TOAN 11 LE HONG PHONG DEDA thanh le

Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Họ tên học sinh:………………………… Số báo danh: ……………………………… ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II Mơn: Tốn – Lớp 11 – Tự luận Thời gian làm bài: 90 phút (8 câu) Ban: A – B Học sinh viết câu vào giấy làm bài: “Đề thi dành cho lớp 11CT, 11CL, 11CH, 11CS, 11CTi, 11A, 11B” x2 − x + lim x →1 x − x + Câu 1: (1 điểm) Tính m Câu 2: (1 điểm) Tìm tất giá trị tham số để hàm số  x2 + x + − x2 −  (khi x > 1) f ( x) =  x2 − m (khi x ≤ 1)  Câu 3: (1 điểm) Chứng minh phương trình m nghiệm với tham số (x liên tục ¡ x + x + mx + x ( 2m − 1) + m sin ( π x ) = − 5x + 2) Câu 4: (1 điểm) Giải bất phương trình ( có ) x + x − ≥ Câu 5: (1 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a x − 3x + f ( x) = x −1 b f ( x ) = sin x + x Câu 6: (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số d : y = x + tuyến song song đường thẳng y= Câu 7: (1 điểm) Cho hàm số a x y′ − y ( x + ) = x x +1 y = x3 − 3x + Chứng minh: b x y′′ + y′ ( x − y ) − y = biết tiếp Câu 8: (3 điểm) Cho hình chóp SAB cạnh AB trung điểm a S ABCD MD hình chữ nhật Biết tam giác AD = a Gọi H SH ⊥ ( ABCD ) b Tính góc đường thẳng c Gọi ABCD nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, a Chứng minh M có đáy trung điểm SC SC mặt phẳng ( ABCD ) Tính khoảng cách đường thẳng HC ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Nội dung Điểm x − 5x + x →1 x − x + lim Tính 2 x − 5x + lim x →1 x − x + ( x − 1) ( x − 3) = lim x →1 x − x − x − ( )( ) 0.5 Chú ý: tử số hay mẫu số cho 0.25 2x − = lim x →1 x − x − = 0.25 0.25 m Định để hàm số ¡  x2 + x + − 2x2 −  (khi x > 1) f ( x) =  x2 − m (khi x ≤ 1)  f (1) = m liên tục 0.25 lim− f ( x) = lim− m = m x →1 x →1 lim+ f ( x) = lim+ x →1 x →1 x2 + x + − 2x2 − x2 −1 0.25 x + x + − − (2 x − 2) x2 −1  x2 + x − ÷ x + x + + − 2÷ ÷ x2 −1 ÷  = lim+ x →1   = lim+  x →1     = lim+  x →1    = lim+  x →1   (  − 2÷ ÷ 2 x + x + + ( x − 1) ÷  (  − 2÷ = − ÷ x + x + + ( x + 1) ÷  ( x − 1)( x + 2) ) ( x + 2) f ( x ) = m ∀x ∈ ( −∞;1) nên f ( x) liên tục x2 + x + − x2 −1 ∀x ∈ ( 1; +∞ ) x2 −1 f ( x) = f ( x) ) liên tục ¡ ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (1) x →1 nên f ( x) f ( x) x0 ∈ ( −∞;1) 0.25 liên tục liên tục x =1 x0 ∈ ( 1; +∞ ) 0.25 x →1 ⇔m=− Nếu học sinh không lập luận ý liên tục khoảng mà làm liên tục x =1 ( −∞;1) ( 1; +∞ ) cho tối đa 0.75 x + x3 + mx + x ( 2m − 1) + m sin ( π x ) = 1 Chứng minh phương trình m nghiệm với Cách 1: x + x + mx + x ( 2m − 1) + m sin ( π x ) = có 0.25 ⇔ x + x3 − x − + m ( x + sin π x + x ) = Đặt f ( x ) = x + x3 − x − + m ( x + sin π x + x ) Ta có: f ( x) f ( 1) = 3m f ( −1) = −m liên tục ¡ 0.25 ; 0.25 ⇒ f ( 1) f ( −1) = −3m ≤ 0.25 Suy phương trình ln có nghiệm Cách 2: x + x + mx + x ( 2m − 1) + m sin ( π x ) = 0.25 f ( x ) = x + x3 − x − + m ( x + sin π x + x ) 0.25 ⇔ x + x3 − x − + m ( x + sin π x + x ) = Đặt Ta có: f ( x) f ( ) = −1 liên tục ¡ ; 0.25 f ( −2 ) = ⇒ f ( ) f ( −2 ) = − < 0.25 Suy phương trình ln có nghiệm (x Giải bất phương trình Cách 1: f ( x ) = ( x − 3x + ) Đặt Tập xác định: f ( x) ( − 3x + ) x + 3x − liên tục 0.25 Bảng xét dấu: Kết luận: Cách 2: (x 0.25 x ≤ −4 ∨ x ≥ ∨ x = − 3x + ) ( 0.25 [ 0; +∞ ) f ( x ) = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = −4 x + 3x − ≥ ) D = ( −∞; −3] ∪ [ 0; +∞ ) ( −∞; −3] ) ( ) x + 3x − ≥  x − 3x + ≥  x − 3x + ≤ ⇔ ∨ 2  x + 3x − ≥  x + 3x − ≤ 0.25 0.25 5a x ≤ 1∨ x ≥ 1 ≤ x ≤ ⇔ ∨  x ≤ −4 ∨ x ≥ −4 ≤ x ≤ −3 ∨ ≤ x ≤ 0.5 ⇔ x ≤ −4 ∨ x = ∨ x ≥ 0.25 Học sinh giải hệ cho 0,25, giao nghiệm 0,25 Học sinh giải bất phương trình bậc cho thêm 0,25 (tổng điểm 0.5) Tính đạo hàm hàm số sau: x − 3x + f ( x) = x −1 a 0.5 f ′( x) = 0.5 x2 − 2x + ( x − 1) Chú ý: học sinh không cần thu gọn cho đủ điểm 5b b f ( x ) = sin x + x 0.5 cos x + x 0.5 f ′( x) = sin x + x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số d : y = x + tuyến song song đường thẳng Ta có: Gọi x0 y = x3 − 3x2 + biết tiếp y′ = 3x − x 0.25 0.25 hoành độ tiếp điểm, Tiếp tuyến song song d ⇒ y ′ ( x0 ) = Chú ý: học sinh ghi dấu “ ⇔ ” tha khơng trừ điểm 0.25 ⇒ x − x0 = ⇒ x0 = −1 ∨ x0 = x0 = −1  : Phương trình tiếp tuyến là: x0 = y = 9x + (loại) 0.25 y = x − 25 : Phương trình tiếp tuyến là: (nhận) Chú ý: học sinh không loại tối đa 0.75 x y= x y′ − y ( x + ) = x +1 Cho hàm số Chứng minh:  7.a y′ = x+2 x +1 = x +1 ( x + 1) x + 0.5 0.25 x +1 − x ; x y′ − y ( x + ) = x3 x+2 x3 − ( x + 2) = ( x + 1) x + ( x + 1) x + x y′′ + y′ ( x − y ) − y = 7.b 0.25 0.5 Chứng minh: x y′ − y ( x + ) = 0.25 ⇒ x y′ + x3 y′′ − y y′ ( x + ) − y = y′′ Chú ý: Nếu học sinh tính tiếp cho 0.25 2 ⇒ x y′′ + y′ ( x − y ( x + ) ) − y = 0.25 ⇒ x y′′ + y′ ( x − y ( x + 1) − y ) − y = ⇒ x y′′ + y′ ( x − x − y ) − y = ⇒ x y′′ + y′ ( x − y ) − y = 8a S ABCD ABCD Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật Biết tam giác SAB a cạnh nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, SH ⊥ ( ABCD ) AD = a AB H Gọi trung điểm Chứng minh ∆SAB Ta có: ⇒ SH ⊥ AB 0.5 ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ AB   SH ⊂ ( SAB )  8b Tính góc đường thẳng SC 0.5 mặt phẳng ( ABCD ) 0.25 Ta có: ( HC hình chiếu ) ( ) SC lên · , ( ABCD ) = SC · ; HC = SCH · ⇒ SC (vì ( ABCD ) · SCH < 90o ) HC = BH + BC = Ta có: SH = Gọi HC 0.25 a · tan SCH = 8c 0.25 3a SH = · HC ⇒ SCH = 30o M trung điểm MD SC 0.25 Tính khoảng cách đường thẳng 0.25 Dựng Dựng Ta có: DF / / CH ME / / SH , , F ∈ AB E ∈ CH CH / / ( MDF ) , MD ⊂ ( MDF ) ⇒ d ( MD, CH ) = d ( CH , ( MDF ) ) = d ( E ; ( MDF ) ) Chú ý: Học sinh dựng mặt phẳng chuyển khoảng cách đường thẳng thành khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho 0.25 Dựng EG ⊥ FD G , EK ⊥ MG K 0.25 Ta có: Ta có: DF ⊥ EG , DF ⊥ ME ⇒ DF ⊥ ( MEG ) ⇒ DF ⊥ EK EK ⊥ DF , EK ⊥ MG ⇒ EK ⊥ ( MDF ) ⇒ d ( E; ( MDF ) ) = EK Chú ý: Học sinh dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho 0.25 FD = CH = Ta có: ⇒ EG = Ta có: 3a , SCDFH = S ABCD = a 2 0.25 SCDFH 2a = DF 1 16 155 = + = 2+ = 2 EK EG EM 8a 3a 24a ⇒ d ( MD, CH ) = EK = a 24 155 0.25