Các phương pháp tính truyền nhiệt - P2

Quá trình truyền nhiệt trong thiết bị là một quá trình phức tạp xảy ra đồng thời của ba dạng trao đổi nhiệt cơ bản: trao đổi nhiệt bằng dẫn nhiệt, trao đổi nhiệt bằng đối lưu, trao đổi nhiệt

nhiÖt sÏ kÕt hîp c¶ 3 ®iÒu kiÖn biªn

α

α α

∆ϕ ϕj+1

ϕ j+1

ϕ j Z

H31 Sai ph©n bµi to¸n trô t(π,ϕ,z,τ) Dïng xÊp xØ Euler: tijek+1 = tije k + τ

d dtije⎢k∆τ,

i 1 ( ti-1je+( i) 2

−

δ

− 4

i 1

2

tR-ije+

) 4 1 (

2

2

δ

− γ

δ

tRj-1e+tRje-1+[

) 4 1 (

2 4 F

2

2

δ

− γ

BF 2 δ

(t)

5.8 FDM cho bài toán biên phi tuyến:

5.8.1 Điều kiện biên phi tuyến tính:

- Định nghĩa:

1 Phương trình F(Tn, T xm) = 0 có n ≠ 1 hoặc m ≠ 1 gọi là phương trình phi tuyến tính

2 Điều kiện biên được mô tả bởi một phương trình vi phân phi tuyến gọi là điều kiện biên phi tuyến

- Ví dụ: điều kiện biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc chất khí hoặc chân không, trao đổi nhiệt với môi trường chủ yếu bằng bức xạ, xác

định nhờ định luật Stefan-Boltzmann, thì phương trình cân bằng nhiệt trên biên có dạng:

-λTx (W,τ) = εwσ0[T4(W,τ)- T ] f4

Đó là một phương trình vi phân (hay điều kiện biên) phi tuyến tính Nếu W tiếp xúc môi trường chân không vô hạn ngoài vũ trụ thì coi Tf = 3.K hoặc gần đúng, coi Tf = O.K

Chẳng hạn, trường hợp mặt W có nhiệt độ TW lớn, trao đổi nhiệt phức tạp với không khí hoặc chân không, hay vách TĐN phức tạp với sản phẩm cháy có Tf lớn, là các bài toán biên phi tuyến

5.8.2 Bài toán biên phi tuyến

1 Phát biểu bài toán: Cho vách phẳng rộng ∞, dày δ = L có (a, λ) không đổi (hoặc phụ thuộc (M,τ)), nhiệt độ ban đầu T(x,0) = Ti[K], mặt x = δ được cách nhiệt , mặt x = 0 tiếp xúc chân không có nhiệt độ

Tf và TĐN bức xạ ra môi trường này Tìm phân bố t(x,τ) khi τ > 0

2 Mô hình toán học của bài toán là:

Nhận xét: bài toán này có cùng

một mô hình TH với bài toán biên

thuần nhất, khi vách dày 2δ và TĐN

s aλ

δ T

δ x= 0

T f

H32 Bài toán biên phi tuyến

bức xạ với hai môi trường khí đồng chất, có cùng nhiệt độ Tf

dTo

= εσ0( 4

f

T - 4 0

d

dTo

=

x c

2 0

∆ ρ

εσ

( 4 f

T - 4 0

λ

(T0-T1)

Nếu chuẩn hoá bằng cách đặt θ =

TiT

X = L

λτ

= 2

Laτ

L

a T

=

θ

)TT()xL(aTa

L2d

dT.aT

LdF

0

4 f i

2 0 0

i

2 0

i 2

4 0 2

aT ) x L ( a

) T T ( L 2

∆ λ

ư λ

(t)

hay

S

3 i 0

X LT

X

LT θ

∆ λ εσ

1

∆ [-2(1+R∆X.θ30)θ0+2θ1]+

X

R 2

∆

4 f

θ , ∈ W6

θiF= 2

) X (

1

∆ [θ0- 2θ1+θ2]

θ2F= 2

) X (

1

∆ [θ1- 2θ2+θ3] ∈V

θ3F= 2

) X (

1

∆ [θ2- 2θ3+θ4]

θ4F= 2

) X (

1

∆ [2θ3- 2θ4] ∈W20

3 Xấp xỉ Euler θk+1= θk+θFk∆F, đặt 2

) X (

F

∆

∆

= p ta có hệ phương trình đại số, viết ở dạng ma trận như sau:

[θ]k=0 tÝnh phÇn tö bøc x¹ cña ma trËn [1-2p(1+R∆X 3

k

θ ] theo θ0,0 = 1,

ta tÝnh ®−îc [θ]k=1 LÆp l¹i chu tr×nh nµy, tÝnh ®−îc [θ]k=2, v v

5.8.3 Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn:

NÕu thay §KB t¹i x = L cña bµi to¸n t¹i H.32 bëi ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3, ta cã bµi to¸n sau:

T -T4(0,τ)]

Tx(L,τ) = − λ

α

[T(L,τ)-Tf2] Bµi to¸n nµy ®−îc gi¶i t−¬ng

(

1

∆ [2T3-2(1-B)T4]+ 2

) X (

B 2

cña lß h¬i, khi nã nhËn nhiÖt BX tõ buång löa vµ trao cho n−íc trong

) X (

3 0

2 θ

∆ +

∆

, víi max θ0 =

i

1 f

T T

NghÜa lµ cÇn chän ∆τ < ,[s]

)TxL1(a

2

2 x

λ

εσ

∆+

∆

Khi gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, ph¶i th−êng xuyªn tÝnh l¹i sè h¹ng

®Çu [1-2p(1+R∆θ30)]k theo θ0, k sau mçi b−íc

Chương 6 phương pháp phần tử hữu hạn finite element method (FEM)

6.1 Nội dung và các bước của phương pháp phân tử hữu hạn

6.1.1 Nội dung FEM

Tư tưởng của FEM là thay bài toán giải hệ phương trình vi phân (t) bằng một bài toán biến phân tương ứng, tức là tìm hàm số t làm cực tiểu một phiếm hàm I tương ứng bài toán (t)

Bài toán biến phân được giải gần đúng nhờ phép xấp xỉ tích phân bằng cách thay hàm t(x,y,z,τ) bởi một hệ M hàm thời gian tn(τ) tại các nút (đỉnh) của một số hữu hạn E phần tử tạo ra vật cần xét

Kết quả cho biết, để cực tiểu biến hàm I, hàm t phải tìm cần thoả mãn hệ M phương trình vi phân thường cấp 1 như sau:

C

τ d

d

[t] = -(K+H)[t] + (h+q) Trong đó C, K, H là các ma trận vuông (MxM) của các hệ số nhiệt dung C, dẫn nhiệt λ, toả nhiệt α, còn h, q là các ma trận cột (Mx1) của các giá trị nhiệt độ môi trường tf và dòng nhịêt q qua biên loại 2,

1 Xác định phiếm hàm I tương ứng bài toán (t)

Trường hợp bài toán t với biên loại 1, 2, 3 tổng quát, phiếm hàm

Với W là biên của vật V, còn dạng hàm f xác định theo bài toán (t) và định lý Euler-Lagrange về điều kiện cực tiểu phiếm hàm

Điều kiện cực tiểu phiếm hàm I là biến phân δI = 0

xi xj xk

x

H 32 Phân bố nhiệt độ t(e) trong phần tử e hai chiều

2 Mô tả điều kiện cực tiểu δI = 0 ở dạng hệ phương trình vi phân thường cấp 1 của các nhiệt độ nút (hoặc hệ phương trình đại số khi (t)

là bài toán ổn định) Bước này có thể chia ra các bước nhỏ như sau: 2.1 Chia V (hoặc S, hoặc δ) ra một số hữu hạn phần tử có dạng khối tứ diện (hoặc tam giác, hoặc đoạn ∆x) bởi hệ thống M điểm nút (coi là đỉnh phần tử) Đánh số thứ tự và ghi địa chỉ nút theo toạ độ (i, j, k) của mỗi nút

2.2 Giả thiết rằng: Tại một thời điểm τ bất kỳ, phân bố nhiệt độ

t(e) trong phần tử e là một hàm tuyến tính của các nhiệt độ nút (tức có dạng mặt phẳng qua 3 điểm ti, tj, tk), và xác định phân bố t(e) như hàm

2.3 Xấp xỉ tích phân I như là tổng các tích phân I(e) trên mỗi phân

tử (e): I = ∑

= E

1 e

) e (

I

Cho thấy I = I(t1, t2, , tM) là phiếm hàm của M hàm nhiệt độ nút

ti(τ) và điều kiện cực tiểu δI = 0 trở thành

] t [ d

t

tức

] t [ d

dI

= ∑

= E

3 Nếu bài toán không ổn định, [t&] ≠ 0, tiếp tục dùng phép sai phân thời gian, chuyển hệ phương trình vi phân theo dτ thành hệ phương trình đại số và giải theo điều kiện đầu

Bước 1, 2 và 3 có thể chương trình hoá cho máy tính thực hiện:

6.1.3 Phạm vi ứng dụng FEM:

- Cũng như FDM,FEM có khả năng giải mọi bài toán biên bất kỳ,

có điều kiện vật lý và điều kiện đầu cho tùy ý, với độ chính xác cao tuỳ ý

- FEM rất tiện lợi khi hệ vật có biên dạng không quy tắc, vì khi đó chỉ cần ghi điạ chỉ các nút biên, không cần tính thể tích và diện tích mặt các phần tử như trong FDM

- Khi biên di động (bài toán biên loại 5), cả FDM, FEM sẽ trở nên phức tạp

6.2 Cực tiểu của hàm nhiều biến và phép xấp xỉ tích phân

Cơ sở của FEM là điều kiện cực tiểu của hàm số và phiếm hàm cùng phép xấp xỉ tích phân

6.2.1 Điều kiện cực tiểu hàm số u = u(x 1 , x 2 , ,x n )

- Theo phép tính vi phân, điều kiện cần và đủ để hàm u = u(x) đạt

0u,0u

xy 2 yy xx xx

y x

- Tổng quát, điều kiện cần để hàm n biến u = u(x1, x2, ,xn) đạt cực tiểu là tất cả các đạo hàm riêng u theo lần lượt các biến đều triệt tiêu, tức:

2 1

x x

x u x u

0 0

Sau đây ta chỉ quan tâm tới điều kiện cần nói trên, còn điều kiện

đủ để đạt cực tiểu được xác định bởi nội dung của bài toán biến phân

cụ thể Trong kỹ thuật, việc cực tiểu phiếm hàm I[t], tương ứng việc xác định hàm t sao cho sai số cực tiểu, so với hàm t xác định chính xác theo định luật bảo toàn năng lượng

6.2.2 Phép xấp xỉ tích phân:

- Để xấp xỉ một tích phân, ta chia miền tích phân ra các phần tử hữu hạn và giả thiết rằng, hàm tích phân thay đổi tuyến tính trong mỗi

∆x = xj - xi , hàm F(x,y) là mặt phẳng

trong phần tử tam giác 2 chiều ∆e, hàm

F(x,y,z) là tuyến tính với các biến tọa

độ (xi, yj, zk) tại 4 đỉnh của tứ diện

- Nhờ cách chia và giả thiết nói

trên, ta có thể xác định tích phân I như

tổng các giá trị trung bình của tích

phân trên mỗi phần tử I = ∑

= E

1 e

) e (

1 e

) e (

j i

2

F F

(xj-xi) với Fi = F(xi), Fj = F(xj), (Fi+Fj)/2 là trị trung bình của F(x) trên

i F )F

(2dx)x(

2

∆

(F1+2F2 + 2F3 + 2F4 + F5)

6.3 Lý thuyết biến phân (variation Theory)

(Có thể tham khảo tài liệu: Variationoe istrislenie của L.E.Elgols)

6.3.1 Phiếm hàm

- Khái niệm: Phiếm hàm là một đại lượng biến thiên mà trị số của

nó phụ thuộc vào một hay một vài hàm số nào đó

Ký hiệu: I = I[t(x)], I = I[t(x,y)] hay I = I[u1(x), [u2(x)] v.v

- Đinh nghĩa: đại lượng biến thiên v được gọi là phiếm hàm phụ

thuộc hàm số y(x), (y(x) gọi là đối thức), ký hiệu là ν = ν[y(x)], nếu

ứng với mỗi hàm y(x)thuộc một lớp hàm nào đó, có một giá trị ν xác

định Tương tự định nghĩa phiếm hàm ν = ν [t(x,y)] hoặc ν =

s

s T ( s )ds + Độ dài đường cong y(x) bất kỳ qua 2 điểm (x0,y0) (x1,y1) là

phiếm hàm l = l[y(x)] = 2 1 y' dx

1

x x

2

6.3.2 Nội dung của lý thuyết biến phân:

- Lý thuyết biến phân là một ngành của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp tìm cực trị của các phiếm hàm Nó cho phép tìm

được một hoặc một số hàm số làm cực tiểu một phiếm hàm đã cho

- Bài toán biến phân là bài toán tìm cực tiểu của một phiếm hàm cho trước, phụ thuộc một vài hàm số chưa biết Phép tính biến phân cho phép tìm được các hàm số này

- Ví dụ: các bài toán biến phân tiêu biểu:

1 Tìm mặt cực tiểu:

Tìm đường cong y(x) nối hai điểm

(x0,y0) (x1,y1) cho trước, để khi quay

quanh Ox tạo ra mặt có diện tích cực tiểu

Phát biểu biến phân của bài toán

(1) là tìm cực tiểu của phiếm

hàm:S[y(x)] = 1 1 y ' dx

0

x x

2

∫ +

2 Tìm đường đoản thời:

Tìm đường cong y(x) nối hai điểm

A(x0,y0), B (x1,y1) cho trước để chất

H.34 Bài toán tìm mặt cực tiểu

và bài toán biến phân là tìm cực tiểu phiếm hàm như sau:

dydx

(2

m

dx

dy 1 gy 2

1 d

τ = τ[y(x)] = dx

y

' y 1 g

Tìm đường cong f(x,y,z) nối hai

điểm A,B trên mặt cong ϕ(x,y,z) = 0

cho trước, có độ dài ngắn nhất Theo

ý nghĩa hình học, bài toán (3) theo

biến phân là tìm cực tiểu phiếm hàm

l= l[y(x),z(x)] = 2 1 y ' Z ' dx

1

x x

2 2

) x ( y y

là các hàm xác định dạng tham số của đường cong

đó u (x) thay đổi tuỳ ý trong lớp hàm

u(x,ε) nào đó, gần đường cong u(x)

u thay đổi trong lớp đường cong

qua hai điểm biên (x0,y0) (x1,y1) phụ thuộc thông số ε nhỏ nào đó:

H.36 BT tìm đường trắc địa

) x ( y y

O

z

x

y A

u

δ

u ∈ u(x;ε) = u(x) + ε[u (x)-u(x)

= u(x) + εδu

),(x y

u thay đổi trong lớp mặt cong qua chu tuyến S, phụ thông số ε nhỏ nào đó:

),(x y

u ∈ u(x,y;ε) và u(x,y;ε) = u(x,y) + ε[u(x,y)-u(x,y)] = u(x,y) + εδu(x,y)

Biến phân δu là sự sai khác nhỏ giữa hai hàm u cùng chung biên nào đó

6.3.3.2 Biến phân của phiếm hàm:

- Định nghĩa: Biến phân δI của phiếm hàm I[u(x)] là đạo hàm của phiếm hàm I[u(x) + εδu(x)] theo tham số ε, tính tại ε = 0

δI[u(x)] =

ε d

d

I[u(x,y)] + εδu(x,y)]⏐ε =0 ,và δI[u1(x), ,un(x)] = ε

d

d

I[(u1(x) + εδu1), ,(un(x) + εδun)]⏐ε =0

- ý nghĩa: Biến phân δI là phần chính bậc 1 (tuyến tính) của số gia phiếm hàm ∆I = I[u + δu] - I[u] khi max [δu] → 0

δI mô tả sai số các tích phân (phiếm hàm) suy từ một định luật bảo toàn nào đó, so với định luật bảo toàn năng lượng

- Cần tìm hàm u = u(x) qua 2 điểm biên cho trước [x0, u0 = u(x0)]

và [x1, u1 = u(x1)] làm cực tiểu phiếm hàm có dạng:

u(x,y) u(x,y) u

u

δ

u(x,ε) của x và thông số ε ∈ [0,1] bởi:

u(x,ε) = u(x) + ε[ u (x) - u(x)]

= u(x) + εδu(x) với u (x)là đường cong gần

u(x) và δu(x) là biến phân của hàm

u(x)

- Với đường cong u(x;ε) thì phiếm hàm I[u(x,ε)] là một hàm chỉ của ε, do đó điều kiện cần để cực tiểu phiếm hàm của hàm u(x), ứng với ε = 0, là:

x u u

Fx

0

= +

x

u(x)

u(x) u

u

δ

thoả mãn điều kiện sau: ( ') = 0

d u

Fy- Fy'x- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 ,(E)

Phương trình (E) gọi là phương trình Euler

- Phương pháp tìm đường cong cực trị là:

1) Tích phân phương trình Euler thu được hàm y(x,c1, c2)

2) Xác định c1, c2 theo hai điều kiện biên y0 = y(x0), y1 = y(x1)

Ví dụ: Khi hàm F chỉ phụ thuộc y và y':

F=F(y,y') → phương trình (E) có dạng Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 → Nhân hai vế với y' có:

y'(Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'') = Fy.y'-Fy'yy'2-Fy'y'y'y'' =

* Tìm mặt cực tiểu (bài toán 1) :

Mặt tròn xoay qua (o,y0), (x1,y1)

cực tiểu khi phiếm hàm S[y(x)] cực

tiểu Do dS = 2πyds =

2πy dx2 + dy2 nên suy ra

S[y(x)] = 2π y y dx

x x

F- y'Fy' = y 1 + y '2

-2 ' y 1

' yy

' y 1

y + = C1

§æi biÕn y' = sht th× y = C1cht vµ dx = = =

sht

shtdt C

C t C x

1

2 1

* T×m ®−êng ®o¶n thêi: (bµi to¸n 2)

Thêi gian chÊt ®iÓm l¨n trªn ®−êng cong y(x) tõ A→B lµ:

yx

x

∫ =

+1

0

2

' 1

Víi F = F(y,y') =

y

' y

1 + 2

-

) ' y 1 ( y

' y

) = C1 lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 phi tuyÕn

§æi biÕn y' = cotg t cã y = C g t

y

C

2

1 2

'

1

cot 1

1+ = +

= C1sin2t =

2

C1(1-cos2t) vµ :

dx = y'

dy

dt t t C

cot

.cossin

) t sin t ( C x

ds

d g

ds v d

= τ

y

d x

B

y1 y

1

y

C ) t 2 sin t 2 ( 2

C

x

1

2 1

=

)cos1(C

y

)sin(

- ứng với các mặt thay đổi trong họ mặt cong

u(x,y,ε) = u(x,y) + ε[u(x,y) - u(x,y) ]

= u(x,y) + εδu(x,y) thì phiếm hàm I[u(x,y,ε)] chỉ phụ thuộc ε, đ−ợc cực tiểu khi:

δI =

0 D

y x

x

uFuy

uFu

uFu

= ε

ε

∂

∂+

∂

∂

=δ

∂

∂

δ+δ

∂

∂

=δ

∂

∂

y y y

y

x x x

x

uFuuy

Fu)

uFu(y

uFuux

Fu)

uFu(x

∂

∂+δ

D

dxdy-udxdy)

y

Fux

y

Fux

FuFu

)u

F(xu

F

y x

x

y D s

U(x,y) U(x,y) U

W 0

u(x,y) cần thoả mãn điều kiện: ) 0

u

F(y

)u

F(xu

F

y x

6.3.4.4 Điều kiện cực tiểu phiếm hàm dạng I[u(x,y,z)]

Các bài toán truyền nhiệt 3 chiều không ổn định với biên loại 2 và 3 thường tương ứng với phiếm hàm dạng:

t qt (

- Khi cực tiểu phiếm hàm I, cần có δI = 0, tức là:

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

V

z z y y x x

t t

F t t

F t t

F t t

∂

∂

∂

∂ + δ

t

F ) t ( y

t

F ) t ( x

t

l t

F (

x t

l t

F (

y t

F (

z t

với lx, ly, lz là cosin chỉ phương của pháp tuyến

n phía ngoài V tại M ∈ S Do đó, điều kiện δI = 0

sẽ có dạng:

H.43 Miền tích phân V,S của bài toán 3 chiều

y 0

δI = dV

t

F z t

F y t

F x t

F t

δ

t

F l t

F l t

F l

t

z z y y

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ δ

∂

∂ +

∂

∂ +

q t

F l t

F l t

F

l

V z y x t

F z t

F y t

F x t

F

z z y y x

x

z y

x

) , , ( , 0

) , , ( , 0 ) ( ) ( ) (

α

6.4 Ví dụ minh hoạ các bước áp dụng FEM

6.4.1 Bài toán biên cô lập

Ta sẽ dùng FEM giải bài toán DN

= τ

∂

∂ λ

= τ

t ) 0 ,

x

(

t

0 ) , L ( t , t ) ,

6.4.2 Phát biểu biến phân: ( Variational Statement)

- Xác định phiếm hàm I[t(x,τ)] tương ứng bài toán (t) bằng cách

so sánh phương trình vi phân dẫn nhiệt và phương trình

Euler-Lagrange để tìm hàm F: ) 0

t

F ( x t

t(x

t

∂

∂λ

=

∂

c t

F

x

tt

Fλ

∂

∂ ρ

∂

) ( 2

1

x

t t

τρ

Bài toán biến phân tương ứng với bài toán (t) là tìm hàm t = t(x,τ) sao cho tại thời điểm bất kỳ làm làm cực tiểu phiếm hàm

∂

∂λ

L

0 x

2

c)

x

t(2

1

dx

6.4.3.Phát biểu phần tử hữu hạn (Finite Element Formulation)

Đầu tiên chia phiếm hàm I thành tổng hai tích phân:

Tại thời điểm τ bất kỳ, trong mỗi phần tử e,

ta coi nhiệt độ te thay đổi tuyến tính theo x từ ti

= t(xi) đến tj = t(xj), tuy nhiên ti và tj chưa biết H45 FE formulation

sao cho phiếm hàm I nhỏ nhất Phiếm hàm I thực chất là sai số của phép xấp xỉ hàm t(x) bởi tập giá trị (t1, t2, ,ti,tj, ,tM) tại

các phần tử hữu hạn, so với hàm t(x) chính xác chưa biết thỏa mãn phương trình cân bằng nhiệt 2

2

x

tt

c

∂

∂λ

ưτ

t

tt

(1), thì điều kiện cực tiểu I là:

tI

tItI

Biểu diễn I như tổng các Ie tại mỗi phần tử e;

e c E

1 e

I với

dx)x

t(2

2 x

x

e c

j

i

=Chú ý: Các chỉ số e hiểu là "của phần tử e", không phải số mũ

Định nghĩa ma trận (2x1) nhiệt độ nút của phân tử e: [t]e

(2)

e ] t [ d

t I t I

.

0 0

.

1 0

0 1

.

0 0

j e i e

t I t I

= ∑

=

λ E

1 e

e

e e

] t [ d

dI D

t d

dI D

1 e

e

e e

] t [ d

e

e c e

]t[d

ϕ

pT

[ϕ]e , ở đây gọi ρT [1 x] (4), các hệ số e2

=

ϕ + ϕ

=

j e 2 e

1

j

i e 2 e

1

i

x t

x t

hay dạng ma trận là: [t]e =

e

2 1 j

i

x 1

x 1

x 1

x x x

x (6) là ma trận nghịch đảo của Pe

6.4.3.3 Tính dIλ =

e E

e dI

1

i

j

M

Ta cã: λ = ∫ j λ ∂∂

i

x x

2

e e

dx ) x

t ( 2

1

2

) ] [ (

2 ∫ j ⎢⎣⎡∂∂ ⎥⎦⎤i

x x

e e T e

t R p x

) ] [

e

] t [ ) theo ma trËn [t]e :

e e

e

t d

d t

[

) ]

) t a t a ( t

j 2 i 1

j 2 i 1 i

x

e e T x e

e

j i

)]t[Rp(]t[d

e e T x

e

R p t R p

j i

) (

] [ (

x

e e T x

e e T x x e e

t R p p

R )( [ ] ) (

e e T x x e e

e

e

t R p p R dx t

d

dI

] [

]

[ λ λ

01

11

x

x x x

λ

ij

] t [ 1 1

x x x

1 1

1 1

1 1

0 0

0

0 1 0

t t t

t1

=DeT[ t ] ta cã:

e

e E

1 e

e

]t[d

dID]

D e e T E

e e

∑

Với K là ma trận vuông (MxM) đối xứng, gọi là ma trận dẫn nhiệt:

K e eT

E

1 e

e

D K D

1 0

0 1

12 11 K K

K K

1 0 0

0

0 1 0

22 21

12 11

K K

K K

j i

i j

Nếu λe = const, ∀e

1 1

j i

e c E

e

e c

t d

dI D t

d

dI

][]

2 e e

)pc

i

x x

2 e e T

) C

nªn ta cã:

e c e

dId[t] = (ρC)e

j T i

( C) x 2 1

1 2 6

0 0

.

.

1 0

0 1

.

0 0

12 11

C C

C C

1 0 0

0

0 1 0

22 21

12 11

C C

C C

j i

d[t] = K[t] + C[t&] = 0 hay C[t&] = -K[t]

HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng nµy ®−îc thiÕt lËp nhê m¸y tÝnh b»ng c¸ch ®−a vµo c¸c sè liÖu VÝ dô khi E = 4 cã b¶ng sau (xem b¶ng

1)

MT sẽ lần l−ợt xác định các ma trận K và C theo công thức (8), (9), (10), (11), đ−ợc kết quả nh− sau:

6 (1/ 4) = 96 Bảng 1 Các số liệu

Tọa độ nút Thông số phần tử

Khác với FDM, xấp xỉ Euler với FEM luôn cho 1 hệ phương trình

đại số dạng ẩn (đây là chỗ bất tiện của FEM)

Ví dụ, khi E = 4, hệ phương trình đại số theo xấp xỉ Euler là: (khi chuẩn hoá như trên và đặt p = F 2

5 k

θ

⎡ ⎤

⎢ ⎥ θ

⎢ ⎥

⎢ ⎥θ

⎢ ⎥ θ

⎢ ⎥

⎢ ⎥θ

⎣ ⎦

Theo ĐKB t(0,τ) = to → θ1 (0, F) = 0→ Hệ phương trình có dạng như trong khung trên, bỏ ẩn số θ1 Hệ này giải theo điều kiện đầu θ(X,0) = 1 Điều kiện chọn ∆τ để ổn định nghiệm là (2 - 6p) > 0 →

k 1

b bb

k

Víi §KB lo¹i W2 (≠ 0) vµ W3, bµi to¸n cã thªm c¸c tÝch ph©n trªn

víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) ta cã:

- Víi c¸c nót trong, ph−¬ng tr×nh ρCtτ = λtxx t−¬ng øng víi F =

x

t t

- T¹i x = L, nót M cã biªn W3 víi (tM t )f ( t )M

Đặt I = Iλ + Ic + Iα + Iq, trong đó: Iλ , Ic giống nh− bài toán (6.4)

= − là hàm phụ thuộc nhiệt độ nút tM

của phần tử E ≡ 4 trên biên toả nhiệt

Định nghĩa ma trận hàng (1xM) có dạng dT ∆ [00 01

M] (M phân tử)

Vì TM = [00 01]

1 2

M

tt t

dIα α T