Toán lớp 12: 20 ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN NẮM CHẮC KIẾN THỨC) BÀI GIẢNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I Lý thuyết * Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b b S   | f ( x)  g ( x) | dx a Trường hợp đặc biệt g  x   (trục hồnh) diện tích hình phẳng giới b hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   | f ( x) | dx a * Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  Phương pháp: - Xét phương trình hồnh độ giao điểm f  x   g  x   Giả sử phương trình có n nghiệm phân biệt xếp theo thứ tự a  x1  x2   xn  b Khi diện tích hình phẳng tính theo cơng b thức S   | f ( x)  g ( x) | dx a Phương pháp chung cho dạng Cách 1: Đại số -Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm Suy nghiệm a  x1  x2   xn  b (nếu cho sẵn đường thẳng x  a, x  b xét nghiệm thuộc (a, b)) -Bước 2: Diện tích hình phẳng b x1 x2 a a x1 x1 x2 b a x1 xn1 S   | f ( x)  g ( x) | dx   | f ( x)  g ( x) | dx   | f ( x)  g ( x) | dx    b  | f ( x)  g ( x) | dx xn1   f ( x)  g ( x) dx    f ( x)  g ( x) dx     f ( x)  g ( x) dx Cách dùng có tham gia đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  Cách 2: Đồ thị Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Khi hình phẳng bị giới hạn nhiều đường cong II Áp dụng Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3 – 3x2 , trục hoành (y = 0), trục tung (x = 0) đường thẳng x = Giải Cách Shp   | x3  3x | dx +) Cho: x3 – 3x2 = ⇒ x = x = 3 => I   | x  3x | dx   | x3  3x | dx 3 = |  x3  3x dx | |  x3  3x dx |  x 3x3   x 3x3  27 27 27 =           0 3 4   4 Cách 2: I   | x3  3x | dx   | x3  3x | dx 4 27 27 27 S   0  ( x  3x )  dx   ( x  3x )  0 dx     x  3x  dx    x3  3x  dx    4 3 3 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = sin x, y = 1, trục tung, x = Giải  /2 +) S   | sin x  1| dx Xét sin x – = (x ∈ [0; ])  x=  /2   sin x  1 dx   cos x  x => S   /2   1 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y   ln x , trục hoành, x = x Giải Chú ý: Nếu đề không đủ cận xét phương trình hồnh độ giao điểm +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  ln x 0 x   ln x   ln x   x  e e => S   | Đặt  ln x  ln x | dx |  dx | x x e  ln x  t ta có: =>  ln x  t =>  dx  2tdt x t3 => S   t  2t  dt  2 t dt  1  2 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 – x + y = 2x + Giải Cách Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x2 – x + = 2x + ⟺ x2 – 3x + = Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! ⟺ x = x = 2 => S   | ( x  x  3)  (2 x  1) | dx   | x  3x  | dx  1 x  3x   dx  x3 3x  1 =    2x       6  1 Cách Vẽ đồ thị Ví dụ Tính diện tích hình phẳng:  y  x  x  2(1)   y  x  x  5(2)  y  1(3)  Giải  y  x  x  (1)   y  x  x  (2) y 1 (3)  +) Xét phương trình: x2 – 2x + = x2 + 4x +  6x = -3 ⟺ x =   => Shp   (x 2  x  5)  1 dx    2  1  x3   x3  x2 x2 9 x  x   dx    x    x         2   2   1 8  Ví dụ 6.Tính diện tích hình phẳng: y = |x2 – x + 3| ∆: y = x + Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x  x   x  ( x  3)  x2  5x  x  x  4x   x      x   x  x    x  ( x  3)  x  3x   Dựa vào hình vẽ ta có Cách 1: S    x   x  x  3 dx    x   x  x  3 dx    x   x  x  3 dx 2 1 3     x  x  dx    x  3x   dx     x  x  dx 3  x3 x   x3 3x    x3 5x        x       3 3  0  1  13 27 29 125 27 109       6 6 Cách 2: 5 S    ( x  3)  ( x  x  3)  dx     ( x  x  3)  dx     x  x dx     x  x   dx 2  x3  x3  x2  x2 125 109           3x   2  0 6   1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! ...Khi hình phẳng bị giới hạn nhiều đường cong II Áp dụng Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3 – 3x2 , trục hoành (y = 0), trục... http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = sin x, y = 1, trục tung, x = Giải  /2 +) S   | sin x  1| dx... x – = (x ∈ [0; ])  x=  /2   sin x  1 dx   cos x  x => S   /2   1 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y   ln x , trục hoành, x = x Giải Chú ý: Nếu đề không đủ cận xét