Thông tin tài liệu
BàI GIảNG Lý thuyết XáC SUấT THốNG THốNG KÊ Hà Néi - 2014 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 MỞ ĐẦU Lý thuyết Xác suất Thống kê phân Toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Ta hiểu tượng ngẫu nhiên tương nói trước xảy hay không thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần hiệ tượng ngẫu nhiên phép thử nhau, ta rút kết luận khoa học tượng Lý thuyết Xác suất sở để nghiên cứu Thống kê – môn học nghiên cứu phương pháp thu thập thông tin, chọn mẫu, xử lý thông tin nhằm rút kết luận định cần thiết Lý thuyết Xác suất Thống kê ngày phát triển theo tiến trình phát triển xã hội, đóng vai trị quan trọng hầu hết lĩnh vực giới đại, từ khoa học, cơng nghệ, đến kinh tế, trị, đến sức khỏe, mơi trường,… Ngày nay, máy tính giúp cho việc tính tốn vấn đề xác suất thống kê ngày trở nên dễ dàng, có số liệu đắn mơ hình hợp lý Thế nhưng, thân máy tính khơng biết mơ hình hợp lý Đấy vấn đề người sử dụng: cần phải hiểu chất khái niệm mơ hình xác suất thống kê, dùng chúng Chính vậy, giới thiệu bậc học Phổ thông, Lý thuyết Xác suất Thống kê giảng dạy cho hầu hết nhóm ngành bậc Đại học Chương trình học Mơn Lý thuyết Xác suất Thống kế (tại Trường Đại học Thủy Lợi) Định nghĩa xác suât Đại lượng ngẫu nhiên phân phối xác suât Kỳ vọng phương sai Một số phân phối xác suất thường gặp Mẫu ngẫu nhiên đơn giản hàm phân phối mẫu thống kê thường gặp Bài toán ước lượng Kiểm định giả thuyết Đường hồi quy tuyến tính Giáo trình chính: Giáo trình Lý thuyết Xác suất Thống kê, Bản dịch (đã chỉnh lý lần thứ nhất) - Tài liệu lưu hành nội Trường Đại học Thủy Lợi – (Bản dich từ "Probability and statisics for Engineers and Scientists" Walpole H Myers, L Myers) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Bài số NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT I NHẮC LẠI VÀ BỔ XUNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Những kiến thức phần liên quan tới việc đếm điểm mẫu 1.Quy tắc cộng Giải sử công việc có k trường hợp để thực hiện: Trường hợp có n1 cách thực Trường hợp có n2 cách thực … Trường hợp k có nk cách thực Khi ta có: n = n1 + n2 + + nk cách thực công việc cho 2.Quy tắc nhân.Giải sử công việc chia thành k giai đoạn: Có n1 cách thực giai đoạn thứ Có n2 cách thực giai đoạn thứ hai… Có nk cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có: n = n1.n2 nk cách thực công việc cho Ví dụ Có cách lựa chọn bữa ăn gồm có xúp, sandwich, tráng miệng, đồ uống từ xúp, kiểu sandwich, tráng miệng, đồ uống? Giải: Do n1 = 4, n2 = 3, n3 = n4 = 4, có n1×n2×n3×n4 = × × × = 240 cách khác để chọn bữa ăn Hoán vị a Định nghĩa: Hoán vị n phần tử có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho gồm n phần tử cho b Cơng thức 1: Số hốn vị n phần tử phân biệt Pn = n ! c Cơng thức 2: Số hốn vị n phần tử phân biệt lấy k lần liên tiếp n! Ank = (còn gọi chỉnh hợp chập k n phần tử) (n − k )! Ví dụ Một đề tài nhánh Hội Hóa học Mỹ có cách bố trí báo cáo viên cho họp khác họ thu xếp ngày? Giải: Tổng số cách bố trí 5! A53 = = 60 2! Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Những hoán vị xuất xếp phần tử theo vòng tròn gọi hốn vị vịng quanh d Cơng thức 3: Số hoán vị n phần tử phân biệt xếp theo vòng tròn : (n − 1)! Cho đến ta xét hoán vị phần tử phân biệt Trường hợp có phần tử gióng e Cơng thức 4: Số hốn vị phân biệt n phần tử mà n1 phần tử thuộc kiểu thứ nhất, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, , nk phần tử thuộc kiểu thứ k là: n! n1 ! n ! ⋯ n k ! Ví dụ Có cách khác để tạo thành xâu đèn thông Noel có bóng đèn đỏ, bóng đèn vàng, bóng đèn xanh với ổ cắm? Giải: Tổng số xếp phân biệt 9! = 1260 ! !2! Phân hoạch Tổ hợp Ta thường quan tâm đến số cách phân hoạch tập gồm n phần tử thành r tập gọi ngăn Một phân hoạch hoàn thành giao cặp r tập tập rỗng ∅ hợp tất tập tập ban đầu Thứ tự phần tử bên ngăn không quan trọng a Công thức 1: Ta phân hoạch tập gồm n phần tử thành k ngăn cho: có n1 phần tử ngăn thứ nhất, có n2 phần tử ngăn thứ hai, có nk phân tử ngăn thứ k Khi số cách phân hoạch là: n n! n , n , , n = n ! n ! ⋯n ! r k n1 + n2 + + nk = n Ví dụ Có cách phân cho nhà khoa học vào buồng ba hai buồng đôi khách sạn? Giải: Tổng số phân hoạch có 7! 3, 2, 2 = ! 2! 2! = 210 Trong nhiều toán ta quan tâm đến số cách chọn r phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự Những phép chọn gọi tổ hợp Một tổ hợp thực chất phân Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 hoạch có hai ngăn, ngăn chứa r đối tượng chọn ngăn chứa (n − r ) đối tượng cịn lại b Cơng thức 2: Số tổ hợp n phần tử phân biệt tạo lấy r phần tử lúc n n! k r = C n = r !(n − r )! Ví dụ Hãy tìm số ủy ban gồm nhà Hóa học nhà Vật lí mà tạo từ nhà Hóa học nhà Vật lý Giả: 4 4! Số cách chọn nhà hóa học = = 2 ! 2! 3 3! Số cách chọn nhà vật lí = = 1 1! 2! Sử dụng quy tắc nhân với n1 = n2 = , ta tạo được: n = n1.n2 = (6).(3) = 18 ủy ban với nhà Hóa học nhà Vật lí c Chú ý: Ta có i) Quy ước: 0! = ii) C nk = C nn −k iii) C nk = C nk−−11 + C nk−1 n Nhị thức Newton (a + b)n = ∑C nka n −kb k k =0 II BIẾN CỐ VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 1.Phép thử ngẫu nhiên khơng gian mẫu Ví dụ mở đầu: Khi cho cuộn dây quay từ trường nam châm, kết chắn xuất dòng điện cuộn dây Đây phép thử không ngẫu nhiên Khi gieo xúc xắc cân đối đồng chất, ta không đoán chắn kết Chỉ biết kết xuất số chấm {1, 2, 3, 4, 5, 6} Đây phép thử ngẫu nhiên Như vậy: Một phép thử ngẫu nhiên thỏa hai đặc tính: Khơng biết kết xảy Nhưng biết kết xảy Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Việc dựa nhóm điều kiện để quan sát tượng gọi phép thử ngẫu nhiên, kết khơng dự đốn trước Do giảng xét phép thử ngẫu nhiên, nên ta gọi tắt chúng phép thử a Định nghĩa Tập hợp tất kết phép thử thống kê gọi không gian mẫu ký hiệu S ( Ω ) Mỗi kết không gian mẫu gọi phần tử không gian mẫu, đơn giản điểm mẫu b Cách mô tả không gian mẫu: + Khi khơng gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta liệt kê phần tử + Khi khơng gian mẫu có vơ hạn phần tử, phần tử có thuộc tính chung: ta mơ tả mệnh đề quy tắc + Ta dùng sơ đồ hình Ví dụ Khi tung đồng xu khơng gian mẫu Ω viết là: Ω = {H ,T } , H T tương ứng với “heads” “tails”, nghĩa "ngửa" "sấp" Ví dụ Khi gieo xúc sắc: + Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất mặt thi không gian mẫu là: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} + Nếu ta quan tâm đến mặt chẵn hay lẻ (số chấm xuất mặt chẵn hay lẻ) khơng { gian mẫu là: Ω = chan,le } Ví dụ Khi tung hai đồng xu, với ký hiệu S: sấp N: ngửa khơng gian mẫu là: Ω = {SS , SN , NN , NS } Ví dụ Lấy ngẫu nhiên điểm nằm miền hình chữ nhật mặt phẳng tọa độ Oxy với kích thước [0; 3] × [0;2] , khơng gian mẫu là: { } S = Ω = (x , y ) ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ Ví dụ 10 Xét phép thử tung đồng xu + Nếu xuất mặt sấp xuất ta tung đồng xu lần thứ hai + Nếu xuất mặt ngửa ta tiếp tục tung xúc xắc tung lần Trong trường hợp ta xây dựng sơ đồ hình vẽ để xác định không gian mẫu Bây giờ, đường khác dọc theo cành tới điểm mẫu khác biệt Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Từ ta xác định khơng gian mẫu : Ω = {SS ; NN ; N 1; N 2; N 3; N 4; N 5; N 6} c Cách xây dựng không gian mẫu : + Đặt tên cho phần tử có mặt bước hình thành phép thử +Mơ tả điểm mẫu theo kết xảy phép thử Biến cố a Định nghĩa Các kết xảy phép thử gọi biến cố Như biến cố phép thử tập không gian mẫu Ký hiệu biến cố : Dùng chữ in hoa A, B,C , Chú ý • Mỗi điểm mẫu biến cố gọ biến cố sơ cấp • Biến cố biến cố không xảy thực phép thử, ký hiệu ∅ • Biến cố chắn biến cố ln ln xảy thực phép thử, tương ứng với khơng gian mẫu Ω nên ký hiệu Ω b Quan hệ biến cố Cho A B hai biến cố phép thử với không gian mẫu Ω Khi : • Biến cố A gọi kéo theo biến cố B , ký hiệu A ⊂ B , A xảy B xảy • Biến cố A gọi tương đương với biến cố B , ký hiệu A = B , A xảy B xảy ngược lại • Biến cố đối biến cố A , ký hiệu A , biến cố xảy A không xảy Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 • Hợp (tổng) hai biến cố A B , ký hiệu A ∪ B (hoặc A + B ) biến cố xảy có biến cố biến cố A B xảy Nói cách khác : A ∪ B biến cố gồm điểm mẫu thuộc A thuộc B Định nghĩa hợp n biến cố định nghĩa tương tự : A1 ∪ A2 ∪ ∪ An • Giao (tích) hai biến cố A B , kí hiệu A ∩ B (hoặc AB ) biến cố xảy A B xảy Nói cách khác A ∩ B biến cố gồm điểm mẫu thuộc A B Nếu A1, A2, …, An biến cố liên quan đến phép thử, giao (hay tích) chúng, ký hiệu A1 ∩ A2 ∩ ∩ An • Hai biến cố A B gọi xung khắc A ∩ B = ∅ Ví dụ 11 A biến cố “ra số chấm chẵn” gieo xúc xắc , A = “ra số chấm lẻ” Ví dụ 12 Xét biến cố A = {2, 4, 6} , biến cố B = {4, 5, 6} biến cố C = {1, 2, 4, 6} tập không gian mẫu Ω = {1,2, 3, 4, 5, 6} Khi đó: + Ta có A kéo theo C , tức A ⊂ C + A = {1, 3, 5} , B = {1, 2, 3} , A ∩ B = {4, 6} , A ∪ B = {2, 4, 5, 6} Ví dụ 13 Xét phép thử : T = gieo xúc xắc cân đối biến cố : Ai : "Xuất i chấm", A : "Xuất chấm chẵn", B : "Xuất chấm chia hết cho 3" Khi + A = A2 ∪ A4 ∪ A6 , B = A3 ∪ A6 + A ∩ B = AB = A6 + Các biến cố : A1, A2 , , A6 đôi xung khắc Ví dụ 14 Có ba xạ thủ A, B, C bắn vào mực tiêu Gọi : A biến cố "xạ thủ A bắn trúng" B biến cố "xạ thủ B bắn trúng" C biến cố "xạ thủ C bắn trúng" Khi đó: M = ABC biến cố "cả ba xạ thủ bắn trúng" N = ABC biến cố "cả ba xạ thủ bắn trượt" P = A ∪ B ∪ C biến cố "có xạ thủ bắn trúng" Q = AB ∪ BC ∪ CA biến cố "có hai xạ thủ bắn trúng" R = ABC ∪ ABC ∪ ABC biến cố "có xạ thủ bắn trúng" U = AB ∪ BC ∪ CA biến cố "có nhiều xạ thủ bắn trúng" V = ABC biến cố "chỉ có xạ thủ A bắn trúng" Chú ý: Ta sử dụng sơ đồ Ven để biểu diễn quan hệ biến cố Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 c Một số đẳng thức • Tính giao hoán: A ∪ B = B ∪ A, AB = BA • Tính kết hợp: A ∪ B ∪ C = (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) ; ABC = (AB )C = A(BC ) • Tính phân phối: (A ∪ B )C = (AC ) ∪ (BC ), (AB ) ∪ C = (A ∪ C )(B ∪ C ) • A ∪ A = A, AA = A • A ∪ Ω = Ω, AΩ = A, A ∪ ∅ = A, A∅ = ∅ • A = A • Luật De Morgan: A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An = A1 A2 ⋯ An A1A2 ⋯An = A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An Về nhà: Tự đọc Chương Bài tập: Mục 2.1+2.2: Tr 27; Mục 2.3: tr 37 Đọc trước Mục 2.4 đến 2.8 chuẩn bị cho Bài số 2: Xác suất Quy tắc tính xác suất Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Bài số XÁC SUẤT QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT I XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ Mở đầu xác suất Việc biến cố ngẫu nhiên xảy hay không kết phép thử điều khơng thể biết đốn trước Tuy nhiên cách khác ta định lượng khả xuất biến cố, xác suất xuất biến cố Xác suất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Dựa vào chất phép thử (đồng khả năng) ta suy luận khả xuất biến cố, với cách tieps cận ta có định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển Khi thực nhiều lần lặp lại độc lập phép thử ta tính tần suất xuất (số lần xuất hiện) biến cố Tần suất thể khả xuất biến cố, với cách tiếp cận ta có định nghĩa xác suất theo thống kê Trường hợp ta biểu diễn không gian mẫu biến cố miền hình học có độ đo ta có định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Xác xuất của biến cố Ta xét phép thử mà khơng gian mẫu có hữu hạn phần tử: chằng hạn xét phép thử với không gian mẫu Ω = {s1, s2 , sk } Khi đó, với điểm mẫu (biến cố sơ cấp) si gán tương ứng với số thực pi thỏa mãn pi ∈ 0;1 k , số thực pi gọi xác suất điểm mẫu (biến cố sơ cấp) si Nếu ta có lý để ∑ pi = i =1 tin điểm mẫu có khả xảy phép thử tiến hành, xác suất gán gần Mặt khác, xác suất gần gán cho điểm mẫu mà dường không xuất Trong nhiều phép thử, tung đồng xu hay xúc xắc, tất điểm mẫu có khả xuất gán xác suất Đối với điểm bên không gian mẫu, tức biến cố mà xuất hiện, ta gán cho xác suất Ta ý rằng, biến cố tập không gian mẫu Ω , nên biến cố A phép thử tập gồm điểm mẫu (biến cố sơ cấp), biến số sơ cấp A gọi khả thuận lợi cho A a Định nghĩa Xét phép thử với không gian mẫu Ω A biến cố phép thử Khi xác suất biến cố A tổng xác xuất tất diểm mẫu A , ký hiệu P (A) Từ định nghĩa ta có: ≤ P (A) ≤ P (S ) = P (Ω) = P (∅) = Ví dụ Một đồng xu tung lần Xác suất để mặt ngửa xuất bao nhiêu? Giải: + Không gian mẫu phép thử 10 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 b.Kỳ vọng hàm biến ngẫu nhiên Định lí Cho X biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f (x ) g = g (t ) hàm số xác định miền giá trị biến ngẫu nhiên X Khi kỳ vọng biến ngẫu nhiên g (X ) xác định bởi: µg (X ) = E [g (X )] = ∑ g(x )f (x ) , X biến ngẫu nhiên rời rạc, +∞ µg (X ) = E [g(X )] = ∫ g(x )f (x )dx , X biến ngẫu nhiên liên tục −∞ Phương sai độ lệch chuẩn a Phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Cho X biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f (x ) kỳ vọng µ Phương sai X số thực xác định bởi: σ = E [(X - µ)2 ] = ∑ (x - µ)2 f (x ) ,nếu X rời rạc, x σ = E [(X - µ)2 ] = ∫ +∞ −∞ (x − µ)2 f (x )dx ,nếu X liên tục Căn bậc hai phương sai σ gọi độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X Định lí Phương sai biến ngẫu nhiên X đươc xác định công thức: σ = E (X ) − µ2 b Phương sai hàm biến ngẫu nhiên Ta mở rộng khái niệm phương sai biến ngẫu nhiên cho hàm biến ngẫu nhiên X Giả sử g = g (t ) hàm số xác định miền giá trị biến ngẫu nhiên X , g (X ) biến ngẫu nhiên phương sai kí hiệu σg2(X ) Định lý Cho X biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f (x ) Phương sai biến ngẫu nhiên g(X) là: { } σg2(X ) = E [g(X ) - µg (X ) ]2 = ∑ [g(x ) − µg (X ) ]2 f (x ) , X biến ngẫu nhiên rời rạc, x { } ∫ σg2(X ) = E [g(X ) - µg (X ) ]2 = +∞ −∞ [g(x ) -µg (X ) ]2 f (x )dx , X biến ngẫu nhiên liên tục III.BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Một số thống kê quan trọng i.Trung bình mẫu ngẫu nhiên 97 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Định nghĩa Nếu (X 1, X , , X n ) mẫu ngẫu nhiên có cỡ n , trung bình mẫu xác định thống kê: n ∑X X= i =1 i n ii.Median mẫu (trung vị mẫu) Định nghĩa Nếu (X 1, X , , X n ) mẫu ngẫu nhiên cỡ n , xếp theo thứ tự tăng dần độ lớn, median mẫu xác định thống kê: X n +1 , n le X = X n + X n +1 , n chan iii Mode Định nghĩa Nếu X 1, X , , X n không thiết khác hoàn toàn, biểu diễn mẫu ngẫu nhiên có cỡ n Khi mode M giá trị mẫu mà xảy thường xuyên có tần số lớn Mode khơng tồn tồn khơng thiết giá trị iv Phương sai mẫu Định nghĩa Cho (X 1, X , , X n ) mẫu ngẫu nhiên cỡ n với trung bình mẫu X Khi phương sai mẫu xác định thống kê: n S2 = ∑ (X i =1 − X )2 i n −1 n Với mẫu cụ thể S nhận giá trị s = ∑ (x i =1 i − x )2 n −1 Định lý Nếu S phương sai mẫu ngẫu nhiên cỡ n , đó: n n ∑ X − ∑ X i n S2 = i =1 i i =1 n(n − 1) 3.Phân phối thống kê 98 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê a.Phân phối trung bình mẫu Trung bình mẫu: X = có kỳ vọng: µX = 2014 -2015 X1 + X + + X n n µ + µ + + µ = µ phương sai: n σx2 = σ + σ + + σ σ2 = n n2 Định lý giới hạn trung tâm Nếu X giá trị trung bình mẫu ngẫu nhiên có kích thước n lấy từ tổng thể có giá trị trung bình µ phương sai hữu hạn σ , giới hạn phân phối dạng Z= X −µ phân phối chuẩn n(z ; 0,1) n → ∞ σ/ n b Phân phối hiệu hai trung bình mẫu Định lý Nếu mẫu độc lập có kích thước n1 n2 lấy ngẫu nhiên từ hai tổng thể, rời rạc liên tục, có giá trị trung bình µ1 µ2 , phương sai σ12 σ22 , phân phối thống kê mẫu sai khác hai giá trị trung bình: X1 − X , phân phối xấp xỉ chuẩn có giá trị trung bình phương sai bằng: µX −X = µ1 − µ2 σX2 −X = σ12 n1 + σ22 n2 Do Z= (X1 − X ) − (µ1 − µ2 ) (σ12 / n1 ) + (σ22 / n2 ) có phân phối xấp xỉ phân phối tiêu chuẩn n(z ; 0,1) 4.Bài tốn ước lượng trung bình ( kỳ vong) a.Ước lượng trung bình Giả sử trung bình tổng thể µ = E (X ) chưa biết Ta tìm khoảng (µ1, µ2 ) chứa µ cho: P (µ1 < µ < µ2 ) = − α với − α độ tin cậy cho trước Trường hợp Khoảng tin cậy µ ; biết σ Nếu x số trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n tổng thể có phương sai biết σ , khoảng tin cậy (1 − α )100% µ xác định x − z α/2 σ n < µ < x + z α/2 σ , n z α/2 giá trị tạo nên diện tích α / sang bên phía phải nó, tức P (Z > z α ) = 99 α Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Định lý Nếu x sử dụng để ước lượng µ , với độ tin cậy (1 − α )100% ta có sai số khơng vượt q z α/2σ / n Định lý Nếu x sử dụng ước lượng µ , với độ tin cậy (1 − α )100% ta nói sai số khơng vượt q lượng cụ thể e kích thước là: n = ( z α/2σ e )2 theo quy tắc làm tròn đến toàn số Trường hợp 2: Khoảng tin cậy cho µ chưa biết σ , cỡ mẫu nhỏ Nếu x s số trung bình độ lệch chuẩn mẫu ngẫu nhiên rút từ biến ngẫu nhiên chuẩn có phương sai σ chưa xác định, khoảng tin cậy (1 − α )100% cho µ là: s x − tα/2 tα/2 < µ < x + tα/2 s n n giá trị t với v = n − bậc tự do, sinh diện tích α / bên phía phải nó, tức tức P (T > tα ) = α Trường hợp Khoảng tin cậy µ chưa biết σ với cỡ mẫu lớn( n > 30 ) Nếu x số trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n > 30 tổng thể có phương sai chưa biết σ , khoảng tin cậy (1 − α )100% µ xác định s x − z α/2 < µ < x + z α/2 s , n n z α/2 giá trị tạo nên diện tích α / sang bên phía phải b Ước lượng hiệu hai kỳ vọng Nếu có hai tổng thể có giá trị trung bình µ1 µ2 , phương sai σ12 σ22 , ước lượng điểm hiệu µ1 µ2 sinh thống kê X1 − X Mục tiêu ta cần thiết lập khoảng tin cậy (1 − α)100% µ1 − µ2 Trường hợp 1: Khoảng tin cậy cho µ1 − µ2 biết σ12 σ22 Nếu x x giá trị trung bình mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước n1 n2 từ tổng thể có phương sai biết σ12 σ22 , khoảng tin cậy (1 − α )100% µ1 − µ2 là: (x − x ) − z α/2 σ12 n1 + σ22 n2 < µ1 − µ2 < (x − x ) + z α/2 z α/2 xác định P (Z > z α ) = α 100 σ12 n1 + σ22 n2 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Trường hợp 2: Khoảng tin cậy cho µ1 − µ2 ; σ12 = σ22 chưa biết σ1 ; σ2 Nếu x x giá trị trung bình mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước n1 n2, từ tổng thể chuẩn ước lượng có phương sai chưa biết cân bằng, khoảng tin cậy (1 − α)100% cho µ1 − µ2 xác định 1 1 + < µ1 − µ2 < (x − x ) + tα/2s p + n1 n2 n1 n2 (x − x ) − tα/2S p t α/2 giá trị t với v = n1 + n2 − bậc tự do, sinh diện tích α / sang bên phải, sp = (n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22 n1 + n − Trường hợp 3: Khoảng tin cậy μ1-μ2 với σ1 ≠ σ2 chưa biết σ1 , σ2 Nếu x s12 , x s22 số trung bình phương sai mẫu độc lập kích thước nhỏ n1 n2 rút từ phân phối xấp xỉ chuẩn với phương sai chưa biết không nhau, khoảng tin cậy xấp xỉ (1 − α )100% ước lượng cho µ1 -µ2 (x − x ) − tα/2 s12 n1 + s22 n2 < µ1 -µ2 < (x − x ) + tα/2 s12 n1 + s22 n2 t α/2 giá trị t với (s12 / n + s22 / n2 )2 v= [(s12 /n1 )2 /(n1 -2)]+[((s22 /n2 )2 /(n2 -2)] bậc tự do, sinh diện tích α/2 bên phía phải Bài toán ước lượng tỷ lệ a.Ước lượng tỷ lệ Khoảng tin cậy p mẫu cỡ lớn Định lý Nếu pˆ tỷ lệ thành cơng mẫu ngẫu nhiên có kích thước n qˆ = − pˆ , khoảng tin cậy (1 − α )100% cho tham số p xác định ˆˆ ˆˆ pq pq < p < pˆ + z α/2 n n α > z α = 2 pˆ − z α/2 z α/2 giá trị cho: P Z 101 2014 -2015 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thng kờ Định lý Nếu p ớc l−ỵng cđa p , với độ tin cậy (1 − )100% khẳng định sai số ớc lợng không vợt z /2 ˆˆ pq pq , tức pˆ − p ≤ z /2 n n Định lý Nếu p ớc lợng p vi tin cy (1 − α )100% , sai số pˆ − p sÏ nhỏ giá trị xác định e kích thớc mÉu gÇn b»ng n = z 2α ˆˆ pq e Định lý Nếu p l mt ớc l−ỵng cđa p với độ tin cậy (1 − α )100% , sai sè pˆ − p ≤ e kÝch th−íc mÉu lµ n = z α2 /2 4e b.Ước lượng hiệu hai tỷ lệ Khoảng tin cậy cho p1 – p2 cỡ mẫu lớn NÕu pˆ 1vµ pˆ lµ tû lƯ thµnh công mẫu ngẫu nhiên có c n1 n2 t−¬ng øng Đặt qˆ1 = − pˆ1; qˆ2 = p2 Khoảng tin cậy với độ tin cËy (1 − α )100% cho sù sai kh¸c p1 p2 đợc xác định công thức: (p − pˆ2 ) − z α/2 pˆ1qˆ2 n1 + pˆ2qˆ2 n1 < p1 − p2 < (pˆ1 − pˆ2 ) + z /2 z /2 giá trÞ z sinh diƯn tÝch α pˆ1qˆ1 n1 + p2q2 n2 , bên phía phải, tức P Z > z α = α 2 2 IV BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT Thủ tục kiểm định giả thuyết thống kê + Xác định tham số cần quan tâm, phát biểu giả thuyết H đối thuyết H + Từ tổng thể nghiên cứu lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n ˆ xác định quy luật phân bố xác suất Θ ˆ với điều kiện + Chọn tiêu chuẩn kiểm định Θ giải thiết H 102 2014 -2015 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê + Với mức ý nghĩa α , xác định miền bác bỏ Wα tốt tùy thuộc vào đối thuyết H ˆ (x , x , , x ) + Từ mẫu cụ thể, tính giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định θ = Θ n + Tùy thuộc vào quan hệ giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định miền bác bỏ mà dẫn tới kết luận: Nếu θ0 ∈ Wα bác bỏ giả thuyết H thừa nhận đối thuyết H Nếu θ0 ∉ Wα giả thuyết H chấp nhận Chú ý H : θ = θ i Đối với kiểm định hai phía: , miền bác bỏ H có dạng Wα = (−∞; −a ] ∪ [a ; +∞) H : θ ≠ θ0 H : θ = θ ii Đối với kiểm định phía: , miền bác bỏ giả thiết H có dạng Wα = (a; +∞) H : θ > θ0 H : θ = θ iii Đối với kiểm định phía: , miền bác bỏ có dạng Wα = (−∞; a ) H : θ < θ0 Ở a giá trị giới hạn A.KIỂM ĐỊNH VỀ TRUNG BÌNH (KỲ VỌNG) 1.Kiểm định giả thuyết trung bình Xét tổng thể với biến ngẫu nhiên X có trung bình µ = E (X ) chưa biết Ta cần kiểm định giả thiết: H : µ = µ H : µ ≠ µ0 Đây toán kiểm định hai phía Ta xét trường hợp sau: a.Trường hợp 1: biết phương sai σ n ≥ 30 (nếu n < 30 X phải có p.phối chuẩn n(x ; µ, σ ) ) + Từ tổng thể rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n : W = (X 1, X , , X n ) + Xét thống kê: Z = X − µ0 σ/ n µ = µ0 , Z = X − µ0 : tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết Ta biết rằng, với giả thuyết H có phân phối chuẩn tắc N (z ; 0,1) σ/ n + Từ đối thuyết H chọn miền bác bỏ hai phía: (−∞; −z α ] ∪ [z α ; +∞) đó: X − µ0 P −z α/2 < < z α/2 = − α σ/ n + Tính z = x − µ0 đưa kết luận σ/ n 103 Tìm z α dựa vào Bảng A.3 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 Chú ý: Trong trường hợp này, toán kiểm định phía ta có thủ tục tương tự, nhiên xác định miền bác bỏ cần lưu ý sau H : ● Đối với tốn kiểm định phía: H : µ = µ0 µ > µ0 H : ●Cịn tốn kiểm định phía H : , ta bác bỏ H z > z α µ = µ0 µ < µ0 ta bác bỏ H z < −z α b Trường hợp 2: chưa biết σ cỡ mẫu n ≥ 30 Ta xét tiêu chuẩn kiểm định tương tự trường hợp 1, cần thay σ s X − µ0 Z= S/ n c Trường hợp 3: Chưa biết σ , cỡ mẫu n < 30 , tổng thể có phân phối chuẩn + Trong trường hợp ta cần xét tiêu chuẩn kiểm định là: T = X − µ0 S/ n + Với giả thiết T có phân phối Student với v = n − bậc tự X − µ0 P −tα/2,n −1 < + Với mức ý nghĩa α từ: < tα/2,n −1 = − α S/ n Ta xác định miền bác bỏ: (−∞; −tα/2,n −1 ] ∪ [tα/2,n −1; +∞) , tα/2,n −1 xác định Bảng A4 + Tính t = x − µ0 đưa kết luận s/ n Chú ý Trong trường hợp này, kiểm định phía ta có thủ tục tương tự, nhiên miền bác bỏ cần lưu ý sau: H : ● Đối với tốn kiểm định phía H : µ = µ0 µ > µ0 H : ● Cịn tốn kiểm định phía H : , ta bác bỏ H t > tα,n −1 µ = µ0 µ < µ0 , ta bác bỏ H t < −tα,n −1 2.Kiểm định giả thuyết hiệu hai trung bình Xét tốn kiểm định (hai phía) giả thuyết hiệu hai kỳ vọng: H : µ − µ = d , d số biết H : µ1 − µ2 ≠ d Đây tốn kiểm định hai phía, bước thủ tục tương tự xét tốn kiểm định trung bình, cần lưu ý tới công thức chon tiêu chuẩn kiểm định Ta xét trường hợp sau: 104 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 a.Trường hợp 1: Biết σ12 σ22 với cỡ mẫu đủ lớn Khi tiểu chuẩn kiểm định: Z = (X1 − X ) − d σ12 σ22 + n1 n2 Với giả thiết H Z có phân phối chuẩn tắc, kết hợp với mức ý nghĩa α ta xác định miền bác bỏ: (−∞; −z α/2 ] ∪ [z α/2 ; +∞) , z α/2 xác định từ Bảng A3 b Trường hợp 2: Chưa biết σ12 σ22 σ12 = σ22 = σ , hai BNN có phân phối chuẩn Khi tiêu chuẩn kiểm định: T = (X1 − X ) − d S p / n1 + / n , với S = p S12 (n1 − 1) + S 22 (n2 − 1) n1 + n − Với giả thiết H T có phân phối Student v = n1 + n2 − bậc tự Giả thuyết hai phía khơng bị bác bỏ khi: −tα/2,n +n −2 < t < tα/2,n +n −2 , 2 hay miền bác bỏ (−∞; −tα/2;n +n −2 ] ∪ [tα/2;n +n −2 ; +∞) 2 c Trường hợp 3: Chưa biết σ12 σ22 σ12 ≠ σ22 , hai BNN có phân phối chuẩn Khi tiêu chuẩn kiểm định: T ' = (X1 − X ) − d0 S12 S 22 + n1 n2 Với giả thuyết T ' có phân phối xấp xỉ Student với bậc tự xác định bởi: (s12 / n1 + s22 / n2 )2 v= [(s1 / n1 )2 / (n1 − 1)] + [(s22 / n2 )2 / (n2 − 1)] Thủ tục kiểm định không bác bỏ H khi: −tα/2,v < t ' < tα/2,v Tức miền bác bỏ là: (−∞; −tα/2;v ] ∪ [tα/2;v ; +∞) Chú ý Ta có thủ tục tương tự toán kiểm định phía, với lưu ý xác định miền bác bỏ Xem Bảng sau: Bài Toán kiểm định H : µ − µ = d , biết σ1, σ2 H : µ1 − µ2 < d0 z= H : µ − µ = d , H : µ1 − µ2 > d0 z= biết σ1, σ2 Tiêu chuẩn kiểm định (x − x ) − d0 Miền bác bỏ z < −z α (σ12 / n1 ) + (σ22 / n2 ) (x − x ) − d0 (σ12 / n1 ) + (σ22 / n2 ) 105 z > zα Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê H : µ − µ = d , σ1 = σ2 chưa biết H : µ1 − µ2 < d t= (x − x ) − d s p (1 / n1 ) + (1 / n2 ) ; 2014 -2015 t < −tα v = n1 + n − sp = H : µ − µ = d , H : µ1 − µ2 > d biết σ1 = σ2 chưa t = n1 + n − (x − x ) − d s p (1 / n1 ) + (1 / n2 ) ; t > tα v = n1 + n − sp = H : µ − µ = d , σ1 ≠ σ2 chưa biết H : µ1 − µ2 < d σ1 ≠ σ2 (n1 − 1)s12 + (n − 1)s22 n1 + n − (x − x ) − d t'= v= H : µ − µ = d , H : µ1 − µ2 > d biết (n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22 (s12 / n1 ) + (s22 / n2 ) (s12 / n1 + s22 / n2 )2 (s12 / n1 )2 (s22 / n2 )2 + n1 − n2 − (x − x ) − d chưa t ' = v= t ' < −tα t ' > tα (s12 / n1 ) + (s22 / n2 ) (s12 / n1 + s22 / n2 )2 (s12 / n1 )2 (s22 / n2 )2 + n1 − n2 − C KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỶ LỆ Kiểm định tỷ lệ cỡ mẫu lớn + Tiêu chuẩn kiểm định: Z = X − np0 np0q + Để kiểm định H : p = p0 , ta có giá trị quan sát cho bởi: z = x − np0 np0q , q = − p0 Khi đó: Đối với tốn kiểm định hai phía: H : p = p0 ; H : p ≠ p0 mức ý nghĩa α , miền bác bỏ là: (−∞; −z α/2 ) ∪ (z α/2 ; +∞) z α xác định bởi: P (Z > z α ) = α 106 2014 -2015 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê Đối với toán kiểm định phía: H : p = p0 H : p < p0 mức ý nghĩa α , miền bác bỏ (−∞; −z α ) z α xác định bởi: P (Z > z α ) = α Đối với toán kiểm định phía: H : p = p0 , H : p > p0 mức ý nghĩa α , miền bác bỏ (z α ; +∞) z α xác định bởi: P (Z > z α ) = α Kiểm định hiệu hai tỷ lệ với cỡ mẫu lớn Xét toán kiểm định giả thuyết rằng: hai tỷ lệ hai tham số nhị thức Tức ta muốn kiểm định giả thuyết H : p1 = p2 với đối thuyết p1 < p2 , p1 > p2 p1 ≠ p2 + Tiêu chuẩn kiểm định: đó: pˆ = Z = x1 + x2 n1 + n Pˆ1 − Pˆ2 ˆˆ[(1 / n1 ) + (1 / n )] pq , với x 1, x số lần thành công mẫu, qˆ = − pˆ G/trị quan sát z để k/định p1 = p2 xác định bởi: z= pˆ1 − pˆ2 ˆˆ[(1 / n1 ) + (1 / n )] pq Khi miền bác bỏ: + Với đối thuyết p1 ≠ p2 mức ý nghĩa α , miền bác bỏ (−∞; −z α/2 ) ∪ (z α/2 ; +∞) + Với đối thuyết p1 < p2 , miền bác bỏ (−∞; −z α ) + Với đối thuyết p1 > p2 , miền bác bỏ (z α ; +∞) V HỔI QUY TUYẾN TÍNH Kỳ vọng có điều kiện a Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc Kỳ vọng có điều kiện BNN rời rạc Y với điều kiện X = x xác định bởi: 107 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 n µY x = E (Y | x ) = ∑ yi P (X = x ;Y = yi ) i =1 Kỳ vọng có điều kiện BNN rời rạc X với điều kiện Y = y xác định bởi: n µX y = E (X | y ) = ∑ x i P (X = x i ;Y = y ) i =1 b Đối với biến ngẫu nhiên liên tục Kỳ vọng có điều kiện BNN liên tục Y với điều kiện X = x xác định bởi: +∞ ∫ yf (y | x )dy , µY x = E (Y | x ) = −∞ Kỳ vọng có điều kiện BNN liên tục X với điều kiện Y = y xác định bởi: +∞ µX y = E (X | y ) = ∫ xf (x | y)dx −∞ đó: f (y | x ) = f (x , y ) với x không đổi f (x | y ) = f (x , y ) với y không đổi 2.Ước lượng tham số hồi quy + Phương trình hồi quy tổng thể: µY x = α + βx + Giả sử ước lượng α β a b ta ta ước lượng y = µY theo đường hồi quy phù hợp (hoặc đường hồi quy thực nghiệm): yˆ = a + bx + Ta cần tìm a b: ước lượng α β Công thức: { } Với mẫu (x i , yi ); i = 1,2, , n ước lượng bình phương tối thiểu a b hệ số hồi quy α β xác định công thức sau: b= n n n n ∑ x iyi − ∑ x i ∑ yi i =1 i =1 i =1 n n ∑ x i2 − ∑ x i n i =1 n = ∑ (x i =1 i n ∑ (x i =1 i =1 − x )(yi − y ) i a= n n i =1 i =1 ∑ yi − b ∑ x i n 108 = y − bx − x )2 x Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ Câu Một công ty sản xuất 23 loại sản phẩm bình dân, 20 loại sản phẩm trung cấp 15 loại sản phẩm cao cấp Cơng ty chọn ngẫu nhiên 30 loại sản phẩm để đem triển lãm Tính xác suất để loại có sản phẩm chọn? Câu Tỷ lệ người trả lời thư chào hàng qua Email biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm 2(x + 2) , x ∈ (0;1) mật độ f (x ) = 0 , x ∉ (0;1) Hỏi tỷ lệ trung bình người trả lời thư độ lệch chuẩn X bao nhiêu? Câu Chiều cao mẫu ngẫu nhiên 50 sinh viên đại học cho thấy có giá trị trung bình 174.5cm độ lệch chuẩn 6.9cm a) Xác định khoảng tin cậy 98% cho chiều cao trung bình tất sinh viên đó; b) Chúng ta khẳng định điều với độ tin cậy 98% sai số ước lượng ước lượng chiều cao trung bình tất sinh viên 174.5cm Câu Bệnh A chữa khỏi hai loại thuốc B C Công ty sản xuất thuốc B tuyên bố: tỉ lệ bệnh nhân khỏi bệnh dùng thuốc họ 85% Qua thử nghiệm cho thấy, số 250 bệnh nhân mắc bệnh A dùng thuốc B 210 người khỏi bệnh; 200 bệnh nhân mắc bệnh A dùng thuốc C 175 người khỏi bệnh a) Hiệu loại thuốc B có họ quảng cáo không, với mức ý nghĩa 5%? b) Với mức ý nghĩa 1%, cho hiệu loại thuốc B C không? Câu Lượng chất rắn thoát từ loại vật liệu xác định phơi nhiễm giai đoạn sấy khô với khoảng thời gian khác thể bảng đây: x (giờ) y (gram) 4,4 13,1 4,5 9,0 4,8 10,4 5,5 13,8 5,7 12,7 5,9 9,9 6,3 13,8 6,9 16,4 7,5 17,6 7,8 18,3 Xác định ước lượng đường hồi quy tuyến tính tổng thể µY |x để dự đốn lượng chất rắn 109 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 ĐỀ SỐ Câu Trong hộp có cầu vàng đánh số từ đến 6; cầu đỏ đánh số từ đến 5; cầu xanh đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất để cầu khác màu khác số k ; x ≥1 Câu Cho X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f (x ) = x 0 ; x < Xác định số k tính P (X ≥ 5) Câu TÝnh kho¶ng tin cËy 98% tỷ lệ sản phẩm có lỗi quỏ trình xác định đợc mẫu có kích thớc 100 có sản phẩm bị lỗi Cần mÉu lín bao nhiªu nÕu chóng ta mn tin cËy 98% r»ng tû lƯ mÉu cđa chóng ta n»m khoảng 0,05 tỉ lệ thật sản phẩm có lỗi Cõu C th ngi cn khong 220 miligam natri ngày Khảo sát 20 loại suất ăn hãng, người ta thấy lượng natri trung bình 244 miligam, với độ lệch chuẩn mẫu 24,5 miligam Với mức ý nghĩa 0,05; nói lượng natri trung bình suất ăn hãng lớn 220 miligam không? Giả sử phân phối lượng natri chuẩn Câu Số liệu sau đưa điểm số mơn Hóa 12 sinh viên ngẫu nhiên trường cao đẳng xác định phụ thuộc vào điểm số sinh viên qua kiểm tra hệ số thông minh họ học sinh năm cuối trường phổ thông Sinh viên 10 11 12 Điểm kiểm tra, x 65 50 55 65 55 70 65 70 55 70 50 55 Điểm mơn Hóa, y 85 74 76 90 85 87 94 98 81 91 76 74 a Xác định ước lượng đường hồi quy tuyến tính tổng thể µY |x 110 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê 2014 -2015 ĐỀ SỐ Câu Một xạ thủ bắn vào bia với xác suất trúng điểm 10, 9, 0,1; 0,2; 0,25 xác suất trúng điểm nhỏ 0,45 Người bắn viên đạn Tính xác suất để số điểm đạt 28 điểm Câu Chỉ số IQ 600 người nộp đơn xin học trường đại học có phân phối chuẩn với trung bình 115 độ lệch chuẩn 12 Nếu trường đại học địi hỏi số IQ phải đạt 95 Hỏi có sinh viên bị loại đợt xét tuyển hồ sơ theo tiêu chí trên? Câu Một nghiên cứu tiến hành để xác định liệu phương pháp xử lý có ảnh hưởng đến lượng kim loại bị ăn mòn trình tẩy rỉ Một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 miếng nhúng bể 24 , thu giá trị trung bình 12.2 mili mét kim loại bị ăn mòn độ lệch chuẩn 1.1 mili mét Một mẫu thứ hai gồm 200 miếng đưa xử lý, sau 24 nhúng bể thu độ ăn mịn trung bình 9.1 mili mét kim loại, có độ lệch chuẩn 0.9 mili mét Tính tốn ước lượng khoảng tin cậy 95% cho hiệu số giá trị trung bình Phương pháp xử lý giảm lượng trung bình kim loại bị lấy hay không? Câu Thống kê sản lượng hàng tháng nhà máy sản xuất đồ chơi 16 tháng sử dụng máy cũ 11 tháng sử dụng máy ép nhựa cho thấy (đơn vị tính: nghìn sản phẩm): Máy cũ Máy 99,2 89,9 96,5 90 94,5 97,2 105,4 93,8 93,8 94 91,2 102,7 87,3 85 89,2 101,6 79,6 98,3 89,7 91,1 101,4 89,7 87,7 125,8 96,6 90,2 95,6 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra xem thay đổi máy móc có làm thay đổi sản lượng hàng tháng nhà máy hay không? Câu Để nghiên cứu khả chịu đựng loại trùng loại hóa chất X (đơn vị mg ), người ta phun hóa chất nơi loại trùng lượng hóa chất khác quan sát thời gian sồng Y (đơn vị ngày) chúng thu kết Lượng hóa chất X Thời gian sống Y 35 25 27 13 11 Tìm phương trình đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X Về nhà: Làm đề cương Ôn tập Chúc em Ôn thi Thi đạt kết cao! 111
Ngày đăng: 16/07/2020, 22:43
Xem thêm:
