Đề toán tuyển sinh vào lớp 10 năm 2019 trường THPT chuyên KHTN hà nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Bài a, Giải phương trình: 26 x + x + 30 + 26 x += x + 30 2  x + y = b, Giải hệ phương trình:  27 ( x + y )(2 + y + xy ) = Bài a, Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn: ( x − x + 1)( y + xy ) = x − b, Với x,y số thực thay đổi thỏa mãn 1≤ y ≤ xy + ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x2 + y2 +1 Bài Cho hình vng ABCD, đường trịn (O) nội tiếp hình vng tiếp xúc với cạnh AB, AD hai điểm E,F Gọi G giao điểm đường thẳng CE BF a, Chứng minh năm điểm A,F,O,G,E nằm đường tròn b, Gọi giao điểm đường thẳng FB đường tròn M(M ≠ F) CMR M trung điểm đoạn thẳng BG c, CMR trực tâm tam giác GAF nằm đường tròn (O) Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz = Chứng minh rằng: 1 2 x y z  + + ≥ + + 2  + x2 1+ x 1+ y 1+ z + y2 + z2  HẾT     HƯỚNG DẪN GIẢI Bài a, Điều kiện x ≥ − đặt a = 26 x + b = x + 30 (a ≥ 0, b > 0) 26 Phương trình trở thành a2 + 2a = 3b ⇔ ( a − b )( a + 3b ) = ⇔ a = b ⇔ 26 x + = x + 30 b Vậy x = 25 nghiệm phương trình b, thay = x2 + y2 vào phương trình thứ ta (x + 2y)(x2 + y2 + 3y2 + 4xy) = 27 ⇔ ( x + y ) = 27 ⇔ x = - 2y thay vào PT thứ ta (3 - 2y)2 + y2 = y = y = x = 5 Bài a, từ biểu thức ( x − x + 1)( y + xy ) = x − ta nhận thấy 3x - phải chia hết cho (x2 – x + 1) ta có (3x - 1)(3x - 2) = 9x2 - 9x + = 9(x2 – x + 1) - phải chia hết cho (x2 – x + 1) suy chia hết cho (x2 – x + 1) (x2 – x + 1) = y = 0, 1, -2 thay vào ta có y => (x,y) = (1, 1),(1, -2) (-2, 1) b, Từ giả thiết xy + ≥ 2y => 4xy + ≥ 8y Mà ta lại có 4x2 + y2 ≥ 4xy ⇒ 4x2 + y2 + ≥ 4xy + ≥ 8y ⇒ 4(x2 + 4) ≥ 8y + - y2 ⇒ 4(x2 + 4) ≥ 4(y2 + 1) + (5y + 2)(2 - y) ≥ 4(y2 + 1) x2 + ⇒M = ≥1 y2 + Dấu “=” xẩy x = y = 2, Mmin = Bài a, Do đường tron (O) nội tiếp hình vng ABCD nên E F trung điểm cạnh AB AD => ∆ ABF ∆ BCE => góc EBG góc BCG => góc BGC vơng => AEGF nằm đường tròn, mà AEOF nằm đường tròn => AEGOF nằm đường trịn b, Ta có AB tiếp tuyến đường trịn (O) nên góc BEM = góc EFM, lại có góc EAG EFG chắn cung EG nên góc EAG = EFG suy EM//AG E trung điểm AB => M trung điểm BG Bài 1 2 x y z  + + ≥ + + 2 2  1+ x 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y + z2      Ta có: +x = xy + yz + xz + x2 = (x + y)(x + z) + y2 = xy + yz + xz + y2 = (x + y)(y + z) + z2 = xy + yz + xz + z2 = (z + y)(x + z) VT= 2( x + y + z ) ( x + y )( y + z )( z + x) Ta có:  x y z  + +  + x2 1+ y + z2    x y z   ≤ ( x + y + z)  + + 2   1+ x 1+ y 1+ z     x y z + + = ( x + y + z)    ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( z + y )( x + z )  = 2( x + y + z ) ( x + y )( y + z )( z + x) Do VP=  x y z 4( x + y + z )  + + 2 3( x + y )( y + z )( z + x)  + x 1+ y + z2      Bất đẳng thức trở thành x 1+ x + y 1+ y + z 1+ z ≤ Ta có: x = + x2 + x2 ≤ y  1 y +   2 x+ y y + z  ≤ z  1 z +   2 x+ z y + z  y ( x + y )( y + z ) z = + z2 x x  1 x +   2 x+ y x+ z  ( x + y )( x + z ) y = + y2 => ≤ x z ( x + z )( y + z ) + y 1+ y2 + z 1+ z2 ≤ Dấu “=” xảy x = y = z = 3 HẾT