Các phương pháp tính truyền nhiệt - P1

Quá trình truyền nhiệt trong thiết bị là một quá trình phức tạp xảy ra đồng thời của ba dạng trao đổi nhiệt cơ bản: trao đổi nhiệt bằng dẫn nhiệt, trao đổi nhiệt bằng đối lưu, trao đổi nhiệt

§¹i häc §µ N½ng Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa

Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh

PGS, TS NguyÔn Bèn

C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh

truyÒn nhiÖt

- §µ N½ng - 2001 -

Chương 1: Mô hình bài toán dẫn nhiệt

Do đó, trong thời gian dτ, số phân tử ở

ρco nên

* Khi dS có vị trí bất kỳ thì q = - λ gradT

kT 8

c

3

3 2

v

Định luật Fourier đúng cho mọi chất rắn, lỏng, khí

q λ

q ω

q ω λ

ρ

C dV

V

O

[Lượng nhiệt phát sinh trong dV] - [Thông lượng nhiệt qua dV]= [Biến thiên entanpy của dV]

∂t

=

p

v c

do đó: divqr = div (ρcpωrt- λgrr ), coi (ρ, cadt p) = const ta có :

divqr = ρcp div (tωr) - div (λgrr ) adt

= ρcp (tdiv ωr + ωr gr ardt) - λdiv (grr )- adt grr adt grradλ

= ρcp (tdiv ωr + ωrgrr ) - λ∇adt 2

t - grr adt grradλVậy phương trình có dạng:

dz

=

τddt

nên phương trình vi phân dẫn nhiệt sau khi đặt a =

Cp ρ

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

⋅ +

∂

∂

⋅ +

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

) , , (

sin sin

cos 2

) , , (

1 1

) , , (

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2 2 2

ϕ θ ϕ

θ θ

θ

θ θ

ϕ ϕ

r trong r

t t

r r

t r

t r r t

z r trong z

t t r r

t r r t

z y x tọa trong z

t y

t x t

1.2.3 Các dạng đặc biệt của phương trình vi phân dẫn nhiệt

dt

a

(trong tọa độ vuông góc (xyz))

(trong tọa độ trụ (rϕz))

(trong tọa độ cầu (rθϕ))

q ρ

Theo nội dung, các ĐKĐT được phân ra 4 loại sau:

1 Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác

định hình dạng, kích thước, vị trí của hệ

2 Điều kiện vật lý: Cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo

3 Điều kiện ban đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ lúc τ = 0 tại mọi điểm M ∈ hệ, tức cho biết t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) ∈ V

4 Điều kiện biên: Cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại mọi điểm trên biên W, ở mọi thời điểm τ, tức cho biết:

1.3.3 Các loại điều kiện biên (ĐKB)

bố t hoặc cách trao đổi nhiệt, ta có thể cho biết các loại ĐKB sau đây:

tuyến nằm ngang

nhiệt ra chất lỏng theo luật:

-λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tức cho biết

gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ∀τ

có dạng :

-λ

n

) M

riêng pha mới

1.3.4 ý nghĩa hình học của các loại ĐKB

Dạng đường cong phân bố nhiệt độ t(x, y, z, τ) tại lân cận biên W,

dτ

5

dx dτ

x

0 x5

tuỳ theo cách cho ĐKB, sẽ có các đặc điểm hình học sau đây:

W Cách cho ĐKB Đường cong

t

= 0 β

Các tiếp tuyến của t(M) tại

W song song, góc β = const

ư /

t

tf w

x V

tfR

λ α

Các tiếp tuyến của t(M) tại

δ

x V

d

dx5

H4 Minh hoạ ý nghĩa hình học các ĐKB

1.4 Mô hình một bài toán dẫn nhiệt

Mô hình toán học của một bài

−λ tn

w x -1 q(M, )τ 2

Chương 2: các Phương pháp giải tích

2.1 phép chuẩn hoá và định lý hợp nghiệm:

2.1.1 Nội dung cơ bản của các phương pháp giải tích

tính thành một số phương trình vi phân thường tương đương, bằng cách tách biến, tìm nghiệm riêng ổn định và biến thiên hằng số

Các cách trên được sử dụng tuỳ thuộc tính thuần nhất hay không thuần nhất của phương trình dẫn nhiệt và phương trình vi phân mô tả các điều kiện biên

- Lợi ích của phép chuẩn hoá là đơn giản hệ phương trình và cách

giải, khiến cho nghiệm có tính tổng quát, không phụ thuộc các đại lượng có thứ nguyên, và trong vài trường hợp, có thể thuần nhát hoá các điều kiện biên không thuần nhất

α

ư

= τ δ

= τ

=

∂

∂

= τ

∂

∂

) W ( ) TN 0 ( ] t ) , ( t [ )

, (

t

) W ( ) TN ( 0

) , 0 (

t

) DKD ( t

) 0 , x

(

t

) FT ( ) TN ( x

t a t

3 f

x

o x

o 2 2

2

f o f

a F

x X

t t

t t

và đặt B =

λ αδ

X∂

θ

∂)

)(0

),0(

1)0,(

2 2

TN F

B F

TN F

X

X F

x

x

θθ

θ

θ

θθ

Bài toán (θ) có hai điều kiện biên ở dạng thuần nhất

2.2 Phương pháp tách biến Fourier

2.2.1 Nội dung phương pháp Fourier

Là tìm nghiệm ở dạng tách biến, như là tích của một hàm của tọa

độ với một hàm của thời gian

Nhờ đó có thể chuyển một phương trình đạo hàm riêng thành hệ hai phương trình vi phân thường tương đương

Phương pháp này thường dùng để giải các hệ phương trình thuần nhất

2.2.2 Cách giải các bài toán thuần nhất

Các bài toán thuần nhất có thể giải bằng phương pháp tách biến Fourier theo các bước: tách biến phương trình vi phân DN tìm nghiệm tổng quát, xác định các nghiệm riêng theo các ĐKĐT, hợp nghiệm

Đó là các bước của phương pháp tách biến

2.2.3 Ví dụ: Bài toán làm nguội tấm phẳng biên (W 2 +W 3 )

1 Phát biểu bài toán:

α

ư

= τ δ

= τ

=

=

τ

] t ) , ( t [ )

, (

t

0 ) , 0 (

t

t ) 0 , x

(

t

at t

f x

x

o xx

λ τ

θ =

f o

f t t

t t

, 1 (

0 ) , 0 (

1 ) 0 , (

F B F F x

x

x

xx F

θ θ

θ

θ

θ θ

3 T¸ch biÕn b»ng c¸ch t×m nghiÖm d¹ng θ(X,F) = X(x) F(F)

) X ( X

) X (

"

X

=

) F ( F

) F (

+

=

→

=+

− F k 2

2 1

2

2

e)F(F0)F(Fk)

k cos

H7 Gi¶i ph−¬ng tr×nh cotg k =

B k

=

− 1

i

F i k i

i cos k Xe c

1 cicos kiX=

coskiX → ∫1

0

i XdX k

i

i k

k sin

0

i i

i X c cos k X dX k

k k

4

2 sin

→ ci =

i i

i

k2sink

2

ksin4+

VËy nghiÖm bµi to¸n lµ:

k sin

1

F=0 1

= 0 τ

bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt

3 T×m nghiÖm v cña bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, sau

2.3.3 VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W 1 )

F = 0

θ

= τ

=

=

τ

o o o xx

t ) ,

(

t

t 2 ) ,

0

(

t

t ) 0 ,

x

(

t

at t

=

−

= θ

2

o o

a F

x X t

t t

λτ

to

δ

2toW'1

H10 Bµi to¸n (2.3.3) bµi to¸n (t) trë thµnh d¹ng chuÈn ho¸ (θ) nh− sau:

+

=

= θ

+

= θ

→ θ

=

= θ

2

2 1

2 1 xx

c 1 ) 0 (

c c 0 ) 1 (

c X c 0

→ θ = 1 − X

(θ) trë thµnh bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt nh− sau:

− θ

=

=

−

= θ

− θ

=

−

= θ

− θ

=

= θ

−

= θ

= θ

=

) TN ( 0 1 1 ) 0 ( ) F , 0 ( )

t

x δ

t

t = 2t t

= 0

o τ

2t o

o o

- Bài toán (θ) không tồn tại nghiệm riêng ổn định

- hoặc có nghiệm riêng ổn định θ nh−ng không tìm đ−ợc

- Bài toán với vật có nguồn nhiệt trong, hoặc đ−ợc gia nhiệt bằng điện

2.4.2 Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS

Gåm c¸c b−íc sau:

1 LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt, b»ng c¸ch cho b»ng 0 tÊt c¶ c¸c

§KB kh«ng thuÇn nhÊt trong bµi to¸n (θ)

2 T¸ch biÕn v(X,F) = X(X).F(F) vµ t×m X(X) tho¶ m·n c¸c §K

1

dX)X()X

nmkhi0

=1

n An(F) n(X)

∫θ φ

1

0

m ( X ) dX )

dF

d

An(F),

t( ,0)λ

q =

t =o

δ

q = 0t

to

λ δ(t = - )x tδo x = 0

x

t

−

= τ

=

= τ

0 ) , ( t

t ) , 0 ( t

t ) 0 , x ( t

at t

x

o x

o xx

) 0 ( 1 ) , 0 ( )

, 0 (

) ( 0

) , 1 (

X

TN t

t F

TN F

x o x

x

xx F

θ

τ

δ θ

θ

θ θ

v

0 ) F , 0 ( v

0 ) F , 1 ( v

v v

x

x

xx F

x

2 1

x x

cos(nπX)dX råi tÝch ph©n trong kho¶ng X ∈ [0,1]:

dX ) X n cos(

) F

0 n khi ), F ( A

n o

) F , X ( 2 ) F ( A

dX ) F , X ( ) F ( A

1 0 n

1 0 o

[ θ π - nπ∫1θ π

0

]}

dX)Xncos(

= 2{1-n2π2

2

) F (

3 1

1

) / x n

cos(

2

2 a n δ

π τ)]

2.5 Phương pháp Fourier cho bài toán không ổn định nhiều chiều

Các bài toán nhiều chiều không ổn định có thể giải bằng phương pháp tách biến lặp, hoặc phương pháp quy về nhiều bài toán không ổn

định một chiều

2.5.1 Phương pháp tách biến lặp

2.5.1.1 Nội dung phương pháp tách biến lặp gồm các bước:

1 Tách riêng biến thời gian tìm hàm thời gian F(F)

2 Lần lượt tách các biến toạ độ và tìm các nghiệm riêng theo từng toạ độ

3 Xác định các hằng số theo ĐKĐT và biểu diễn nghiệm bài toán

ở dạng tích các nghiệm thu được

2.5.1.2 Ví dụ: Bài toán trụ vô

* Phát biểu BT: Cho trụ l=∞ có a, t

=τϕ

ρ

+ρ+

τ

),(g)0,,(t

t),,R(t

)t

1t

1t(at

= ϕ θ

= ϕ θ

θ + θ + θ

=

) , r f t

t ) , ( g ) 0 , , r

0 ) F , , 1 (

r

1 r

1

1 1

2 r rr F

=WWrr +

r

1 W

Wr

r

1 W

1

) ( 0

2 2

2

W k W r

W r W

e F F F

k F

r rr

F k

, 0 ) (

'

"

cos sin

) ( 0

"

2 2 2 2

2

R n r k rR

R

r

n B n A

φ

lµ ph−¬ng tr×nh Bessel cÊp n, cã nghiÖm lµ: R(r) = cJn(kr) + DYn(kr) = cJn(kr) do limr 0

−

1 i

i 2 n i

) 1 i n (

! i

) 2

kr ( ) 1 (

,Víi (s) e x dx

0

1 s x

∫∞ − −

=

m n 0 Jn(kmnr) (Amnsin nϕ + Bnm cos nϕ)e−k mn2F

θ (r, ϕ, 0) = f(r, ϕ) = ∑ ∑∞

=

∞

= 1

4 34

4 21

ϕϕϕ

=

∫π ϕ ϕ2

0

2 d ' n

mn

2 n

) k ( J

2 mn

2 1 n+

) (

r k

rJ o mo

0 ) , r

) (

r k

rJ n mn

0 ) , r

0,

)()

(1

0,

0

,0

n khi dr r k rJ k

J

n B

n A

mn o mn

mn mn

→ Bmo = ( )

2

2 1

Lóc nµy, nghiÖm bµi to¸n (θ) lµ:

2.5.2.2 VÝ dô:

i

o o

zz r rr

t z

r

t

TN t

L r t r

t z

r

t

t a t

,

(

11

τ τ

= τ

= +

) t t ( ) 0 , z , r T

) TN ( 0 ) , 0 , r T ) , z , r T

T a

1 T T r

1 T

o i o

zz r rr

* Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p quy vÒ 2 bµi to¸n 1 chiÒu:

+ (Zzz - a1 Zτ)R = 0 Phương trình này được thoả mãn khi đồng thời có:

τ

τ

0Za

1Z

0Ra

1Rr

1R

zz

r rr

Đây là phương trình vi phân cho 2 bài toán 1 chiều

=

) t t ( ) 0 , r R

0 ) , r R

R a

1 R

r

1 R

o i o

n rr

0 ) , ( ) , 0 ( 1

z Z

L Z Z

Z a

Zzz

τ τ

) ( ) (

r k J r k

e r k

o m

sin(

2 L a 2 2 ) 1 n ( e

τ π +

1

m n 0 m o 1 m o

m o

) 1 n 2 )(

r k ( J r k

L

Z ) 1 n 2 sin[(

) k (

a L n

k m

2 2

2 + +

ư

2.5.3 Định lý giao nghiệm

2.5.3.1 Định lý 1:

Nếu X(x, τ) là nghiệm của phương trình Xτ = aXxx

Nếu X, Y, Z nói trên đồng thời thoả mãn cùng một điều kiện biên

điều kiện biên đó

Chứng minh theo định nghĩa ĐKB thuần nhất

2.5.3.4 ứng dụng các định lý giao nghiệm:

Có thể tìm nghiệm bài toán không ổn định ở các vật thể hữu hạn,

tích các nghiệm của bài toán một chiều tương ứng, ví dụ với vật V có dạng hộp, trụ hữu hạn, đới cầu v.v

Chương 3: phương pháp toán tử phức

và các bài toán dao động nhiệt

3.1 Bài toán dao động nhiệt

3.1.1 Khái niệm dao động nhiệt

- Dao động nhiệt là hiện tượng nhiệt độ của vật thay đổi tuần hoàn theo thời gian

- Nếu một vật được gia nhiệt và làm lạnh tuần hoàn thì trong vật xuất hiện giao động nhiệt

- Khi đó trường nhiệt độ t (trong vật và của môi trường) có dạng một hàm tuần hoàn theo thời gian τ, tức là t = t(τ) Hàm tuần hoàn này

o

2 τ

π

Ví dụ: Dao động nhiệt do sự quay của địa cầu theo ngày đêm có

cũng là những hàm tuần hoàn theo thời gian τ

3.1.2 Mô hình một bài toán dao động nhiệt

- Cũng như một bài toán không ổn định tổng quát, mô hình một

∂t

= a∇2t

và các điều kiện đơn trị, trong đó nhiệt độ hoặc dòng nhiệt q tại các biên được cho như một hàm tuần hoàn theo τ

ư

= τ

+ ωτ

=

τ

)]

, 0 ( t ) ( t [ )

t )

(

t

f x

o 1

Do đó, điều kiện ban đầu không cần xét riêng trong mô hình bài toán DĐN

- Ví dụ: Bài toán dao động nhiệt tìm t (x, τ) trong vật nửa vô hạn 0

τ

π o

= τ

∞

ωτ +

= τ

∂

∂

= τ

t ) , x ( t lim ) , (

t

) cos(

t t ) ,

biên độ của dao động nhiệt

3.2 Phương pháp toán tử phức hay tổ hợp phức (Complex Combination):

3.2.1 Nội dung phương pháp toán tử phức (TTP):

Dùng phép biến đổi toán tử phức (sẽ giải thích sau đây) để chuyển bài toán thực (T) thành bài toán phức dạng (W) = (T) + i(S) với (S) là bài toán ảo, tìm nghiệm bài toán phức bằng cách tách biến ở

cos(ωτ) + i sin(ωτ) = eiωτ theo công thức Euler

3 Giải bài toán phức bằng cách tách biến, tức tìm nghiệm phức

một phương trình vi phân thường

4 Biểu diễn nghiệm phức ra dạng đại số W(x,τ)= T(x,τ) + iS(x,τ),

Ta sẽ minh hoạ các bước bằng ví dụ sau

3.3 Bài toán dao động nhiệt trong vật bán vô hạn

= τ

∞

ωτ

= τ

) cos(

t ) , 0 ( T

aT T

x 1 xx

= τ

∞

ωτ

= τ

) sin(

t ) , 0 ( S

aS S

x 1 xx

2 Nhân (S) với i rồi cộng (T) để được (W) = (T) + i(S)

= τ

∞

= ωτ +

ωτ

= τ

=

∞

→

ωτ τ

0 ) , x ( W lim ) , ( W

e t )]

sin(

i ) [cos(

t ) , 0 ( W

aW W

x

i 1 1

ω

i x e

ω

ư

i x e

= τ

∞

ωτ ωτ

ωτ

∞

→

1 1 i

1 i 1

2 i

2 x

t c e

t e c ) , 0 ( W

0 c e

c 0 ) , x ( W lim ) , ( W

Vậy nghiệm phức là W(x,τ) = t1exp (-x

2

1 a x

ω

a 2 x ( e

ω

− ωτ

→ W(x,τ) = t1e x 2 a

ω

−

[cos(ωτ - x

a 2

ω

) + isin(ωτ - x

a 2

ω

) Vậy nghiệm bài toán (T) là:

1 Dao động nhiệt có biên độ tắt

a x

e

ω

−

Trị số xo , tại đó có

) 0 ( B

) x (

B o

= 1%, gọi là khoảng tác dụng của sóng ⇒ 1% =

100 ln

τoa

theo phương trình

cos (ωτo - λx ω / 2 a) = 1 → λx =

a 2 /

3 Giá trị gradt: theo phân bố nhiệt độ:

t(x,τ) = to + t1

o a

πτ

-x

o aτ

πτ

- x

o aτ

π

) - cos(

o

2 τ

πτ

-x

o aτ

π

(cos

o

2 τ

πτ

- sin

o

2 τ

πτ

-x

o aτ

o a

2 τ

2 o , [J/m2

]

3.4 Dao động nhiệt không ổn định trong vách mỏng

The problem of Transient Conduction Thought a Plane Wall When Oscillation

of the Environment Temperature

- by Nguyen Bon

Da nang University, 1995

In this theme will be introduced the solution of the problem of

boundary conditions and general initial condition, in the environment temperature is oscillating

The introduced general solution may be applied to determine the solutions of special problems and to thermal calculation for a thin homegeneous wall or a thin layer of the finite anybody, when the environment temperature is constant or oscillating

Bài này sẽ đưa ra lời giải của bài toán truyền nhiệt không ổn định tổng quát qua vách phẳng với điều kiện đầu tuỳ ý, trong môi trường dao động nhiệt Nghiệm thu được sẽ là hàm phân bố nhiệt độ trong vách theo tọa độ và thời gian, phụ thuộc vào 10 thông số cho trước tuỳ

ý của các điều kiện đơn trị

Kết quả đưa ra có thể ứng dụng để tính nhiệt khi nung nóng hay làm lạnh các vách mỏng có phân bố nhiệt độ ban đầu bất kỳ, khi mặt vách tiếp xúc môi trường có nhiệt độ không đổi hoặc dao động

bài toán truyền nhiệt dao động không ổn định trong vách mỏng

3.4.1 Đặt vấn đề

Việc tính toán truyền nhiệt trong vách mỏng, là vách có chiều dày nhỏ hơn bán kính cong, thường được quy về vách phẳng

Bài toán dẫn nhiệt ổn định trong vách phẳng đã được khảo sát đầy

đủ với các điều kiện biên, kể cả khi nhiệt độ mặt vách dao động Bài toán không ổn định trong vách đã được khảo sát chủ yếu chỉ với biên

loại 1 hoặc 2 biên loại 3 đối xứng, trong đó nhiệt độ môi trường không

đổi

Đề tài này có mục đích tìm lời giải của bài toán truyền nhiệt dao

động không ổn định trong vách mỏng có 2 biên loại 3 không đối xứng, trong đó nhiệt độ môi trường có thể dao động theo thời gian, với điều kiện đầu cho tuỳ ý

Lời giải của bài toán tổng quát này sẽ có nhiều ý nghĩa trong truyền nhiệt, cả về lý thuyết lẫn ứng dụng Nó có thể được áp dụng để tính nhiệt cho các vỏ mỏng hoặc lớp mỏng gần biên các vật hữu hạn, khi nhiệt độ môi trường không đổi hoặc thay đổi tuần hoàn

3.4.2 Phát biểu bài toán:

3.4.2.1 Phát biểu truyền nhiệt:

Tìm phân bố nhiệt độ t (x, τ) trong vách phẳng rộng vô hạn dày δ

τ π

o

α

ư

= τ δ

τ π +

λ

α

ư

= τ

=

τ

) x ( t ) 0

, (

t

) , 0 ( t 2

cos t t )

, 0

(

t

at t

1 x

o 1

1 f

1 x

xx

H.20 Bài toán t(x,τ) tổng quát

3.4.2.3 Dạng chuẩn hoá của hệ (t):

Đưa về dạng không thứ nguyên bằng phép đổi biến θ =

2 f 1 f

2 f

t t

t t

f

1

t t

2 f

ô

t t

t ) x ( t

ư

ư

, bài toán (t) sẽ có dạng chuẩn hoá θ như sau:

θ

ư

= θ

ư

= θ

=

θ

θ

) X ( ) 0 , X

(

) F , 1 ( b ) F , 1

(

) F , 0 ( 1 F

F 2 cos B b ) F , 0

(

) , 0 ( F ), 1 , 0 ( x ,

)

(

o

2 X

o 1

X

XX F

Đây là hệ phương trình đạo hàm riêng cấp 2 của θ(X, F) có điều kiện biên phi tuyến không thuần nhất tại x = 0

3.4.3 Phân tích bài toán (θ):

−

= θ

− θ

= θ

θ

= θ

θ

) X ( ) 0 , X (

) F , 1 ( b ) F , 1 (

1 ) F , 0 ( b ) F , 0 ( )

(

o 1

1 2 X

1

1 1 X

1

XX 1 F

θ

−

= θ

− θ

= θ

θ

= θ

θ

0 ) 0 , X (

) F , 1 ( b ) F , 1 (

F

F 2 cos B ) F , 0 ( b ) F , 0 ( )

(

2

2 2 X

2

o 2

1 X

2

XX 2 F

2

định, thoả mãn điều kiện ổn định đ−ợc chọn là:

− θ

= θ

θ

=

= θ

θ

) 1 ( b ) 1 (

1 ) 0 ( b ) 0 (

0 )

(

10 2 X

10

10 1 X

10

XX 10 F

= θ

θ

−

= θ

θ

= θ

θ

= θ

θ

) X ( ) X ( ) 0 , X (

) F , 1 ( b ) F , 1 (

) F , 0 ( b ) F , 0 ( )

(

0 10

11

11 2 X

11

11 1 X

11

XX 11 F 11

1

x 0

θ10θ1 θ2

Tóm lại, nghiệm bài toán (θ) sẽ có dạng θ(X,F) = θ10(X) -

+

=

+ +

− +

= θ

+ +

−

=

+

= θ

2 1 2 1

2 1 1 2

2 1 2 1

2 1 1 10

2 1 2 1

2 1 1

2 1 10

b b b b

b b b C

b b b b

) X 1 ( b b b ) X ( hay b

b b b

b b C

C X C )

X

(

3.4.5 Nghiệm riêng không ổn định:

3.4.5.1 Nghiệm tổng quát của hệ (θ11) đ−ợc tìm ở dạng θ11(X,F) =

hay

) F ( v

) F ( v )

= +

0 v k ' v

0 u k '' u

k ) b b (

tgk

1

2 1 2 2 1

F k i i

i

1 i

2 i e X k cos X k sin k

b A

y

K K3

K2 K1 0 tgk

Sau khi nh©n 2 vÕ víi ⎜⎜⎝⎛ sin k X+cos k X ⎟⎟⎠⎞

k

b

i i

i

1

råi tÝch ph©n theo dX trong kho¶ng X ∈ [0, 1] nhê tÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng, sÏ nhËn