Đáp án bài tập tự luyện môn toán lớp 12 về ứng dụng tích phân | Toán học, Đề thi đại học - Ôn Luyện

đường tròn (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông.. Thể tích của vật thể là:A[r]

HOCMAI – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 1-

Câu Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số , liên tục

trên hai đường thẳng , là:

A B

C D

Chọn D

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn là:

A B C 12 D 13

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có ; S= ∫ |𝑥2 3− 4𝑥|𝑑𝑥

−2 = (casio)

Câu Cho đồ thị hàm số Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm hình)

A B

C D

Hướng dẫn giải:

Chọn D Theo định nghĩa ta có

( )

y f x y g x( ) [ ; ]a b x a x b (a b)

( ) ( )

b a

S f x g x dx b( ( ) ( ))

a

S f x g x dx

2 ( ( ) ( ))

b a

S f x g x dx b ( ) ( )

a

S f x g x dx

3

,

y x y x

3

4 2

x x x x x

( ) y f x

0

2

( ) ( )

S f x dx f x dx

1

2 ( ) S f x dx

2

0

( ) ( )

S f x dx f x dx

0

2

( ) ( )

S f x dx f x dx

0

2

( ) ( )

S f x dx f x dx

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 D A D D B B B C B C D A C B A B B B A A D B A D

BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

HOCMAI – Ngơi trường chung học trị Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 2-

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường

thẳng ,

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có đoạn nên

Cách khác: bấm casio kết

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng

,

A B C D

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có đoạn nên

Câu Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số Diện tích (H)

bằng

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét pt có nghiệm

Suy S=73/3 ( bấm casio)

Câu Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng

đồ thị hàm số Khi

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có

tan

y x

6

x

4

x

3 ln

3

6 ln

3

3 ln

3

6 ln

3

tanx ;

6

4

4

6

6

tan tan ln(cos ) ln

3

S x dx xdx x

2 x

y e

0

x x

6 2

e

2

e

3

e

3 e

2

x

e [0;3]

3 6

3

2 2

0 0

1

2 2

x x x e

S e dx e dx e

2

1 ,

y x y x

71

73

70

74

2

1

x x x 3, x

8 ,

y x y x

y x a

b a b

68 67 66 65

3

8 0;8 ;

1 2

x x

x x x x x x x

HOCMAI – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 3- Nên

Câu Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường

quanh trục ox là:

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là:

Câu Cho hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục

Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Theo công thức ta tích khối trịn xoay cần tính là:

Câu 10 Cho hình phẳng giới hạn đường ; trục Ox đường thẳng quay xung

quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng:

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn C

1 2

3

0

63

8

4 S x x dx x x dx

4   

y , y , x 1, x x

6 6 12 6

4

2

4

.( ) 12

V dx

x

 

 

( ), , , y f x Ox x  a x  b

2

( )

b

a

V   f x dx

( )

b

a

V f x dx 2

( )

b

a

V  f x dx

( )

b

a

V  f x dx

2

( )

b

a

V f x dx

1

y x x3

3

HOCMAI – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 4- Giao điểm hai đường Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

Câu 11 Thể tích khối trịn xoay khơng gian Oxyz giới hạn hai mặt phẳng có

thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm đường trịn bán kính là:

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Khối tròn xoay đề có cách quay hình phẳng tạo đường quay trục Ox

Theo công thức ta tích khối trịn xoay cần tính là:

Câu 12 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình tròn giới hạn

đường tròn (nằm mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện hình vng Thể tích vật thể là:

A B C D

Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải:

Chọn A

Thiết diện cắt trục Ox điểm H có hồnh độ x cạnh thiết diện Vậy thể tích vật thể

Câu 13 Cho hình phẳng giới hạn đường

quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

A B

C D

1

y  x  y 0 A(1;0)

3

1

V(x 1)dx 2 

0;

x x

( ;0;0)x

sin x



V V  V 4  V 2 

; i

0;  s n ;

  

x x y x Ox

0

sin x



 

  

V dx

2

x y 16

 

4

2 44 16 x dx

 



2 44x dx 



2 44 x dx 

  

2 44 16 x dx

 



2 16x

 

4

2

4

V S(x)dx 16 x dx

 

  

ln , 0,

  

y x y x

2

2ln 4ln 2  2ln 4ln 22   

 

2ln 4ln 2

HOCMAI – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 5- Hướng dẫn giải:

Chọn C

Tọa độ giao điểm hai đường điểm Vậy thể tích khối trịn

xoay cần tính là:

Câu 14 Cho hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục Ox Thể

tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

A B C D

Hướng dẫn giải: Chọn B

Tọa độ giao điểm hai đường điểm

Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

Câu 15 Một Chi đoàn niên dự trại đơn vị bạn, họ dự định dựng lều trại có dạng

parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại căng thẳng từ trước sau, mặt sau trại parabol có kích thước giống mặt trước) với kích thước: trại hình chữ nhật có chiều rộng mét, chiều sâu mét, đỉnh parabol cách mặt đất mét Hãy tính thể tích phần khơng gian phía trại để cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp

A 36 m3 B 32 m3 C 33 m3 D.37 m3

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Giả sử trại hình chữ nhật ABCD có AB = mét, BC = mét, đỉnh parabol I Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho: O trung điểm cạnh AB, , phương trình parabol

ln



y x y 0 C(1;0)

 

2

2

1

.ln ln ln 2

   

V xdx

2

4 ,

3

  

y x y x

24

V



 V 28

5



 V 28

5



 V 24

5

 

2

4

y  x

3

y  x A( 3;1) B( 3;1)

3

2

3

1 28

.(4 )

9

V  x dx  x dx 

 

     

HOCMAI – Ngơi trường chung học trị Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 6- có dạng: , Do I, A, B thuộc (P) nên ta có: Vậy thể tích phần khơng gian phía

trại là: ( sử dụng cơng thức

Thể tích dựa vào thiết diện vng góc với trục ox hình chữ nhật có cạnh −43 𝑥2 + 3)

V =

Câu 16 Để trang trí cho phịng tịa nhà, người ta vẽ lên tường sau:

mỗi cạnh hình lục giác có cạnh dm cánh hoa hình parabol, đỉnh parabol cách cạnh dm nằm phía ngồi hình lục giác, đầu mút cạnh điểm giới hạn đường parabol Khi diện tích xấp xỉ hình nói (kể hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp là:

A 33 B 34,39 C 35 D.36.34 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Giả sử ABCDEF hình lục giác có cạnh dm, ta tính diện tích cánh hoa:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O trung điểm cạnh AB, A(1;0), B(-1; 0) đỉnh I parabol có tọa độ (0;3) Phương trình parabol có dạng: , Do I, A, B thuộc (P) nên ta có:

Do đó: diện tích cánh hoa là:

Hình lục giác ta chia thành sáu tam

giác có chung đỉnh tâm hình lục giác tam giác có cạnh a

Vậy: Diện tích hình là:

Câu 17 Ơng B có khu vườn giới hạn đường parabol đường thẳng Nếu đặt hệ

tọa độ Oxy hình vẽ bên parabol có phương trình

yx và đường thảng là y25

O ng B dự định dùng mảnh vườn nhỏ chia từ khu vườn đường thẳng qua O và điểm M parabol để trồng hoa Hãy giúp ông B xác định điểm M cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ

2 A OM2 B OM 10

C OM 15 D OM 10

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Giả sử  2

M a; a suy phương trình OM : yax

Khi đó die ̣n tích khu vườn là  

a 3

2

a

x x a

S ax x dx a a

0

2

 

        

 



Khi đó OM 10

 0

2 

ax b a

y 3  xy ) ( 36 12 3

2

3 3 m x x dx

x  

              

 0

2 

ax b a

y

3 2



 x

y

 3  3 2. 1 4( 2)

0 1

1 x dx x dx x x dm

S           

 ) ( 39 , 34 24 4 2 dm

S   

HOCMAI – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 7-

Câu 18 Bạn có cốc thủy tinh hình trụ, đường kính lịng đáy cốc cm chiều cao lòng cốc 10 cm đựng lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy Tính thể tích lượng nước cốc

A

15 cm B 60 cm

C

60cm D 70cm3

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Dựng hệ trục tọa độ Oxy (các em tự vẽ hình) Gọi S(x) diện tích thiết diện mặt

phẳng có phương vng góc với trục Ox với khối nước, mặt phẳng cắt trục Ox điểm có hồnh độ h x Ta có:

h x R

r h x r

R h h

 

   , vì thiét die ̣n này là nửa đường tròn bán kính    

2 2

2 h x R r

r S x

2 2h

  

  

Thẻ tích lượng nước chứa bình là    

h 10

2

0

9

V S x dx 10 x dx

200



   

 

10

2

0

10

9 x

x 100 20x dx 200x 10x

0

200 200

 

 

       

 

  3

60 cm

 

Câu 19 Từ mo ̣t khúc gõ hình trụ có đường kính 30 cm , người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc để lấy hình nêm (xem hình minh họa dưới đa y)

Hình Hình

Kí hie ̣u là thẻ tích của hình nêm (Hình 2).Tính

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn A

0 45

V V

 

V cm3

2250

 V 225  cm3

4



 V  cm3

1250

 V  cm3

1350

HOCMAI – Ngơi trường chung học trị Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 8- Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đáy nửa hình trịn có phương trình :

Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ ,

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích (xem hình)

Dễ thấy 𝑀𝑁 = 𝑁𝑃𝑡𝑎𝑛450 =

suy thể tích hình nêm :

Câu 20 Một viên đá bắn thẳng đứng lên với vận tốc ban đầu 40 m/s từ điểm cao

m cách mặt đất Vận tốc viên đá sau t giây cho công thức v t 40 10 t m/s

Tính độ cao lớn viên đá lên tới so với mặt đất A 85m B 80m C 90m D 75m

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi h quãng đường lên cao viên đá

         

' 40 10 40

v t h t h t  v t dt   t dt t t c

Tại thời điểm t0 h5 Suy c5

Vậy  

40 5

h t  t t 

 

h t lớn v t  0 40 10 t  0 t Khi h 4 85m

Câu 21

Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s người lái xe đạp phanh cịn gọi “thắng” Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốcv t  40t20 m s/  Trong t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng bao nhiêu?

A 2m B.3m C.4m D 5m

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0)

Gọi T thời điểm tơ dừng lại Khi vận tốc lúc dừng v(T) =

Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng

Gọi s(t) quãng đường ô tô khoảng thời gian T

Ta có suy s(t) nguyên hàm v(t) y  225x x2,   15;15

 

x x   15;15

 

S x



NP y y  225x x2,   15;15

 

      2

225

2

S x MN NP x  



 15

15

V S x dx

 x dx  cm

15

2

15

225 2250

2

   

1 ( ) 40 20

2 v T    T   T

HOCMAI – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 9- Vây ½ (s) tơ quãng đường :

Câu 22 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc (m/s2) Vận tốc ban đầu

của vật (m/s) Hỏi vận tốc vật sau 2s

A 10 m/s B 12 m/s C 16 m/s D m/s

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có (m/s)

Vận tốc ban đầu vật (m/s)

Vậy vận tốc vật sau 2s là: (m/s)

Câu 23 Một ô tô xuất phát từ A chuyển động với vận tốc nhanh dần đều, 10 giây sau, ô tô đạt vận tốc

 

5 m / s từ thời điểm tơ chuyển động Ơ tơ thứ hai xuất phát từ A

sau ô tô thứ 10 giây, chuyển động nhanh dần đuổi kịp ô tô thứ sau 25 giây Vận tốc tơ thứ hai thời điểm

A 12 m / s  B.8 m / s  C.10 m / s  D.7 m / s 

Hướng dẫn giải: Chọn A

Cách Ta có gia tốc 10s đầu ô tô thứ t  2

v v

a 0, m / s

t t 10



  



Trong 10s đầu, ô tô thứ chuyển động nhanh dần với vận tốc v t 0,5t Quãng đường ô tô thứ

nhất 10s 10  

0

0, 5tdt25 m



Trong 25s tiếp theo, ô tô thứ 5.25 125 m  

Vậy quãng đường ô tô thứ đến bị đuổi kịp 25 125 150 m   

Mặt khác

0

S S at

2

   Gia tốc ô tô thứ hai  0  2

2

2 S S 2.150

a 0,48 m / s

t 25



  

Vậy đuổi kịp ô tô thứ nhất, vận tốc ô tô thứ hai vtv0 at 12 m / s  

Câu 24 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc (m/s) Đi (s),

người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc (m/s2 ) Tính qng đường (m) tơ từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn

A (m) B (m) C (m) D (m)

Hướng dẫn giải

Chọn D

1/

2

2

0

( ) ( 40 20) ( 20 20 ) 5( )

T

t

v t dt  t dt  t  t  m

 

2 ( ) 3

a t  t t

2

2

(t) ( ) dt (3 t t) dt

2

t v a t     t C

(0) C v

   

2

3

(2) 2 12

2

V    

1( )

v t  t

70

a  S

95, 70

HOCMAI – Ngơi trường chung học trị Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 10- Quãng đường ô tô từ lúc xe lăn bánh đến phanh:

(m)

Vận tốc (m/s) ô tô từ lúc phanh đến dừng hẳn thoả mãn

, Vậy

Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với thoả mãn (s)

Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn:

(m)

Quãng đường cần tính (m)

5

1

0 0

( )d d 87,5

t S v t t t t 

2( )

v t

2( ) ( 70)d = 70

v t   t  tC v2(5)v1(5)35 C 385 v t2( ) 70 t 385

t v t2( )  0 t 5,5

5,5 5,5

2

5

( )d ( 70 385)d 8, 75

S  v t t   t t

1 96, 25

S S S  Giáo viên : LÊ ANH TUẤN