Giải phương trình ax bx c Sử dụng cơng thức nghiệm: Tính b2 4ac ( ' b '2 ac ) : Nếu phương trình có nghiệm phân biệt: b b ; x2 2a 2a Nếu phương trình có nghiệm b kép x1 x2 2a Nếu phương trình vơ nghiệm Nhẩm nghiệm : x x m n x1 m + Dùng Vi-Ét: x1.x2 m.n x2 n x1 x1 + Nếu a b c c x2 a x1 1 + Nếu a b c c x2 a a b S Tìm hai số biết tổng – tích: ab P ( với S 4P ) Khi a, b nghiệm phương trình: x2 Sx P Tìm m để phương trình có nghiệm x0 Ta thay x x0 vào phương trình để tìm m, sau đo thay m tìm trả lại phương trình giải , kiểm tra kết luận Chứng minh phương trình ln có nghiệm – vơ nghiệm: - Xét a m kiểm tra - Xét a Nếu với m a.c phương trình ln có nghiệm Nếu phương trình vơ nghiệm Phương trình có hai nghiệm phân biệt – nghiệm kép a PT có hai nghiệm phân biệt : a PT có nghiệm kép : TỔNG HỢP CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC Mối liên hệ x1 , x2 Giải biện luận ax2 bx c + Xét a m , với m tìm thay vào phương trình để kiểm tra xem có nghiệm b x1 x2 a không Định lí Vi – Ét: + Xét a , tính b2 4ac ( tính ' ) x x c - Nếu , suy điều kiện m, suy phương trình vơ nghiệm; a b Các công thức liên hệ x1 , x2 : - Nếu , suy m, suy phương trình có nghiệm kép x ; 2a 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 b b 2 - Nếu , suy m, suy phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 x1 x2 x1 x2 4x1 x2 2a 2a 3 Phương trình có hai nghiệm dương phân Tìm m để phương trình có x1 x2 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 biệt ( nằm bên phải Oy) nghiệm dương x14 x24 x12 x22 x12 x22 Các em phải xét TH: TH1: Xét a m kiểm tra a 0; 1 x1 x2 TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu b x1 x2 x1 x2 0 TH3: Phương trình có hai nghiệm dương x1 x2 a phân biệt x1 x2 x1 x2 x1 x2 c TH4: Phương trình có nghiệm kép dương x1 x2 a x12 x22 x1 x2 x1 x2 TH5: có nghiệm dương, nghiệm 3 2 Phương trình có nghiệm dương x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 TH1: a m kiểm tra x14 x24 x12 x22 x12 x22 a 0; 6 2 2 a 0; x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x2 TH3: Xét phương trình có b TH2: Xét phương trình có hai Nếu phương trình: ax bx c 0 c 2a có hai nghiệm x1 ; x2 0; a nghiệm kép dương S x1 x2 ; P x1 x2 thì: TH4: Phương trình có nghiệm nghiệm trái dấu x12 x1 x2 x1 x1.x2 S.x1 P nghiệm dương x13 S P x1 S.P x S 2SP x1 P S P Lập phương trình bậc hai biết nghiệm + Nếu phương trình có hai nghiệm S a b Phương a, b ta tính P a.b trình cần tìm: x2 S.x P + Nếu hai nghiệm f x1 ; f x2 ta S f x1 f x2 tính : P f x1 f x2 Phương trình cần tìm: x2 S.x P Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (hai nghiệm nằm bên trái trục tung) a 0; b 0 x1 x2 a c x1 x2 a Tìm m để phương trình có nghiệm âm Các em xét TH: TH1: Xét a m kiểm tra TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu TH3: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt TH4: Phương trình có nghiệm kép dương TH5: có nghiệm âm, nghiệm TỔNG HỢP CƠNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122 Phương trình có nghiệm âm Phương trình có hai nghiệm trái dấu + Cùng dấu (nghiệm nằm hai phía Oy) Phương trình có hai nghiệm trái dấu : Hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá TH1: a m kiểm tra a 0; a a 0; a 0; TH3: Xét phương trình có 0 trị tuyệt đối lớn hơn: TH2: Xét phương trình có hai b 0 c c c b 2a x1 x2 0; 0 0; a a a a nghiệm kép âm TH4: Phương trình có nghiệm Phương trình có hai nghiệm phân biệt Hai nghiệm trái dấu mà nghiệm dương có nghiệm trái dấu nghiệm âm giá trị tuyệt đối lớn hơn: Tìm m để phương trình có nghiệm Phương trình có hai nghiệm đối a 0; Ta xét TH: Phương trình có hai nghiệm đối : a 0; dấu khi: TH1: a m kiểm tra a 0; c 0 0 a c b TH2: a 0; 0 S 0; P a a Phương trình có hai nghiệm nghịch Hệ thức x1 , x2 khơng phụ thuộc m Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đảo Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo a a Điều kiện có nghiệm : Phần 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : điều kiện bị ẩn 0 a0 - Dựa vào định lý Viet : câu hỏi ( điều kiện căn, mẫu số, cạnh tam giác ) khi: 0 Phần 2: Ưu tiên hàng đầu cho dạng toán nhẩm nghiệm Khi nhẩm nghiệm xong b S x1 x2 kiểm tra xem có phải chia trường hợp khơng Nếu không nhẩm nghiệm ta biến c a x1 x2 theo m đổi điều kiện thay Vi – Ét a P x x c Chứng minh có PT có nghiệm a Tìm m để phương trình a1 x b1 x c1 a2 x b2 x c2 có nghiệm chung - Rút m theo S P Cách : ( Dùng phương pháp cộng Cách 1: - Tính 1 ; - Khử m tìm hệ thức có S P, - Giả sử x nghiệm chung, lập hệ phương để khử m, tìm x) - Chỉ 1 1 S x1 x2 - Rút tham số từ phương trình cho ta hệ thức trình ( ẩn x tham số ) nên có biệt số khơng âm (chú ý thay - Thế giá trị tham số vào phương trình P x1 x2 đến giả thiết) - Giải hệ phương trình tìm x , tìm tham số cịn lại tìm x x1 , x2 không phụ thuộc vào m - Thử lại : Thay giá trị tham số vào - Thay giá trị x tìm m Tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức chứa x1 , x2 phương trình, giải phương trình, tìm nghiệm - Rút kết luận chung a - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: - Rút kết luận Phương trình có hai nghiệm phân biệt ngun b Cách 1: x1 x2 a - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt - Dùng định lí Vi Ét để tính: - Tính x1 x2 tìm m để x1 ; x2 số nguyên c x x a Cách 2: Dùng Vi ét để tìm hệ thức x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m tìm biến đổi b biểu thức x1 x2 a Cách 3: Rút m theo x đưa toán - Thay vào biểu thức để tìm GTNN; GTLN x x c a TỔNG HỢP CƠNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC So sánh số với nghiệm phương trình ax2 bx c PT có nghiệm x1 x0 x2 PT có nghiệm x0 x1 x2 PT có nghiệm x1 x2 x0 (Dùng cho lớp 10) a 0; 0 Cách 1: (Dùng cho lớp 9) x1 x2 x0 x1 x0 x2 x0 a 0; 0 Cách 2: (Dùng cho lớp 10) x1 x2 x0 a f x0 a 0; 0 Cách 1: (Dùng cho lớp 9) x1 x2 x0 x1 x0 x2 x0 a 0; 0 Cách 2: (Dùng cho lớp 10) x1 x2 x0 a f x0 PT có nghiệm x1 c b x2 PT có nghiệm x1 c x2 b PT có nghiệm c x1 b x2 a 0; 0 Cách 1: x x x x ( Dùng cho lớp 9) a 0; Cách 2: a f x 0 a Cách 1: x1 c x2 c x b x b a Cách 2: a f b a f c a Cách 1: x1 c x2 c x1 b x2 b x x 2b a Cách 1: x1 c x2 c x1 b x2 b x x 2c a Cách 2: a f b Cách 2: a f c x x 2b Phương trình bậc ba ax3 bx2 cx d Phương trình có nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm Nhẩm nghiệm x0 đưa phương Đưa phương trình dạng: x x0 ax2 bx c trình dạng: x x0 ax2 bx c Để phương trình có nghiệm : Để phương trình có nghiệm phân biệt TH1: f x ax bx c phải có nghiệm kép : f x ax bx c phải có hai nghiệm phân a0 x0 m f x 0 biệt khác a0 khác x0 m b x0 2a TH2: f x ax2 bx c hai nghiệm phân biệt , a0 nghiệm x0 m f x 0 a a f b a f c x x 2c Phương trình có nghiệm Nhẩm nghiệm x0 đưa phương trình dạng: x x0 ax2 bx c Để phương trình có nghiệm : TH1: f x ax2 bx c vô a m nghiệm TH2: f x ax2 bx c có a0 nghiệm kép x0 m b x0 2a PT có nghiệm x1 x2 x0 Trường hợp 1: Phương trình có x x0 nghiệm x1 x0 + Thay x2 x0 vào phương trình để tìm m, thay m trả lại phương trình để tìm nghiệm cịn lại kết luận Trường hợp 2: Phương trình có nghiệm x1 x2 x0 ( giải bảng bên cạnh) Tương tự cho tốn: x0 x1 x2 PT có nghiệm c x1 x2 b a Cách 1: x1 c x2 c x1 b x2 b 2c x x 2b a Cách 2: a f b a f c 2c x x 2b TỔNG HỢP CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC Phương trình bậc trùng phương ax4 bx2 c Cách giải Đặt t x2 t 0 Suy at bt c (2) Giải phương trình (2) suy t, sau kiểm tra điều kiện t thay vào x t để tìm x ý x t x t Phương trình có nghiệm Đặt t x2 t 0 Suy at bt c (2) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt a ; b Suy ra: 0 m a c a Phương trình có nghiệm Đặt t x2 t 0 Suy at bt c (2) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm có nghiệm 0, nghiệm dương : a ; b S m kiểm tra lại a c P a Phương trình vơ nghiệm Để phương trình (1) vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm phân biệt âm 0 m S P Phương trình có nghiệm Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm kép nghiệm nghiệm P âm ⇔ m S P Phương trình ( x a )( x b)( x c )( x d ) m với a b c d Đặt t x (a b) x , đưa phương trình bậc hai (t ab)(t cd) m Ví dụ: x 3 x 2 x 1 x 6 84 x 3 x 6 x 2 x 1 84 x2 3x 18 x2 3x 84 Đặt x 3x a Phương trình (1) có dạng: a 18 a 2 84 Phương trình hồi quy ax4 bx3 cx2 dx e mà ad eb2 d t đưa phương trình Đặt b Kiểm tra x có phải nghiệm phương trình khơng chia hai vế cho t t2 t x ta được: a x b x c Sau đặt x a x x x Phương trình dạng ( x a)4 ( x b) c ab , đưa phương trình trùng phương theo t Chú ý: ( x y)4 x x3 y x y xy3 y Đặt t x 1 Phương trình có hai nghiệm Đặt t x2 t 0 Suy at bt c (2) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có : TH1: Xét a suy m, thay m trả lại kiểm tra TH2: Có nghiệm kép dương: a ; b 0 m a c a a ; TH3: Có hai nghiệm trái dấu: m c 0 a Phương trình dạng x a x b x c x d rx2 với ab cd Đưa phương trình dạng: x2 a b x ab x c d x cd rx Kiểm tra x có phải nghiệm phương trình khơng chia hai vế cho x ab ab cd x x a b x x c d r ( ý tách x x.x ) Đặt t x x Ví dụ: x2 3x x2 x 18 168x x 1 x 2 x 3 x 6 168x2 x2 x 6 x2 5x 168x2 Nhận xét: x nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình (1) cho x 6 6 ta được: x x 168 Đặt x t x x x t t Phương trình có dạng: t t 5 168 t 12t 133 t 19 Phương trình ax bx cx bx a Nhận xét x nghiệm phương trình 1 Với x , chia vế phương trình cho x ta được: a x b x c x x Đặt t x , đưa phương trình bậc hai theo t x ... 84 x 3? ?? x 6 x 2? ?? x 1 84 x2 3x 18 x2 3x 84 Đặt x 3x a Phương trình (1) có dạng: a 18 a 2? ?? 84 Phương trình hồi quy ax4 bx3 cx2 dx e... b 2c x x 2b a Cách 2: a f b a f c 2c x x 2b TỔNG HỢP CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC Phương trình bậc trùng phương ax4 bx2 c ... 2b Phương trình bậc ba ax3 bx2 cx d Phương trình có nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm Nhẩm nghiệm x0 đưa phương Đưa phương trình dạng: x x0 ax2 bx c trình