SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƠN LA ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) - Bài 1.(3,0 ñiểm) a) Giải phương trình 3(x + 2) = x +36 4x − y = b) Giải hệ phương trình − x + y = x + c) Rút gọn biểu thức P = ( x − ) (với x ≥ x ≠ ) x + x − Bài 2.(1,5 ñiểm) số thí sinh thi vào trường PTDT Nội trú Biết tổng số phòng thi hai trường 80 phịng thi phịng thi có ñúng 24 thí sinh Hỏi số thí sinh vào trường bao nhiêu? Bài (1,5 ñiểm) Cho parabol (P) y = x ñường thẳng y = 2(m − 1) x + m2 + 2m (m tham số, m ∈ ℝ ) a) Xác ñịnh tất giá trị m ñể ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm I (1; 3) b) Tìm m ñể parabol (P) cắt ñường thẳng (d) hai ñiểm phân biệt A, B Gọi x1 , x2 hồnh độ hai ñiểm Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2019 – 2020, số thí sinh vào trường THPT chuyên A, B; tìm m cho x12 + x 2 + x1 x2 = 2020 Bài (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R C điểm nằm đường trịn cho CA > CB Gọi I trung điểm OA, vẽ đường thẳng d vng góc với AB I, d cắt tia BC M cắt ñoạn AC P, AM cắt ñường trịn (O) điểm thứ hai K a) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp đường trịn b) Chứng minh ba ñiểm B, P, K thẳng hàng c) Các tiếp tuyến B C ñường tròn (O) cắt Q, biết BC = R Tính độ dài BK diện tích tứ giác QAIM theo R Bài (1,0 điểm) Giải phương trình Bài Bài 3−x = x 3+x HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ðIỂM ðáp án a)(1,0 ñiểm) 3(x + 2) = x + 36 3x + = x + 36 2x = 30 x = 15 Vậy phương trình cho có nghiệm x =15 b) (1,0 điểm) 4x − y = 3x = x = ⇔ ⇔ − x + y = − x + y = −1 + y = ðiểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (3,0 ñiểm) x = x = x = Vậy hệ cho có nghiệm ⇔ ⇔ 3 y = y = y =1 b) (1,0 ñiểm) 0,5 x P = + ( x − ) (với x ≥ x ≠ ) x − x +2 P= x ( ( x +2 x −2 )( ) x −2 + ) ( ( x +2 )( ) ( x − 4) x −2 x +2 ) x−2 x +2 x +4 ( x − 4) x−4 = x+4 = Bài (1,5 điểm) 0,5 Gọi số thí sinh vào trường THPT Chuyên số thí sinh vào trường PTDT Nội trú x , y (thí sinh) (điều kiện x > 0, y > 0) Vì số thí sinh vào trường THPT Chuyên số thí sinh vào trường PTDT Nội trú nên ta có: x = y (1) Vì tổng số phịng thi hai trường 80 phòng thi phịng thi có 24 thí sinh nên tổng số thí sinh hai trường là: 24.80 = 1920 (thí sinh) Do ta có phương trình; x + y = 1920 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 2 x= y x= y x = y y = 1152 3 ⇔ ⇔ ⇔ x = 768 x + y = 1920 y + y = 1920 y = 1920 ðối chiếu ñiều kiện ta thấy x = 768; y = 1152 ñều thỏa mãn Vậy số thí sinh vào trường THPT Chuyên số thí sinh vào trường PTDT Nội trú 768 thí sinh , 1152 thí sinh a)(0,5 ñiểm) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ðể ñường thẳng (d) y = 2(m − 1) x + m2 + 2m qua điểm I (1;3) x = 1; y = thỏa mãn phương trình ñường thẳng (d) nên ta có: = 2(m − 1).1 + m + 2m ⇔ m + 2m + 2m − = ⇔ m + 4m − = 0,25 ⇔ m − + 4m − = ⇔ ( m − 1)( m + 1) + ( m − 1) = Bài (1,5 ñiểm) ⇔ ( m − 1)( m + ) = m − = ⇔ m + = m = ⇔ m = −5 Vậy với m = m = - đường thẳng (d) ñi qua ñiểm I(1;3) 0,25 b) (1,0 ñiểm) (P) y = x (d) y = 2(m − 1) x + m2 + 2m ( m ≠ 1) Hồnh độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x = 2( m − 1) x + m + 2m (1) 0,25 ⇔ x − 2(m − 1) x − ( m + 2m) = ∆ ' = (m − 1) + m + 2m = 2m + > với m Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 + x2 = ( m − 1) Khi theo hệ thức Vi-ét (2) x1 x2 = −(m + 2m) Theo ra, ta có: x12 + x 2 + x1 x2 = 2020 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = 2020 ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 2020 (3) 0,25 Thay (2) vào (3) ta có: [ 2(m − 1)] − 4(m + 2m) = 2020 ⇔ 4m − 4m + − 4m − 8m = 2020 ⇔ 12m = −2016 ⇔ m = −168 Vậy m = − 168 thỏa mãn Vẽ hình cho câu a 0,25 M 0,25 C P Bài (3,5 ñiểm) K A Q P I O B 4.1 a (0,75 ñiểm) Xét (O) có ACB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên PCB = 900 Ta có: d ⊥ AB I; P ∈ d nên PI ⊥ AB I => PIB = 90 0,25 0,25 Xét tứ giác BCPI có: PCB = 900 PIB = 900 (cmt) Do tứ giác BCPI nội tiếp đường trịn 0,25 4.1 b (1,0 điểm) Xét ∆MAB có MI ⊥ AB I(gt); AC ⊥ BM C ( ACB = 900 ) Mà MI ∩ AC ≡ { P} nên P trực tâm ∆MAB (1) 0,25 Lại có: AKB = 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BK ⊥ AK K hay BK ⊥ AM K BK ñường cao ∆MAB (2) Từ (1) (2) suy BK ñi qua P hay ñiểm B, P, K thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 4.1 c (1,0 điểm) Có OA = R mà I trung ñiểm AO nên AI = IO = OA R = 2 R 3R = 2 Xét ∆BOC có OB = OC = BC = R nên ∆BOC tam giác ñều BI = OB + IO = R + 0,25 Do OBC = 600 hay ABC = 600 Xét ∆ABC có : ACB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Nên ABC + CAB = 900 mà ABC = 600 nên CAB = 900 − 600 = 300 hay PAI = 300 Xét ∆AIP: AIP = 900 ( d ⊥ AB; P ∈ d ) nên: PI = AI tan PAI = R R R tan 300 = = 2 Xét ∆ABK ∆PBI có ABK chung; AKB = PIB = 900 Do ∆ABK ∼ ∆PBI (g.g) BK BI BK AK ⇒ = = (các cạnh tương ứng tỉ lệ) hay AK PI BI PI BK AK BK AK BK AK ⇒ = ⇒ = ⇒ = 3R 3R 2 12 6 Do đó: 0,25 BK AK BK + AK AB 4R 12R = = = = = 9 7 + 12 12 3 189 R (ñơn vị ñộ dài) MI BK = Có ∆AIM ∼ ∆AKB (g.g) ⇒ (các cạnh tương ứng tỉ lệ) AI AK BK BI MI BI = = Mà (cmt) nên AK PI AI PI R 3R AI BI 2 3R 3R ⇒ MI = = = = PI 3.R Từ Q kẻ QH ⊥ IM H Dễ dàng chứng minh ñược tứ giác QHIB hình vng Suy QH = BI Ta có : AI MI QH MI MI + = S AMQI = S AMI + SQMI = ( AI + QH ) 2 Suy ra: BK = 0,25 0,25 MI AB 3R 3R = ( AI + BI ) = MI = R = (ñvdt) 2 2 3−x = x 3+x ðiều kiện < x ≤ Bình phương hai vế phương trình cho, ta được: 0,25 0,25 − x = x ( + x ) ⇔ x + 3.x + x = Bài (1,0 ñiểm) ⇔ x + 3.x + 3.x + = + 3 3 3 3 10 10 ⇔x+ = = 3 3 ⇔ x+ 0,25 10 =3 ⇔x= 10 3 − (thỏa mãn ñiều kiện) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0,25 10 3 − ... ñiểm) 0,5 Gọi số thí sinh vào trường THPT Chuyên số thí sinh vào trường PTDT Nội trú x , y (thí sinh) (điều kiện x > 0, y > 0) Vì số thí sinh vào trường THPT Chuyên số thí sinh vào trường PTDT... kiện ta thấy x = 768; y = 1152 ñều thỏa mãn Vậy số thí sinh vào trường THPT Chuyên số thí sinh vào trường PTDT Nội trú 768 thí sinh , 1152 thí sinh a)(0,5 ñiểm) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25... + x 2 + x1 x2 = 2020 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = 2020 ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 2020 (3) 0,25 Thay (2) vào (3) ta có: [ 2(m − 1)] − 4(m + 2m) = 2020 ⇔ 4m − 4m + − 4m − 8m = 2020 ⇔ 12m = −2016