Toán lớp 12: 21 ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN NẮM CHẮC KIẾN THỨC) BÀI GIẢNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY I Xoay quanh trục hồnh (Ox) * Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  0, x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên khối trịn xoay Thể tích xoay quanh Ox tính theo cơng thức: b VOx    f ( x)dx a Chú ý: Khi không cho đầy đủ đường thẳng x  a, x  b ta xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x)  * Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g  x  , x  a, x  b quay quanh trục hồnh tạo nên khối trịn xoay Thể tích xoay quanh Ox tính theo cơng thức: b VOx    | f ( x)  g ( x) | dx a Chú ý: Khi không cho đầy đủ đường thẳng x  a, x  b ta xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x)  g  x  II Áp dụng Ví dụ Tính thể tích xoay quanh Ox bị giới hạn bởi:  y  sin x  x0  b)    x   y   y  x3    y0 a)   x  1  x   y  2( x  1)e x  e)  y0  x0  (O) : ( x  2)  y  d)  y0   y  x 1  c)  y   x4  Giải a) VOx    ( x3  1)2 dx  1   4 16   /4  cos x 1 dx   ( x  sin x) 2 b) V    sin xdx     2  =  (  )  =  8 c) Xét phương trình hồnh độ giao điểm: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! x 1  x=1 => VOx    ( x  1)2 dx   d) Đường tròn: y2 = – (x – 2)2 +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm: – (x – 2)2 =  x = x = -1     => VOx     ( x  2) dx     x  x  dx  36 1 1 e) Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2(x – 1).ex = x=1 => I    4( x  1)2 e2 x dx => V = (e2 – 5) Π Ví dụ Tính thể tích quay quanh trục Ox  y  sin x  y  cos x   b)  x       x   y  2x  x2 a)   yx c) y = x2 + tiếp tuyến A(1; 2) Giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm: 2x – x2 = x  x2 – x =  x = x = 1 => VOx    | (2 x  x )2  x | dx => Bấm máy b) => VOx    /2  | sin x  cos x | dx   2  /4  /2   cos xdx   (  sin x )    /4 2  /4  /2 c) y  x  Ta có: y'  2x  y' 1  Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  điểm A 1; 2 là: y   x  1   2x Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Ta cần tính thể tích khối trịn xoay tạo đồ thị hàm số y  x  đường thẳng y  2x quanh quanh trục Ox Ta có: x   2x   x  1   x  Khi ta có: 1 2 VOx    x  1   2x   dx    x  2x  1 dx   0  x 2x  8     x   dvtt    15 II Xoay quanh trục Oy Thể tích quay quanh trục tung (Oy) giới hạn bởi: x = f(y) ; trục tung ; y = a ; y = b b => VOy    f ( y)dy a Ví dụ: Tính thể tích xoay quanh trục Oy giới hạn bởi: a) y = 2x ; y = ; y = ; trục tung b) y  x  ; y = ; trục hoành ; trục tung c) y = ln x ; y = ; y = ln2 ; trục tung d) y  x ; y = - x + ; y = Giải y y3 64 63   (  )  a) VOy    ( )2 dy   12 12 12 12 2 b) VOy    ( y  1)2 dy => Bấm máy ln 1 3 c) VOy    e2 y dy   e2 y   (4  1)  2 ln d) Xét phương trình tung độ giao điểm: y2 = – y  y2 + y – =  y = y = -2 (loại y  ) => VOy    | y  (2  y)2 | dy  32  15 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! ...  dvtt    15 II Xoay quanh trục Oy Thể tích quay quanh trục tung (Oy) giới hạn bởi: x = f(y) ; trục tung ; y = a ; y = b b => VOy    f ( y)dy a Ví dụ: Tính thể tích xoay quanh trục Oy giới... http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Ta cần tính thể tích khối trịn xoay tạo đồ thị hàm số y  x  đường thẳng y  2x quanh quanh trục Ox Ta có: x   2x... hồnh độ giao điểm: 2(x – 1).ex = x=1 => I    4( x  1)2 e2 x dx => V = (e2 – 5) Π Ví dụ Tính thể tích quay quanh trục Ox  y  sin x  y  cos x   b)  x       x   y  2x  x2 a)