Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Bài giảng Hình học 12 Tiết 33 vectơ phép tốn vectơ khơng gian NGƯỜI SoẠN: PHẠM THỊ ÁNH HỒNG TỔ TOÁN -TIN CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §1 VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TỐN VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN 1.Vectơ không gian ĐỊNH NGHĨA VECTƠ V E C T Ơ VECTƠ CÙNG PHƯƠNG VECTƠ BẰNG NHAU VEC TƠ-KHƠNG PHÉP CỘNG CÁC VEC TƠ CÁC PHÉP TỐN VECTƠ PHÉP TRỪ HAI VECTƠ PHÉP NHÂN VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAIVÉC TƠ số tính chất quan trọng • Qui tắc điểm uuur uuur uuur Với ba điểm A,B,C ln có: AB + BC = AC uuu r uuu r uuur BC − BA = AC • Qui tắc hình bình hành uuur uuur uuur Nếu ABCD hình bình hành thì: AB + AD = AC • Tính chất trung điểm đoạn thẳng: uuu r uuu r r GA + GB = G trung điểm đoạn thẳng AB ⇔  uuur uuu r uuu r  Với O bất kì: OG = OA + OB • Tính chất trọng tâm tamuu giác: u r uuu r uuur r GA + GB + GC = G trọng tâm ∆ ABC ⇔  uuur uuur uuu r uuur  Với O bất kì: OG = (OA + OB + OC ) ( ) uuu r uuu r uuur uuur r G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GCu+uurGD =uu r uuu r uuur uuur u Với O bất kì: OG = OA + OB + OC + OD • Tính chất trọng tâm tứ diện ( ) • Chứng minh tính chất trọng tâm tứ diện uuu r uuu r uuur uuur r GA + GB + GC + GD = G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔  uuur uuu r uuu r uuur uuur Với O bất kì: OG = ( OA + OB + OC + OD ) A •Nếu gọi P,Q trung điểm hai cạnh AB CD thì:    GA + GB = 2GP    GC + GD = 2GQ P B G D Q Khi đó: C            GA + GB + GC + GD = ⇔ 2GP + 2GQ = ⇔ GP + GQ = ⇔ G trung điểm đoạn thẳng PQ ⇔ G trọng tâm tứ diện ABCD • Chứng minh tính chất trọng tâm tứ diện uuu r uuu r uuur uuur r GA + GB + GC + GD = G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔  uuur uuu r uuu r uuur uuur Với O bất kì: OG = ( OA + OB + OC + OD ) •Với điểm O ta có:    GA = OA − OG    GB = OB − OG    GC = OC − OG    GD = OD − OG A P G B D C Bởi vậy: Q            + OA + OB + OC + OD = GA + GB + GC + GD = ⇔ −4OG        ⇔ OG = (OA + OB + OC + OD ) 2.Các véc tơ đồng phẳng  a  c Định nghĩa Ba vectơ gọi đồng phẳng ba đường thẳng chứa chúng song song với mặt phẳng Nhận xét: B Nếu ta vẽ:       OA = a; OB = b; OC = c α C  b  A  b a c O   Thì: Ba véc tơ a, b, c đồng phẳng bốn điểm O,A,B,C nằm mặt phẳng Ví dụ1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy xác định rõ ba véc tơ sau đồng phẳng không đồng phẳng uuur uuuuruuuur 1) DA, DC , DD ' (Không đồng phẳng) uuur uuuuruuuuur D 2) DA, DC , D ' B ' (Đồng phẳng) uuuu r uuuuruuuur 3) BC ' , CB ' , D 'C ' (Không đồng phẳng) uuur uuuuruuuu r 4) AA ', CC ', DB ' ( đồng phẳng) D’ B A C A’ B’ C’ Định lí     Cho ba vectơ a, b, c a, b   khơng phương.Khi ba véc tơ a, b, c đồng phẳng có số k l cho    c = k a + lb r b O r c B r a A C   Định lí Nếu ba vectơ a , b, c không đồng phẳng      với vectơ xta có: x = k a + lb + mc Trong số k,l, m Chứng minh: C  c Từ O vẽ          OA = a, OB = b, OC = c, OX = x Vẽ XX’ song song (hoặc trùng) với OC cắt mp(OAB) X’    Ta có: OX = OX ' + X ' X ( 1) uuuuur r X ' X = mc ( ) Vì O A  x b  a       a, b, OX ' đồng phẳng, a, bkhông phương     ⇒ OX ' = k a + lb ( 3)      Từ (1),(2),(3) ta có: x = OX = k a + lb + mc X X’ B Chứng minh ba số k,l,m Nếu cịn có ba số k’, l’ , m’ cho: Thì:     ' ' ' x = k a+l b+m c       ' ' ' k a + lb + mc = k a + l b + m c     ⇔ ( k − k ') a + (l − l ')b + (m − m ')c = 0(*)  l ' − l  m' − m  b+ c Nếu k’ ≠ k (*) ⇔ a = k −k' k −k'   Suy a, b, c đồng phẳng ( trái với giả thiết) Vậy : k’ = k Chứng minh tương tự ta có l’ = l, m’ = m Vậy ba số k,l,m Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnha Gọi M, N uuur r uuur r uuuur' r trung điểm AD BB’.Đặt AB = a, AD = b, AA = c   uuuu r uu'ur a)Biểu diễn MN , A C theo a , b, c b)Chứng minh: MN⊥A’C     Giải: a) MN = MA + AB + BN −1 r r r = b+a+ c  2   A ' C = A 'rA +rAB r+ BC = −c + a + b rM b D r c A r a B C A’ D’ C’ rr rr rr b)Ta có: a.b = 0, b.c = 0, c.a = r r r   −1 r r r r2 r r2 MN A ' C = ( b + a + c) (−c + a + b) = − b + a − c 2 2 2 a a =− +a − = Như vậy: MN⊥A’C 2 N B’ BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1, 2, 4, 6, (SGK trang 59) Xin chân thành cảm ơn ý theo dõi thày giáo, cô giáo em học sinh! ... TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §1 VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TỐN VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN 1 .Vectơ không gian ĐỊNH NGHĨA VECTƠ V E C T Ơ VECTƠ CÙNG PHƯƠNG VECTƠ BẰNG NHAU VEC TƠ-KHƠNG PHÉP CỘNG CÁC VEC TƠ CÁC PHÉP... Ơ VECTƠ CÙNG PHƯƠNG VECTƠ BẰNG NHAU VEC TƠ-KHƠNG PHÉP CỘNG CÁC VEC TƠ CÁC PHÉP TỐN VECTƠ PHÉP TRỪ HAI VECTƠ PHÉP NHÂN VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAIVÉC TƠ số tính chất quan trọng • Qui... ba vectơ a, b, c a, b   khơng phương.Khi ba véc tơ a, b, c đồng phẳng có số k l cho    c = k a + lb r b O r c B r a A C   Định lí Nếu ba vectơ a , b, c không đồng phẳng      với vectơ