x  R y '   x  1 Theo định lý II, hàm số cho nghịch biến R Ghi nhớ Xét g  x   ax  bx  c  a   ,   b2  4ac a  + Nếu  g  x   0x  R   a  + Nếu  g  x   0x  R   Bài 3: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số sau: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! a y  x  b y  16 x  x  c y  x  8x3  d y  16 x  x4 x  x  2x  Hướng dẫn giải a y  x  + TXĐ: D  R + y '  x3 + Giải y '   8x3   x  (Nghiệm bội ba) + Bảng biến thiên -∞ x +∞ - y' + +∞ +∞ y + Kết luận: Hàm số  /  1;1 ;   ; 1 1;   b y  16 x  x  16 x  x4 + TXĐ: D  R   + y '  16  x  16 x  x3  4  x   x   x  4 + Giải y '    x  1 (Nghiệm bội ba)  x  + Bảng biến thiên Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + Kết luận: Hàm số  /  ;   1;1 ;  /  4; 1 1;   c y  x  8x3  + TXĐ: D  R + y '  x3  24 x + Giải y '   x  x  6   x  (Nghiệm kép) x  6 (Nghiệm đơn) + Bảng biến thiên + Kết luận: Hàm số   ; 6   /  6;   d y  x  x  2x  + TXĐ: D  R + y '  x  3x  + Giải y '    x  1  x  2   x  1 (Nghiệm kép) x  (Nghiệm đơn) + Bảng biến thiên Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + Kết luận: Hàm số   ;   /  2;   LOẠI HÀM PHÂN THỨC Bài 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  x3 x 1 b y  3x  x 1 Hướng dẫn giải x3 x 1 a y  + TXĐ: D  R \ 1 + y'  4  x  1  0x  + Bảng biến thiên Kết luận: Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   3x  x 1 b y  + TXĐ: D  R \ 1 + y'   x  1  0x  1 + Bảng biến thiên 10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  ; 1  1;   Bài 5: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  x  x b y  x2  x  x 1 Hướng dẫn giải a y  x  x + TXĐ: D  R \ 0 + y '  1 x2   x2 x2 + Giải y '   x  2 + Bảng biến thiên + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  ; 2   2;   ; hàm số nghịch biến khoảng  2;0   0;  b y  x2  x  x 1 + TXĐ: D  R \ 1 11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + y'  x  x   '  x  1   x  x    x  1 '  x  1  x  1 x  1   x  x   x2  x  y'   2  x  1  x  1  x  2 + Giải y '   x  x     x  + Bảng biến thiên + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  ; 2   4;   ; hàm số nghịch biến khoảng  2;1 1;  Bài 6: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  x2 x  x 1 b y  4x  x2  Hướng dẫn giải a y  x2 x  x 1 + TXĐ: D  R (vì x2  x   0x  R ) + x y'   x  1   x  1 x   x  x  1   x2  x  x  x  1 + Giải y '    x2  x    x   + Bảng biến thiên 12 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!       + Kết luận: Hàm số  /  7;  ;  / ;   7;  x2  x  x 1 b y  + TXĐ: D  R \ 1 + y'   x     x   x  4x  4  16 x  40 x  16  4x  4  x  2 + Giải y '   16 x  40 x  16    x    2 + Bảng biến thiên 1    + Kết luận: Hàm số  /  2; 1  1;   ;  /  ; 2  ;   ;1 1;   2    LOẠI HÀM CĂN THỨC Bài 7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  x  8x  12 b y  x   x  x  c y   x  1  x d y  x3 x2  Hướng dẫn giải a y  x  8x  12 13 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! x  + ĐKXĐ: x  x  12    x  + TXĐ: D   ; 2  6;   + y'  2x  x  x  12  x4 x  x  12 + Giải y '   x  + Bảng biến thiên + Kết luận: Hàm số  /  6;   ;  /  ;  b y  x   x  x  + ĐKXĐ: x2  x   0x  R + TXĐ: D  R + y '  1  x  1 x2  x   x  x    x  1 x2  x   3  33 x   x + Giải y '   x  x   x     x2  x   4x2  4x   + Bảng biến thiên 14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!  3  33   3  33  ;   + Kết luận: Hàm số  /  ; ;  /     6     c y   x  1  x + ĐKXĐ:  x2   3  x  + TXĐ: D   3;3 + y '   x   x  1 2 x + Giải y '   x    x2  4 x  x  18  x2 x  + Bảng biến thiên 9  + Kết luận: Hàm số  /   ;  ;  /  3;    2;3 4    x3 d y  x2  x   + ĐKXĐ: x      x     + TXĐ: D  ;   + y'  6;   x2  x2  9 x  6 x2  + Giải y '   x  3 + Bảng biến thiên 15 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!    + Kết luận: Hàm số  /  ; 3  3;   ;  / 3;   6;3 LOẠI MỘT SỐ HÀM KHÁC Bài 8: Tìm khoảng đơn điệu hàm số : y  x  x  Hướng dẫn giải  x  x  3khix  1  x   y  x2  2x      x  x  3khi   x  *Hàm số có D  R 2 x  2khix  1  x  * Ta có: y '   2 x  2khi   x  + Hàm số khơng có đạo hàm x  1 x  + Trên khoảng  1;3 : y '   x  + Trên khoảng  ; 1 : y '  + Trên khoảng  3;   : y '  *Bảng biến thiên + Kết luận: Hàm số  /  1;1  3;   ;  /  ; 1 1;3 Bài 9: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: 16 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! a y  sin x với x   0; 2    5  b y  x  2cos x với x   ;  6  c y  2sin x  cos x với x   0;   Hướng dẫn giải a y  sin x với x   0; 2  + Hàm số cho xác định khoảng  0; 2  + Ta có y '  cos x y '   cos x   x  + 0    k  k  Z   3  k  2    k   k  0; k   x  ; x  2 2 *Bảng biến thiên   3   3  + Kết luận: Hàm số  /  0;   ; 2  ;  /  ; 2    2      5  b y  x  2cos x với x   ;  6    5  + Hàm số cho xác định khoảng  ;  6  + Ta có y '   2sin x   x   k 2  k  Z   + y '   sin x     x  5  k 2  k  Z     5  Ta thấy không tồn k  Z để y '  có nghiệm x   ;  6  17 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!   5   y '  0x   ;  6    5 + Kết luận: Hàm số nghịch biến  ; 6    c y  2sin x  cos x với x   0;   + Hàm số cho xác định khoảng  0;   + Ta có y '  2cos x  2sin x  2cos x 1  2sin x     x   k 2  cos x      x   k 2 + y'    sin x     x  5  k 2  x   0;   , k  Z  x   ;x   ;x   *Bảng biến thiên    5 + Kết luận: Hàm số  /  0;   ; 2  6        ;  /  ;   ;   6 2  6  B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a y  x3  x  x b y   x3  3x  24 x  26 c y   x3  x  x  d y  3x3  x2  x  Đáp án: 18 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! a) Hàm số đồng biến  ; 1  3;   Hàm số nghịch biến 1; 3 b) Hàm số đồng biến  4;  Hàm số nghịch biến  ;    2;   c) Hàm số nghịch biến d) Hàm số đồng biến Bài 2: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a y  x  x  b y  x  8x  c y   x  x3  d y  x  x  2x2  3 Đáp án:     a) Hàm số đồng biến  2;  2;         Hàm số nghịch biến ;  0; b) Hàm số đồng biến  0;   Hàm số nghịch biến  ;   c) Hàm số đồng biến ;  0;    Hàm số nghịch biến  3;  3;    7  17 7  17  d) Hàm số đồng biến  ;   0;    4     7  17  7  17  Hàm số nghịch biến  ;  ;      4     Bài 3: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a y   x5  x3  19 b y  x  x  x  2x 1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! c y   x  x  x5  d y  x  x  x  12 Đáp án:  6 a) Hàm số đồng biến    ;       6 Hàm số nghịch biến  ;   ;          b) Hàm số đồng biến c) Hàm số nghịch biến d) Hàm số đồng biến Bài 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y   2x x7 b y  x  48 x c y  x  x d y   2x x 1 Đáp án: a) Hàm số nghịch biến  ;    7;   b) Hàm số đồng biến  ; 2   2;   Hàm số nghịch biến  2;   0;  c) Hàm số đồng biến  ;   0;   d) Hàm số nghịch biến  ; 1  1;   Bài 5: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  x2  x  x2 b y  x2  x  x2  x  c y  x2 x4  d y  2x 1  x  1 Đáp án:        a) Hàm số đồng biến ; 2  15 2  15;   Hàm số nghịch biến 2  15;  2; 2  15 20 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! b) Hàm số đồng biến  ; 1 ,  1;   2;   c) Hàm số đồng biến  ; 1  0; 1 Hàm số nghịch biến  1;  1;   d) Hàm số đồng biến  1;  Hàm số nghịch biến  ;0  1;   Bài 6: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  3x  x3 b y  x  x c y  x  x d y  x  x  Đáp án: a) Hàm số đồng biến  0;  Hàm số nghịch biến  ;   2; 3 b) Hàm số đồng biến 1;   Hàm số nghịch biến  ; 1  1  ; c) Hàm số đồng biến    3      ; 1 Hàm số nghịch biến  1;    3     3 d) Hàm số đồng biến  ;   1;        Hàm số nghịch biến    ; 1   Bài 7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  x  x  b y   x   x  5x  c y  x  x  x  10 d y  x3  3x  Đáp án: 21 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! a) Hàm số đồng biến  3; 2   1;   Hàm số nghịch biến  ; 3  2; 1 7  b) Hàm số đồng biến  ;    1; 1 2    Hàm số nghịch biến   ; 1  1;     7  c) Hàm số đồng biến  ;   4  7  Hàm số nghịch biến  ;  4  d) Hàm số đồng biến  2; 1 1;   Hàm số nghịch biến  ; 2   2; 1 Bài 8: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  x  sin x với x  0; 2    b y  sin 3x với x   0;   3 c y  cos2x  x  với x  R    d y  sin x  2cos x  x với x    ;   2 Đáp án: a) Hàm số đồng biến  0; 2    b) Hàm số đồng biến  0;   6    Hàm số nghịch biến  ;  6 3 22 c) Hàm số nghịch biến   d) Hàm số đồng biến  0;   6       Hàm số nghịch biến   ;   ;    6 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! ... a) Hàm số đồng biến    ;       6 Hàm số nghịch biến  ;   ;          b) Hàm số đồng biến c) Hàm số nghịch biến d) Hàm số đồng biến Bài 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm. .. nhất! a) Hàm số đồng biến  ; 1  3;   Hàm số nghịch biến 1; 3 b) Hàm số đồng biến  4;  Hàm số nghịch biến  ;    2;   c) Hàm số nghịch biến d) Hàm số đồng biến Bài 2:... c) Hàm số đồng biến  ;   4  7  Hàm số nghịch biến  ;  4  d) Hàm số đồng biến  2; 1 1;   Hàm số nghịch biến  ; 2   2; 1 Bài 8: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: