Đề toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 trường PTNK TP HCM (vòng 2)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2019 TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU Mơn thi: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian phát đề Bài (2 điểm) Cho phương trình ax  bx  c  (1) thỏa mãn điều kiện: a  ac  b  a  c a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 1  x1 1  x2   1  x1 1  x2   b) Biết thêm a  c Chứng minh 1  x1 , x2  Bài (1,5 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên n cho 2n  chia hết cho b) Cho n số tự nhiên, n  Chứng minh 2n  không chia hết cho 2m  với số tự nhiên m cho  m  n Bài (2 điểm) Cho a b hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện: a  4a  b  4b a) Chứng minh  a  b  b) Biết a  4a  b  4b  k  Chứng minh  k  ab  Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB  AC Gọi d1 , d đường phân giác  Gọi M, N hình chiếu vng góc B lên d , d Gọi P, ngồi góc BAC Q hình chiếu vng góc C lên d1 , d a) Chứng minh MN PQ qua trung điểm AB AC b) Chứng minh MN PQ cắt BC    (E thuộc nửa mặt phẳng bờ ABE  BCA ACF  CBA c) Trên d1 lấy điểm E F cho  AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B) Chứng minh BE AB  CF AC d) Các đường thẳng BN CQ cắt AC AB điểm K L Chứng minh đường thẳng KE LF cắt đường thẳng BC Bài (1,5 điểm) Trong buổi gặp gỡ giao lưu học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy 10 học sinh có học sinh đến từ quốc gia a) Gọi k số quốc gia có học sinh tham dự buổi gặp gỡ Chứng minh k  10 n b) Biết số học sinh tham dự buổi gặp gỡ 60 Chứng minh tìm 15 học sinh đến từ quốc gia