Phương pháp tính truyền nhiệt - P2

Quá trình truyền nhiệt trong thiết bị là một quá trình phức tạp xảy ra đồng thời của ba dạng trao đổi nhiệt cơ bản: trao đổi nhiệt bằng dẫn nhiệt, trao đổi nhiệt bằng đối lưu, trao đổi nhiệt

65nhiệt sẽ kết hợp cả 3 điều kiện biên 3. áp dụng các phơng pháp xấp xỉ ddtije, sẽ đợc hệ phơng trình đại số của tije, k+1, với n ẩn số. oriRriri+1rqrZl-1ZlZl+1zzj+1j+1jZ H31. Sai phân bài toán trụ t(,,z,) Dùng xấp xỉ Euler: tijek+1 = tijek +ddtijek, đặt ri= i, R = , = và F = 2a, ta có hệ phơng trình đại số: tijek+1 = F )2i1(ti-1je+2)i(tij-1e+tije-1+(F1-4-222)tije + tije+1+(i) tij+1e+ (1+2i)ti+1jek (ije) V tijek+1 = F4i12tR-ije+)41(22tRj-1e+tRje-1+[)41(24F1. (22- 4-B)]tRje+tRje+1+)41(22tRj+1ek+)41(BF2tf, (ije) W3 và các phơng trình có nút trên biên, cạnh, góc, khác. Dạng ma trận:[t]k+1 = F{A[t]+[tw1]+[a2q]+[2Btf]+[2qv]}k nh trên với A là ma trận hệ (nxn), các ma trận khác là ma trận cột (nx1). (t) 665.8. FDM cho bài toán biên phi tuyến: 5.8.1. Điều kiện biên phi tuyến tính: - Định nghĩa: 1. Phơng trình F(Tn, mxT) = 0 có n 1 hoặc m 1 gọi là phơng trình phi tuyến tính 2. Điều kiện biên đợc mô tả bởi một phơng trình vi phân phi tuyến gọi là điều kiện biên phi tuyến - Ví dụ: điều kiện biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc chất khí hoặc chân không, trao đổi nhiệt với môi trờng chủ yếu bằng bức xạ, xác định nhờ định luật Stefan-Boltzmann, thì phơng trình cân bằng nhiệt trên biên có dạng: -Tx (W,) = w0[T4(W,)- 4fT] Đó là một phơng trình vi phân (hay điều kiện biên) phi tuyến tính. Nếu W tiếp xúc môi trờng chân không vô hạn ngoài vũ trụ thì coi Tf = 3.K hoặc gần đúng, coi Tf = O.K Chẳng hạn, trờng hợp mặt W có nhiệt độ TW lớn, trao đổi nhiệt phức tạp với không khí hoặc chân không, hay vách TĐN phức tạp với sản phẩm cháy có Tf lớn, là các bài toán biên phi tuyến 5.8.2. Bài toán biên phi tuyến 1. Phát biểu bài toán: Cho vách phẳng rộng , dày = L có (a, ) không đổi (hoặc phụ thuộc (M,)), nhiệt độ ban đầu T(x,0) = Ti[K], mặt x = đợc cách nhiệt , mặt x = 0 tiếp xúc chân không có nhiệt độ Tf và TĐN bức xạ ra môi trờng này. Tìm phân bố t(x,) khi > 0. 2. Mô hình toán học của bài toán là: 67T = aTxx T(x,0) = Ti Tx(0,)= 0[4fT-T4(0,)] Tx(0,) = 0 Nhận xét: bài toán này có cùng một mô hình TH với bài toán biên thuần nhất, khi vách dày 2 và TĐN Ot1 2 43Lxq = (T - T )0f4o4saTx= 0Tf H32. Bài toán biên phi tuyến bức xạ với hai môi trờng khí đồng chất, có cùng nhiệt độ Tf. 3. Giải bằng FDM. 1. Chia chia chiều dày = L ra các khoảng x = nL, ví dụ x = 4L tạo ra 5 phần tử có 5 nút là i, (i = 0ữ4) 2. Sai phân theo x: phơng trình cân bằng nhiệt là: - Trên biên bức xạ xi = 0: cS2xd2dTo = 0(4fT- 40T)S -x(T0-T1)S d2dTo= xc20(4fT- 40T) -2xc2(T0-T1) Nếu chuẩn hoá bằng cách đặt = TiT X = Lx X = Lx F = 2Lc = 2La Thì do T=T.F.F=2iLaT.Fnên: ==)TT()xL(aTaL2ddT.aTLdFd404fi200i20 i2402aT)xL(a)TT(L2 (t) hayS 68(F) dFd0=2)X(1-2(1+303i0XLT.)0+21+24f3i0.XLT. Nếu đặt R= 3i0LT.là đại lợng không thứ nguyên, ta có: 0F=2)X(1[-2(1+RX.30)0+21]+XR24f , W6 iF=2)X(1[0- 21+2] 2F=2)X(1[1- 22+3] V 3F=2)X(1[2- 23+4] 4F=2)X(1[23- 24] W20 3. Xấp xỉ Euler k+1= k+FkF, đặt 2)X(F= p ta có hệ phơng trình đại số, viết ở dạng ma trận nh sau: 0,k+1= [1-2p(1+RX30]0,k+2p1,k+2pRX4f i,k+1= pi-1k+(1-2p)ik+p1+1,k với i = 1,2,3 4,k+1= 2p3,k+(1-2p)4,k ( Với biên cách nhiệt X = 0, do đối xứng, coi i-1 = i+1) 4. Chuyển hệ (i) sang dạng ma trận, có: 0 [1-2p(1+RX30]2p 0 2pRX4f1 p (1-2p) p 1 0 2 = p (1-2p) p 2 + 0 3 p (1-2p) p 3 0 4 k+1 2p (1-2p) 4 k 0 Thay điều kiện đầu lúc = 0 (tức F = 0) theo (X,0) = 1 vào (i) k 69[]k=0 tính phần tử bức xạ của ma trận [1-2p(1+RX3k0] theo 0,0 = 1, ta tính đợc []k=1. Lặp lại chu trình này, tính đợc []k=2, .v. v 5.8.3. Bài toán truyền nhiệt qua vách phi tuyến: Nếu thay ĐKB tại x = L của bài toán tại H.32 bởi điều kiện biên loại 3, ta có bài toán sau: T = aTxx T(x,0) = Ti Tx(0,) = 0[41fT-T4(0,)] Tx(L,) = [T(L,)-Tf2] Bài toán này đợc giải tơng tự nh trên, chỉ khác phơng trình cân bằng nhiệt cho nút biên W2 là: Ot1 2 43xq = (T - T )0f14o4saTf1Tf2 H33. Bài toán truyền nhiệt KOD phi tuyến tính pc 2xT4 = x(T3-T4)-[T4-Tf2] hay với B = x=LX F=2)X(1[2T3-2(1-B)T4]+2)X(B2Tf2 Xấp xỉ Euler dẫn tới phơng trình: 4k+1= 2p3+[1-2(1-B)]4+2pBf2 Do đó, dạng ma trận của hệ phơng trình đại số là: 0 [1-2p(1+RX30] 2p 0 2pRX4f 1 p (1-2p) p 1 0 2 = p (1-2p) p 2 + 0 3 p (1-2p)p 3 0 4 k+1 2p 4 k 2B2pf2 Phơng trình này cũng đợc giải với điền kiện đầu (X,0) = 1 Bài toán này có thể áp dụng để tính nhiệt cho vách ống sinh hơi (t) kk [1-2p(1-B) 70của lò hơi, khi nó nhận nhiệt BX từ buồng lửa và trao cho nớc trong lò. Việc chọn thoả mãn điều kiện ổn định là : min{[1-2p(1-B)],[1-2p(1+ R30]} > 0 tức là: 1-2p(1+ RX30 > 0 1-22)X(F(1+RX30) > 0 tức phải chọn; F < )](maxXR1[2)X(302+ , với max 0 = i1fTT Nghĩa là cần chọn < ]s[,)TxL1(a231f022x+ Khi giải hệ phơng trình trên, phải thờng xuyên tính lại số hạng đầu [1-2p(1+R30)]k theo 0, k sau mỗi bớc. 71Chơng 6 phơng pháp phần tử hữu hạn finite element method (FEM) 6.1. Nội dung và các bớc của phơng pháp phân tử hữu hạn 6.1.1. Nội dung FEM. T tởng của FEM là thay bài toán giải hệ phơng trình vi phân (t) bằng một bài toán biến phân tơng ứng, tức là tìm hàm số t làm cực tiểu một phiếm hàm I tơng ứng bài toán (t). Bài toán biến phân đợc giải gần đúng nhờ phép xấp xỉ tích phân bằng cách thay hàm t(x,y,z,) bởi một hệ M hàm thời gian tn() tại các nút (đỉnh) của một số hữu hạn E phần tử tạo ra vật cần xét. Kết quả cho biết, để cực tiểu biến hàm I, hàm t phải tìm cần thoả mãn hệ M phơng trình vi phân thờng cấp 1 nh sau: Cdd[t] = -(K+H)[t] + (h+q) Trong đó C, K, H là các ma trận vuông (MxM) của các hệ số nhiệt dung C, dẫn nhiệt , toả nhiệt , còn h, q là các ma trận cột (Mx1) của các giá trị nhiệt độ môi trờng tf và dòng nhịêt q qua biên loại 2, [t] = M1t t là ma trận cột (Mx1) của các nhiệt độ nút. Nếu bài toán (t) là ổn định , [ ]t& = 0, hàm t đợc xác định theo hệ phơng trình đại số: (K+ H) [t] = h + q. Nếu bài toán (t) không ổn định, thì sau khi sử dụng phép sai phân thời gian, ta thu đợc một hệ M phơng trình đại số, cho phép xác định t theo điều kiện ban đầu. 6.1.2. Các bớc áp dụng FEM Để giải hệ phơng trình vi phân (t) theo FEM, có thể tiến hành các bớc nh sau: 721. Xác định phiếm hàm I tơng ứng bài toán (t). Trờng hợp bài toán t với biên loại 1, 2, 3 tổng quát, phiếm hàm I sẽ có dạng tích phân sau: I[t(x,y,z)] =v f(x,y,z,t,tx,ty,tz) dV +w(qt + 2t2)dw Với W là biên của vật V, còn dạng hàm f xác định theo bài toán (t) và định lý Euler-Lagrange về điều kiện cực tiểu phiếm hàm. Điều kiện cực tiểu phiếm hàm I là biến phân I = 0. Ote3kiSWt(x,y, =const)tk12fif(e)yykyjyixixjxkx H. 32 Phân bố nhiệt độ t(e) trong phần tử e hai chiều 2. Mô tả điều kiện cực tiểu I = 0 ở dạng hệ phơng trình vi phân thờng cấp 1 của các nhiệt độ nút (hoặc hệ phơng trình đại số khi (t) là bài toán ổn định). Bớc này có thể chia ra các bớc nhỏ nh sau: 2.1. Chia V (hoặc S, hoặc ) ra một số hữu hạn phần tử có dạng khối tứ diện (hoặc tam giác, hoặc đoạn x) bởi hệ thống M điểm nút (coi là đỉnh phần tử). Đánh số thứ tự và ghi địa chỉ nút theo toạ độ (i, j, k) của mỗi nút. 2.2. Giả thiết rằng: Tại một thời điểm bất kỳ, phân bố nhiệt độ t(e) trong phần tử e là một hàm tuyến tính của các nhiệt độ nút (tức có dạng mặt phẳng qua 3 điểm ti, tj, tk), và xác định phân bố t(e) nh hàm tuyến tính của các biến, có dạng f(x,y,ti,tj, tk) = t(e) (xem H.32) 732.3. Xấp xỉ tích phân I nh là tổng các tích phân I(e) trên mỗi phân tử (e): I = =E1e)e(I Cho thấy I = I(t1, t2, ., tM) là phiếm hàm của M hàm nhiệt độ nút ti() và điều kiện cực tiểu I = 0 trở thành ]t[ddI = 0, với [t] = M1t t tức ]t[ddI= =E1e]t[ddIe= 0 2.4. Dùng phép biến đổi ma trận để đa điều kiện trên về dạng: ]t[ddI= K[t] + C[t&] + H[t] - h - q = 0 Đó là hệ phơng trình đại số của t và t& = ddt 3. Nếu bài toán không ổn định, [t&] 0, tiếp tục dùng phép sai phân thời gian, chuyển hệ phơng trình vi phân theo d thành hệ phơng trình đại số và giải theo điều kiện đầu. Bớc 1, 2 và 3 có thể chơng trình hoá cho máy tính thực hiện: 6.1.3. Phạm vi ứng dụng FEM: - Cũng nh FDM,FEM có khả năng giải mọi bài toán biên bất kỳ, có điều kiện vật lý và điều kiện đầu cho tùy ý, với độ chính xác cao tuỳ ý. - FEM rất tiện lợi khi hệ vật có biên dạng không quy tắc, vì khi đó chỉ cần ghi điạ chỉ các nút biên, không cần tính thể tích và diện tích mặt các phần tử nh trong FDM. - Khi biên di động (bài toán biên loại 5), cả FDM, FEM sẽ trở nên phức tạp. 6.2. Cực tiểu của hàm nhiều biến và phép xấp xỉ tích phân Cơ sở của FEM là điều kiện cực tiểu của hàm số và phiếm hàm cùng phép xấp xỉ tích phân. 6.2.1. Điều kiện cực tiểu hàm số u = u(x1, x2, .,xn) - Theo phép tính vi phân, điều kiện cần và đủ để hàm u = u(x) đạt 74cực tiểu tại x là:dxdu = 0 và 22dxud > 0 - Điều kiện cần và đủ để u = u(x,y) đạt cực tiểu tại (x,y) là: >>==0)uuu(,0u0u,0uxy2yyxxxxyx - Tổng quát, điều kiện cần để hàm n biến u = u(x1, x2, .,xn) đạt cực tiểu là tất cả các đạo hàm riêng u theo lần lợt các biến đều triệt tiêu, tức: ixu= 0, i = 1 ữ n. Sau đây sẽ dùng ký hiệu "A B", có nghĩa là " B đợc định nghĩa là A". Định nghĩa một ma trận cột [x] n 21xxx, điều kiện trên có thể viết ở dạng:0]x[u=hay cụ thể , ]x[u xnu .xuxu21=0 .00 Sau đây ta chỉ quan tâm tới điều kiện cần nói trên, còn điều kiện đủ để đạt cực tiểu đợc xác định bởi nội dung của bài toán biến phân cụ thể. Trong kỹ thuật, việc cực tiểu phiếm hàm I[t], tơng ứng việc xác định hàm t sao cho sai số cực tiểu, so với hàm t xác định chính xác theo định luật bảo toàn năng lợng. 6.2.2. Phép xấp xỉ tích phân: - Để xấp xỉ một tích phân, ta chia miền tích phân ra các phần tử hữu hạn và giả thiết rằng, hàm tích phân thay đổi tuyến tính trong mỗi phần tử. Cụ thể, coi hàm F(x) là đờng thẳng trong phần tử một chiều [...]... 0 - 0 = 0) x0 dx d Fu' = 0 dx Vì u (x) 0 x (x0, x1) nên Fu Suy ra định lý Euler - Lagrange: - Định lý E - L1: x1 Để cực tiểu phiếm hàm I[à(x)] = 79 x0 F(x, u, u')dx, hàm u(x) cần thoả mãn điều kiện sau: F d F ( )= 0 u dx u ' 6.3.4.2 Phơng pháp biên phân: - Phơng pháp biến phân là phơng pháp sử dụng điều kiện cực tiểu để tìm đờng cong cực trị - Điều kiện cực tiểu I[y(x)] theo EL là: FyFy- Fy'x-... qb = [q] d[t] d[t] 0 - ĐK cực tiểu I là chọn [t] thoả mãn hệ phơng trình vi phân cấp 1 sau: dI = K[t] + C & + H[t] - [tf] + [q] = 0 hay t d[t] C & = - (K + H)[t] + [tf] - [q] t 6.5.4 Phát biểu sai phân (theo Euler): Theo [t]k+1 = [t]k + & k có: C[t]k+1 = C[t]k + .C & k t t C[t]k+1 = C[t]k - (K + H)[t]k + [tf] - [q] 97 C[t]k+1 = [C - (K + H)[t]k + [tf] - [q] Khi , C, không đổi, thay... t(0,) và tM = t(L,) 2 6.5.3 Phát biểu FEM: - Chia đoạn (0 ữ L) ra E phân tử nh hình 45, phân tích nh bài (2.1): - Điều kiện cực tiểu I là dI = 0 hay: d[t] dI dIc dI dIq + + + = 0, trong đó d[t] d[t] d[t] d[t] dI dI = K[t], c = C & , cần tính: t d[t] d[t] - Tính dI , với I = (t 2 2t f t M ) là hàm phụ thuộc nhiệt độ nút tM M 2 d[t] của phần tử E 4 trên biên toả nhiệt Định nghĩa ma trận hàng (1xM) có... Fy'x- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 d Fy ' = dx 0 suy ra: ,(E) Phơng trình (E) gọi là phơng trình Euler - Phơng pháp tìm đờng cong cực trị là: 1) Tích phân phơng trình Euler thu đợc hàm y(x,c1, c2) 2) Xác định c1, c2 theo hai điều kiện biên y0 = y(x0), y1 = y(x1) Ví dụ: Khi hàm F chỉ phụ thuộc y và y': F=F(y,y') phơng trình (E) có dạng Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 Nhân hai vế với y' có: y'(Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'')... dT[t], nên ta có: tM dI d T = (d [ t ])2 t f (d T [ t ]) d[t] d[t] 2 2(dT[t])d - tfd, vì dT[t] = vô hớng hoán vị dT[t] và d 2 dI ta có: = 2ddT[t] - tfd tức là: d[t] 2 = 96 dI = d[t] Với 0 0 [00 01][t] 0 1 0 0 H 0 M - Tính dIq d[t] - và [tf] = 0 0 0 t f H [t] - [tf] 0 0 t f M , với Iq = I [t(x = 0, )] = qt1 (1 phần tử) t1 t 2 T Gọi b [10... (E) có dạng Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 Nhân hai vế với y' có: y'(Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'') = Fy.y'-Fy'yy'2-Fy'y'y'y'' = = d (F-Fy'.y')= dx 0, (dạng đạo hàm toàn phần theo x) Tích phân đầu theo x có F- Fy'y' = C1 là một phơng trình vi phân không chứa x, giải đợc bằng cách tách biến hoặc đổi biến, ví dụ y = c1ch x - c2 c1 * Tìm mặt cực tiểu (bài toán 1) : Mặt tròn xoay qua (o,y0), (x1,y1) cực tiểu khi phiếm... = cot gt 81 = C1( 1- cos2t)dt x = C1(t- 1 sin2t) + C2 2 C1 hay x = (2t - sin2t) + C2 2 Đờng đoản thời có dạng họ đờng cycloid C x = 1 (2t sin 2t ) + C 2 C1 2 qua A(0,0) C2 = 0 đặt C = , 2 y = C1 (1 cos 2 t ) 2 2t = ta có đờng đoản thời là đờng cycloid, mô tả bởi phơng trình dạng tham số sau: y y x = C( sin ) hay x = c[arcos( 1- ) - sin(arcos( 1- ))] c c y = C(1 cos ) với C = bán... t x t y t z S - Theo tx = ( 0 t ) = (t ) , v.v., ta có: x x I= z F F F F ( t ) + ( t ) + ( t ) d t + t x x t y y t z z V t ny 0 S V+ t (q + t )d s = 0 S y - Sau khi tích phân từng phần (per partes) ta V 0 có: x F F F (t )dV = t.l x dS - t ( )dV t x x t x x x S V t V F F F t.l y dS - t ( )dV (t )dV = t y y t y y t y S V V F F F (t )dV = t.l z dS - t ( )dV z t z... phơng trình trên, ta thu đợc: x 1 1 K ' H [t]k+[tf ]-[ q] CxC'[t]k+1= CxC ' x 6 6 6 6 6 6 K ' H [t]k + [tf] [q] C'[t]k+1 = C' 2 Cx Cx Cx Cx Thay C = có: a 6a 6a x 6a x C'[t]k+1 = C' [tf] K ' H [t]k + 2 2 2 x x x - x 6a x a [q] Đặt p , B , ta thu đợc phơng x 2 x 2 trình đại số là: C'[t]k+1 = [C' - 6pK' - 6pBH][t]k + 6pB[tf] - 6p x [q] Cụ thể, hệ phơng trình đại số dạng ma... F(y,y') = F- y'Fy' = = 1 y(1 + y' 2 ) - x1 ds d y v = d g d ds x y1 ta có tích phân đầu: 1 + y' 2 y 0 A B y y' 2 H.41 Đờng đoản thời y(1 + y' ) x = C( t sin t ) y = C(1 cos t ) 2 Cycloid =C y(1 + y'2) = C1 là phơng trình vi phân cấp 1 phi tuyến Đổi biến y' = cotg t có y = C1 1+ y '2 = C1 1 + cot g 2t C1 (1-cos2t) và : = C1sin t = 2 2 dy 2C1 sin t cos t.dt = 2C1sin2t dt dx = y' = cot gt 81 = C1( 1- cos2t)dt . x: phơng trình cân bằng nhiệt là: - Trên biên bức xạ xi = 0: cS2xd2dTo = 0(4fT- 40T)S -x(T0-T1)S d2dTo= xc20(4fT- 40T) -2 xc2(T0-T1) Nếu chuẩn hoá bằng. )0f14o4saTf1Tf2 H33. Bài toán truyền nhiệt KOD phi tuyến tính pc 2xT4 = x(T3-T4 )-[ T4-Tf2] hay với B = x=LX F=2)X(1[2T 3-2 (1-B)T4]+2)X(B2Tf2 Xấp xỉ Euler