BÀI 2 cực TRỊ của hàm số

BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ MỤC TIÊU Kiến thức: Nắm vững định nghĩa cực trị hàm số, khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị hàm số; điểm cực trị đồ thị hàm số Hiểu vận dụng định lí điều kiện cần điều kiện đủ để hàm số có cực trị Trình bày vận dụng cách tìm cực trị hàm số Nhận biết điểm cực trị đồ thị hàm số Kĩ Thành thạo tim điểm cực trị, giá trị cực trị hàm số biết Biết cách khai thác bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị để tìm cực trị I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định K ( K  ) x0  K a) x , gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a; b)  K chứa điểm x0, cho f ( x)  f  x0  , x  (a, b) \  x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f b) x gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a; b)  K chứa điểm x cho f ( x)  f  x0  , x  (a, b) \  x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí Giả sử f hàm số đạt cực trị điểm x Khi đó, f có đạo hàm điểm x , f   x0   Chú ý: 1) Điều ngược lại khơng Đạo hàm f ' điểm x hàm số f không đạt cực trị điểm x 2) Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí a) Nếu f  ( x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x , (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x b) Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực đại điểm x0 Định lí Trang Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f '  x   f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a)Nếu f "  x0   hàm số f đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f "  x0   hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f "  x0   ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên bảng xét dấu đạo hàm Chú ý: 1) Điểm cực đại (cực tiểu) x , gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  hàm số gọi chung cực trị Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp K 2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  giá trị lớn (nhỏ hàm số f tập K ; f  x0  giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a; b) chứa x 3) Nếu x , điểm cực trị hàm số f điểm  x0 ; f  x0   gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) =|x| xác định Vì f(0) = f ( x)  0, x  nên hàm số đạt cực tiểu điểm x = dù hàm số khơng có đạo hàm điểm x = , vì:  x, x  1, x  y | x |   y   1, x   x, x  Ví dụ 2: Ta xét hàm số f ( x)  x3 , ta có: f  ( x)  3x2  0, x  Hàm số đồng biến nên khơng có cực trị dù f '(0)  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Các tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị Bài tốn Tìm điểm cực trị hàm số cụ thể → Phương pháp giải Cách 1: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Bước Tìm f '( x) Bước Tìm điểm xi  i  1, 2,  đạo hàm khơng hàm số liên tục khơng có đạo hàm Bước Xét dấu f '( x) Nếu f '( x) đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị điểm xi Ví dụ 1: Hàm số f ( x)  x3  3x2  9x  đạt cực tiểu điểm A x  1 B x  Hướng dẫn giải Cách 1: Hàm số cho xác định Ta có f '( x)  3x2  x  C x  D x  3  x  1 Từ f '( x)    x  Bảng xét dấu f  ( x) Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm x  Chọn B Cách 2: Dùng định lý Bước Tìm f '  x  Bước Tìm nghiệm xi  i  1, 2,  phương trình f '  x   Bước Tính f '  x  • Nếu f "  x   hàm số f đạt cực đại điểm xi • Nếu f "  x   hàm số f đạt cực tiểu điểm xi • Nếu f "  x   ta lập bảng biến thiên đểxác định điểm cực trị Cách 2: Hàm số cho xác định Ta có: f '( x)  3x2  x  Trang  x  1 Từ đó: f '( x)    x  Ta có: f "  x   x – Khi đó: f "(1)  12  0; f "(3)  12  Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm x  → Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Số điểm cực đại hàm số f ( x)   x4  8x2  A B C Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định Ta có: f '( x)  4 x3  16 x D.0  x   f (0)  7 Từ đó: f '( x)    x  2  f (2)    x   f (2)  Bảng biến thiên: Vậy hàm số có hai điểm cực đại Chọn C Ví dụ 2: Số cực trị hàm số f ( x)  x 1 x 1 A B Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định \ 1 Ta có: f '( x)  2  0, x  ( x  1)2 C D \{1} Vậy hàm số khơng có cực trị Chọn D Ví dụ 3: Giá trị cực tiểu hàm sổ f ( x)  B y   A x  5 Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định Ta có: f '( x)  3x  16 x   x2  x  x2  x  1 C x   D y  x  x  1 Trang  x  Từ đó: f '( x)     x  5 Bảng xét dấu đạo hàm: Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm x  5, yCT  f (5)   Chọn B Ví dụ 4: Số cực trị hàm số f ( x)  x3  3x  A Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định B C D.0 x2 1 Ta có: f '( x)  x  3x    x    x2 1   x  1   x  1 Từ đó: f '( x)     x  3x    x   x  2  ( f '  x  không xác định điểm x  x  2 ) Bảng biến thiên: Vậy hàm số có hai cực trị f (1)  f (1)  Chọn A Ví dụ 5: Giá trị cực đại hàm số f ( x)  x  x  số đây? B 3 Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định 2x Ta có: f '( x)   x2  A C  D  Trang  2 x  Từ đó: f '( x)   x   x   x x   x   Bảng biến thiên:  3 Vậy hàm số đạt cực đại điểm f ( x)  x  2sin x , giá trị cực đại hàm số f       Chọn C Ví dụ 6: Các điểm cực đại hàm số f ( x)  x  2sin x Có dạng (với k  ) A x     k 2 Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định B x    k 2 C x     k 2 D x    k 2 Ta có: f '( x)   2cos x Khi f '( x)   cos x    x    k 2 , (k  ) f ''( x)  2sin x       Vì f ''   k 2   2sin   k 2   2sin  nên x   k 2 điểm cực tiểu 3 3  3           Vì f ''    k 2   2sin    k 2   2sin     2sin  nên      3   k 2 điểm cực đại Chọn A Bài tốn Tìm cực trị hàm số biết đồ thị → Phương pháp giải +) Nếu đề cho đồ thị hàm f  x  , xem lại lý thuyết x +) Nếu đề cho đồ thị đạo hàm, để ý điều sau để lập bảng xét dấu đạo hàm: Đồ thị f '  x  nằm phía trục hồnh: f '  x   Đồ thị f '  x  nằm phía trục hồnh: f '  x    Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Hàm số y  ax4  bx2  c(a, b, c  ) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số f Trang A B.3 C.2 D.0 Hướng dẫn giải Hàm số cho có hai điểm cực tiểu Chọn C Ví dụ 2: Hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số f khoảng  3;  A B Hướng dẫn giải Hàm số cho có bốn điểm cực trị Chọn D Ví dụ 3: Hàm số y  f  x  xác định C D có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ Số điểm cực trị hàm số f khoảng (a;b) A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Trong khoảng (a;b), đồ thị f '  x  cắt (không tiếp xúc) trục hồnh điểm nên có điểm cực trị (a;b) Chọn A Cách 2: Nhìn vào hình vẽ đây, f '  x  đổi dấu tổng cộng lần khoảng (a;b) nên có điểm cực trị (a,b) Chọn A Trang Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai có đồ thị hàm số y  f "  x  hình vẽ (đồ thị y  f "  x  có điểm chung với trục hồnh hình vẽ) Số điểm cực trị tối đa hàm số A B Hướng dẫn giải Ta có bảng biến thiên hàm số y  f '  x  sau C D Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số y  f '  x  tối đa điểm nên f '  x   có tối đa nghiệm phân biệt Vậy hàm số y  f  x  có tối đa điểm cực trị Chọn D Bài toán Tìm (điểm) cực trị thơng qua bảng biến thiên →Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sau sai? A Hàm số có hai điểm cực trị C Cực đại -1 Hướng dẫn giải Chọn C B Hàm số có hai cực trị D Cực tiểu –2 Trang Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sai? A Hàm số có ba cực trị C f  2   f   B Hàm số có cực tiểu D f  1  f   Hướng dẫn giải Chon A Bài tốn Tìm (điểm) cực trị thơng qua đạo hàm → Phương pháp giải Đếm số nghiệm bội lẻ phương trình đạo hàm → Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '( x)   x  1 x3  3x   x  x  Số điểm cực trị hàm số y  f  x  A B C D Hướng dẫn giải Ta có: f '( x)  ( x  2)( x 1)3 x( x  1)( x  2) f '( x)  có nghiệm bội lẻ nên có điểm cực trị Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '( x)  x2 ( x 1)( x  4)2 Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x2  A Hướng dẫn giải   B   C    D Ta có:  f x2  '  xf ' x  x5 x  x  Phương trình  f  x   '  có nghiệm bội lẻ x  0, x  1 nên số điểm cực trị hàm số y  f  x  Chọn C Nhắc lại: Đạo hàm hàm số hợp ( f (u( x)))'  f '(u( x)).u '( x) hay f x  fu u 'x Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục , có f  ( x)  3x   , x  x2 Mệnh đề đúng? A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có điểm cực trị  0;   C Hàm số điểm cực trị  0;   D Hàm số có hai điểm cực trị Hướng dẫn giải Trang 3 3 Với x  ta có: f '( x)  3x    x  x    3     x 2 x 2 Vậy hàm số khơng có cực trị (0; ) Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y  f ( x) liên tục , có đạo hàm f '( x)   x  x   x3  x  11x   g ( x) với g ( x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ ( g ( x) đồng biến  ; 1 (2;  ) Số điểm cực trị hàm số y  f  x  A B C D Dựa vào đồ thị, phương trình g  x   có nghiệm bội lẻ x  0, x  1, x  nghiệm bội chẵn x  1 Tóm lại, phương trình y '  có x  1, x  0, x  x  nghiệm bội lẻ, nên hàm số có điểm cực trị Chọn D Bài tốn Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng xét dấu, bảng biến thiên đạo hàm Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số y  f ( x) A B C D Hướng dẫn giải Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương lần nên có điểm cực tiểu Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) liên tục có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f ( x) A B C D Hướng dẫn giải Đạo hàm đổi dấu hai lần nên có hai điểm cực trị Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y  f ( x) liên tục có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Trang 10 Dựa vào đồ thị, ta có x  (trong x  x  nghiệm bội lẻ) 1   x   f  x   f  x   2   (3) (4)  3  x  (nghiệm đơn) x  (nghiệm kép)    x  x0  (nghiệm đơn) Vậy phương trình g '  x   có nghiệm bội lẻ nên g  x  có điểm cực trị Suy hàm số y  f  f  x  3  1  20 có điểm cực trị Chọn D Bài tốn Tìm (số điểm) cực trị biết đồ thị hàm số f(x)  Phương pháp giải Bài toán: Cho trước đồ thị hàm số f '  x  Tìm (số điểm) cực trị (đồ thị) hàm số f  u  + Nếu f '  x   có nghiệm x1 , f  (u )   u  xi + Chúng ta cần quan tâm đến nghiệm bội lẻ phương trình - Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x)  f   x  đạt cực tiểu điểm A x  B x  C x  2 Hướng dẫn giải Phương trình f '  x   có nghiệm bội lẻ x  1, x  D x  2 Ta có: g '( x)   f   x  '  2 x f '   x  x  x   Cho g '( x)   3  x  1   x  3  x   x  suy g '  x   có nghiệm bội lẻ x  0, x  2 Vì g '  3  6 f '  6   nên ta có bảng xét dấu g  x  sau: Trang 80 Lưu ý: Do nghiệm đềulà nghiệm bội lẻ, nên g '  x  đổi dấu qua nghiệm Chính mà ta cần biết dấu khoảng suy dấu khoảngcòn lại Do hàm số liên tục, nên cần biết dấu điểm, ta biết dấu khoảng chứa điểm Ở này, ta xét điểm x   (2; ) Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục Số cực trị hàm số A Hướng dẫn giải B Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ C D Ta có: h '  x    x   f '  x  x  x  Dựa vào đồ thị, ta có h ( x)    x  x  1   x  x   Phương trình có nghiệm bội lẻ x  1, x  nên hàm số h  x  có điểm cực trị Chọn C Chú ý: Ta quan tâm đến nghiệm bội lẻ, nên ta bỏ qua nghiệm x= phương trình f '  x   (là nghiệm bội chẵn nên đạo hàm không đổi dấu qua nghiệm này) Ta khơng cần xét đến phương trình x2  x  1 Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ: Biết f  a   f  c   0; f  b    f  e  Số điểm cực trị hàm số g ( x)  [ f ( x  m)]2 A B Hướng dẫn giải C D Trang 81 Từ đồ thị đạo hàm, ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y  f  x  có điểm cực trị, suy hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị f '  x  m   có nghiệm bội lẻ phân biệt Khi f  a   f  c   0; f  b    f  e  đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành điểm phân biệt nên đồ thị hàm số y  f  x  m  cắt trục hoành điểm phân biệt Ta có g ( x)  [ f ( x  m)]2  g '( x)  f  ( x  m) f ( x  m)  f  ( x  m)  1 Cho g '( x)     f  x  m     Phương trình (1) có nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác với nghiệm (1) Vậy g '  x   có nghiệm (bội lẻ) phân biệt hay g(x) có điểm cực trị Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục , hàm số y  f '  x –  có đồ thị hình Số điểm cực trị hàm số y  f  x  A B C D Hướng dẫn giải Ta có số điểm cực trị hàm số y  f  x  với số điểm cực trị hàm số y  f  x   Vì hàm số y  f  x   có điểm cực trị nên hàm số y  f  x  có điểm cực trị Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị y  f '  x   hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f  x  3  Trang 82 A B C D Hướng dẫn giải Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y  f  x  3  với số điểm cực trị hàm số y  f  x  với số điểm cực trị hàm số y  f  x   Ta có đồ thị hàm số y  f '  x –  cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm Số y  f  x –  có điểm cực trị Vậy hàm số y  f  x  3  có điểm cực trị Chọn A Bài toán Biết f '  x  bảng xét dấu, bảng biến thiên f '  x  tìm số điểm cực trị hàm ẩn →Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  ( x)  (4  x)  x3  1  x, x  Số điểm cực tiểu hàm số g ( x)  f  x   x  m A Hướng dẫn giải B C D Ta có g '( x)  x   x  x  1  x   x3  x   x  x  1 x  g '( x)    x  1  x  2 Lập bảng xét dấu g '  x  : Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số g  x  có hai điểm cực tiểu Khi làm trắc nghiệm, ta lập bảng xét dấu thu gọn sau: Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  ( x)  x2 ( x 1)( x  2)4 , x  Số điểm cực trị hàm số g ( x)  f  x  x  1 A B C D Trang 83 Hướng dẫn giải Ta có: g  ( x)  (2 x  1) f   x  x  1  (2 x  1)  x  x  1  x  x   x  x  3 Dễ thấy g '  x   có nghiệm đơn x  2, x   , x  nên hàm số có điểm cực trị Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau: Số điểm cực trị hàm số g ( x)  f ( x)  x3  x  x  2020 A B C Hướng dẫn giải D Ta có: g '( x)  f  ( x)   x  x   Nhận xét: g '  1  g '      x   f ( x)  • Khi    g '( x)   x  x      x  1      f ( x)  • Khi 1  x    g '( x)   x  x       Tức g '  x  đổi dấu qua hai điểm x  1 x  Vậy hàm số g  x  có hai điểm cực trị Chọn B Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm, dựa vào bảng xét dấu để chọn đáp án y '    x  1 x   Sau vào g  x  giải xét dấu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  ( x)  ( x  1)  x  x  với x  Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số f  x  x  m  có điểm cực trị? A 17 Hướng dẫn giải B 16 C 14 D 15 Đặt g ( x)  f  x  x  m  Ta có: f  ( x)  ( x 1)2 x( x  2) suy g '( x)  (2 x  8) f   x  x  m   (2 x  8)  x  x  m  1  x  x  m  x  x  m   x   2  x  x  m  1  1 g '( x)     2  x  8x  m   x  x  m    3  Trang 84 Các phương trình (1), (2), (3) khơng có nghiệm chung đơi (1) có nghiệm nghiệm nghiệm bội chẵn Suy g  x  có điểm cực trị (2) (3) có hai nghiệm phân biệt 16  m  m  16   16  m   m  18   m  16 khác   16  32  m  m  16   16  32  m   m  18 Do m nguyên dương m  16 nên có 15 giá trị m cần tìm Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  ( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)  x  2mx   với X  Có số nguyên m  20 để hàm số g  x   f  x  có điểm cực trị? A Hướng dẫn giải B C D Do tính chất đối xứng qua trục Oy đồ thị hàm số f  x  nên hàm số g  x   f  x  có điểm cực trị  f  x  có điểm cực trị dương  f '  x   có nghiệm bội lẻ phân biệt dương (*) x  x  Xét f '( x)    ( x  3)    x  2mx   1 Để thỏa mãn  *  ta có trường hợp sau: +) 1 có nghiệm kép vô nghiệm  '  m2      m  Do m nguyên nên m  2; 1;0;1; 2 +) 1 có nghiệm dượng phân biệt, nghiệm 1, nghiệm cịn lại khác Ta có 1 nhận x  nghiệm 12  2.1.m    m  3 Khi m  3, vào 1 ta thấy phương trình có nghiệm dương phân biệt x  x  Vậy m  3 thỏa mãn +) 1 có nghiệm dương phân biệt, nghiệm 2, nghiệm cịn lại khác Nếu 1 nhận x  nghiệm 22  2.2.m    m    Trường hợp khơng có giá trị ngun m thỏa mãn Vậy m  3; 2; 1;0;1; 2 Chọn A Chú ý: Khi phương trình f  x   nhận x  x0 nghiệm f  x0   Sau tìm m, ta cần thử lại Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục bảng xét dấu đạo hàm sau Trang 85 Hàm số g ( x)  f   x  x    x  3x  12 x có tất điểm cực tiểu? A Hướng dẫn giải B.0 C D   Ta có: g '( x)  12 x  x    f  2   x     x  1   Dựa vào bảng xét dấu, ta có f  ( x)  0, x  (; 2)  (2; )     2 Ta có 2  x   2 nên  f  2  x            x Suy f '  2  x    x   0, x    x  Do g '( x)    , nghiệm nghiệm bội lẻ x    Vì 12 f ' 2  x  2  1  nên g '  x  dấu với h( x)  x  x   nên dễ thấy hàm số g  x  có hai điểm cực tiểu Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Số cực đại hàm số g ( x)   f  x  x   A Hướng dẫn giải B C D  x   2 Ta có g '( x)  2.(4 x  1) f '  x  x  f  x  x     f '  x  x     f  x  x     x  1  x  x  2  Dựa vào bảng biến thiên, ta có f '  x  x     x  2 x  x   Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f ( x)   x  x0  Khi f  x  x    x  x  x0  Vì ac    x0   nên phương trình ln có nghiệm trái dấu  x0  x0 1 x1    ; x2    4 4 Trang 86  x0  x0 1 Ta có x1     1; x2     , x0  4 4 Ta có bảng xét dấu g '  x  : Từ suy hàm số g  x  có điểm cực đại Bình luận: Thực không cần phải so sánh x1 , x2 với 1, , ta cần biết nghiệm bội lẻ, phân biệt kiểm tra xem đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm lần Để xét dấu, ta để ý qua nghiệm bội lẻ đạo hàm đổi dấu Cơng việc cịn lại cần xét dấu khoảng (do hàm liên tục) Do lúc không so sánh nghiệm, nên ta cho x   nên (4 x  1)   , f '  x  x    f  x  x    nên g '  x   khoảng nghiệm lớn đến  ta có bảng xét dấu g '  x  bên Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy dấu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm lần nên có hai điểm cực đại Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục , có bảng biến thiên f '  x  hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g ( x)  f  x3  3x   x5  x3  3x  20 đoạn  1;  A B C D Hướng dẫn giải Ta có: g '  x    x  1 3 f '  x3  3x   x  3 Dễ thấy x   1;   x3  3x    2; 2 f '  x  3x    3;1 Suy f '  x  x   x     f '  x  3x   Dấu "  " xảy   f (0)  (vô lý)  x  Vậy f '  x3  3x   x   0, x   1; 2 Khi g '( x)   x  1 (đều nghiệm đơn) Bảng xét dấu g '( x ), x   1; 2 Trang 87 Vậy hàm số g ( x)  f  x3  3x   x5  x3  3x  20 đoạn  1;  có điểm cực trị Chọn C Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1 x   x   x   với x  Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g ( x)  f ( x)  mx có điểm cực trị? A B C.7 Hướng dẫn giải Ta có g '( x)  f '( x)  m D Cho g '( x)   f '( x)  m    x  x   x  x    m  Đặt t  ( x  3)2 , t  0, phương trình trở thành: (t  4)(t  1)  m   t  5t   m  1 Hàm số g  x   f  x   mx có điểm cực trị 1 có nghiệm dương phân biệt   25  4(4  m)    S      m  4 P   m     Do m nguyên m    ;  nên m  2; 1; 0;1; 2;3   Chọn B Ví dụ 10 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '( x)  x  x2 , x   8;  Có tất giá   trị nguyên tham số m để hàm số g ( x)  f ( x)  m2 x  2m có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Hàm số g ( x)  f ( x)  m2 x  2m xác định   8;  Đạo hàm g '( x)  f '( x)  m2  x  x  m2 Hàm số g ( x)  f ( x)  m2 x  2m có điểm cực trị g '  x   có nghiệm phân biệt g '  x  đổi dấu qua nghiệm 1 Ta có: x  x  m2   x  x  m2 * Xét hàm số h( x)  x  x2 , x   8;    Có h '( x)   x2  x2 Cho h '( x)   x  2 Bảng biến thiên hàm h  x  : Trang 88 Dựa vào bảng biến thiên, suy  *  có tối đa nghiệm hay g '  x   có tối đa nghiệm 2  m  Vậy 1   m     m  Vì m nguyên nên m  1;1 Chọn D  Bài tập tự luyện dạng Câu : Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đạo hàm y  f '  x  hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng  12;12  cho hàm số y  f ( x)  mx  12 có điểm cực trị? A 16 B 20 C 18 D 19 Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '( x)  ( x  3)( x 1)( x  2), x  ,và hàm số y  g ( x)  f ( x)  2x3  3(m  1) x2  6(m  2) x  2019 Gọi S  (; a)  (b; c) với a, b, c  tập tất giá trị thực tham số m để hàm số y  g  x  có ba cực trị Giá trị a  2b  3c A 12 B 16 C 14 D 18 Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm f '( x)  ax  bx  c hình bên với a, b, c  Hàm số g  x   f  x  x   có điểm cực trị? A B C D Trang 89 Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Hàm số g ( x)   f ( x)  A điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực tiểu, điểm cực đại D điểm cực đại, điểm cực tiểu Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '( x)  x  x  3x   x  x  với x  Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  f  x  16 x  2m  có điểm cực trị? A 30 B 31 C 32 D 33 C D 25 Câu 6: Cho hàm số f  x  có f '( x)  x  x  1  x  2mx   Có số nguyên m   21; 20 cho hàm số g  x   f  x  có điểm cực trị? A B 24 Câu : Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '( x)  x  x  1  x  2mx   Có giá trị nguyên 2 m để hàm số f  x  có điểm cực trị? A B C Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  D có đồ thị hàm số f '  x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x3  3x   có điểm cực trị? A B Câu 9: Cho hàm số y  f  x  liên tục C D có đồ thị đạo hàm f '  x  hình vẽ Trang 90 Đồ thị hàm số g  x   f  x  x  có điểm cực đại? A B C D Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục có bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số g  x   15 f   x  x    10 x  15 x  60 x đạt cực tiểu điểm x0  Chọn mệnh đề   A x0    ; 2    3  B x0   2;   2    C x0    ; 1   Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục Xét hàm số g g  x   f  x    A x  D x0   1;0  có đồ thị y  f '  x  hình vẽ x  3x Hàm số g  x  đạt cực đại điểm B x  C x  1 2 Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '( x)  x3  x  x  3, x  9 D x  Số điểm cực trị hàm số y  g  x   f  x    x  1 A B C Câu 13: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên D Trang 91 Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x   f  x   f  x   A B C D Câu 14: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số h  x   f  x   f  x    m có điểm cực trị? A B Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm C D có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x đạt cực đại điểm đây? A x  B x  C x  1 D x  Câu 16: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức bậc bốn có f 1  đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ Trang 92 Số điểm cực trị hàm số g ( x)   f  x  x  A B C Câu 17: Cho hàm số y  f  x  liên tục D có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ Có giá trị ngun tham số m để hàm số g  x     f  x  1  m có điểm cực trị?   A B C D Vô số Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x có đồ thị hình vẽ bên  f  x  A B C D Câu 19: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục , có đồ thị hình vẽ Biết hàm số đồng biến  ; 4  nghịch biến  2;   Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x   f  x  Trang 93 A B C Câu 20: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm D , có đồ thị y  f '  x  hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  A B C 11 D ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-D 4-A 5-B 6-D 7-B 8-B 9-B 10-C 11-A 12-D 13-C 14-C 15-C 16-A 17-D 18-A 19-D 20-C Trang 94 ... x1.x2  4 Khi S   x1 x2   16 x 12  x 22   16   x1 x2   16 x 12 x 22  16  2 Dấu "=" xảy 16 x 12  x 22  x2  4 x1  m  3 Chọn D Bài toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số. .. A Hàm số cho có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại B Hàm số cho có điểm cực đại có điểm cực tiểu C Hàm số cho có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu D Hàm số cho khơng có cực trị Câu 6: Hàm số. .. Khi hàm số có cực trị: a  điểm cực trị điểm cực tiểu; a  điểm cực trị điểm cực đại + Đồ thị hàm số y  ax  bx  c có nhiều điểm cực trị (bảy cực trị) đồ thị hàm số f ( x)  ax4  bx2  c có