Các phương pháp tính truyền nhiệt - P3

Quá trình truyền nhiệt trong thiết bị là một quá trình phức tạp xảy ra đồng thời của ba dạng trao đổi nhiệt cơ bản: trao đổi nhiệt bằng dẫn nhiệt, trao đổi nhiệt bằng đối lưu, trao đổi nhiệt

là tốc độ di động của biên x = ξ, hay tốc độ chuyển pha, ρ là khối lượng riêng của pha trước qúa trình chuyển pha

7.1.3 Mô hình TH bài toán biên di động

Trong trường hợp tổng quát, mô hình toán học của bài toán biên di

động do sự chuyển pha sẽ là 1 hệ phương trình vi phân, trong đó có hai phương trình vi phân của T1, T2 thuộc 2 pha, các điều kiện đơn trị khác của chúng và điều kiện biên loại 5, như các phương trình (W5) ở trên, tại biên tiếp xúc giữa 2 pha

Ví dụ: Mô hình bài toán 1 chiều có biên chuyển pha như hình H57 là:

T1τ (x, τ) = a1T1xx (x, τ), 0 < x < ξ, τ > 0

T2τ (x, τ) = a2T2xx (x, τ), ξ< x < L , τ > 0

T2 (x, 0) = To > Ts (ĐK đầu) Các ĐK biên tại x = 0, x = L

T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const

λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ2

dd

ξ

τ, (tại x = ξ) Giải bài toán biên di động là nhằm xác định T1(x, τ), T2 (x, τ) và tính vận tốc di chuyển của biên d

d

ξ

τvà dẫn ra các đặc tính khác của hệ

2 pha được khảo sát

7.2 Bài toán biên hoá rắn

7.2.1 Phát biểu bài toán đóng băng vùng đất ướt

Xét 1 vùng đất ướt, rộng và sâu vô cùng, có độ ẩm W, nhiệt độ

đông đặc Ts, nhiệt hoá lỏng l, nhiệt độ ban đầu T2(x, 0)=To= const >Ts (T1, T2)

Lúc τ > 0 đột nhiên hạ nhiệt độ mặt đất xuống trị số T1 (0, τ) = Tw

= const < Ts Cho biết các thông số vật lý ρ1, C1, λ1 của đất băng và ρ2,

C2, λ2 của đất ướt Tìm trường nhiệt độ T1(x,τ) trong đất băng, trường

T2 (x, τ) trong đất ướt, vận tốc di chuyển của mặt đóng băng Tính độ dày lớp băng sau thời gian τ, tính thời gian τ để có lớp băng dày L cho trước (Xem minh họa tại hình H57)

n 0 0

ư δ=

+

(7)

là hàm sai số Gauss Các hằng số A1B1A2B2 đ−ợc xác định theo các

T1 (x, τ) = ( s w)

W

1 1

2 aC

2 aC

0

( )

2 1

1

1 1

Cexp

4a

aC

2

2 2

Cexp

4a

aC

( )

( )

2 2 2

τ,

Fox gọi là biến Fourier của toạ độ và thời gian, Ka = 2

1

a

a , ta có nghiệm của bài toán đã nêu ở dạng không thứ nguyên nh− sau:

2 F

Ferf K

2 K F

Ferfc K K

2 2

1 2 1

Biên chuyển động chậm dần với gia tốc

Lúc này biên di chuyển gần như đều,

nhưng rất chậm

7.2.5 Tính độ dày lớp băng tại thời

điểm τ

* Trường hợp tổng quát, độ dày lớp băng

tại thời điểm τ là

7.2.6 Tính thời gian đóng băng đến độ dày đã cho ξ = L

* Trường hợp tổng quát với lớp băng phẳng, rộng ∞, thời gian đạt

ξ =

τ

H59 Vận tốc và gia tốc của mặt băng x = ξ

3

"

4

c τ

ư

= ξ

7.3 Bài toán đông lạnh các vật ẩm hữu hạn

7.3.1 Mục đích chủ yếu khi tính đông lạnh các vật ẩm hữu hạn

là tính thời gian để nhiệt độ cực đại trong vật bằng 1 trị số cho trước Thời gian đông lạnh τ gồm 2 giai đoạn: τ = τo + τ1, trong đó τo là thời gian để hoá rắn toàn bộ vật ẩm, có nhiệt độ tâm vật bằng Ts, còn

τ1 là thời gian để nhiệt độ tâm vật giảm trừ Ts đến nhiệt độ Tk cho

tr-ước, theo yêu cầu của công nghệ cấp đông

Việc tính τ1 có thể dựa vào kết quả của bài toán dẫn nhiệt không

ổn định trong vật rắn 1 pha

Sau đây ta sẽ tính τo theo phương pháp gần đúng Phép tính gần

đúng sẽ dựa trên các giả thiết sau:

7.3.2 Các giả thiết

1 Các vật ẩm hữu hạn có dạng đối xứng

2 Điều kiện biên ngoài vật có tính đối xứng, loại 1

3 Nhiệt độ ban đầu trong vật ẩm là đồng nhất, và bằng nhiệt độ hoá rắn: T2 (M, τ) = Ts

4 Trong lớp vật rắn tạo thành sau chuyển pha, phân bố nhiệt độ là tuyến tính đối với biên di động x = ξ

7.3.3 Tính thời gian làm đông τ o

1 Đông đặc vật ẩm phẳng, rộng

2L, có To = Ts, có λ1, l, ρ2 hai biên

ngoài có Tw = const < To đối xứng

Bài toán này có mô hình giống mô

o 2

thời gian thời gian đông kết, nên giảm độ dầy cuả vật ẩm

7.4 Bài toán đông kết vật đúc

7.4.1 Phát biểu bài toán

Khi tính đông kết vật đúc, thường coi vùng kim loại lỏng có nhiệt

độ phân bố đều, bằng nhiệt độ nóng chảy ts Khi đó chỉ cần tìm độ dày

lớp kim loại đông kết ξ = ξ(τ) và tốc độ biên ξ, tức tốc độ ngng kết

t

t

t o

Nếu vật đúc dày 2L, 2 biên loại 1 đối xứng thì thời gian đông kết là:

7.5 Tính truyền nhiệt khi nóng chảy lớp bảo vệ vỏ phi thuyền có vận tốc lớn

7.5.1 Vấn đề bảo vệ nhiệt cho vỏ phi thuyền

Khi bay vào khí quyển với vận tốc lớn, do ma sát với không khí,

vỏ phi thuyền sẽ nhận 1 l−ợng nhiệt rất lớn

H64 Lớp bảo vệ vỏ tàu bằng vật liệu nóng chảy

L−ợng nhiệt này tỷ lệ với lực cản của không khí F = 1K kv S2

Giải pháp hiện nay là bọc vỏ tàu bằng 1 lớp vật liệu có nhiệt độ nóng chảy Ts không lớn hơn Tk nói trên, Ts < Tk Nhiệt ma sát làm nóng chảy lớp vỏ này rồi thoát ra khí quyển

Việc thiết kế lớp bảo vệ nhiệt bao gồm việc chọn vật liệu thích

tốc nóng chảy và xác định độ dày đủ an toàn cho chuyến bay Sau mỗi chuyến bay, lớp bảo vệ sẽ bị nóng chảy rồi thoát cả nhiệt lẫn chất vào khí quyển, và người ta sẽ bọc lại cho lần bay tiếp theo

7.5.2 Phát biểu bài toán lớp nóng chảy

Tìm trường nhiệt độ T(y, τ) trong lớp vật liệu có các thông số vật

lý (ρ, C, λ, l, Ts) cho trước, có biên nóng chảy cho bởi hệ phương trình

7.5.3 Xác định trường nhiệt độ trong lớp nóng chảy

Gọi vận tốc di động biên nóng chảy ξ là W = d

ξ τ

7.5.5 Tính l−ợng nhiệt dẫn vào vỏ tàu

Mục đích của lớp bảo vệ là khử bỏ phần lớn nhiệt l−ợng sinh ra do

ma sát Phần nhiệt còn lại sẽ dẫn vào trong, làm tăng nội năng của lớp bảo vệ còn lại và dẫn tiếp vào thành tàu, phần nhiệt này bằng:

với

, hoặc cụ thể hơn, là:

Gäi thêi gian con tµu cÇn bay trong khÝ quyÓn lµ τ §Ó chuyÕn bay

an toµn, chiÒu dµy δ líp c¸ch nhiÖt nãng ch¶y ph¶i ®−îc chän sao cho

Mục lục

Trang

Chương 1: Mô hình bài toán dẫn nhiệt 3

1.1 Định luật Fourier 3

1.1.1 Thiết lập .3

1.1.2 Phát biểu .4

1.1.3 Hệ số dẫn nhiệt .4

1.2 Phương trình vi phân dẫn nhiệt 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Thiết lập 4

1.2.3 Các dạng đặc biệt của phương trình vi phân dẫn nhiệt 5

1.3 Các điều kiện đơn trị (ĐKĐT) 6

1.3.1 Định nghĩa 6

1.3.2 Phân loại các ĐTĐT 6

1.3.3 Các loại điều kiện biên (ĐKB) 6

1.3.4 ý nghĩa hình học của các loại ĐKB 7

1.4 Mô hình một bài toán dẫn nhiệt 8

Chương 2: các Phương pháp giải tích 10

2.1 phép chuẩn hoá và định lý hợp nghiệm 10

2.1.1 Nội dung cơ bản của các phương pháp giải tích .10

2.1.2 Phương trình vi phân thuần nhất và không TN 10

2.1.3 Nguyên lý hợp nghiệm 10

2.1.4 Phép chuẩn hoá 11

2.2 phương pháp tách biến fourier 12

2.2.1 Nội dung phương pháp tách biến Fourier 12

2.2.2 Cách giải các bài toán thuần nhất 12

2.2.3 Ví dụ: Bài toán làm nguội tấm phẳng biên (W 2 +W 3) 12

2.3 Phương pháp nghiệm riêng ổn định 14

2.3.1 Phạm vi sử dụng phương pháp NROĐ 14

2.3.2 Nội dung phương pháp NROĐ 14

2.3.3 Ví dụ: Bài toán gia nhiệt vách phẳng biên (W 1) .14

2.4 Phương pháp biến thiên hằng số 16

2.4.1 Phạm vi sử dụng 16

2.4.2 Nội dung phương pháp BTHS 17

2.4.3 Bài toán tấm phẳng biên (W 2 + W 20) 17

2.5 Phương pháp Fourier cho bài toán không ổn định nhiều chiều 20

2.5.1 Phương pháp tách biến lặp 20

2.5.2 Phương pháp quy về các bài toán 1 chiều 23

2.5.3 Định lý giao nghiệm 25

Chương 3: phương pháp toán tử phức và các bài toán dao động nhiệt 26

3.1 Bài toán dao động nhiệt 26

3.1.1 Khái niệm dao động nhiệt 26

3.1.2 Mô hình một bài toán dao động nhiệt 26

3.2 Phương pháp toán tử phức hay tổ hợp phức (Complex Combination) 27

3.2.1 Nội dung phương pháp toán tử phức (TTP) 27

3.2.2 Các bước của phương pháp toán tử phức 27

3.3 Bài toán dao động nhiệt trong vật bán vô hạn 28

3.3.1 Phát biểu và mô hình (Như mục 3.1.2) 28

3.3.2 Giải bằng phương pháp THP 28

3.3.3 Khảo sát sóng nhiệt 29

3.4 Dao động nhiệt không ổn định trong vách mỏng 31

3.4.1 Đặt vấn đề 31

3.4.2 Phát biểu bài toán 32

3.4.3 Phân tích bài toán (θ) 33

3.4.4 Nghiệm riêng ổn định 35

3.4.5 Nghiệm riêng không ổn định 35

3.4.6 Nghiệm riêng dao động 37

3.4.7 Kết luận 39

Chương 4: phương pháp toán tử laplace 41

4.1 Nội dung phương pháp toán tử Laplace 41

4.1.1 Phương pháp toán tử 41

4.1.2 Phép biến đổi Laplace thuận 41

4.1.3 Phép biến đổi Laplace ngược 42

4.1.4 Các bước của phương pháp Laplace giải một hệ phương trình vi phân .43

4.2 Phương pháp toán tử cho bài toán vách phẳng biên W1 43

4.3 Phương pháp toán tử tìm (x,f) trong vật bán vô hạn 45

4.3.1 Phát biểu bài toán 45

4.3.2 Mô hình BT 45

4.3.3 Giải bằng phương pháp toán tử 45

Chương 5: phương pháp SAI PHÂN HữU HạN 47

5.1 Nội dung và các bước áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn 47

5.1.1 Nội dung FDM 47

5.1.2 Các bước áp dụng FDM 47

5.1.3 Phạm vi sử dụng FDM 48

5.2 Dạng sai phân của các đạo hàm theo toạ độ 48

5.2.1 Phép sai phân toán học 48

5.2.2 Phép sai phân vật lý 50

5.3.1 Phương pháp Euler .51

5.3.2 Phương pháp ẩn (Implicit) 51

5.3.3 Phương pháp Crank-Nicolson 52

5.3.4 Phương pháp tổng quát 52

5.4 Các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 53

5.5 FDM cho bài toán KOĐ một chiều tổng quát 54

5.6 FDM giải bài toán không ổn định 2 chiều tổng quát 57

5.6.1 Phát biểu bài toán .57

5.6.2 Mô hình TH .58

5.6.3 Giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn 58

5.7 FDM giải bài toán không ổn định 3 chiều t(x,y,z,τ) 62

5.7.1 Trong tọa độ vuông góc xyz 62

5.7.2 Phương pháp sai phân hữu hạn trong toạ độ trụ (r,ϕ,z) 63

5.8 FDM cho bài toán biên phi tuyến 66

5.8.1 Điều kiện biên phi tuyến tính 66

5.8.2 Bài toán biên phi tuyến 66

5.8.3 Bài toán truyền nhiệt qua vách phi tuyến 69

Chương 6: phương pháp phần tử hữu hạn, finite element method (FEM) 71

6.1 Nội dung và các bước của phương pháp phân tử hữu hạn 71

6.1.1 Nội dung FEM 71

6.1.2 Các bước áp dụng FEM 71

6.1.3 Phạm vi ứng dụng FEM 73

6.2 Cực tiểu của hàm nhiều biến và phép xấp xỉ tích phân 73

6.2.1 Điều kiện cực tiểu hàm số u = u(x 1 , x 2 , ,x n) 73

6.2.2 Phép xấp xỉ tích phân 74

6.3 Lý thuyết biến phân (variation Theory) 75

6.3.1 Phiếm hàm 75

6.3.2 Nội dung của lý thuyết biến phân 76

6.3.3 Biến phân của phiếm hàm 77

6.3.4 Định lý Euler -Lagrange 78

6.4 Ví dụ minh hoạ các bước áp dụng FEM 85

6.4.1 Bài toán biên cô lập 85

6.4.2 Phát biểu biến phân: ( Variational Statement) 85

6.4.3.Phát biểu phần tử hữu hạn (Finite Element Formulation) 86

6.5 Bài toán biên TĐN W2 + W3 95

6.5.1 Phát biểu và mô hình 95

6.5.2 Phát biểu biến phân 95

6.5.3 Phát biểu FEM 96

6.5.4 Phát biểu sai phân (theo Euler) 97

6.6 Phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán không ổn định 2 chiều t(x, y,τ ) với biên cô lập 99

6.6.1 Phát biểu mô hình 99

6.6.2 Phát biểu biến phân 99

6.6.3 Phát biểu theo phần tử hữu hạn 100

6.6.4 Phát biểu sai phân 106

6.6.5 Ví dụ áp dụng cụ thể 106

6.7 Phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán không ổn định t (x,y,τ) tổng quát 107

6.7.1 Phát biểu mô hình 107

6.7.2 Phát biểu biến phân 108

6.7.3 Phát biểu phần tử hữu hạn 109

6.7.4 Tính đạo hàm theo [t] của Iλ và I C .109

6.7.6 Tính dIα/d[t] 110

6.7.7 Tính dI q/d[t] 112

6.7.8 Phát biểu phần tử hữu hạn 113

6.7.9 Phát biểu sai phân để đưa về hệ phương trình đại số 113

6.8 Phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán có λ = λ(t) 114

6.9 Phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán biên phi tuyến 117

6.10 Phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán 3 chiều t (x,y,z,τ) không ổn định tổng quát 118

6.10.1 Phát biểu bài toán 119

6.10.2 Phát biểu biến phân 119

6.10.3 Phát biểu FEM 121

6.10.4 Phát biểu sai phân .125

Chương 7: Các bài toán biên di động 127

7.1 Mô tả bài toán biên di động 127

7.1.1 Khái niệm biên di động 127

7.1.2 Cân bằng nhiệt trên biên chuyển pha 127

7.1.3 Mô hình TH bài toán biên di động 129

7.2 Bài toán biên hoá rắn 129

7.2.1 Phát biểu bài toán đóng băng vùng đất ướt 129

7.2.2 Phát biểu mô hình 130

7.2.3 Giải bằng phương pháp Stefan 130

7.2.4 Tính gần đúng trong kỹ thuật 134

7.2.5 Tính độ dày lớp băng tại thời điểm τ 136

7.2.6 Tính thời gian đóng băng đến độ dày đã cho ξ = L 136

7.3 Bài toán đông lạnh các vật ẩm hữu hạn 137

7.3.1 Mục đích chủ yếu khi tính đông lạnh 137

7.3.2 Các giả thiết 137

7.3.3 Tính thời gian làm đông τ o 137

7.3.4 So sánh thời gian τ o 138

7.4 Bài toán đông kết vật đúc 139

7.4.1 Phát biểu bài toán 139

7.4.2 Tính ξ(τ) và tốc độ đông kết 139

7.5 Tính truyền nhiệt khi nóng chảy lớp bảo vệ vỏ phi thuyền có vận tốc lớn 140

7.5.1 Vấn đề bảo vệ nhiệt cho vỏ phi thuyền 140

7.5.2 Phát biểu bài toán lớp nóng chảy 141

7.5.3 Xác định trường nhiệt độ trong lớp nóng chảy 141

7.5.4 Xác định vận tốc nóng chảy 142

7.5.5 Tính lượng nhiệt dẫn vào vỏ tàu 142 7.5.6 Xác định chiều dày an toàn của lớp cách nhiệt nóng chảy 143