2 cực TRỊ của hàm số

Hàm Số Nâng Cao CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I – LÝ THUYẾT CHUNG Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D ( D ⊂ ℝ ) x0 ∈ D 1) x0 điểm cực đại f tồn khoảng ( a; b ) ⊂ D x0 ∈ ( a; b ) cho ( a; b ) ⊂ D x0 ∈ ( a; b ) cho f ( x ) < f ( x0 ) ,∈ ( a; b ) \ { x0 } Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại (cực đại) f 2) x0 điểm cực tiểu f tồn khoảng f ( x ) > f ( x0 ) ,∈ ( a; b ) \ { x0 } Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu (cực tiểu) f 3) Nếu f ( x0 ) gọi cực trị f điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f ' ( x0 ) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: giả sử hàm số f liên tục khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 có đạo hàm ( a; b ) \ { x0 } 1) Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 2) Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 , f ' ( x0 ) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 1) Nếu f '' ( x0 ) < f đạt cực đại x0 2) Nếu f '' ( x0 ) > f đạt cực tiểu x0 Kiến thức cần nhớ: 1) Khoảng cách hai điểm A, B AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) 2 2) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = : 25 Hàm Số Nâng Cao d ( M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 3) Diện tích tam giác ABC: S= 1 AB AC.sin A = AB AC − AB AC 2 ( ) Tích vơ hướng hai vectơ a.b = a1b1 + a2b2 với a = ( a1 ; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) Chú ý: a.b = ⇔ a ⊥ b (1) Điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) 26 Hàm Số Nâng Cao BÀI TẬP Câu 1: Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x + Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB A R = Câu 2: C R = 10 D R = Kí hiệu d khoảng cách nhỏ hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y= x − mx − x + m + Tìm d A d = Câu 3: B R = B d = 13 C d = D d = 13 3 x − mx + ( m − 1) x − có đồ thị ( Cm ) Biết tồn điểm A ( a; b ) cho A điểm cực đại ( Cm ) tương ứng với m = m1 A điểm cực tiểu ( Cm ) Cho hàm số y = tương ứng với m = m2 Tính S = a + b Câu 4: A S = B S = −1 C S = −2 D S = −3 Tìm m để hàm số y = có hai điểm cực trị x1 ; x2 cho x − mx − ( 3m − 1) x + 3 x1 x2 + ( x1 + x2 ) = A m = B m = C −1 < m D m = x + (m + 1) x + ( m + 4m + 3) x + đạt cực trị x1 , x2 Tính giá trị nhỏ biểu thức P = x1 x2 − 2( x1 + x2 ) A P = −9 B P = −1 C P = − D P = − 2 Câu 5: Biết hàm số y = Câu 6: Cho hàm số y = x + ( m − 1) x + ( m − ) x − Xác định m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm khoảng ( −2;3) Câu 7: A m ∈ ( −1;3) ∪ ( 3; ) B m ∈ (1;3) C m ∈ ( 3;4 ) D m ∈ ( −1;4 ) Tập hợp tất giá trị tham số m cho hàm số y = x3 + ( m − 1) x + ( m − ) − 18 có hai điểm cực trị thuộc khoảng ( −5;5 ) A ( −∞; −3) ∪ ( 7; +∞ ) Câu 8: B ( −3; +∞ ) \ {3} Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số y = điểm x1 ; x2 cho: x1 − x2 ≥ 27 C ( −∞;7 ) \ {3} D ( −3;7 ) \ {3} x − mx + mx − đạt cực trị hai Hàm Số Nâng Cao  + 64 m ≥ A   − 64 m ≤  Câu 9:  + 63 m ≥ B   − 63 m ≤   + 61 m ≥ C   − 61 m ≤   + 65 m ≥ D   − 65 m ≤  1 Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số y = mx3 − ( m − 1) x + ( m − ) x + 3 đạt cực trị hai điểm x1; x2 cho: x1 + x2 = A m = m = B m = Câu 10: Cho hàm số : y = ( Cm ) C m = −5 D m = x − mx − x + m + có đồ thị ( Cm ) Tất giá trị tham số m để 3 cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa x12 + x22 + x32 > 15 A m > m < −1 B m < −1 C m > D m > x3 x2 x3 − + ax + g ( x ) = + x + 3ax − a; với a tham số thực 3 Tìm tất giá trị a cho hàm số có hai cực trị đồng thời hai hoành độ cực trị hàm số có hồnh độ cực trị hàm số 15 15 A − < a < B −4 < a < 15 C − < a < D −4 < a < Câu 11: Cho hai hàm số f ( x ) = Câu 12: Tìm tất m cho điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 + x + mx − nằm bên phải trục tung A Không tồn m B < m < C m < Câu 13: Hỏi có tất số nguyên m thuộc đoạn D m < [ 0; 2017] để đồ thị hàm số y = x3 − ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x − ( m + ) có hai điểm cực trị A , B nằm hai phía trục hồnh? A 2014 B 2015 C 2013 D 2012 Câu 14: Với giá trị m hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = x + x + mx + m − nằm hai phía so với trục hoành? A m > B −1 < m < C m < D < m < Câu 15: Tìm tất giá trị thực tham số m để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm 3m số y = x − x + m nằm khác phía với đường thẳng y = x A m > B m < C m ≠ D < m ≠ Câu 16: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − mx + ( m − 1) x có hai điểm cực trị A, B cho A, B nằm khác phía cách đường thẳng y = x − Tính tổng tất phần tử S 28 Hàm Số Nâng Cao A C −6 B D Câu 17: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 4m3 có hai điểm cực trị A, B nằm phía cách đường thẳng x + y − = Tính tổng phần tử S B − A C D Câu 18: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 2mx + m3 có hai cực trị A B cho góc AOB = 120o ? A m = ±2 27 25 B m = ±6 C m = ±2 D m = ± 12 Câu 19: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + ( m − 1) x − m3 + m có hai điểm cực trị A , B cho tam giác OAB có diện tích Hỏi S có tất phần tử? A B C D Câu 20: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3m3 có hai điểm cực trị tạo thành tam giác OAB có diện tích 48 A m = B m = ±2 C m = −2 D m = ±3 Câu 21: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) A m = B m = C m = ±1 D m = Câu 22: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số 1 y = x3 − ( 2m − 1) x + ( m − m ) x − có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích Hỏi S có phần tử nguyên A B C D Câu 23: Cho C ( 5;9 ) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số x − mx + ( m − 1) x có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABC cân C Tính tổng phần tử S 15 15 B C − D A 2 y= Câu 24: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + m3 có hai điểm  7 cực trị với điểm C  1;  tạo thành tam giác cân C  8 A m = B m = C m = −1 29 D m = − Hàm Số Nâng Cao Câu 25: Tìm tất giá trị thực tham số m đẻ hàm số y = x − 3mx + 4m3 có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông cân O A m = ± B m = ± C m = ± D m = ±1 Câu 26: Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = mx3 − x có hai điểm cực trị A , B cho tam giác ABC với C ( 2;1) Tính tổng tất phần tử S A B C D m có hai 27 điểm cực trị A, B với gốc tọa độ tạo thành tam giác có tâm đường trịn ngoại tiếp Câu 27: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − mx + I (1;2 ) B m = A < m < 12 C m = D m = 12 Câu 28: Cho hàm số y = ( x − m ) − x + m (1) Gọi M điểm cực đại đồ thị hàm số (1) ứng với giá trị m thích hợp đồng thời điểm cực tiểu đồ thị hàm số (1) ứng với giá trị khác m Số điểm M thỏa mãn yêu cầu đề là: A B C Câu 29: Tìm tất giá trị tham số m D cho đồ thị hàm số y = − x + x + ( m − 1) x − 3m − có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm 2 số cách gốc tọa độ O 1 A m = − B m = ± C m = ± D m = Câu 30: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số OA y = x − 3mx + ( m − 1) x − m + m có hai điểm cực trị A, B cho = Tính tổng OB tất phần tử S A −6 B C −3 D Câu 31: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = mx3 − 3mx + 3m − có hai điểm cực trị A, B cho AB − (OA2 + OB ) = 20 ( Trong O gốc tọa độ) A m = −1 B m = 17 C m = −1 m = − 11 D m = m = − 17 11 Câu 32: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − x + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường tròn ( Cm ) : x + y − 2mx − 4my + 5m − = A < m < 30 B −1 < m < C < m < D − < m < Hàm Số Nâng Cao Câu 33: Cho ( Cm ) đồ thị hàm số y = x + 3mx + ( với m < tham số thực) Gọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị ( Cm ) Đường thẳng d cắt đường trịn tâm I ( −1;0 ) bán kính R = hai điểm phân biệt A, B Gọi S tập hợp tất giá trị m cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn Hỏi S có tất phần tử B C D A Câu 34: Với m ∈ [ −1;1] , đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + ( m − 1) x − m3 + m có hai điểm cực trị A , B tam giác OAB có bán kính đường trịn nội tiếp có giá trị lớn M , đạt m = m0 Tính P = M + m0 A B C D Câu 35: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = − x3 + 3mx − 3m − có cực đại, cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x + y − 74 = A m = B m = C m = D m = Câu 36: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = x − x + m x + m đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x − 2 A m = −1 B m = C m = D m = Câu 37: Với m > , đồ thị hàm số y = mx − 3mx + ( 2m + 1) x + − m ln có hai điểm cực trị gọi ∆ đường thẳng qua hai điểm cực trị Tìm điểm cố định K mà ∆ qua 1 1 1      A K  ; −  B K  3; −  C K  − ;3  D K  −3;  2 2 2      Câu 38: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 6mx có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng: y = x +  m = −3 A  m =  m = −2 B  m = m = C  m = m = D   m = −3 Câu 39: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 + mx + x + vng góc với đường thẳng y = x + A m = ±5 B m = ±6 C m = ±12 D m = ±10 Câu 40: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số: y = x − x − mx + có điểm cực đại điểm cực tiểu cách đường thẳng có phương trình: y = x − ( d ) A m = 31 m = B  m = −  C m = D m = − Hàm Số Nâng Cao Câu 41: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − ( m − 1) x + ( 2m − 3m + ) x − m + m có hệ số góc − A m = −1 B m = C m ∈ {0;3} D m ∈ {−1; 4} Câu 42: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3mx + 6m3 tạo với trục hoành góc 45o A m = ±1 B m = ± C m = −1 D − Câu 43’: Xét số thực với a ≠ 0, b > cho phương trình ax − x + b = có hai nghiệm thực Giá trị lớn biểu thức a b bằng: 15 27 A B C D 27 4 15 Câu 43: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( C ) Gọi A điểm cực đại ( C ) ; B , C la hai điểm cực tiểu ( C ) Gọi d đưởng thẳng qua A ; S la tổng khoảng cách từ B , C đến d Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ S A + B + 10 C + D + Câu 44: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = ( m + 1) x − mx + có cực tiểu mà khơng có cực đại A m = B −1 ≤ m < C m = D m = −1 Câu 45: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC ; O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hia điểm cực trị lại A m = B m = − C m = D m = ± Câu 46: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m − m có ba điểm cực trị thuộc trục tọa độ A m = B m = C m = D m = Câu 47: Khi ba điểm cực trị thuộc trục tọa độ ⇔ c − Cho biết đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0) b2 = ⇔ 2m − m − m = ⇔ m = 4a có ba điểm cực trị A, B, C Tìm tung độ yG điểm G trọng tâm tam giác ABC A yG = c − 32 b2 6a B yG = c + b2 12a C yG = c + b2 6a D yG = c − b2 12a Hàm Số Nâng Cao Câu 48: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số x − ( 3m + 1) x + ( m + 1) có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ O 1 1 A m = B m = C m = D m = y= Câu 49: Điều kiên đầy đủ tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + 2m − có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có trực tâm H ( 0;1) là? A m = B m = C − m ( m + − 2m ) = D + m ( m + − 2m ) = Câu 50: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 3m + có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân A m = B m = − C m = D m = Câu 51: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông A m = B m = −2 C m = D m = Câu 52: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m = 3 B m = C m = D m = Câu 53: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x ( x + 2m − 3) − m − có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác A m = −2 3 B m = − 3 C m = 3 D m = − 3 Câu 54: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − ( m − 1) x + 2m − có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có góc 120o ? 1 B m = + C m = + A m = + 24 16 48 D m = + Câu 55: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x + mx + m − m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120° A m = − B m = − 3 C m = − 3 D m = − 3 Câu 56: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x + ( 3m + 1) x − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy 33 độ dài cạnh bên Hàm Số Nâng Cao A m = − 3 B − C D Câu 57: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x + mx + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m = −1 B m = −2 C m = D m = Câu 58: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m < B < m < C < m < D m > Câu 59: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m = 16 B m = 17 C m = 18 D m = 19 Câu 60: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 1 A m = − B m = −1 C m = D m = 9 Câu 61: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − m có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 1 A m = B m = C m = 3 D m = Câu 62: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + +2m + m có điểm cực trị tạo thành tam giác A m = 3 B m = D m = 14 C m = 13 Câu 63: Cho biết đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) có ba điểm cực trị Tìm bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh ba điểm cực trị A R = b2 − a b B R = b2 + a b C R = b2 + a b D R = b2 − a b Câu 64: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp A m = B m = C m = −1 D m = −2 Câu 65: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x − m + m có hai điểm cực trị với điểm I (1;1) tạo thành 2 tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính R = 34 Hàm Số Nâng Cao B Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x = C Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị Đáp án C Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) để nhận xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) điểm cực trị hàm số Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: f ' ( x ) ≥ x ≥ ⇒ hàm số y = f ( x ) đồng biến ( 3; +∞ ) ⇒ Đáp án A sai Tại x = ta thấy f ' ( x ) = hàm y = f ' ( x ) không đổi dấu nên x = không điểm cực trị hàm số y = f ( x ) ⇒ Đáp án B sai Tại x = ta thấy f ' ( x ) = đây hàm y = f ' ( x ) có đổi dấu từ âm sang dương nên x = điểm cực tiểu hàm số y = f ( x ) ⇒ Đáp án C Như hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị ⇒ Đáp án D sai Câu 78: Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) khoảng K Hình vẽ bên đồ thị hàm số f ' ( x ) khoảng K y x -1 O Số điểm cực trị hàm số f ( x ) là: A B C D Hướng dẫn giải: Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm đơn (và hai nghiệm kép) nên f ' ( x ) đổi dấu qua nghiệm đơn Do suy hàm số f ( x ) có cực trị Chọn B 87 Hàm Số Nâng Cao Nhận xét Đây dạng toán suy ngược đồ thị Dạng xuất nhiều đề thi lần sau Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên Tìm tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y = f ( x + m ) có điểm cực trị A m > C m > −1 B m < −1 D m < Hướng dẫn giải: Trước tiên ta có nhận xét rằng: đồ thị hàm số y = f ( x + m ) suy từ đồ thị hàm số y = f ( x ) cách nào? ● Bước Tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) sang phải (nếu m < ), sang trái (nếu m > ) m đơn vị ● Bước Giữ nguyên phần đồ thị vừa nhận phía bên phải trục tung, xóa bỏ phần đồ thị vừa nhận phía bên trái trục tung ● Bước Lấy đối xứng phần đồ thị giữ bước qua trục tung ta đồ thị hoàn chỉnh hàm số y = f ( x + m ) Do tư + hình vẽ u cầu tốn cần tịnh tiến đồ thị cho điểm cực đại sang phải nằm góc phần tư thứ Suy m < −1 Khi ta đồ thị hàm số y = f ( x + m ) hình bên Chọn B Câu 80: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ , có đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình vẽ Xác định điểm cực tiểu hàm số g ( x ) = f ( x ) + x A Khơng có điểm cực tiểu C x = B x = D x = Hướng dẫn giải: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x ℝ , ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 1; ∀x ∈ ℝ 88 Hàm Số Nâng Cao Dựa vào đồ thị hàm số f ′ ( x ) , ta thấy đồ thị hàm số g ′ ( x ) đồ thị hàm số f ′ ( x ) tịnh tiến lên trục Oy đơn vị (hình bên), ● g ′ ( x ) khơng đổi dấu qua điểm x = suy x = không điểm trị hàm số ● g ′ ( x ) đổi dấu từ − sang + qua điểm x = suy x = điểm cực tiểu hàm số ● g ′ ( x ) đổi dấu từ + sang − qua điểm x = suy x = điểm cực đại hàm số Chọn C Câu 81: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f ( x ) Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = f ( x − 1) + m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S A 12 C 18 Hướng dẫn giải: B 15 D Chọn A Nhận xét: Số giao điểm ( C ) : y = f ( x ) với Ox số giao điểm ( C ') : y = f ( x − 1) với Ox Vì m > nên ( C '') : y = f ( x − 1) + m có cách tịnh tiến ( C ') : y = f ( x − 1) lên m đơn vị 89 Hàm Số Nâng Cao TH1: < m < Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại TH2: m = Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH3: < m < Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH4: m ≥ Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại Vậy ≤ m < Do m ∈ ℤ* nên m ∈ {3; 4;5} Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 Câu 82: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ đây: Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = f ( x − 2017 ) + m có điểm cực trị Tổng tất giá trị phần tử tập S A 12 Hướng dẫn giải: Đáp án A 90 B 15 C 18 D Hàm Số Nâng Cao Nhận xét: Số giao điểm ( C ) : y = f ( x ) với Ox abnwgf số gaio điểm ( C ') : y = f ( x − 2017 ) với Ox Vì m > nên ( C '') : y = f ( x − 2017 ) + m có cách tịnh tiến ( C ') : y = f ( x − 2017 ) lên m đơn vị Câu 83: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau −1 −∞ x f '( x) + f ( x) - +∞ + +∞ 2018 −∞ −2018 Đồ thị hàm số y = f ( x − 2017 ) + 2018 có điểm cực trị? A Hướng dẫn giải: B C Đáp án B Ta có đồ thị hàm số y = f ( x − 2017 ) + 2018 có dạng bên: Dễ thấy đồ thị hàm số có điểm cực trị 91 D Hàm Số Nâng Cao TH 1: < m < Đồ thị hàm số có điểm cực trị (loại) TH : m = Đồ thị hàm số có điểm cực trị (NHẬN) TH : < m < Đồ thị hàm số có điểm cực trị (NHẬN) TH : m > Đồ thị hàm số có điểm cực trị (loại) Vậy ≤ m < Do m ∈ ℤ * nên m ∈ {3; 4;5} Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 Câu 84: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ sau: 92 Hàm Số Nâng Cao Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − x A Hướng dẫn giải: B C D Đáp án C Dựa vào đồ thị hàm số suy f ' ( x ) = x3 − 3x + Hàm số y = f ( x ) − x ⇒ y ' = f ' ( x ) − = x3 − 3x có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có điểm cực trị Câu 85: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c với a > , c > 2017 a + b + c < 2017 Số cực trị hàm số y = f ( x ) − 2017 là: A Hướng dẫn giải: B C D Chọn D Ta có: y = f ( x ) − 2017 = ( f ( x ) − 2017 ) ⇒ y' = ( f ( x ) − 2017 ) f ' ( x ) ( f ( x ) − 2017 )  f (1) = a + b + c < 2017 Xét f ( x ) = ax + bx + c ( a > ) ta có:  ⇒ f (1) < f ( )  f ( ) = c > 2017 Dựa vào dạng đồ thị hàm số bậc trùng phương a > 93 Hàm Số Nâng Cao Suy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị PT: f ( x ) − 2017 có nghiệm phân biệt Như PT y ' = ( f ( x ) − 2017 ) f ' ( x ) ( f ( x ) − 2017 ) = có nghiệm phân biệt hàm số có cực trị x2 − x + x+2 D y = x − Câu 86: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = A y = x + B y = −2 x + C y = −2 x − Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = y= (x − x + 1)′ ( x + )′ x2 − x + có dạng: x+2 = 2x −1 x + mx + n có hai cực trị x1 , x2 Viết phương trình đường thẳng qua x2 + hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho m −m A y = mx + n B y = x + n C y = −mx + n D y = x+n 2 Câu 87: Biết hàm số f ( x ) = Hướng dẫn giải: Chọn B Phương trình đường cong qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + mx + n có x2 + dạng: (x y= + mx + n )′ (x + 1)′ = 2x + m 2x Gọi tọa độ hai điểm cực trị ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) Khi x1 , x2 nghiệm pt: x ( x + mx + n ) = ( x + 1) ( x + m ) ⇔ mx + ( n − ) x − m = Ta tìm k thỏa x + m + k  mx + ( 2n − ) x − m  = có nghiệm x = Khi k = Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + mx + n có x2 + dạng: x + m +  mx + ( 2n − ) x − m  x + mx + ( n − 1) x m y= = = x+n 2x 2x 2 f ( x1 ) − f ( x2 ) x − 2x + m Câu 88: Biết hàm số f ( x ) = có hai cực trị x1 , x2 Tính k = x +2 x1 − x2 94 Hàm Số Nâng Cao A k = −2 m B k = C k = m D k = −1 Hướng dẫn giải: Chọn D x2 − 2x + m Phương trình đường cong qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = có x2 + dạng: y= (x − x + m )′ (x + )′ = 2x − 2x Gọi tọa độ hai điểm cực trị ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) Khi x1 , x2 nghiệm pt: x ( x − x + m ) = ( x + ) ( x − ) ⇔ x + ( − 2m ) x − = −1 Câu 89: Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số Ta tìm k thỏa x − + k  x + ( − 2m ) x −  = có nghiệm x = Khi k = mx − x + m − vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ 2x +1 1 A m = B m = C m = −1 D m = − 2 Hướng dẫn giải: Chọn C y= Đường thẳng qua hai điểm cực trị ( mx y= − x + m − 1) ( x + 1) ' ' = 2mx − = mx − có hệ số góc m Đường phân giác góc phần tư thứ có hệ số góc k = ; Hai đường thẳng vng góc với nên m.1 = −1 ⇔ m = −1 Chọn C Câu 90: Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −5;5] để hàm số y = x + x − x + m có điểm cực trị? A Hướng dẫn giải: Chọn C B Xét hàm số y = x + x3 − x + m D = ℝ TXĐ:  x =  Ta có y′ = x + x − x , y′ = ⇔  x = −1  x =  95 C D Hàm Số Nâng Cao Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để hàm số cho có cực trị đồ thị cắt trục hoành điểm phân m < m <  ⇔  27 biệt ⇔  m − < < m − 27  Vì m nguyên nên giá trị cần tìm m m ∈ {1; 2; 3; 4} Vậy có giá trị ngun cần tìm m ( b + 3a ) ∀x ∈ R , biết hàm số ln có hai cực trị với a, b số thực không âm thỏa mãn 3b − a ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2a + b ? A B C D Hướng dẫn giải: Câu 94: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y ' = x − 12x + 98 Hàm Số Nâng Cao Chọn C Ta có: y ' = x − bx − a + 3, ∀x ∈ R Hàm số ln có hai cực trị khi: ∆ > ⇔ 12 − b − 3a > a ≥ b ≥  biểu diễ lên hệ trục tọa độ ta miền tứ giác OABC Từ giả thiết ta có  − ≤ b a  b + 3a < 12 với O ( 0;0 ) , A ( 0; ) , B ( 3;3) , C ( 4;0 ) điểm có tọa độ nguyên thuộc miền OABC có điểm M ( 3; ) làm biểu thức P có giá trị lớn Pmax = 2.3 + = Câu 95: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ sau Xác định số điểm cực trị hàm y = f ( x ) A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Từ đồ thị hàm y = f ′ ( x ) , ta phục dựng lại bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) với ý x < 0;1 < x < 2; x > f ′ ( x ) dương nên hàm số y = f ( x ) đồng biến Còn < x < f ′ ( x ) ln âm nên hàm số y = f ( x ) nghịch biến Còn giá trị x ∈ {0;1; 2} đạo hàm f ′ ( x ) = x −∞ f '( x ) − + + +∞ + Từ bảng xét dấu f ′ ( x ) ta nhận thấy hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị x = 0; x = Câu 96: Biết phương trình x + bx = −cx + có hai nghiệm thực dương phân biệt Hỏi đồ thị hàm số y = x + bx + c x − có điểm cực trị? A Hướng dẫn giải: Chọn B B C D Vì phương trình x + bx = −cx + có hai nghiệm thực dương phân biệt nên đồ thị hàm số y = x3 + bx2 + cx − 1(C ) phải cắt Ox hai điểm có hồnh độ dương điểm cực đại đồ thị hàm số hai điểm đó.Vậy đồ thị (C ) có dạng: 99 Hàm Số Nâng Cao y x Bằng phép suy đồ thị ta có đồ thị hàm số y = x + bx + c x − có dạng y x Dựa vào đồ thị ta có đồ thị hàm số có điểm cực trị Câu 97: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 3m x − có ba điểm cực trị? 1  A  −∞;  4  Hướng dẫn giải:  1 B 0;  ∪ (1; +∞ )  4 C ( −∞; 0] D (1; +∞ ) (Học sinh tự vẽ hình tưởng tượng) Hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 3m x − có ba điểm cực trị hàm số y = x3 − ( 2m + 1) x + 3mx − có hai điểm cực trị khơng âm Vậy phương trình 3x − ( 2m + 1) x + 3m = khi: ∆′ = 4m2 − 5m + >  0≤m<   ⇒  ( 2m + 1) > 0; P = m ≥  m > S =   Chọn B 100 Hàm Số Nâng Cao Câu 98: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x) = f ( x) − x + x − x + đạt cực đại điểm nào? A x = B x = −1 C x = D x = Hướng dẫn giải: Ta có g ( x ) xác định ℝ g ′( x) = f ′( x) − ( x − 1)2 số nghiệm phương trình g ′( x ) = số giao điểm hai đồ thị y = f ′( x ) y = ( x − 1)2 ; g ′( x) > đồ thị y = f ′( x ) nằm y = ( x − 1)2 ngược lại x = Từ đồ thị suy g ′( x) = ⇔  x = g ′( x) đổi dấu  x = từ dương sang âm qua x = Do hàm số đạt cực đại x =1 Câu 99: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx + ) Có giá trị nguyên âm m để hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A Hướng dẫn giải: B C D Ta có: y ' = x f ' ( x ) = x ( x + 1)( x + 2mx + ) x = x = ⇔ Do y ' =  Khảo sát bảng biến thiên ta kết luận  m = − x − 22 + + = x mx  x  m ≥ −2 Chọn B 101 ... số thực 3 Tìm tất giá trị a cho hàm số có hai cực trị đồng thời hai hồnh độ cực trị hàm số có hoành độ cực trị hàm số 15 15 A − < a < B −4 < a < 15 C − < a < D −4 < a < Câu 11: Cho hai hàm số. .. ≤0 27 a   (Vì b > ) ⇔ ( 27 a 2b − ) b ≤ ⇔ a 2b ≤ 27 Chọn A 66 Hàm Số Nâng Cao III - HÀM TRÙNG PHƯƠNG A – LÝ THUYẾT CHUNG - Cực trị hàm số Xét hàm số y = ax + bx + c  Với điều kiện ab < hàm số. .. cực trị  Khi hàm số có điểm cực trị điểm cực trị 0; − − b b ; − 2a 2a  A ( 0; c )   Tọa độ điểm cực trị tương ứng đồ thị hàm sô là:   −b b2   −b b2  B c C c ; ; ; − − −      2a