Đề kiểm tra kiến thức toán 12 năm 2020 trường THPT chuyên KHTN hà nội

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM 2020 Thời gian làm bài: 90 phút BỘ MƠN CHUN TỐN (Đề gồm có trang) Mã đề : 002 Học sinh: Câu 1.√ Môđun số phức z = + 2i A B C √ 13 D 13 Câu Trong nhóm có nam nữ Số cách chọn hai người có nam nữ A 10 B 45 C 90 D 24 Câu Nghiệm phương trình 2x+3 = A x = −1 B x = −5 C x = D x = Câu Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 1) bán kính A (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = B (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 2 2 C (x + 1) + (y − 2) + (z + 1) = D (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = Câu Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên Hàm số cho đồng biến khoảng A (−∞; 1) B (3; +∞) 2n + Câu lim n+1 A B C (1; 3) D (−2; 2) D − Câu Trong không gian Oxyz, điểm thuộc mặt phẳng (xOy) ? A M (0; 1; 2) B N (2; 0; 1) C P (0; 0; 1) D Q(2; 1; 0) A 1 g(x)dx = −1 Giá trị f (x)dx = Câu Cho C −1 B [f (x) − g(x)]dx C −2 D −1 Câu Hàm số có đồ thị hình bên ? A y = x4 − 2x2 − B y = −x4 + 2x2 − C y = x3 − 3x − D y = −x3 + 3x − Câu 10 Với số thực dương a, b a, b = 1, giá trị loga b A − logb a B ab C D ba logb a Trang 1/5    x = −1 + t, Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y = + 2t, Phương trình tắc  z = − t d y+1 z+2 x−1 y−2 z+1 x−1 = = B = = A −1 −1 x+1 y−1 z−2 x+1 y+2 z−1 C = = D = = −1 −1 Câu 12 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên Giá trị cực đại hàm số cho A B C −1 D +∞ Câu 13 Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D tích 12, đáy ABCD hình vng tâm O Thể tích khối chóp A BCO A B C D ➀ ❶ Câu 14 Họ nguyên hàm dx 2x + x 1 D x2 − + C A 4x2 + ln |x| + C B x2 + ln |x| + C C 4x2 − + C x x Câu 15 √ 36π Bán kính khối cầu cho √ Cho khối cầu tích B C D A Câu 16 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên Số nghiệm phương trình 2f (x) − = A B C D Câu 17 Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B điểm biểu diễn số phức + 2i −2 + i Mệnh đề ? A Tam giác OAB tù B Tam giác OAB C Tam giác OAB vuông không cân D Tam giác OAB vuông cân    x = + t, Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −1; 2) đường thẳng d :  y = − t,  z = + 2t Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với d A x − y + 2z + = B x − y + 2z − = C x + y + z − = D x + y + z + = Câu 19 Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) = x3 − 2x2 + x + đoạn [0; 2] Giá trị M + m 58 112 C D A B 27 27 Trang 2/5 Câu 20 Tập xác định hàm số y = (3x − x2 − 2) A (−∞; 1) ∪ (2 + ∞) B (1; 2) C [1; 2] D (−∞; 1] ∪ [2 + ∞) Câu 21 Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z +2z+4 = Giá trị |z1 |2 +|z2 |2 +|z1 −z2 |2 √ C 12 D 20 A 16 B + x−1 y−2 z+1 Câu 22 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = Vectơ vectơ phương đường thẳng vng góc với d song song với mặt phẳng (Oxy) ? A ★✔ u = (0; −1; −2) B ★✔ u = (2; −1; 0) C ★✔ u = (−1; 0; 1) D ★✔ u = (−1; 1; −1) Câu 23 Cho hình chóp tứ giác √ S.ABCD có 3a cạnh đáy a cạnh bên Góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) A 300 B 450 C 600 D 900 Câu 24 Cho hàm số f (x) = −x4 + 4x2 + Giá trị cực tiểu hàm số cho A B C D −1 Câu 25 Số nghiệm phương trình log3 (x − 1)2 + log√3 (2x − 1) = A B C D √ Câu 26 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh 2a Thể tích khối nón có đỉnh S đường trịn đáy đường tròn nội tiếp tứ giác√ABCD √ πa3 πa3 2πa3 2πa3 B C D A 6 √ 2x − x2 + Câu 27 Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = x−1 A B C D Câu 28 Cho số a, b, c thỏa mãn loga = 2, logb = logabc = Giá trị logc 15 1 C D A B 2x Câu 29 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e ; y = x = 0; x = e4 e4 e4 − A − e B − C D 2e4 − e 2 Câu 30 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh √ a 2, SA⊥(ABCD) SA = a (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) √ √ √ a a a a A B C D 2 Câu 31 Từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 19, chọn ngẫu nhiên hai thẻ Xác suất để tích hai số ghi hai thẻ chọn số chẵn 15 14 A B C D 19 19 19 19 Trang 3/5 Câu 32 Họ nguyên hàm x3 + x2 − dx x2 + x − x2 x2 + ln |x − 1| − ln |x + 2| + C B + ln |x − 1| − ln |x + 2| + C 2 x2 C − ln |x − 1| + ln |x + 2| + C D x − ln |x − 1| + ln |x + 2| + C Câu 33 Cho hình nón có đường sinh a góc đỉnh 90◦ Cắt hình nón mặt phẳng qua đỉnh hình nón tạo với mặt đáy hình nón góc 60◦ ta thiết diện diện tích √ có √ √ √ 2a2 2a 6a 2a2 A B C D 3 A Câu 34 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f (x2 − 1) có điểm cực trị ? A B C D Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm SB SD Sin góc hai mặt phẳng (AM N√ ) (SBD) √ √ 2 B C D A 3 3 mx + Câu 36 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = nghịch biến khoảng x+m (0; +∞) ? A B C D Câu 37 Có giá trị nguyên tham số m (−10 < m < 10) để phương trình log(mx) = log(x + 1) có nghiệm ? A B C 10 D (x + e−x )e2x dx = a + be + ce2 với a, b, c ∈ Q Giá trị a + b + c Câu 38 Cho A B C − D x−1 Câu 39 Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : = z x+1 y+1 z−2 x−1 y−2 z−3 y+2 = cắt hai đường thẳng d1 : = = ; d2 : = = −1 −1 −1 x−1 y z−1 x+1 y+1 z−2 A = = B = = 1 −1 −1 −1 x−1 y−2 z−3 x−1 y z−1 C = = D = = 1 −1 −1 √ Câu 40 Xét số phức z thỏa mãn |z + − 2i| = 2, giá trị lớn |z + 1|2 − |z − i|2 A B C 10 D Câu 41 Cho tham số thực m, biết phương trình 4x − (m + 4)2x + = có hai nghiệm thực x1 ; x2 thỏa mãn (x1 + 2)(x2 + 2) = Giá trị m thuộc khoảng ? A (3; 5) B (5; +∞) C (1; 3) D (−∞; 1) Câu 42 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(3; 2; 4) C(0; 5; 4) Xét điểm M (a; b; c) ★✥✥✥✥✥✔ ★✥✥✥✥✥✥✔ ★✥✥✥✥✥✔ thuộc mặt phẳng (Oxy) cho |M A + M B + 2M C| đạt giá trị nhỏ Tọa độ điểm M A (1; 3; 0) B (1; −3; 0) C (3; 1; 0) D (2; 6; 0) Trang 4/5 Câu 43 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x2 + mx + 2m có hai điểm cực trị A, B tam giác OAB vuông O Tổng tất phần tử x+1 S A B C D Câu 44 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vng cân C, AB = 2a góc tạo hai mặt phẳng (ABC ) (ABC) 600 Gọi M, N trung điểm A C BC √ Mặt phẳng (AM N ) chia√khối lăng trụ thành hai √ phần Thể tích phần √ nhỏ 3 3 3a 6a 6a 3a B C D A 24 24 Câu 45 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau √ √ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x − − 1) + x + − x − = m có hai nghiệm phân biệt ? A B C D Câu ⑩46.❿ Cho hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (0; +∞) thỏa mãn f (x) = x[sin x + f (x)] + cos x π π = Giá trị f (π) f 2 π π A + π B −1 + π C + D −1 + 2 Câu 47 Xét số phức thỏa mãn |z| ≥ Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z+i Giá trị tích M m z B C D A Câu 48 Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Xét điểm A, B thay đổi thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A, B song song với Gọi E, F giao điểm tiếp tuyến A B với trục tung Có điểm A có hồnh độ số nguyên dương cho EF < 2020 ? A 10 B 11 C D Câu 49 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x − 4y + 6z − 13 = đường x+1 y+2 z−1 thẳng d : = = Lấy điểm M (a; b; c) với a < thuộc đường thẳng d cho 1 từ M kẻ ba tiếp tuyến M A, M B, M C đến mặt cầu (S) (A, B, C tiếp điểm) thỏa mãn AM B = 600 , BM C = 900 , CM A = 1200 Tổng a + b + c 10 A B −2 C D Câu 50 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + 2f (x) = − x với x ∈ R Tích f (x)dx phân −2 A − B − 17 C 17 D HẾT Trang 5/5 ĐÁP ÁN ĐỀ THI 1.C 11.C 21.D 31.B 41.D 2.D 12.B 22.B 32.C 42.A 3.B 13.B 23.B 33.A 43.A 4.A 14.B 24.C 34.A 44.A 5.C 15.C 25.A 35.B 45.B 6.A 16.A 26.B 36.B 46.B 7.D 17.D 27.B 37.C 47.B 8.A 18.B 28.D 38.D 48.D 9.A 19.C 29.C 39.A 49.B 10.C 20.B 30.A 40.D 50.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Chọn C z = 32 + 22 = 13 Câu Chọn D Số cách chọn nam từ nam C61 = cách Số cách chọn nữ từ nữ C41 = cách Số cách chọn hai người có nam nữ 6.4 = 24 cách Câu Chọn B Phương trình x+3 =  2x+3 = 2−2  x + = −2  x = −5 Câu Chọn A Trong khơng gian Oxyz , phương trình ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = R phương trình mặt cầu tâm 2 I ( x0 ; y0 ; z0 ) , bán kính R Câu Chọn C Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy hàm số f ( x ) tăng khoảng (1; 3) Câu Chọn A 3  n2 +  2+ 2n + n  = lim n = Ta có lim = lim  n +1  1 1+ n 1 +  n  n Câu Chọn D Điểm thuộc mặt phẳng ( xOy ) có cao độ Từ đó, ta chọn Q ( 2;1;0) điểm thỏa yêu cầu đề Câu Chọn A 1 0   f ( x) − g ( x) dx =  f ( x) dx −  g ( x) dx = − ( −1) = Câu Chọn A Đây đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a  0) có a  Câu 10 Chọn C Với số thực dương a, b a, b  , ta có loga b = logb a Câu 11 Chọn C Đường thẳng d qua điểm M ( −1;1;2 ) , có véc tơ phương u = (1; 2; − 1) nên có phương trình tắc là: x + y −1 z − = = −1 Câu 12 Chọn B Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Giá trị cực đại hàm số cho Câu 13 Chọn B D' C' A' B' D C O A B 1 Ta có: VA'.BCO = VA' ABCD = VABCD A' B 'C ' D ' = 12 = 12 12 Câu 14 Chọn B 1  Ta có:   x +  dx = x + ln x + C x  Câu 15 Chọn C 4 Ta có V =  R3  36 =  R3  R3 = 27  R = 3 Vậy bán kính khối cầu cho Câu 16 Chọn A Ta có f ( x ) − =  f ( x ) = Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 17 Chọn D Tọa độ điểm A , B (1;2 ) ( −2;1) OA = (1; )  OA = ; OB = ( −2;1)  OB =  OA ⊥ OB OA.OB =   Tam giác OAB vuông cân O Ta có:   OA = OB = OA = OB Câu 18 Chọn B Gọi ( ) mặt phẳng cần viết phương trình Vectơ phương đường thẳng d ud = (1; − 1; ) Vì ( ) ⊥ d nên ( ) có vectơ pháp tuyến n( ) = ud = (1; − 1; ) Phương trình mặt phẳng ( ) là: ( x −1) − ( y + 1) + ( z − 2) =  x − y + 2z − = điểm phân biệt, nên Câu 19 Chọn C Ta có hàm số f ( x ) xác định liên tục đoạn 0;2 f  ( x ) = 3x − x + x = f  ( x ) =  3x − x + =   x =    31 Mà f ( ) = 1; f   = ; f (1) = 1; f ( ) =   27 Suy M = 3; m = Vậy M + m = Câu 20 Chọn B Hàm số y = ( x − x − ) xác định 3x − x2 −   −x2 + 3x −    x  Tập xác định hàm số (1; ) Câu 21 Chọn D  z = −1 + 3i Ta có: z + z + =    z2 = −1 − 3i 2 Khi đó: z1 + z2 + z1 − z2 = −1 + 3i + −1 − 3i + 3i = 20 2 Câu 22 Chọn B Gọi  đường thẳng cần tìm d có vectơ phương ud = (1; 2;1) , ( Oxy ) có vectơ pháp tuyến n = ( 0; 0;1) Do  ⊥ d  / / ( Oxy ) nên u = ud , n  = ( 2; − 1; ) vectơ phương đường thẳng  Câu 23 Chọn B Gọi O = AC  BD  SO ⊥ ( ABCD ) Kẻ OH ⊥ CD CD ⊥ OH  CD ⊥ ( SHO )  CD ⊥ SH Có  CD ⊥ SO Do (( SCD ) , ( ABCD )) = ( SH , OH ) = SHO  3a a a 2 SO = SA − OA = − =   2  tan SHO = SO =  OH OH = AD = a  2 Vậy (( SCD ) , ( ABCD )) = ( SH , OH ) = SHO = 45 Câu 24 Chọn C f ( x ) = − x + x +  f  ( x ) = −4 x3 + x = −4 x ( x − ) x = f ( x) =   x =   Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu hàm số Câu 25 Chọn A log3 ( x −1) + log ( 2x −1) = (*)  x  Điều kiện  Khi phương trình (*) tương đương với  x  log3 ( x − 1) + log3 ( x − 1) =  log3 ( x − 1)( x − 1) = log3 2 ( x − 1)( x − 1) =  ( x − 1)( x − 1)  =   ( x − 1)( x − 1) = −3  x = ( n)  x − 3x − =    x = − ( l ) x − x + =   Vậy số nghiệm phương trình (*) Câu 26 Chọn B Gọi O = AC  BD I trung điểm cạnh BC Khi chiều cao khối nón h = SO bán kính đáy r = OI h = SD2 − OD2 = 2a2 − a2 = a ; r = AB a = 2 2 a 2  a3 Thể tích khối nón V =  r h =    a = 3   Câu 27 Chọn B 2 x − x  0  x  Hàm số xác định    x   0; 2 \ 1 x  x −1  x − x2 + 2x − x2 + = − ; Lim+ y = lim+ = + x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Suy x = đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Câu 28 Chọn D Điều kiện a  0, b  0, c  a, b, c  Ta có Lim− y = lim− Ta có: log a =  a = 32 ; logb =  b = 34 ;   15 15 log abc =  log3 ( abc ) =  log3  32.34.c  = 15    log 3 + log c = 15  log c =  log c = Câu 29 Chọn C Diện tích hình phẳng cần tính S =  e e4 − dx =  e2 x dx = e2 x = 2 2x Câu 30 Chọn A S H A D O B C Gọi O tâm hình vng ABCD BD ⊥ AC (1) Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ BD (2) Từ (1) (2), ta có BD ⊥ ( SAC ) (3) Gọi H hình chiếu A lên SO , AH ⊥ SO (4) Mặt khác, AH  ( SAC ) nên theo (3), ta có BD ⊥ AH (5) Từ (4) (5) suy AH ⊥ ( SBD ) , hay d ( A, ( SBD ) ) = AH Xét tam giác vng SAO , có AS = a , AO = Khi SAO vng cân A , suy AH = Vậy d ( A, ( SBD ) ) = ( 1 AC = a 2 ) = a a a Câu 31 Chọn B Ta có n (  ) = C192 Gọi A biến cố “Chọn ngẫu nhiên hai thẻ để tích hai số ghi hai thẻ chọn số chẵn” Trường hợp 1:Chọn thẻ đánh số chẵn,số cách chọn C 92 Trường hợp 2:Chọn thẻ đánh số chẵn thẻ đánh số lẻ,số cách chọn C91 C10  n ( A) = C92 + C91.C110 = 126 126 14 = C192 19 Câu 32 Chọn C  P ( A) =   x3 + x − 2x −  2x −    d x = x + d x = x +    2  x + x−2   x + x −    ( x + )( x − 1)  dx =   x + x + − x −  dx   x2 − ln x − + 3ln x + + C Câu 33 Chọn A = Gọi SFG thiết diện cần tìm H trung điểm FG a Ta có : SA = a OSA = 450 nên O S = OA = SO a a Xét OSH có SHO = 600 nên OH = OS tan 300 = SH = = sin 60 2 a 2 a 6 a Do OHG vuông H nên GH = OG − OH =   −   =     2 2a a2 Vậy nên GF = suy SSGF = SH FG = 3 Câu 34 Chọn A Xét hàm số y = g ( x) = f ( x − 1) Ta có y = g ( x) = x f  ( x − 1)  x = −1 Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta thấy f  ( x ) =   x =  x = x = x = x =   x − = − x =  y =     x =   x −1 = x = x =     2  x =  x − = Trong x = nghiệm bội nghiệm x =  x =  nghiệm đơn g (1) = f  ( 0)  Vậy ta có bảng biến thiên hàm y = g ( x ) Vậy hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị Câu 35 Chọn B Có: SB = BD = SD = a  SBD a = SM = SN  AMN Gọi E trung điểm MN  AE ⊥ MN SE ⊥ MN ( AMN )  ( SBD ) = MN  Có:  AE ⊥ MN  ( AMN ) , ( SBD ) = AE , SE  SE ⊥ MN  AM = AN = MN = ( Tính sin SEA ) ( ) a a SE đường cao tam giác SMN  SE = AE đường cao tam giác AMN  AE =  SEA cân E  SEA = 2SEI a a Gọi I trung điểm SA  SI =  EI = SE − SI = SI EI Xét SEI vng I , ta có: sin SEI = cos SEI = = = SE SE 2  sin SEA = 2sin SEI cos SEI = 2 Vậy sin góc hai mặt phẳng ( AMN ) ( SBD ) Chú ý: SEA góc tù nên góc hai mặt phẳng ( AMN ) ( SBD ) 180o − SEA ( ) 2 Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa Câu 36 Chọn B mx + Xét hàm số y = x+m TXĐ: D = \ −m Ta có: sin 180o − SEA = sin SEA = y = m2 − ( x + m) m2 −  −2  m    m   0; ) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;+  )  m0  −m  Do m nguyên nên m = 0; m = Câu 37 Chọn C mx   x  −1   Ta có log ( mx ) = log ( x + 1)   x +  (1) mx = ( x + 1)  log ( mx ) = log ( x + 1)  x  −1 (1)    x + ( − m ) x + = (*) Để phương trình log ( mx ) = 2log ( x + 1) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm x  −1 m = * Nếu phương trình (*) có nghiệm kép x0   = ( − m ) − =   m = Với m =  x0 = −1 ( L ) Với m =  x0 =  −1 (TM ) m  * Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   = ( − m ) −    m  x + x = m − Khi   x1 x2 = TH1: x1  −1  x2  ( x1 + 1)( x2 + 1)   x1 x2 + ( x1 + x2 ) +   + m − +   m  Kết hợp với điều kiện  m −9; −8; ; −2; −1 Có giá trị m thỏa mãn TH2: x1 = −1  x2 x1 = −1 thay phương trình (*) suy m = ( L ) Kết luận: Vậy có tất 10 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 38 Chọn D du = (1 − e− x ) dx u = x + e − x   Đặt  2x 2x dv = e dx v = e  1 1 1 1 Ta có:  ( x + e ) e dx = ( x + e − x ) e x −  e x (1 − e − x ) dx = ( e + e − 1) −  ( e x − e x ) dx 20 20 0 −x 2x 1 11 11 1  = ( e2 + e − 1) −  e2 x − e x  = ( e2 + e − 1) −  e − e +  = e + e − 22 22 2 4 0 Mà (x + e )e −x 2x 1 dx = a + be + ce2  a = − ; b = 1; c =  a + b + c = 4 Câu 39 Chọn A Đường thẳng  song song với đường thẳng d : x −1 y + z nên đường thẳng  có véc tơ = = 1 −1 → phương u = (1;1; −1) x +1 y +1 z − x −1 y − z − = = ; d2 : = = −1 −1 Suy A ( −1 + 2t; −1 + t;2 − t ) ; B (1 − s;2 + s;3 + 3s ) Gọi A; B giao điểm  d1 : → Ta có: AB = ( − s − 2t;3 + s − t;1 + 3s + t ) phương với u = (1;1; − 1) 2s + t = −1  s = −1 − s − 2t + s − t + 3s + t = =    A (1;0;1) 1 −1 2s − t = −3 t = Vậy phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 ; d  x −1 y z −1 = = 1 −1 Câu 40 Chọn D Giả sử điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + y.i ( x, y  z + − 2i =  ( x + 1) + ( y − 2) i = ) 2  ( x + 1) + ( y − 2) = 2  M thuộc đường trịn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = 2 2 T = z + − z − i = ( x + 1) + y −  x + ( y − 1)  = x + y  x + y − T = (  ) phương trình đường   thẳng 2.(−1) + 2.2 − T d ( I; )  R    − T   −4  − T   −2  T  2 Vậy giá trị lớn T Câu 41 Chọn D Xét phương trình: 4x − ( m + 4) 2x + = (1) Đặt t = 2x ( t  ) Khi (1) trở thành: t − ( m + 4) t + = ( 2) Ta có: (1) có hai nghiệm thực x1 , x2  ( 2) có hai nghiệm dương t1 , t2 ( m + )2 −    m  −4 + 2 (*)  m +  t + t = m + Theo Viet ta có  t1.t2 = t1 = x1  x = log t1  Giả sử  x2 t2 =  x2 = log t2 Khi từ t1.t2 =  x1 + x2 =  x1 + x2 = Do ( x1 + 2)( x2 + 2) =  x1 x2 + ( x1 + x2 ) + =  x1x2 = −2  log t1.log t2 = −2  log t1.log 2 = −2  log t1 (1 − log t1 ) = −2 t1  t =  t2 = log t1 = −1  2  ( log t1 ) − log t1 − =     t1 + t2 = log t1 = t =  t =   m+4 =  m = ( tm (*) ) 2 Vậy m =  ( − ;1) Câu 42 Chọn A Gọi điểm I ( x ; y ; z ) thỏa mãn IA + IB + 2IC = 1 − x + − x + ( − x ) = x =  Khi  0 − y + − y + ( − y ) =   y =  I (1;3;3) z =   0 − z + − z + ( − z ) = Ta có MA + MB + 2MC = MI + IA + MI + IB + 2MI + 2IC = 4MI = 4MI Do MA + MB + 2MC đạt giá trị nhỏ MI nhỏ M thuộc mặt phẳng ( Oxy ) MI nhỏ  M hình chiếu vng góc I (1;3;3) mặt phẳng ( Oxy ) Vậy M (1;3;0) Câu 43 Chọn A Ta có tập xác định hàm số D = \ −1 y = x2 + 2x − m ( x + 1) với m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B  y = có hai nghiệm phân biệt  x2 + 2x − m = (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (  −1)   = + m    m  −1 1 − − m  Gọi y = y0 = u ( x) x0 điểm cực trị hàm số ta có giá trị cực trị y0 hàm số v ( x) u ( x0 ) = x0 + m v ( x0 ) Vì x1 , x2 hai điểm cực trị hàm số nên tọa độ hai điểm cực trị A, B đồ thị hàm số A ( x1 ;2 x1 + m ) , B ( x2 ;2 x2 + m) , suy A, B thuộc đường thẳng d : y = 2x + m Để tam giác OAB vuông O ba điểm O, A, B không thẳng hàng OA ⊥ OB O  d 2.0 + m  m     OA.OB = OA ⊥ OB  x1 x2 + ( x1 + m )( x2 + m ) = m   (2*) 5 x1 x2 + 2m ( x1 + x2 ) + m = Vì x1 , x2 hai nghiệm (*) nên có x1 + x2 = −2 x1.x2 = −m nên (2*) trở thành m   m = (thỏa mãn điều kiện m  −1 )   m − 9m = Vậy m = Câu 44 Chọn A *Cách 1: Gọi H trung điểm AB  CH ⊥ AB (do tam giác ABC cân C ) Tam giác AC ' B cân C '  C ' H ⊥ AB Mà ( ABC )  ( ABC ') = AB  ( ( ABC ) , ( ABC ') ) = CHC ' = 60 ABC vuông cân C có AB = 2a  AC = CB = a 2; CH = a C ' CH vuông C  CC ' = CH tan CHC ' = a = AA ' = BB '  A ' N '/ / AN  MM '/ / AN Gọi N ' trung điểm B ' C ' , M ' trung điểm C ' N '    MM '/ / A ' N '  Thiết diện hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' cắt mặt phẳng ( AMN ) hình thang AMM ' N hay mặt phẳng ( AMN ) chia khối lăng trụ thành hai phần, phần nhỏ ACNMC ' M ' a a3 V = AA '.S = a a = Ta có: ACNA'C ' N ' ACN 2 a a a 3a S A' MM ' N ' = S A'C ' N ' − SMC ' M ' = a − = 2 2 1 3a a3 VA A' MM ' N ' = AA '.SA' MM ' N ' = a = 3 8 1 a a3 VA.M ' N ' N = AC.SM ' N ' N = a .a = 3 12 a3 a3 a3 7a3 − − = Vậy VACNMC ' M ' = VACNA 'C ' N ' − VA A' MM ' N ' − VA.M ' N ' N = 12 24 Cách 2: Kéo dài AM , CC ' , NM ' cắt D Khi VACNMCM ' = VD ACN − VD.MCM ' Ta có: DM DC ' DM ' MC ' CM ' = = = = =  DC = DC ' = 2CC ' = 2a DA DC DN AC CN 1 a a3  VD ACN = DC.S ACN = 2a .a = 3 2 1 a a a3 ' VD.MCM' = DC SMC'M ' = a = 3 24 a3 a3 7a3 − = 24 24 Câu 45 Chọn B Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x ) có dạng f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0)  VACNMCM ' = Ta có: f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c Vì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ( −1;3) (1; − 1) nên ta có hệ phương trình: ( −1) = a ( −1) + b ( −1) + c ( −1) + d =  a.13 + b.12 + c.1 + d = −1 (1) = −1  ' ( −1) = 3a ( −1) + 2b ( −1) + c =  ' (1) = 3a.1 + 2b.1 + c =  f ( x ) = x3 − 3x + f  f  f f  Xét phương trình f ( −a + b − c + d = a = a + b + c + d = −1 b =     3a − 2b + c = c = −3  d = 3a + 2b + c = ) x − − + x + − x − = m (1)  f ( ) ( x −1 −1 + ) x −1 − = m ( 2) x −  , suy t  −1 Ta có phương trình ( 2) trở thành: Đặt t = x − − , f ( t ) + ( t − 1) = m  ( t − 3t + 1) + ( t − 2t + 1) = m  t + t − 5t + = m ( 3) Xét hàm số g ( t ) = t + t − 5t + với t   −1; +  ) , ta có g ' ( t ) = 3t + 2t − , t = 1  −1; +  ) g ' (t ) =   t = −   −1; +  )  Bảng biên thiên: Nhìn vào bảng biến thiên, để (1) có nghiệm phân biệt phương trình ( 3) có nghiệm phân biệt lớn −1 Khi −1  m  , mà m  Z  m 0;1;2;3;4;5;6;7 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 46 Chọn B Hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng ( 0;+  ) f ( x ) = x sin x + f ' ( x )  + cos x  f ( x ) = x sin x + xf ' ( x ) + cos x  xf ' ( x ) − f ( x ) = − x sin x − cos x  xf ' ( x ) − f ( x ) − x sin x − cos x = x2 x2 x  ( 0; +  ) f ( x ) cos x  f ( x )   cos x    = + C x  ( 0; +  )  =  x x  x   x     Do f   = suy C = 2 Vậy f ( x ) = cos x + x Suy f ( ) = −1 +  ' ' Câu 47 Chọn B 1 i i i i 1 Ta có: −  +  +  −  +  + Mặt khác z    suy  P  z z z z z z z 2 Suy giá trị lớn M = 3 giá trị nhỏ m = Vậy M m = Câu 48 Chọn D Hàm số có tập xác định y = x − Gọi A ( a; a − 3a + 1) B ( b; b3 − 3b + 1) Hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A k A = 3a − Hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) B k B = 3b − Vì tiếp tuyến ( C ) A , B song song với  k A = k B  3a2 − = 3b2 −  a2 = b2  a = b Do A , B phân biệt nên a = −b  B ( −a; −a + 3a + 1) Phương trình tiếp tuyến với ( C ) A d1 : y = ( 3a − 3) ( x − a ) + a − 3a + Phương trình tiếp tuyến với ( C ) B d : y = ( 3a − 3) ( x + a ) − a + 3a + E giao điểm d1 với trục tung  E ( 0; −2a + 1) F giao điểm d với trục tung  F ( 0; 2a3 + 1) Khi EF = a Theo giả thiết ta có a3  2020  a  505  − 505  a  505 Vì a số nguyên dương nên a 1;2;3;4;5;6;7 Câu 49 Chọn B Xét tứ diện MABC có MA = MB = MC = x (tính chất tiếp tuyến) AMB = 60o ; BMC = 90o ; CMA = 120o Ta dễ dàng tính AB = x; BC = x 2; CA = x nên tâm ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm H AC Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; −3) bán kính R = 3 ; từ tính chất mặt cầu ta có I , H , M nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) H IAM = 90o 1 1 R = +  = + x= = Vậy IM = 2 3x AH AM IA x R x + y + z −1 nên M ( −1 + t; −2 + t;1 + t ) = = M thuộc đường thẳng d : 1 Vậy IM =  ( t − ) + ( t − ) + ( t + ) 2  M ( −1; −2;1) t =  = 36  3t − 4t =      −2  t = M ; ;   3   Kiểm tra điều kiện chọn M ( −1; −2;1) nên có đáp án B Câu 50 Chọn D Đặt t = f ( x ) t + 2t = − x , suy ( 3t + ) dt = −dx Với x = −2 ta có t + 2t − = , suy t = Với x = ta có t + 2t = , suy t = Vậy  −2 3  f ( x ) dx = −  t ( 3t + ) dt =  ( 3t + 2t ) dt =  t + t  = 4 0 0 HẾT -https://toanmath.com/ ... = = −1 Câu 12 Chọn B Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Giá trị cực đại hàm số cho Câu 13 Chọn B D'' C'' A'' B'' D C O A B 1 Ta có: VA''.BCO = VA'' ABCD = VABCD A'' B ''C '' D '' = 12 = 12 12 Câu 14 Chọn... 19 Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) = x3 − 2x2 + x + đoạn [0; 2] Giá trị M + m 58 112 C D A B 27 27 Trang 2/5 Câu 20 Tập xác định hàm số y = (3x − x2 − 2) A (−∞; 1) ∪ (2 + ∞) B (1; 2) C... = 900 , CM A = 120 0 Tổng a + b + c 10 A B −2 C D Câu 50 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + 2f (x) = − x với x ∈ R Tích f (x)dx phân −2 A − B − 17 C 17 D HẾT Trang 5/5 ĐÁP