Các phương pháp tính truyền nhiệt - P1

Quá trình truyền nhiệt trong thiết bị là một quá trình phức tạp xảy ra đồng thời của ba dạng trao đổi nhiệt cơ bản: trao đổi nhiệt bằng dẫn nhiệt, trao đổi nhiệt bằng đối lưu, trao đổi nhiệt

Đại học Đà Nẵng Trờng Đại học bách khoa Khoa công nghệ nhiệt điện lạnh PGS, TS. Nguyễn Bốn Các phơng pháp tính truyền nhiệt - Đà Nẵng - 2001 - 2 3Chơng 1: Mô hình bài toán dẫn nhiệt 1.1. Định luật Fourier 1.1.1. Thiết lập Tính nhiệt lợng Q dẫn qua mặt dS ở cách 2 lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 > T2 một đoạn bằng quãng đờng tự do trung bình . * Vì T1 và T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử no và vận tốc trung bình rcác phân tử trong hai lớp nh nhau. Do đó, trong thời gian d, số phân tử ở T1 và T2 qua dS là nh nhau, bằng: zxT2T1yO H1. Để chứng minh định luật Fourier d2n = 61 no dS d * Lợng động năng qua dS từ T1 và T2 là: d2E1 = E1 d2n = 61 no dS d2ikT1 d2E2 = E2 d2n = 61 no dS d2ikT2 Trừ hai phơng trình cho nhau, ta đợc: 2Q = (E1 - E2)d2n = 61no dSd 2ik(T1 - T2) Vì T1 - T2 = - dxdT. 2 nên 2Q = - 6ino k dxdTdS d Do 6ino k = 6ino NR = 31(no Nà) (à2iR) = 31 co nên 42Q = - (31co ) dxdT dS d = - dxdTdS d hay dSdQ2 = q = - xT * Khi dS có vị trí bất kỳ thì q = - gradT hay dạng vectơ dòng nhiệt là qr= - dTagrr 1.1.2. Phát biểu: Vectơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ: Biểu thức vectơ: qr= - dTagrr Dạng vô hớng: q = - gradT, [W/m2]; Q = - gradT.dS, [W] 1.1.3. Hệ số dẫn nhiệt Hệ số dẫn nhiệt là hệ số của định luật Fourier: = |q/gradT| [W/mK] Theo chứng minh trên ta có: = 31cv = 31RTpmkT8 pd.2kT2 Cv = 32 mTkdc332v cho thấy: không phụ thuộc p, và khi T hoặc cv hoặc đờng kính d cùng khối lợng phân tử m giảm. Định luật Fourier đúng cho mọi chất rắn, lỏng, khí. 1.2. Phơng trình vi phân dẫn nhiệt 1.2.1. Định nghĩa: Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình cân bằng nhiệt cho một phân tố dv bên trong vật. 1.2.2. Thiết lập Luật cân bằng nhiệt cho dV V là: H2. CBN cho dV zxyqqqCdVVO 5[Lợng nhiệt phát sinh trong dV] - [Thông lợng nhiệt qua dV]= [Biến thiên entanpy của dV] Cho trớc (qv, , cp, ) dV, có thể viết phơng trình trên ở dạng: qvdVd - divqrdVd = dV.cp td hay t = pvcq - pc1div qr, trong đó dòng nhiệt qua dV là: qr = qr + qr = - dtagrr + rcpt, do đó: divqr = div (cprt- dtagrr), coi (, cp) = const ta có : divqr = cp div (tr) - div (dtagrr) = cp (tdiv r + r dtagrr) - div (dtagrr)- dtagrr.dagrr = cp (tdiv r + rdtagrr) - 2t - dtagrr.dagrr Vậy phơng trình có dạng: t = pcqv- tdiv r - r.dtagrr + pc2t + (dtagrrdagrr)/cp do t + r. dtagrr = t + dxdt. ddx+ dydt . ddy+ dzdt. ddz = ddt nên phơng trình vi phân dẫn nhiệt sau khi đặt a = Cp, sẽ là: ddt = a2t + pvcq+pc1dtagrr dtagrr) - tdivr, với: là tích vô hớng của 2 vectơ và 2t = t là toán tử Laplace của nhiệt độ, có dạng: 2t = +++++++++),,(sinsincos2),,(11),,(22222222222222222222222rtrongrttrrtrtrrtzrtrongzttrrtrrtzyxtọatrongztytxt 1.2.3. Các dạng đặc biệt của phơng trình vi phân dẫn nhiệt * Với vật rắn, r = 0, phơng trình có dạng: dtagrr.dagrr dtagrr dagrr, (trong tọa độ vuông góc (xyz)) (trong tọa độ trụ (rz)) (trong tọa độ cầu (r)) 6t = a2t + pvcq + pc1dtagrr.dagrr * Vật rắn có = const xyz phơng trình là: t = a2t + pvcq * Vật rắn có = const , ổn định nhiệt t = 0, phơng trình là: a2t + vq = 0. Nếu không có nguồn nhiệt, qv = 0, thì 2t = 0. 1.3. Các điều kiện đơn trị (ĐKĐT) 1.3.1. Định nghĩa: ĐKĐT là những điều kiện cho trớc nhằm xác định duy nhất nghiệm của một hệ phơng trình. 1.3.2. Phân loại các ĐTĐT: Theo nội dung, các ĐKĐT đợc phân ra 4 loại sau: 1. Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thớc, vị trí của hệ. 2. Điều kiện vật lý: Cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo nhiệt độ t tại M hệ; tức cho luật xác định (, cp, , a .) = f(t, MV). 3. Điều kiện ban đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ lúc = 0 tại mọi điểm M hệ, tức cho biết t = t(x, y, z, = 0), (x, y, z) V. 4. Điều kiện biên: Cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại mọi điểm trên biên W, ở mọi thời điểm , tức cho biết: t = t(M, ) hoặc dtagrr = f(M, , t) M (x, y, z) V xét 1.3.3. Các loại điều kiện biên (ĐKB) Tại mỗi miền Wi của mặt biên kín W = Wi, tuỳ theo cách phân bố t hoặc cách trao đổi nhiệt, ta có thể cho biết các loại ĐKB sau đây: 1. ĐKB loại 1: Cho biết luật phân bố nhiệt độ t tại mọi điểm M1 W1 ở mọi thời điểm: 7t = t (M1, ), M1 W1, 2. ĐKB loại 2: Cho biết dòng nhiệt dẫn qua biên: q (M2,) = -nt, tức cho biết nt = 1q (M2, ), M2 W2, . Khi nt = q = 0 tức biên W2 đợc cách nhiệt tuyệt đối hoặc là biên đối xứng, lúc này t đạt cực trị tại W2, và đờng cong t(M) có tiếp tuyến nằm ngang. 3. ĐKB loại 3: Cho biết biên W3 tiếp xúc chất lỏng có tf, và toả nhiệt ra chất lỏng theo luật: -tn (M3, ) = [t(M3, ) - tf], tức cho biết gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(/), M3 W3, . 4. ĐKB loại 4: Cho biết luật CBN khi biên W4 tiếp xúc vật rắn khác, có nhiệt độ t4 và 4, tại M4 W4, phơng trình cân bằng nhiệt có dạng : -n)M(t4= 4n)M(t44 và t(M4) = t4 (M4) 5. ĐKB loại 5: Cho biết luật cân bằng nhiệt trên biên W5 di động, txH3. CBN trên biên W5 do có sự chuyển pha, trao đổi chất (khối lợng thay đổi) hoặc đang biến dạng: -n)M(t5 = rc ddx5- ' n't(M5), với rc = nhiệt chuyển pha; ddx5 = vận tốc biên W5; : khối lợng riêng pha mới. 1.3.4. ý nghĩa hình học của các loại ĐKB Dạng đờng cong phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ) tại lân cận biên W, - tx - t'n-rc5dxd 5dxd x0 x5 8tuỳ theo cách cho ĐKB, sẽ có các đặc điểm hình học sau đây: W Cách cho ĐKB Đờng cong t(M,) ý nghĩa hình học 1 tw = const xwMVto t(M) đi qua một điểm cố định Mo W 2 ntw = 0 xq = 0Vt= 0 t(M) đạt cực trị trên W cách nhiệt ntw = const xVCác tiếp tuyến của t(M) tại W song song, góc = const3 ntw = /ttwf xVtfR Các tiếp tuyến của t(M) tại W3 qua điểm R(, tf) 4 ntw= 4xtow tW = t4W xVVo t(M) liên tục, không khả vi tại W4 và = const 5 - ntw= re ddx5 - n'tw xV W5 di chuyển với tốc độ = ddx5 H4. Minh hoạ ý nghĩa hình học các ĐKB 1.4. Mô hình một bài toán dẫn nhiệt Mô hình toán học của một bài toán dẫn nhiệt là một hệ phơng W= constWW5dxd 9trình vi phân (t), gồm phơng trình vi phân DN và các phơng trình mô tả các ĐKĐT nh sau: (t) = t = a2t + cvq và các phơng trình mô tả các ĐKĐT.Mục đích chính của truyền nhiệt là tìm các phơng pháp giải hệ (t) để tìm hàm phân bố t(x,y,z,) thoả mãn hệ (t). , ,c, qvotontnW4W3W2W1W5t (M, )w1t'n'cfdxdrtnwx-1q(M, )2t= a t +2qvc[tw - tf]2txwM H5. Mô hình 1 bài toán DN 10Chơng 2: các Phơng pháp giải tích 2.1. phép chuẩn hoá và định lý hợp nghiệm: 2.1.1. Nội dung cơ bản của các phơng pháp giải tích ý tởng của Fourier là chuyển phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính thành một số phơng trình vi phân thờng tơng đơng, bằng cách tách biến, tìm nghiệm riêng ổn định và biến thiên hằng số. Các cách trên đợc sử dụng tuỳ thuộc tính thuần nhất hay không thuần nhất của phơng trình dẫn nhiệt và phơng trình vi phân mô tả các điều kiện biên. 2.1.2. Phơng trình vi phân thuần nhất và không TN - Định nghĩa: Phơng trình vi phân F(t, tx, txx) = 0 đợc gọi là thuần nhất khi: nếu t là nghiệm của phơng trình thì ct, c =const, cũng là nghiệm của F(t, tx, txx) = 0. - Ví dụ: t = atxx, tx(0,) = - t(0,) là TN t = a2t + cvq, tx (L, ) = [t(L, ) - tf] là không TN Nhận xét: Phơng trình truyền nhiệt không chứa số hạng tự do, nh qv và tf, là phơng trình thuần nhất. 2.1.3. Nguyên lý hợp nghiệm Nếu các ti,i = 1ữn, là nghiệm riêng của bài toán biên thuần nhất (tức phơng trình vi phân và các ĐKB thuần nhất), thì t = =n1iiitCcũng là nghiệm của bài toán TN đó, Ci = const 2.1.4. Phép chuẩn hoá - Định nghĩa: Phép chuẩn hoá một hệ phơng trình là cách đổi các biến và thông số có thứ nguyên thành các biến và thông số không thứ nguyên. - Lợi ích của phép chuẩn hoá là đơn giản hệ phơng trình và cách [...]... dạng hộp, trụ hữu hạn, đới cầu v.v 25 Chơng 3: phơng pháp toán tử phức và các bài toán dao động nhiệt 3.1 Bài toán dao động nhiệt 3.1.1 Khái niệm dao động nhiệt - Dao động nhiệt là hiện tợng nhiệt độ của vật thay đổi tuần hoàn theo thời gian - Nếu một vật đợc gia nhiệt và làm lạnh tuần hoàn thì trong vật xuất hiện giao động nhiệt - Khi đó trờng nhiệt độ t (trong vật và của môi trờng) có dạng một hàm... khi o - Tốc độ truyền sóng v = x o a Do đó v khi o o =2 3 Giá trị gradt: theo phân bố nhiệt độ: t(x,) = to + t1 e t = x gradt = x a o a o t1 e cos ( x 2 -x ), ta có : o a o a o [sin( 2 2 -x ) - cos( -x )] o o a o a o gradt có dạng một dao động tắt dần theo độ sâu x Ví dụ: * gradt|x=0 = -t1 2 2 2 2 (cos - sin ) = -t1 sin( ) a o o o 4 o a o 4 Dòng nhiệt tại x lúc là: q(x,) = cos( t - x q(x,)... sử dụng khi: - Bài toán () không tồn tại nghiệm riêng ổn định - hoặc có nghiệm riêng ổn định nhng không tìm đợc - Bài toán với vật có nguồn nhiệt trong, hoặc đợc gia nhiệt bằng điện 16 2.4.2 Nội dung phơng pháp BTHS Gồm các bớc sau: 1 Lập bài toán (v) thuần nhất, bằng cách cho bằng 0 tất cả các ĐKB không thuần nhất trong bài toán () 2 Tách biến v(X,F) = X(X).F(F) và tìm X(X) thoả mãn các ĐK biên thuần... có dạng nh H19 o to- t 1 t0-t1 x o xo x H19 Sóng nhiệt trong vật bán VH Vậy: - Khoảng cách tác dụng xo = a o ln100 = ln100 2a hay xo = 2,6 a o Chu kỳ o thì xo Ví dụ: Với đất có a = 0,00273m2/h nên xo (o = 24h) = 0,665m xo (o = 365.24h) = 12,7m 2 Bớc sóng và tốc độ truyền sóng nhiệt - Bớc sóng x là khoảng cách giữa 2 đỉnh sóng liên tiếp, xác định 29 theo phơng trình o cos (o - x / 2a ) = 1 x... Trờng nhiệt độ trong vách tăng vô hạn, có dạng: 3 1 a 2 1 t(x,) = to( 2 x 2- x+ ) + to[ 2 - 2 2 4 cos( nx / ) n 2 2a exp (- 2 )] n2 n =1 2.5 Phơng pháp Fourier cho bài toán không ổn định nhiều chiều Các bài toán nhiều chiều không ổn định có thể giải bằng phơng pháp tách biến lặp, hoặc phơng pháp quy về nhiều bài toán không ổn định một chiều 2.5.1 Phơng pháp tách biến lặp 2.5.1.1 Nội dung phơng pháp. .. (v) là: v(X,F) = - n 1 1 (X 1) sin(nX)dX = sin(nX) c n sin(nX)dX - nghiệm bài toán () đã cho là: (X,F) = (X) + (X,F) 2 sin(nX) exp (-n22F) (X,F) = (1-X) n =1 n * Phân bố nhiệt độ (X,F) và t(x,) có dạng: 2t o 1 t 2t o 1- t= = -t 2 F O F=0 1 = 1 x/ o x 2 to x 1 = 0 O H11 Phân bố (X,F) x H12 Phân bố t(x, ) 2.4 Phơng pháp biến thiên hằng số 2.4.1 Phạm vi sử dụng: Phơng pháp biến thiên hằng... hình một bài toán dao động nhiệt - Cũng nh một bài toán không ổn định tổng quát, mô hình một bài toán DĐN đợc cho bởi một phơng trình vi phân dạng t = a2t và các điều kiện đơn trị, trong đó nhiệt độ hoặc dòng nhiệt q tại các biên đợc cho nh một hàm tuần hoàn theo - Điều kiện ban đầu thờng coi là phân bố đều, dạng t(x, y, z, o = 0) = to = const Khi đó nhiệt độ trên biên W1 hoặc nhiệt độ môi trờng gần... ra lời giải của bài toán truyền nhiệt không ổn định tổng quát qua vách phẳng với điều kiện đầu tuỳ ý, trong môi trờng dao động nhiệt Nghiệm thu đợc sẽ là hàm phân bố nhiệt độ trong vách theo tọa độ và thời gian, phụ thuộc vào 10 thông số cho trớc tuỳ ý của các điều kiện đơn trị Kết quả đa ra có thể ứng dụng để tính nhiệt khi nung nóng hay làm lạnh các vách mỏng có phân bố nhiệt độ ban đầu bất kỳ, khi... kỳ, khi mặt vách tiếp xúc môi trờng có nhiệt độ không đổi hoặc dao động bài toán truyền nhiệt dao động không ổn định trong vách mỏng 3.4.1 Đặt vấn đề Việc tính toán truyền nhiệt trong vách mỏng, là vách có chiều dày nhỏ hơn bán kính cong, thờng đợc quy về vách phẳng Bài toán dẫn nhiệt ổn định trong vách phẳng đã đợc khảo sát đầy đủ với các điều kiện biên, kể cả khi nhiệt độ mặt vách dao động Bài toán... đó nhiệt độ môi trờng không đổi Đề tài này có mục đích tìm lời giải của bài toán truyền nhiệt dao động không ổn định trong vách mỏng có 2 biên loại 3 không đối xứng, trong đó nhiệt độ môi trờng có thể dao động theo thời gian, với điều kiện đầu cho tuỳ ý Lời giải của bài toán tổng quát này sẽ có nhiều ý nghĩa trong truyền nhiệt, cả về lý thuyết lẫn ứng dụng Nó có thể đợc áp dụng để tính nhiệt cho các . khoa Khoa công nghệ nhiệt điện lạnh PGS, TS. Nguyễn Bốn Các phơng pháp tính truyền nhiệt - Đà Nẵng - 2001 - 2 3Chơng 1: Mô. bố nhiệt độ t(x, y, z, ) tại lân cận biên W, - tx - t'n-rc5dxd 5dxd x0 x5 8tuỳ theo cách cho ĐKB, sẽ có các đặc điểm hình học sau đây: W Cách