Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ******* CHU THị THUỷ BàI TOáN DIRICHLET NGOàI TRONG KHÔNG GIAN Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tÝch Ngêi híng dÉn khoa häc TS BïI KI£N Cêng Hµ néi - 2013 Khãa ln tèt nghiƯp GVHD: Bïi Kiên Cường Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận Bài toán Dirichlet không gian em đà nhận quan tâm, động viên, khích lệ thầy giáo cô giáo tổ giải tích nói riêng khoa Toán Trường đại học sư phạm Hà Nội nói chung với hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo, TS Bùi Kiên Cường người đà tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Chu thị thủy SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo, TS bùi Kiên Cường với cố gắng thân em Trong trình thực em có tham khảo số tài liệu (như đà nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan nội dung trình bày khóa luận kết trình tìm hiểu, tham khảo học tập thân, không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Chu thị thủy SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Mục lục Trang Mở đầu Lý chọn đề tài Môc ®Ých nghiªn cøu 3 NhiƯm vơ nghiªn cøu CÊu tróc đề tài Néi dung chÝnh Ch¬ng 1: KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng 1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp 1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp 1.4 Bài toán Cauchy 1.5 Bµi toán biên 1.6 Bài toán hỗn hợp 1.7 Định nghĩa phương trình Laplace 10 1.8 Bài toán Dirichlet 10 Chương 2: Bài toán Dirichlet 11 2.1 BiÕn ®ỉi nghịch đảo bán kính vectơ 11 2.2 Định lý phụ thuộc liên tục nghiệm kiện biên 15 2.3 Công thức Poisson miền hình cầu 17 2.4 Dáng điệu đạo hàm hàm điều hòa vô tận 19 Chương 3: Bµi tËp 22 KÕt luËn 35 Tµi liƯu tham kh¶o 36 SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình toán học đại học tìm hiểu toán Dirichlet mà không tìm hiểu toán Dirichlet không gian nhiên trình tìm hiểu em thấy để giải toán hình cầu ta sư dơng phÐp biÕn ®ỉi Kenvil ®Ĩ đưa toán hình cầu mà ta đà biết cách giải em thấy phép biến đổi Kenvil thú vị với hướng dẫn thầy giáo, TS Bùi kiên Cường nên em đà định chọn đề tài: Bài toán Dirichlet không gian Mục đích nghiên cứu Nâng cao kiến thức toán học sử dụng chúng linh hoạt việc tìm hiểu môn khoa học khác cho thân Tìm hiểu toán Dirichlet hình cầu toán Dirichlet hình cầu không gian NhiƯm vơ nghiªn cøu Nghiªn cøu toán Dirichlet không gian tìm nghiệm toán Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu phần kết luận nội dung chÝnh cđa khãa ln gåm ch¬ng Ch¬ng 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Bài toán Dirichlet không gian Chương 3: Bài tập SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường NộI DUNG CHƯƠNG MộT Số KIếN THứC CHUẩN Bị Đ1: MộT Số KHáI NIệM CƠ BảN CủA PHƯƠNG TRìNH ĐạO HàM RIÊNG 1.1.Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Xét phương trình Au f (1.1.1) Trong f hàm (hoặc véctơ hàm) ®· biÕt miỊn n A lµ toán tử vi phân tuyến tính tác dụng , tức toán tử có dạng: A a x .D (1.1.2) Víi 1, , , n vµ i số nguyên không âm , D n n ;i D1 D2 Dn ; D j i x j 1 2 n 1 ; i 1 i 1 a lµ hàm (hoặc ma trận) , u u x lµ hµm cha biÕt Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt hệ thức (1.1.1) gọi cấp toán tử A Định nghĩa 1.1: Phương trình (1.1.1) với toán tử A cấp m hàm u, f thoả mÃn điều kiện nêu gọi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Định nghĩa tổng quát 1.2: Phương trình liên hệ hàm ẩn u1 , u2 , , un biến đạo hàm riêng chúng gọi phương trình đạo hàm riêng Một phương trình đạo hàm riêng chứa đạo hàm cấp m không chứa đạo hàm cấp cao m gọi phương trình cấp m VD: Phương trình Laplace: u Phương trình truyền sóng: 2u u t Phương trình truyền nhiệt: u u t 2u toán tử Laplace Nghiệm phương x i 1 i n Trong ®ã u trình đạo hàm riêng hệ hàm cho thay vào hàm ẩn phương trình biến thành đồng thức theo biến độc lập 1.2 phương trình đạo hàm riêng cấp Phương trình đạo hàm riêng cấp phương trình có d¹ng: u u u , , , F x1, x2 , , xn , u , x x x n Phương trình đạo hàm riêng cấp tuyến tính phương trình có dạng: X x1 , x2 , , xn , u u u X n x1, x2 , , xn , u f x1 , x2 , , xn , u x1 xn NÕu vế phải phương trình đồng 0, hàm X i x1 , x2 , , xn , u không phụ thuộc vào u ta có phương trình tuyến tính X x1 , x2 , , xn SVTH: Chu ThÞ Thđy u u X n x1 , x2 , , xn x1 xn K35G-SPTo¸n Khãa ln tèt nghiƯp GVHD: Bïi Kiên Cường 1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai phương trình có dạng: n 2u u aij ( x) x x x x a x u f x i , j 1 i i j i n (1.3.1) aij , , a, f hàm phức trơn VD: Phương trình: 2u 2x y xy phương trình đạo hàm riêng cấp hai với hai biến độc lập Xét phương trình tuyến tính cấp với c¸c hƯ sè thùc: a x; y u xx 2b x; y u xy c x; y u yy F x; y; u; u x ; u y (1.3.2) Đặt: b ac Xét điểm x0 ; y0 cố định Phương trình (1.3.2) thuộc lọai: + Eliptic điểm x0 ; y0 ta có + Parabolic điểm x0 ; y0 ta có + hypebolic điểm x0 ; y0 ta có Nếu phương trình (1.3.2) điểm miền G thuộc loại phương trình thuộc loại miền G 2u 2u VD: Xét phương trình tricomi: y x y Ta cã: a y; b 0; c b ac y SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Do đó: Nếu y phương trình thuộc loại Elip NÕu y th× phương trình thuộc loại Parabol Nếu y phương trình thuộc loại Hypebol 1.4 Bài toán Cauchy Giả sử miền không gian n (cã thĨ trïng víi n ) XÐt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai: n 2u u aij ( x) x x x x a x u f x i , j 1 i 1 i j i n (1.4.1) ë aij , , a, f hàm phức đủ trơn ta tách biến biến x1, x2 , , xn chẳng hạn xn đặt t xn Giả sử mặt phẳng t t lân cận cđa ®iĨm x0 ' x10 , x20 , , xn01 cho điều kiện ban đầu u| u0 t t x ; u | u1 x t t t (1.4.2) Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.4.1)trong lân cận điểm x0 x10 , x20 , , xn01, t với điều kiện ban đầu (1.4.2) gọi toán Cauchy Trong trường hợp tổng quát: Giả sử miền cho mặt n chiều đủ trơn S điểm mặt cho đường cong l không tiếp xúc với mặt S biến thiên đủ trơn mặt S Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.4.1) lân cận ®ã cđa mỈt S cho: u |S u x SVTH: Chu ThÞ Thđy (1.4.3) K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường u |S u1 x l (1.4.4) ë ®ã u0 , u1 hàm đà cho mặt S gọi toán Cauchy tổng quát phương trình (1.4.1) Các hàm u0 , u1 gọi kiện Cauchy mặt S gọi mặt Cauchy 1.4.1 Định lý Kovalepskaia Giả sử phương trình đạo hàm riêng cấp viết dạng: n 1 n 2u n1 2u 2u u b x b x bi x b x u h x 1.4.5) ij in xi x j i 1 xi t i xi t i , j Định lý 1.1: Gi¶ sư bij ; bin ; bi ; b; h hàm giải tích lân cận điểm x0 , u j ; j 0,1 hàm giải tích lân cận điểm x0 ' toán Cauchy (1.4.5) (1.4.2) có nghiệm giải tích lân cận điểm x0 nghiệm hàm giải tích 1.5 Bài toán biên Giả sử miền bị chặn n Trong xét phương trình (1.4.1) toán tìm nghiệm phương trình(1.4.1) thoả mÃn ®iỊu kiƯn: u | (1.5.1) ë ®©y hàm đà cho gọi toán biên thứ Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.4.1) thoả mÃn điều kiện biên: u | v SVTH: Chu ThÞ Thđy (1.5.2) K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường CHNG tập 3.1 Giải toán Dirichlet phương pháp Fourier 3.1.1 Nội dung phương pháp Có nhiều phương pháp để giải toán biên phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phương trình Eliptic trường hợp đặc biệt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Mà toán Dirichlet toán phương trình Eliptic nên có đầy đủ phương pháp giải toán biên phương trình đạo hàm riêng tổng quát Trong phương pháp phương pháp tách biến (hay gọi phương pháp Fourier) phương pháp tỏ hữu hiệu nên sử dụng phổ biến Phương pháp tách biến nhằm xây dựng nghiệm u toán Dirichlet cho trước thông qua hàm chứa biến độc lập, nghĩa u viết dạng tích tổng hàm phụ thuộc vào biến tách Kết phương pháp viết phương trình vế mà vế phụ thuộc vào biến, vế phải số Ta giải cho hàm chưa xác định Hợp nghiệm cho ta nghiệm cần tìm 3.1.2 Cơ sở phương pháp Định lý 1: (nguyên lý cộng nghiệm) Nếu u1; u2 ; un nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính c1u1 c2u2 cnun nghiệm phương trình với c1; c2 ; ; cn số SVTH: Chu Thị Thủy 22 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Định lý 2: Nghiệm tổng quát phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không nhận cách cộng nghiệm riêng phương trình không nghiệm tổng quát phương trình tương ứng 3.1.3 Bài tập Bài 1: Tìm nghiệm toán Dirichlet phương pháp t¸ch biÕn x; y (1) u xx u yy 0 x (2) u x;0 sin x 2sin x u x; u 0; y u ; y 0 x; y (3) Gi¶i: §Ỉt: u x; y X x Y y giả sử XY - Tính đạo hàm u thay vào (1) ta được: X Y XY X Y const X Y X X Y Y (4) (5) - Tõ (3) ta suy ra: u x; X x Y u 0; y X Y y u ; y X Y y X X (3’) - Gi¶i (4) víi ®iỊu kiƯn (3’) + NÕu th× tõ ®iỊu kiƯn (3’) chØ cã X lµ nghiƯm (loại) + Nếu (4) có nghiệm tổng quát là: SVTH: Chu Thị Thủy 23 K35G-SPToán Khóa ln tèt nghiƯp GVHD: Bïi Kiªn Cêng X x c1.cos x c2 sin x Với c1; c2 - áp điền kiện (3) cña X ta suy c1 0;sin k ; k 1,2, Vậy hàm X k x ck sin kx lµ nghiƯm cđa (4) tháa m·n (3’) - Gi¶i (5) víi k k ; k 1,2, Y k 2Y Yk y D1eky D2e ky ; D1; D2 áp điền kiƯn (3’) vµo ta cã: Y D1e k D2e k D2 D1e2 k VËy hµm Yk y D1 (e ky e k ( y ) ) tháa m·n (5) Chän D1 Dk e k ta được: e k ( y ) ek ( y ) Yk Dk Dk sh k y ; Dk VËy hàm uk x; y Ak sh k y sin kx Ak Ck Dk ; k 1,2 thỏa mÃn phương trình (1) điều kiện (3) - Xét chuỗi: u x; y Ak sh k y .sin kx (6) k - Ta tìm Ak để u thỏa mÃn điều kiện (2), áp điều kiện (2) vào (6) ta được: SVTH: Chu Thị Thủy 24 K35G-SPToán Khãa ln tèt nghiƯp GVHD: Bïi Kiªn Cêng k 1 k 1 sin x 2sin x Ak sh k .sin kx Ak sh k sin kx 1 A sh3 A3 sh3 A2 sh2 2 A2 sh 2 A ; k 2; k k Ak 0; k 2; k Vậy nghiệm toán lµ: u x; y sh y sin x sh 3 y sin x sh2 sh3 Bài 2: Giải to¸n Dirichlet trong: u 2 u y xy mặt tròn tâm O bán kính 2, biên Giải: x rcos Đặt: y r sin 0r Khi phương trình u cã thĨ viÕt díi d¹ng: 2u u 2u r r r r Khi ®ã: f x; y y xy 16sin 32cos sin 1 cos 2 16cos 1 cos 2 5 8cos 2 16cos cos3 cos SVTH: Chu ThÞ Thđy 25 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường 5 8cos 8cos 2 8cos3 Khi ®ã toán ban đầu đưa dạng: 2u u 2u (1) 0 2 r r r u r 2 5 8cos 8cos 2 8cos3 (2) () Ta tìm nghiệm toán () phương pháp tách biến Đặt: u r; R r Ta t×m nghiƯm phương trình (1) - Tính đạo hàm u thay vào (1) ta được: 1 R R r r r R rR R (3) r R rR R (4) (5) Gi¶i (5) ta xÐt TH: TH1: Khi ®ã nghiƯm tổng quát (5) là: c 1e c2e (c1; c2 tùy ý) áp dụng điều kiện (2) ta được: f R hàm tuần hoàn chu kỳ Điều xảy hàm mũ Nó xảy (loại) TH2: Khi nghiệm tổng quát (5) là: SVTH: Chu Thị Thủy 26 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường c1 c2 (c1; c2 tïy ý) Để hàm tuần hoàn c1 c2 (lo¹i) TH2: Khi nghiệm tổng quát (5) là: c1cos c2 sin (c1; c2 tïy ý) Do ®iỊu kiƯn ta nhận k (với k số dương) *) k ta cã: ak cos k bk sin k lµ nghiƯm cđa (5) thỏa mÃn (2) Giải (4) với k ; k * Phương trình (4) có nghiệm độc lập là: R r k vµ R r k Ta chØ lÊy R r k hàm u điều hòa O VËy hµm uk r ; r k ak cos k bk sin k ; k * tháa m·n (1) vµ (2) a0 k Đặt: u r; r ak cos k bk sin k k 1 (6) T×m a0 ; ak ; bk ; k * để (6) nghiệm toán () Ta thấy để (6) nghiệm toán () ta t×m a0 ; ak ; bk ; k * để (6) nghiệm phương trình(2) Với a0 f d 5 8cos 8cos 2 8cos3 d 2 5 8sin 4sin 2 sin 3 10 0 SVTH: Chu Thị Thủy 27 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp ak f cos k d 5 8cos 8cos 2 8cos3 .cos k d GVHD: Bïi Kiªn Cêng 5cos k 4cos k 1 4cos k 1 4cos k d 4cos k 4cos k 3 4cos k 3 Víi k th×: a1 5cos 4cos 2 4cos3 cos 4cos 4 4cos 2 d 4cos 4cos3 4cos 4 d 2 4sin sin 3 sin 4 4 0 4 8 Víi k a2 5cos 2 4cos3 4cos 4cos 4 4cos5 cos d 4cos 4cos3 4cos 4 d 1 4 4 3sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 2 Víi k a3 5cos3 4cos 4 4cos 2 4cos5 4cos 4cos6 d 4 Víi k 1, 2,3 ak SVTH: Chu Thị Thủy 28 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp bk GVHD: Bïi Kiªn Cêng f sin k d 5 8cos 8cos 2 8cos3 sin k d 5sin k 4sin k 1 4sin k 1 4sin k d 4sin k 4sin k 3 4sin k 3 VËy u r ; 5 8rcos 8r 2cos 8r 3cos3 Bài 3: Giải to¸n Dirichlet trong: u u x x xy mặt tròn tâm O bán kính 2, biên Giải: x rcos §Ỉt: y r sin 2 r 1 Khi ®ã: f x; y x x3 xy rcos rcos 2rcos r sin cos cos 3 2cos sin cos 2 cos cos3 cos 2cos 4 1 cos cos3 4 Khi toán ban đầu đưa dạng: 2u u 2u 0 r r r u cos cos3 r 1 4 SVTH: Chu Thị Thủy 29 (1) (2) K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Khi nghiệm toán cã d¹ng: a0 u 1; ak cos k bk sin k k 1 1 Theo gi¶ thiÕt: u r 1 cos cos3 4 1 a0 ak cos k bk sin k cos cos3 k 4 Sử dụng phương pháp đồng ta cã: a0 0 a a3 ak k 1,3 bk k VËy nghiƯm cđa bµi toán là: 1 u r ; rcos r 3cos3 4 Bài 4: Giải toán Dirichlet ngoài: u 2 u y y x y x Trong phần mặt cầu tâm O bán kính , biên SVTH: Chu Thị Thủy 30 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Giải: Đặt OP ; x y z OP (víi P x; y; z điểm hình cầu P điểm nghịch đảo P mặt cầu S R Dïng phÐp biÕn ®ỉi Kelvin: R R2 Khi ®ã: u ; ; v ; ; (*) Ta chun bµi toán ban đầu thành toán miền hình cầu v v 1 u R; ; f P y y3 x2 y x2 R R R ¸p dơng c«ng thøc Poisson ta cã: v ; ; 4 R 2 r3R R f Q dSQ x r cos sin Đặt: y r sin sin z r cos 2 r' Ta cã: R 2 R 2 y y3 x2 y x2 f Q 3 r R R r R R 16 3 r sin sin r sin sin r 4r 3 r 3 sin cos 2 sin r 2cos 2 sin 4 3 3 r2 r sin sin r sin sin r sin cos sin 2r 5 r 2cos 2 sin SVTH: Chu Thị Thủy 31 K35G-SPToán Khãa ln tèt nghiƯp GVHD: Bïi Kiªn Cêng r 2 r sin sin r 3 sin sin r 2cos 2 sin 2r r sin r 3 sin sin 2 r v ; ; d d dr r 4 0 2r 5 1 cos 2 sin 2 r 2 sin r 3 sin cos sin r r d dr 4 0 r r sin sin 2 0 4 4 r 2 2 2r5 4 r sin d dr 00 r 2 cos 2 2r5 4 r d dr 00 r 2 r 2 r 2 sin 2 dr 4 2r 0 2 r 2 r 2 4 dr 4 0 2r 5 2 3 2 dr 4 0 2r 3 r 5 4r 4 r 3 2 ln r 4r 4 2r r0 3 2 ln 2 4 16 4 3 ln 16 SVTH: Chu Thị Thủy 32 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Thay vào (*) ta được: u ; ; 3 ln 4 16 Trë vÒ biÕn cũ ta nghiệm phương trình là: u x; y; z SVTH: Chu ThÞ Thđy 3 ln 2 4 16 x y z 33 K35G-SPTo¸n Khãa ln tèt nghiƯp GVHD: Bïi Kiªn Cêng Mét sè vÝ dụ khác Bài 1: Giải toán Dirichlet sau: u u u (0 x a;0 y b) xx yy v x0 v const ; u xa u y 0 u y 0 v0 const Bài 2: Giải toán Dirichlet phương trình Laplace u hình tròn tâm O bán kÝnh vµ tháa m·n: u x xy Với biên hình tròn Bài 3: Tìm nghiệm toán phương trình Poisson 2u 2u 2 x y b b Trong miÒn D 0 x a; y víi a;b lµ h»ng sè 2 Và thỏa mÃn điều kiện: u x0 u x a u b u b y y 2 SVTH: Chu ThÞ Thủy 34 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Kết luận Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu đề tài với nỗ lực học tập thân giúp đỡ thầy cô khoa Toán nói chung đặc biệt bảo tận tình thầy giáo, ts Bùi Kiên Cường, đến em đà hoàn thành khóa luận nội dung khóa luận là: Tìm hiểu phương trình đạo hàm riêng cấp Tìm hiểu toán Dirichlet Nghiên cứu toán Dirichlet Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán đặc biệt thầy giáo, ts Bùi Kiên Cường đà giúp đỡ em hoànthành tốt khóa luận Do thời gian nghiên cứu hạn chế lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài em không tránh khỏi thiếu sót, em kính mong nhận bảo tận tình đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Chu thị thủy SVTH: Chu Thị Thủy 35 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Tài liệu tham khảo Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng NXB Đại Học sư phạm, Hà Nội Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lý NXB Giáo Dục SVTH: Chu Thị Thủy 36 K35G-SPToán ... xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Chu thị thủy SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy... khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khóa luận. ..Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận Bài toán Dirichlet không gian em đà nhận quan