VẬN DỤNG các ĐỊNH LUẬT bảo TOÀN TRONG một số bài tập cơ học vật rắn

Các Định luật bảo toàn (ĐLBT) có một vị trí quan trọng trong các bài toán vật lý, khi đối diện với một bài tập cơ học thường ta hay nghĩ ngay đến một trong hai phương pháp là “Động lực học hoặc các Định luật bảo toàn”. Tuy nhiên trong một số trường hợp các thông tin về động lực học không rõ ràng thì áp dụng các ĐLBT lại tỏ ra hữu hiệu và rất thuận tiện. Trong chuyên đề này chúng ta cùng vận dụng các ĐLBT để giải quyết các bài tập về cơ học vật rắn.

Chuyên đề VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC VẬT RẮN A MỞ ĐẦU - Các Định luật bảo tồn (ĐLBT) có vị trí quan trọng tốn vật lý, đối diện với tập học thường ta hay nghĩ đến hai phương pháp “Động lực học Định luật bảo toàn” Tuy nhiên số trường hợp thông tin động lực học khơng rõ ràng áp dụng ĐLBT lại tỏ hữu hiệu thuận tiện Trong chuyên đề vận dụng ĐLBT để giải tập học vật rắn B NỘI DUNG: I/ LÝ THUYẾT: Động lượng: Động lượng P vật véc tơ hướng với vận tốc vật xác định biểu thức P = m.v Đơn vị động lượng kg.m/s Khi lực F (không đổi) tác dụng lên vật khoảng thời gian ∆t tích F ∆t định nghĩa xung lực F khoảng thời gian ∆t ' ĐLBT động lượng: Véc tơ động lượng hệ lập bảo tồn P = P Nếu hệ không cô lập ngoại lực có phương Oy hình chiếu tổng động lượng phương Ox bảo toàn: P1x + P2x = const Chuyển động phản lực chuyển động theo nguyên tắc : có phần hệ chuyển động theo hướng, phần lại hệ phải chuyển động theo hướng khác Công học: Nếu lực khơng đổi F có điểm đặt chuyển dời đoạn s theo hướng hợp với hướng lực góc α cơng lực F tính theo công thức: A = F.s.cos α Đơn vị công Jun (J) jun = 1N.m Nếu α < 900 , A > : công phát động Nếu α > 900 , A < : công cản Nếu α = 900 , A = : công không Công suất đo công sinh đơn vị thời gian P= ∆A ∆t Đơn vị công suất: Oát (W) 1WW = 1J/s Biểu thức khác công suất: P = F v H= A' P' H= A hay P Hiệu suất máy: Với A’ cơng có ích P’ cơng suất có ích * Cơng trọng lực: A = m.g.h Với h = h1 – h2 ( h1 , h2 điểm đặt lực lúc đầu lúc cuối ) A= [ k x12 − x 22 ] * Công lực đàn hồi: k hệ số đàn hồi (độ cứng) x1, x2 độ biến dạng lúc đầu lúc cuối Động năng: Là dạng lượng vật có chuyển động: Wđ = m.v 2 Đơn vị động năng: Jun * Định lí động năng: Độ biến thiên động vật trình tổng cơng thực ngoại lực tác dụng lên vật q trình đó: 2 mv2 − mv1 = A 2 * Động có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu Thông thường hiểu động xét hệ quy chiếu gắn với Trái đất Thế năng: Là lượng hệ có tương tác phần hệ thông qua lực Đơn vị thé Jun Thế trọng trường: (thế hấp dẫn) vật dạng lượng tương tác Trái đất vật, ứng với vị trí xác định vật trọng trường Biểu thức trọng trường vị trí có độ cao z: Wt = m.g.z - Nếu trọn mốc mặt đất Thế đàn hồi dạng lượng vật chị tác dụng lực đàn hồi Biểu thức đàn hồi lị xo trạng thái có biến dạng ∆l : Wt = k ( ∆l ) Cơ năng: Cơ vật chuyển động tác dụng trọng lực tổng động vật trọng trường vật Cơ vật chuyển động tác dụng lực đàn hồi tổng động vật đàn hồi vật * Định luật bảo tồn năng: Nếu khơng có tác dụng lực khơng phải lực q trình chuyển động vật bảo toàn Động chuyển hóa thành ngược lại * Khi vật chịu tác dụng lực lực thế, vật khơng bảo tồn công lực độ biến thiên vật Mômen lực mômen động lượng : a) Mômen lực : r r M - Mômen lực F điểm gốc O chọn trước đó, véctơ r r r xác định biểu thức : M = r × F (1) r r F Với r bán kính véctơ vạch từ O đến điểm đặt lực r - Mômen lực F trục OZ thành phần M z trục OZ véctơ mômen lực điểm O - Trong hệ chất điểm hay vật rắn, mômen nội lực điểm bng khụng: M = - Công mà mômen lực thực đợc làm vật quay góc ϕ lµ: A = M ϕ b) Mơmen động lượng : r v - Mômen động lượng chất điểm có khối lượng m, chuyển độngr với vận tốc r r r r điểm O véctơ xác định biểu thức : L = r × P = r × mv (2) - Mômen động lượng trục OZ thành phần L z trục OZ véctơ mômen động lượng điểm O.r r r r r r L = ∑ L = ∑ r × P = ∑ r × mv i i i i i i i i - Đối với hệ chất điểm hay vật rắn : (3) 7.Định luật biến thiên bảo tồn mơmen động lượng : r dL = r dt M - Ta có: (4) (Độ biến thiên mômen động lượng đơn vị thời gian mômen lực) r dL r r M - Khi = dt = r r ⇒ L = const ∉ t (5) - Định luật bảo tồn mơmen động lựợng : Mơmen động lượng hệ chất điểm hay vật rắn điểm cố định O, không thay đổi theo thời gian, mơmen ngoại lực điểm O không Chú ý: áp dụng định luật biến thiên bảo tồn mơmen động lượng phải áp dụng hệ quy chiếu qn tính 8.Mơmen động lượng vật rắn quay quanh trục cố định : - Xét chất điểm có khối lượng m quay theo đường trịn tâm O bán kính r với vận tốc v, mơmen động lượng chất điểm trục quay ∆ vng góc với mặt phẳng quỹ đạo là: L = m ω r2 (6) - Với hệ chất điểm mơmen động lượng hệ chất điểm trục quay ∆ : L= Trong I = ∑ mr ω i i i ∑ mr dL - Ta có dt i i i =M = ∑ mr ω i i i = Iω (7) mơmen qn tính hệ trục ∆ mômen ngoại lực trục quay ∆ (8) d(Ιω) γ gia tốc góc chuyển động = Ιγ ( ) Mơmen qn tính vật : ⇒ M= dt ∑ mr i i - Đối với vật mà vật chất phân bố rời rạc : I = ( 10 ) i ∫ ρr dV dΙ ∫ - Đối với vật mà vật chất phân bố liên tục : I = = ( 11 ) V 10 Định lý Stennơ - Huyghen : Mơmen qn tính hệ ( vật rắn ) trục mơmen qn tính trục qua khối tâm cộng với tích khối lượng m vật với bình phương khoảng cách a hai trục Ι A = Ι G + ma ( 12 ) 11 Động vật rắn : - Vật rắn chuyển động tịnh tiến : Mọi điểm vật rắn có vận tốc v G ∑ mi vG = 2 vG ∑ m = mv G i i khối tâm : Wđ = T = i - Vật rắn chuyển động quay quanh trục : Τ= 1 ∑ m v = ∑ mr ω i i i i i i = ω Τ= ( 13 ) ∑ mr i i = i 1 2 Ιω mvG + Ιω 2 (14 ) - Vật rắn chuyển động tổng quát : (15) - Định lí kơních động : động vật chuyển động hệ quy chiếu cố định O tổng động khối tâm G mang tổng khối lượng cộng với TO = động vật chuyển động tương đối quanh G (16) 12 Cơ vật rắn định luật bảo toàn : - Cơ vật rắn : E = Eđ + Et , với Et vật 2 mvG + TG - Từ định nghĩa Et = ∑ i i , ta suy Et = Mgh0 ( 17 ) - Khi khơng có ma sát lực cản mơi trường vật bảo toàn 13 Định luật biến thiên động : mgh - Dạng vi phân : i k dΤ = ∑ i k dA + ∑ dA e k dΤ dt = ∑W +∑W i k e k e k i e dA ; dA tổng công nguyên tố nội lực ngoại lực, Wk ; Wk tổng công suất nội lực ngoại lực i e - Dạng hữu hạn : Τ − Τ = ∑ A k + ∑ A k T; T0 động hệ thời điểm ban đầu thời điểm t; ∑A + ∑A i k e k tổng công nội lực ngoại lực II/ MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Ở thời điểm ban đầu, đồ chơi hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R, mR momen quán tính trục J = , nằm cạnh a giá Cạnh giá song song đường sinh hình trụ Dưới ảnh hưởng vđầu khơng đáng kể, đồ chơi hình trụ rơi xuống Kí hiệu f hệ số ma sát trượt đồ chơi giá độ nghiêng α nào, độ chơi bắt đầu trượt cạnh A giá trước rơi khỏi giá Lời giải - Trong vận dụng kiến thức động lực học khơng giải ta phải kết hợp thêm ĐLBT Fms α N R α I mg sin α − Fms = m.Rα C mg *) Theo định luật II Newton có : ( 1) ( 2) ,, mg cos α − N = mα ,2 R *) Phương trình ĐLH : JI = mR 2α ,, ⇒ α ,, = g sin α 3R Fms = mg sinα Thế vào (1) có : (3) - Áp dụng định luật bảo tồn lượng có : − ∆Et = ∆E d Hay : mgR ( − cos α ) = 13 mR α ,2 ⇒ α ,2 = g ( − cos α ) 22 3R N = mg ( cos α − ) - Thế vào (2) ta : (4) ( α = α ) +) Đồ chơi bắt đầu trượt : N >0 cos α − > ⇔ sinα = ( cos α − ) f Fms = f.N α < 55,15 ⇔ cos α − sin α f =4 tgϕ = − +) Giải phương trình (*) : Đặt = −7 f f ϕ= ⇒ sin 72 + ( )2 f ϕ =− 72 + ( )2 f cos (sin ϕ cos α − sin α cos ϕ ) = 72 + (*) Trở thành Ta có 900 < ϕ < 1800 α < 55,15 ( ϕ − α0 ) = sin ϕ0 = f2 ⇒ ϕ − α > 44,85 sinϕ = ⇔ sin 49 + f2 - Phương trình (**) ta lấy nghiệm sau : ⇒ 00 < ϕ < 38,850 < ( ϕ - α ) Do : ϕ - α = 1800 - ϕ => α = ( ϕ + ϕ - 1800) *) Giải lại phương trình (*) : Đặt ⇒ ϕ= sin 49 + f2 (**) (Với < ϕ < 900) 7f f 49 f + ϕ=− cos tgϕ = − < f 49 f + sin α cos ϕ − sin ϕ cos α = (*) Trở thành ⇒ cos( ϕ + α ) = cos ϕ ⇒ ϕ + α = = cos ϕ0 49 f + ±ϕ0 ( Với < ϕ < 900) ⇒ α = - ϕ ±ϕ0 Đối chiếu với điều kiện α < 55,15 , chọn nghiệm thoả mãn Bài 2: Một bóng siêu đàn hồi đặc, khối lượng m, bán kính R Bóng bay tưói va chạm vào mặt sàn ngang với vận tốc v vận tốc góc ω Chỗ mà bóng tiếp xúc với sàn có ma sát giữ cho điểm tiếp xúc không trượt Do có ma sát nên va chạm khơng đàn hồi Tuy nhiên, bỏ qua biến thiên thành phần pháp tuyến v y độ biến thiên động bóng a/ Xác định thành phần tiếp tuyến vx’ v’ ω ’ bóng sau va chạm theo vx ω trước va chạm? Biện luận? b/ Tính vận tốc điểm tiếp xúc A bóng trước sau va cham? Giải thích kết quả? c/ Xét ω = vx > Lời giải *) Theo định luật biến thiên momen động lượng ta có: dL = Mdt = FmsRdt = dPxR ⇒ Id ω = mRdvx vx ' ω' ∫ d ω = mR ∫ dv vx ⇒ Iω ⇒ I( ω ’- ω ) = mR(vx’ - vx) (1) Ta có vy’= - vy *) Theo định luật bảo toàn động ta có: mv I ω mv '2 I ω '2 + = + 2 2 ⇒ *) Thay (1) vào (2) rút 2 2 m (vx − v ' x ) = I (ω ' − ω ) (2) v  1 −  3ω + 10 x ÷ R ω ’=  3v x − 4ω R vx’ = *) Biện luận: +) ω ’ < siêu bóng quay ngược lại với chiều quay ban đầu sau va chạm +) vx’ > 0, vx > ωR +) vx’ = ⇒ vx = ωR ωR +) vx’ < ⇒ vx < b) Ban đầu (trước va chạm): A: Sau va chạm: ⇒ vAx = vx + ω R vAy = vy v’Ax = v’x + ω ' R = - (vx + ω R ) v’ = v’uyuu=r - vy uuAy ur v A' = − v A Như vậy: Vận tốc điểm A trước sau va chạm có độ lớn nhau, chiều ngược Bài 3: Thanh ABC khối lượng M, chiều dài 2L, gấpuurlại trung điểm B đặt mặt phẳng nằm ngang Vật m chuyển động với vận tốc v0 mặt phẳng nằm ngang theo phương vng góc với BC, va chạm với C Coi va chạm đàn hồi, bỏ qua ma sát Tìm điều kiện v0 để sau va chạm vật bị bật ngược trở lại Lời giải: áp dụng ĐL BT ĐL mômen động lượng G: mvo = mv1 + Mv2 (1) 3l 3l mvo = mv1 + Iω 4 A L M G (2) N B C L u u r v0 m mv02 mv12 Mv 02 Iω = + + 2 - ĐL BT CN: (3)  M   ( )L  M IG =  + ( ) MG  , MG =  12    Với : L → IG = ML2 24 18 ω L ⇒ ω L = v2 18 5 v0 + v1 = v2 24 m(vo − v1 ) = Mv2 v2 = - Giải hệ phương trình ta được: - Điều kiện m bị bật ngược trở lại v1 < •C • B • uu r X A M < Rút ra: m 29 Bài 4: Hai AB, BC, có chiều dài l khối lượng m, nối với chốt B quay khơng ma sát quanh B Thanh ghép đặt mặt phẳng nằm ngang nhẵn tạo thành góc vng B Đầu A chịu xung X nằm mặt phẳng vuông góc với AB (xung tích Fdt lực chạm lớn F thời gian va chạm nhỏ dt, động lượng truyền tồn vẹn cho thanh) Tính theo X đại lượng sau va chạm sau đây: a) Các vận tốc v1, v2 khối tâm hai b) Các vận tốc góc ω1, ω2 hai quay quanh khối tâm c) Động K ghép (Momen quán tính đường trung ml trực I = 12 Ta công lực va chạm) C Thanh ghép đặt cho AB, BC thẳng hàng (H2) chịu vng góc với AB Tính theo X: a) Các vận tốc v1, v2 + • • B uu r X • A xung X b) Các vận tốc góc ω1, ω2 hai quay quanh khối tâm c) Vận tốc vG khối tâm G ghép vận tốc vB chốt B; vG hay khác vB sao? Lấy chiều dương xung vận tốc góc hình Lời giải Sử dụng ĐLBT ta lập hệ: X + X’ = mv1 (1) l ml ω (X – X’) = 12 (2) (3) - X = mv2 l vB = v2 = - ω1 + v1 (4) Vì BC tịnh tiến ω2 = 0, giải hệ ta được: 7X 2X a) v1 = 5m ; v2 = - 5m 18 X b) ω1 = 5ml ; ω2 = m 2X m I 38 X 8X v = K = v2 + ω = ;K = c) KBC = 2 25m AB 2 25m 5m Tương tự ta có hệ: X + X’ = mv1 (1) ml l ω (X – X’) = 12 - X’ = mv2 (2) (3) l ml ω - X = 12 (4) 1 - Tính theo hai cách vB = v1 - ω1 = v2 + ω2 (5) (B quay quanh có vận tốc ngược chiều v1 quay quanh có vận tốc chiều v2) - Giải hệ phương trình để tìm ẩn X’, v1, v2, ω1, ω2, ta có (1) (3) cho: mv2 = X – mv1 ml - Viết lại (2): X + mv2 = 2X – mv1 = ω1 hay ω1 = ml (2X – mv1) (6) X ' 6v2 = l Từ (3) (4) cho ω2 = - ml (7) 4( X − mv ) l l 6v2 = 4v = m Đưa (6) (7) vào (5): v - ml (2X – mv ) = v + l 1 6x X 10 X 5X = − 4v1 ⇒ 8v1 = ⇒ v1 = m 4m 4v1 - m m 5X X a) v1 = 4m ; v2 = - 4m 9X 3X − b) ω1 = 2ml ; ω2 = 2ml X X (v1 + v2 ) = ≠ vB 2m c) vB = - m ; vG = Vì G trùng với B hai nằm yên thẳng hàng Bài 5: O • • O’ Một khung biến dạng gồm ba cứng đồng chất, φ có khối lượng m, chiều dài l, nối chốt A, • B treo trần chốt O, O’ (OO’ = l) Các chốt khơng có ma sát Khung đứng cân đầu A OA chịu xung lực X đập vào (X có chiều từ A đếnX • • B) Khung bị biến dạng OA, O’B quay tới góc A B cực đại φ (H.23.1) 1.Tính vận tốc V (theo X m) trung điểm (khối tâm) C O sau va chạm 2.Tính động khung ( theo X m) sau va chạm Tính góc φ theo X, m, l gia tốc trọng trường g Nếu xung lực X cầu có khối lượng m vận tốc v có chiều từ A đến B gây có tối đa phần trăm động cầu chuyển thành nhiệt? Cho momen qn tính có chiều dài l, khối lượng m trục vng góc với ml qua đầu I = Giải: Biến thiên momen động lượng hệ (đối với tâm O) momen xung lực - Kí hiệu ω vận tốc góc OA sau va chạm, Iω = ω= 2V l ml 2 ω = mlV 3 - Momen động lượng OA (hoặc O’B) là: - Momen động lượng AB, với VD = 2V, 2mVl Từ đó: 10 3X mlV + 2mlV = mlV = Xl → V = 3 10m I 2 ω = mV Động quay quanh O m VD = 2mV - Động AB là: K= 10 3X mV + 2mV = mV = 3 10m - Động khung: Động chuyển thành độ tăng Khối tâm khung từ vị trí G cách 2 JG = l JH = l (1 − cos ϕ ) chuyển t ới vị trí G’ cách trần đoạn trần đoạn Thế tăng lượng: 3mg 3l (1 – cosφ) = 2mgl(1 – cosφ) 3X ϕ ϕ X = 4mgl sin → sin = 2 2m 10 gl Từ K = 10m Nếu X = mV0 động khung: X mV0 K= = = K0 , K0 10m 5 động cầu K Vậy tối đa có = r = 40% Chú thích: Khi xung X đập vào A chốt O, O’ xuất phản xung trần XO XO’ Nhưng lấy momen O nên chúng khơng có mặt (1) Có thể tích X XO = XO’ = 10 C KẾT LUẬN: - Chuyên đề giải số tập học vật rắn ĐLBT hữu hiệu Trong khuôn khổ chuyên đề hẹp chưa thể đề cập hết tất tổng hợp , mong nhận góp ý tham khảo thêm nhiều tập đồng nghiệp! ... chiếu cố định O tổng động khối tâm G mang tổng khối lượng cộng với TO = động vật chuyển động tương đối quanh G (16) 12 Cơ vật rắn định luật bảo toàn : - Cơ vật rắn : E = Eđ + Et , với Et vật 2 mvG... động vật đàn hồi vật * Định luật bảo tồn năng: Nếu khơng có tác dụng lực khơng phải lực q trình chuyển động vật bảo tồn Động chuyển hóa thành ngược lại * Khi vật chịu tác dụng lực lực thế, vật. .. tác dụng lực đàn hồi Biểu thức đàn hồi lò xo trạng thái có biến dạng ∆l : Wt = k ( ∆l ) Cơ năng: Cơ vật chuyển động tác dụng trọng lực tổng động vật trọng trường vật Cơ vật chuyển động tác dụng