chuyên đề vận dụng các định luật bảo toàn trong các bài tập cơ học vật rắn

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LÀO CAI VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CÁC BÀI TẬP CƠ HỌC VẬT RẮN Người biên soạn: Phạm Nguyên Hoàng Mục lục Nội dung Trang Đặt vấn đề Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Tài liệu tham khảo: Chuyên đề học - Tô Giang Các tư liệu đồng nghiệp trường chuyên Tên chuyên đề VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CÁC BÀI TẬP CƠ HỌC VẬT RẮN Đặt vấn đề (Lý chọn đề tài) - Khi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, thấy tập học, khơng có đầy đủ thơng tin lực việc nghiên cứu chuyển động vật phương pháp động lực học gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên vận dụng Định luật bảo tồn vấn đề lại giải nhanh thấu đáo - Trong chun đề tơi trình bày kết áp dụng Định luật bảo toàn tập học vật rắn trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề: a Động lượng: Động lượng P vật véc tơ hướng với vận tốc vật xác định biểu thức P  m.v Đơn vị động lượng kg.m/s Khi lực F (không đổi) tác dụng lên vật khoảng thời gian t tích F t định nghĩa xung lực F khoảng thời gian t ĐLBT động lượng: Véc tơ động lượng hệ lập bảo tồn P  P ' Nếu hệ không cô lập ngoại lực có phương Oy hình chiếu tổng động lượng phương Ox bảo toàn: P1x + P2x = const Chuyển động phản lực chuyển động theo nguyên tắc : có phần hệ chuyển động theo hướng, phần lại hệ phải chuyển động theo hướng khác b Cơng học: Nếu lực khơng đổi F có điểm đặt chuyển dời đoạn s theo hướng hợp với hướng lực góc  cơng lực F tính theo cơng thức: A = F.s.cos  Đơn vị công Jun (J) jun = 1N.m Nếu  < 900 , A > : công phát động Nếu  > 900 , A < : công cản Nếu  = 900 , A = : công không Công suất đo công sinh đơn vị thời gian P A t Đơn vị công suất: Oát (W) 1WW = 1J/s Biểu thức khác công suất: P  F v A' P' Hiệu suất máy: H  hay H  A P Với A’ cơng có ích P’ cơng suất có ích * Cơng trọng lực: A = m.g.h Với h = h1 – h2 ( h1 , h2 điểm đặt lực lúc đầu lúc cuối ) * Công lực đàn hồi: A  k x12  x22  k hệ số đàn hồi (độ cứng) x1, x2 độ biến dạng lúc đầu lúc cuối c Động năng: Là dạng lượng vật có chuyển động: Wđ  m.v 2 Đơn vị động năng: Jun * Định lí động năng: Độ biến thiên động vật q trình tổng cơng thực ngoại lực tác dụng lên vật trình đó: 2 mv2  mv1  A 2 * Động có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu Thông thường hiểu động xét hệ quy chiếu gắn với Trái đất d Thế năng: Là lượng hệ có tương tác phần hệ thông qua lực Đơn vị thé Jun Thế trọng trường: (thế hấp dẫn) vật dạng lượng tương tác Trái đất vật, ứng với vị trí xác định vật trọng trường Biểu thức trọng trường vị trí có độ cao z: Wt = m.g.z - Nếu trọn mốc mặt đất Thế đàn hồi dạng lượng vật chị tác dụng lực đàn hồi Biểu thức đàn hồi lò xo trạng thái có biến dạng l : Wt  k l  e Cơ năng: Cơ vật chuyển động tác dụng trọng lực tổng động vật trọng trường vật Cơ vật chuyển động tác dụng lực đàn hồi tổng động vật đàn hồi vật * Định luật bảo tồn năng: Nếu khơng có tác dụng lực khơng phải lực trình chuyển động vật bảo tồn Động chuyển hóa thành ngược lại * Khi vật chịu tác dụng lực lực thế, vật khơng bảo tồn cơng lực độ biến thiên vật g Mômen lực mômen động lượng : *) Mômen lực :   - Mômen lực F điểm gốc O chọn trước đó, véctơ M    xác định biểu thức : M = r  F (1)   Với r bán kính véctơ vạch từ O đến điểm đặt lực F  - Mômen lực F trục OZ thành phần Mz trục OZ véctơ mômen lực điểm O - Trong hệ chất điểm hay vật rắn, mômen nội lực điểm ln khơng: M = - C«ng mà mômen lực thực đ-ợc làm vật quay mét gãc  lµ: A = M  *) Mômen động lượng :  - Mômen động lượng chất điểm có khối lượng m, chuyển động với vận tốc v     điểm O véctơ xác định biểu thức : L  r  P  r  mv (2) - Mômen động lượng trục OZ thành phần Lz trục OZ véctơ mômen động lượng điểm O       - Đối với hệ chất điểm hay vật rắn : L   L i   ri  Pi   ri  mv i (3) i i i h Định luật biến thiên bảo tồn mơmen động lượng :  dL - Ta có: dt   M (4) (Độ biến thiên mômen động lượng đơn vị thời gian mômen lực)   - Khi M =  dL dt     L = const  t (5) - Định luật bảo tồn mơmen động lựợng : Mơmen động lượng hệ chất điểm hay vật rắn điểm cố định O, không thay đổi theo thời gian, mơmen ngoại lực điểm O không Chú ý: áp dụng định luật biến thiên bảo tồn mơmen động lượng phải áp dụng hệ quy chiếu qn tính i Mơmen động lượng vật rắn quay quanh trục cố định : - Xét chất điểm có khối lượng m quay theo đường trịn tâm O bán kính r với vận tốc v, mơmen động lượng chất điểm trục quay  vng góc với mặt phẳng quỹ đạo là: L = m  r2 (6) - Với hệ chất điểm mơmen động lượng hệ chất điểm trục quay  : L =  m i ri2 =   m i ri2 = I  (7) i Trong I = i i i m r mơmen qn tính hệ trục  i - Ta có  M= dL dt d() dt M mơmen ngoại lực trục quay  =  (9) (8)  gia tốc góc chuyển động j Mơmen qn tính vật : - Đối với vật mà vật chất phân bố rời rạc : I = i i m r ( 10 ) i - Đối với vật mà vật chất phân bố liên tục : I =  d =  r dV ( 11 ) V k Định lý Stennơ - Huyghen : Mơmen qn tính hệ ( vật rắn ) trục mơmen qn tính trục qua khối tâm cộng với tích khối lượng m vật với bình phương khoảng cách a hai trục  A   G  ma ( 12 ) l Động vật rắn : - Vật rắn chuyển động tịnh tiến : Mọi điểm vật rắn có vận tốc vG khối tâm : Wđ = T = 2  mi vG  vG i m i  i 2 ( 13 ) mv G - Vật rắn chuyển động quay quanh trục :  m v i i  i i i m r  i - Vật rắn chuyển động tổng quát :    2 i i m r i   (14 ) 1 2 mv G   2 (15) - Định lí kơních động : động vật chuyển động hệ quy chiếu cố định O tổng động khối tâm G mang tổng khối lượng cộng với động vật chuyển động tương đối quanh G TO  2 mv G  TG (16) m Cơ vật rắn định luật bảo toàn : - Cơ vật rắn : E = Eđ + Et , với Et vật - Từ định nghĩa Et =  m i gh i , ta suy Et = Mgh0 ( 17 ) - Khi khơng có ma sát lực cản mơi trường vật bảo toàn n Định luật biến thiên động : - Dạng vi phân : d   dA ik   dA ek i k d dt i e   Wk   Wk e k dA ; dA tổng cơng ngun tố nội lực ngoại lực, Wki ; Wke tổng công suất nội lực ngoại lực - Dạng hữu hạn :   0   A ik   A ek T; T0 động hệ thời điểm ban đầu thời điểm t;  A ik   A ek tổng công nội lực ngoại lực 2.2 Thực trạng vấn đề - Sau nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thấy với tập giải hai phương pháp phương pháp động lực học phương pháp Định luật bảo toàn Tùy theo liệu đầu cho ta vận dụng phương pháp khác Tuy nhiên thông tin động lực học chưa rõ ràng việc vận dụng phương pháp Định luật bảo toàn hiệu 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Sau giải vấn đề dạng tập với thí dụ cụ thể BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Ở thời điểm ban đầu, đồ chơi hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R, momen quán tính trục J = mR , nằm cạnh a giá Fms  N R C  I Cạnh giá song song đường sinh hình trụ mg Dưới ảnh hưởng vđầu khơng đáng kể, đồ chơi hình trụ rơi xuống Kí hiệu f hệ số ma sát trượt đồ chơi giá độ nghiêng  nào, độ chơi bắt đầu trượt cạnh A giá trước rơi khỏi giá Bài làm *) Theo định luật II Newton có : mg sin   Fms  m.R ,, 1  2 mg cos   N  m ,2 R *) Phương trình ĐLH : J I  mR 2 ,,   ,,  g sin  3R Thế vào (1) có : Fms  mg sin  (3) - Áp dụng định luật bảo toàn lượng có :  Et  E d Hay : mgR 1  cos    13 mR  ,2   ,2  g 1  cos   22 3R +) Đồ chơi bắt đầu trượt     : - Thế vào (2) ta : N  mg 7 cos   4 (4)   55,15  cos   N 0  Fms = f.N cos    sin   7 cos   4 f sin  f 4 +) Giải phương trình (*) : Đặt tg   f  7 f  sin   72  ( )2 f cos    (*) Trở thành Ta có (sin  cos   sin  cos  )  900 <  < 1800 72  f2  72  ( )2 f sin   0   sin 0  49  f2 (**)   55,15      44,85 - Phương trình (**) ta lấy nghiệm sau : sin   49  f2  (Với <  < 900)  <  < 38,85 < (  -  ) Do :  -  = 1800 -  =>  = (  +  - 1800) *) Giải lại phương trình (*) : Đặt tg   7f (*) Trở thành sin  cos   sin  cos    cos 0 49 f   sin   f 49 f  cos    f 49 f   cos(  +  ) = cos    +  =   ( Với <  < 90 )   = -    Đối chiếu với điều kiện   55,150 , chọn nghiệm thoả mãn Bài 2: Một bóng siêu đàn hồi đặc, khối lượng m, bán kính R Bóng bay tưói va chạm vào mặt sàn ngang với vận tốc v vận tốc góc  Chỗ mà bóng tiếp xúc với sàn có ma sát giữ cho điểm tiếp xúc khơng trượt Do có ma sát nên va chạm khơng đàn hồi Tuy nhiên, bỏ qua biến thiên thành phần pháp tuyến vy độ biến thiên động bóng a/ Xác định thành phần tiếp tuyến vx’ v’  ’ bóng sau va chạm theo vx  trước va chạm? Biện luận? b/ Tính vận tốc điểm tiếp xúc A bóng trước sau va cham? Giải thích kết quả? c/ Xét  = vx > Bài làm *) Theo định luật biến thiên momen động lượng ta có: dL = Mdt = FmsRdt = dPxR  Id  = mRdvx vx ' '  I  d   mR  dv   vx I(  ’-  ) = mR(vx’ - vx) (1) Ta có vy’= - vy *) Theo định luật bảo tồn động ta có: mv I  mv '2 I  '2     2 2 *) Thay (1) vào (2) rút m (vx2  v '2x )  I ( '2   ) (2) v  1  ’=   3  10 x  R  vx’ =  3v x  4 R *) Biện luận: +)  ’ < siêu bóng quay ngược lại với chiều quay ban đầu sau va chạm 4 +) vx’ > 0, vx >  R +) vx’ =  vx =  R +) vx’ <  vx <  R b) Ban đầu (trước va chạm): A: Sau va chạm:  vAx = vx +  R vAy = vy v’Ax = v’x +  ' R = - (vx +  R ) v’ Ay = v’y = - vy    v A'   v A Như vậy: Vận tốc điểm A trước sau va chạm có độ lớn nhau, chiều ngược Bài 3: Thanh ABC khối lượng M, chiều dài 2L, gấplại trung điểm B đặt mặt phẳng nằm ngang Vật m chuyển động với vận tốc v0 mặt phẳng nằm ngang theo phương vng góc với BC, va chạm với C Coi va chạm đàn hồi, bỏ qua ma sát Tìm điều kiện v0 để sau va chạm vật bị bật ngược trở lại Bài giải: áp dụng ĐL BT ĐL mômen động lượng G: mvo = mv1 + Mv2 (1) 3l 3l  mv1  I (2) 4 mv mv Mv I - ĐL BT CN:    (3) 2 2 mvo L MG  L G N C L  IG  ML2 24 18  L   L  v2 18 5 v0  v1  v2 24 m(vo  v1 )  Mv2 v2  - Giải hệ phương trình ta được: M B Với :  M   ( )L  M IG    ( ) MG  ,  12    A - Điều kiện m bị bật ngược trở lại v1 < Rút ra: M  m 29  v0 m • C • B Bài 4: (Thi chọn đội tuyển dự IphO năm 2001, ngày thi thứ nhất) Hai AB, BC, có chiều dài l khối lượng • m, nối với chốt B quay không ma sát quanh B Thanh ghép đặt mặt phẳng nằm ngang nhẵn tạo thành góc vng B Đầu A A chịu xung X nằm mặt phẳng vng góc với  X AB (xung tích Fdt lực chạm lớn F thời gian va chạm nhỏ dt, động lượng truyền tồn vẹn cho thanh) Tính theo X đại lượng sau va chạm sau đây: a) Các vận tốc v1, v2 khối tâm hai b) Các vận tốc góc ω1, ω2 hai quay quanh khối tâm c) Động K ghép (Momen quán tính đường trung trực I = ml Ta công lực va chạm) 12 Thanh ghép đặt cho AB, BC thẳng hàng (H2) chịu xung X vng góc với AB Tính theo X: a) Các vận tốc v1, v2 b) Các vận tốc góc ω1, ω2 hai quay quanh khối tâm c) Vận tốc vG khối tâm G ghép vận tốc vB chốt B; vG hay khác vB sao? Lấy chiều dương xung vận tốc góc hình Gi¶i: Lập hệ: X + X’ = mv1 (X – X’) (1) ml l  = 12 (2) - X = mv2 v B = v2 = - (3) l ω1 + v1 (4) Vì BC tịnh tiến ω2 = 0, giải hệ ta được: 7X 2X ; v2 = 5m 5m 18 X b) ω1 = ; ω2 = 5ml m 2X m I 38 X 8X c) KBC = v22  K  v2    ;K  25m AB 2 25m 5m a) v1 = X + X’ = mv1 (X – X’) l ml  = 12 - X’ = mv2 (1) (2) (3) C • • B +  X • A l -X = ml  12 - Tính theo hai cách vB = v1 - (4) 1 ω1 = v2 + ω2 (5) (B quay quanh có vận tốc ngược 2 chiều v1 quay quanh có vận tốc chiều v2) - Giải hệ phương trình để tìm ẩn X’, v1, v2, ω1, ω2, ta có (1) (3) cho: mv2 = X – mv1 - Viết lại (2): X + mv2 = 2X – mv1 = ml ω1 hay ω1 = (2X – mv1) ml (6) X ' 6v2 (7)  ml l 4( X  mv ) l l 6v2  4v  Đưa (6) (7) vào (5): v1 (2X – mv1) = v2 + 2 ml l m 6x X 10 X 5X   4v  8v  v  4v1 1 m m m 4m 5X X a) v1 = ; v2 = 4m 4m 9X 3X b) ω1 = ; ω2 =  2ml 2ml X X  vB c) vB = - ; vG = (v1  v2 )  m 2m Từ (3) (4) cho ω2 = - Vì G trùng với B hai nằm yên thẳng hàng Bài 5: (Thi chọn đội tuyển dự IphO năm 2005, ngày thi thứ nhất) • O’ O • Một khung biến dạng gồm ba cứng đồng chất, φ có khối lượng m, chiều dài l, nối chốt A, B treo trần chốt O, O’ (OO’ = l) • Các chốt khơng có ma sát Khung đứng cân đầu A OA chịu xung lực X đập vào (X có X • • chiều từ A đến B) Khung bị biến dạng OA, O’B A B quay tới góc cực đại φ (H.23.1) 1.Tính vận tốc V (theo X m) trung điểm (khối tâm) C O sau va chạm 2.Tính động khung ( theo X m) sau va chạm Tính góc φ theo X, m, l gia tốc trọng trường g Nếu xung lực X cầu có khối lượng m vận tốc v0 có chiều từ A đến B gây có tối đa phần trăm động cầu chuyển thành nhiệt? Cho momen qn tính có chiều dài l, khối lượng m trục vuông góc với ml qua đầu I = Giải: Biến thiên momen động lượng hệ (đối với tâm O) momen xung lực - Kí hiệu ω vận tốc góc OA sau va chạm,   - Momen động lượng OA (hoặc O’B) là: I   2V l ml 2   mlV 3 - Momen động lượng AB, với VD = 2V, 2mVl Từ đó: 10 3X mlV  2mlV  mlV  Xl  V  3 10m I 2 Động quay quanh O   mV 2 m - Động AB là: VD2  2mV 2 10 3X 2 2 - Động khung: K  mV  2mV  mV  3 10m Động chuyển thành độ tăng Khối tâm khung từ vị trí G cách 3 trần đoạn JG  l chuyển t ới vị trí G’ cách trần đoạn JH  l (1  cos  ) Thế tăng lượng: 3mg Từ K = (1 – cosφ) = 2mgl(1 – cosφ) 3l 3X   X  4mgl sin  sin  10m 2 2m 10 gl Nếu X = mV0 động khung: X mV0 K   K , K động cầu 10m 5 0 Vậy tối đa có K0 = r = 40% Chú thích: Khi xung X đập vào A chốt O, O’ xuất phản xung trần XO XO’ Nhưng lấy momen O nên chúng khơng có mặt (1) Có thể tích XO = XO’ = X 10 ... nghiệp trường chuyên Tên chuyên đề VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CÁC BÀI TẬP CƠ HỌC VẬT RẮN Đặt vấn đề (Lý chọn đề tài) - Khi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, thấy tập học, khơng có đầy đủ... động vật phương pháp động lực học gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên vận dụng Định luật bảo tồn vấn đề lại giải nhanh thấu đáo - Trong chuyên đề tơi trình bày kết áp dụng Định luật bảo toàn tập học vật. .. tin động lực học chưa rõ ràng việc vận dụng phương pháp Định luật bảo toàn hiệu 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Sau giải vấn đề dạng tập với thí dụ cụ thể BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Ở thời