Luận văn sư phạm Chéo hoá ma trận

Khóa lu n t t nghi p L IC M N Em xin chơn thƠnh c m n th y giáo khoa tốn, th y b mơn Hình h c tr th i gian v a qua sơu s c t i cô ng i h c S ph m HƠ N i giúp em c bi t, em xin bƠy t lòng bi t n chân thành inh Th Kim Thuý t n tình h ng d n vƠ giúp đ em, đ em hoƠn thƠnh t t khố lu n t t nghi p vƠ q trình h c t p Bên c nh đó, em mu n g i l i c m n đ n gia đình vƠ b n bè t o m i u ki n đ em hoƠn thƠnh khoá lu n t t nghi p nƠy Do u ki n th i gian có h n, nên khóa lu n c a em không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ b n đ khóa lu n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô vƠ c hoƠn thi n h n HƠ N i, tháng 05 n m 2010 Tác gi Nguy n Th Qu nh ông Nguy n Th Qu nh ông K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p L I CAM OAN Khoá lu n t t nghi p nƠy lƠ k t qu c a em th i gian h c t p vƠ nghiên c u v a qua, d is h ng d n c a cô inh Th Kim Thuý Em xin cam đoan khoá lu n t t nghi p v đ tƠi ― Chéo hố ma tr n‖ khơng trùng v i b t c khoá lu n t t nghi p nƠo khác Ng i th c hi n Nguy n Th Qu nh ông Nguy n Th Qu nh ơng K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p M CL C A M U Lý ch n đ tƠi M c đích nghiên c u Nhi m v nghiên c u Ph C u trúc lu n v n ng pháp nghiên c u B N I DUNG Ch ng C S Lệ THUY T 1.1 Ma tr n vƠ h ng c a ma tr n 1.1.1 Ma tr n 1.1.2 H ng c a ma tr n 1.2 Vect riêng ậ giá tr riêng 1.2.1 Không gian b t bi n 1.2.2 Vect riêng ậ giá tr riêng 1.2.3 a th c đ c tr ng c a phép bi n đ i n tính 1.2.4 nh lí Cayley ậ Hamilton, đa th c t i ti u 1.2.5 Các ph ng pháp tính giá tr riêng vƠ vect riêng c a t đ ng c u f 1.3 Chéo hóa ma tr n c a t đ ng c u 1.4 Chéo hoá tr c giao 1.4.1 C s tr c chu n 1.4.2 Ph ng pháp tr c giao tr c chu n Gram ậ Schmidt 1.4.3 Ma tr n tr c giao Ch ng BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TR N 2.1 Bài toán 2.2 Bài toán 2.3 BƠi t p C K T LU N TÀI LI U THAM KH O Nguy n Th Qu nh ông K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p A M U Lý ch n đ tƠi Chéo hóa ma tr n lƠ m t v n đ lý thú vƠ quan tr ng c a Toán h c Nó có r t nhi u ng d ng chuyên ngƠnh khác c a toán h c nh : Gi i tích, Hình afin, Vì v y đ tƠi ―Chéo hóa ma tr n‖ lƠ đ tƠi h p d n đ i v i nhi u l p sinh viên u thích b mơn hình h c c bi t trình h c t p môn h c vƠ bƠi gi ng chuyên đ , chúng em ti p thu đ c m t s ki n th c: Ma tr n, đ nh th c, h ph ng trình n tính, vect riêng vƠ giá tr riêng c a ma tr n, c s tr c chu n, ma tr n tr c giao,chéo hóa ma tr n vƠ chéo hóa tr c giao…Chính nh ng ki n th c nƠy t o cho em ni m say mê vƠ mong mu n tìm hi u k h n v tốn chéo hóa ma tr n Vì lý vƠ đ cs h ng d n, giúp đ t n tình c a inh Th Kim Thúy nên em quy t đ nh ch n đ tƠi: “ Chéo hóa ma tr n” M c đích nghiên c u c đ u lƠm quen v i nghiên c u khoa h c, t hình thƠnh t B lơgic đ c thù c a b mơn Kh c sơu vƠ tìm hi u nh ng ki n th c v chéo hóa ma tr n Nhi m v nghiên c u Nghiên c u m t s ki n th c c s lí thuy t liên quan đ n v n đ chéo hóa ma tr n Nghiên c u hai tốn chéo hóa ma tr n Ph ng pháp nghiên c u Ph ng pháp nghiên c u lý lu n Ph ng pháp phơn tích đánh giá t ng h p Nguy n Th Qu nh ơng K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p C u trúc lu n v n NgoƠi ph n m đ u, k t lu n, danh m c tƠi li u, lu n v n g m ch ng: Ch ng 1: C s lí thuy t Ch ng 2: BƠi tốn chéo hóa ma tr n Nguy n Th Qu nh ông K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p B N I DUNG CH C S NG Lệ THUY T 1.1 Ma tr n vƠ h ng c a ma tr n 1.1.1 Ma tr n nh ngh a 1.1: Cho K lƠ m t tr ng tu ý M t b ng g m mxn ph n t a ij  K (1≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n) có d ng:  a 11 a12   a 21 a 22    a m1 a m2 đ a1n   a n    a mn  c g i lƠ m t ma tr n ki u (m,n) M i a ij đ c g i lƠ thƠnh ph n c a ma tr n Kí hi u lƠ : A = ( a ij )mxn Vect dòng ( hay hàng)  ai1 ain  đ c g i lƠ dòng (hay hàng) th i c a ma tr n A  a1j     a 2j  Vect c t   đ    a mj  c g i lƠ c t th j c a ma tr n A Khi m = n ma tr n ( a ij )nxn đ c g i lƠ ma tr n vuông c p n Kí hi u A= ( a ij )nxn nh ngh a 1.2: Hai ma tr n vuông A vƠ B  Mat (n  n, K ) ta nói hai ma tr n AvƠ B đ ng d ng n u có m t ma tr n kh ngh ch C  Mat (n  n, K ) cho Nguy n Th Qu nh ông K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p B =C-1AC nh ngh a 1.3: Ma tr n A đ c g i lƠ đ i x ng n u At = A 1.1.2 H ng c a ma tr n nh ngh a 1.4: Cho ma tr n A có d ng : A  (aij )mn  a11 a12  a a 22   21    a m1 a m2 a1n   a n    a mn    H ng c a ma tr n A lƠ h ng c a h vect c t a1 , , a n  v i  a1 j      a2 j  aj     a   mj  (j=1,…,n) Kí hi u lƠ: r(A) ho c rank(A) nh lí 1.5: Gi s m t ma tr n A  (aij )  Mat (m n, K) Khi đó, h ng c a ma tr n A b ng c p cao nh t c a đ nh th c khác không c a A Nói rõ h n, r(A) = k n u có đ nh th c c p k c a A khác vƠ m i đ nh th c c p l n h n k (n u có) c a A đ u b ng không Nh n xét: nh th c c p r c a A nh đ nh lí 1.5 đ c g i lƠ đ nh th c c s c a ma tr n A H qu 1.6: H ng c a m t ma tr n b ng h ng c a vect hƠng c a Chú ý: M t ma tr n có th có nhi u đ nh th c c s khác nh ng c p c a chúng đ u b ng h ng c a ma tr n Nguy n Th Qu nh ơng K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p * Quy t c tính r(A) b ng đ nh th c: B c 1: B ng m t cách nƠo ta tìm m t đ nh th c Dk c p k ≠ (1 ≤ k ≤ min{n,m}) B c 2: Ta tính đ nh th c c p k + bao Dk (n u có) + N u đ nh th c nƠy c p k + nƠy đ u b ng khơng k t lu n r(A) = k + N u t n t i m t đ nh th c c p r+1 khác khơng ta tính đ nh th c c p k + bao Dk+1 ≠ nƠy (n u có) C ti p t c nh v y ta tìm đ c r(A) Ví d 1: Tính h ng c a ma tr n sau:  1    A      1 1 1  2  1   L i gi i: Ta th y D2  1  1  0 Vì D2 ≠ nên xét ti p m t đ nh th c c p bao D2 là: 1 0 D3  1  1  Vì D3 ≠ nên xét ti p đ nh th c c p bao D3 bao là: Nguy n Th Qu nh ơng K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p 1 D4  1 1 0 1 V y r(A)=3 * Quy t c tính r(A) b ng phép bi n đ i s c p: B c 1: B ng phép bi n đ i s c p đ a A v d ng ma tr n b c thang ฀A B c 2: m s hƠng khác khơng c a ฀A, s lƠ r(A) Ví d 2: Tìm giá tr c a  cho ma tr n sau đơy có h ng th p nh t: 3   A  1  2 1 4  10  17   3 L i gi i: Th c hi n phép bi n đ i s c p: 3   1  2 1 4  17   17      10 10  L3  L1   10  3 L1  L3  L3     2 L1  L4  L4  1 4  20 50 17      3  2 3  12 30  17   17    L3  L3  10   1 L3  L4  L4   10      L4  L4    10  10      10   0 0 3  1 5  3 Nh v y ta th y r(A)min =   0 V y   ma tr n có h ng nh nh t Nguy n Th Qu nh ơng K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p 1.2 Vect riêng ậ giá tr riêng 1.2.1 Không gian n đ nh nh ngh a 1.7: Cho m t không gian vect V tr c a V Không gian vect U c a V đ ng K vƠ f m t t đ ng c u c g i lƠ m t không gian n đ nh đ i v i f ( hay m t không gian f - n đ nh) n u f(U)  U Ví d 1: i v i t đ ng c u f: V  V b t kì, khơng gian sau  đơy đ u f ậ n đ nh: ; V; Kerf ; Imf  Xét tr ng h p không gian n đ nh chi u:    Gi s L lƠ không gian f - n đ nh m t chi u, vƠ   L (   )  Khi (  ) lƠ m t c s c a L Vì f(L)  L có m t vơ h ng   K     cho f ( )  . (   )   Ng c l i n u có m t vect   vƠ m t vô h ng   K cho    f ( )   L  L( ) lƠ m t không gian f - n đ nh m t chi u Ta t i đ nh ngh a sau đơy: 1.2.2 Vect riêng giá tr riêng nh ngh a 1.8: Gi s f lƠ m t t đ ng c u c a K-khơng gian vect V N u có vect       vƠ vô h ng   K cho f( ) =    đ c g i lƠ m t giá tr riêng c a f vect   đ c g i lƠ m t vect riêng c a f ng v i giá tr riêng  Nh n xét : Nh v y vi c tìm khơng gian m t chi u t ng đ ng v i vi c tìm vect riêng Nguy n Th Qu nh ông 10 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p - n ch n: LƠm t đ f chéo hóa đ ng t nh tr ng h p n l ta có u ki n c n vƠ đ c lƠ: a1.a n  0, a a n1  0, ., a n a n  2 1 Ho c a1  a   a n  * Tr ng h p K = C thì: - n ch n: f chéo hóa đ c vƠ ch khi: a1.a n  0, a a n1  0, ., a n1.a n3  2 Ho c a1  an  a  a n1   a n1  a n3  - n l : f chéo hóa đ c vƠ ch khi: a1.a n  0, a a n1  0, ., a n a n  2 1 Ho c a1  a   a n  2.2 Bài toán a Bài toán Cho ma tr n đ i x ng A Mat  n  n, K  , tìm ma tr n tr c giao Q  Mat  n  n, K  vƠ ma tr n B  Mat  n  n, K  cho ma tr n B = Q-1.A.Q lƠ ma tr n chéo L i gi i: gi i bƠi toán ta ti n hƠnh theo b B ch c : S d ng ph c sau: ng pháp tìm vect riêng - giá tr riêng ng đ tìm giá tr riêng c a A B c 2: Tìm m t c s tr c chu n cho không gian riêng ng v i m i giá tr riêng a N u  k b i mk = l y m t vect riêng b t kì ng v i  k r i chu n hóa Nguy n Th Qu nh ơng 41 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p b N u  k b i mk > ta có th tìm c s tr c giao c a không gian riêng ng v i  k b ng m t hai cách sau : - Cách 1: Tìm m t c s c a khơng gian riêng ng v i  k sau áp d ng q trình tr c chu n hóa Gram- Schmidt đ đ c m t c s tr c chu n - Cách 2:T công th c nghi m c a h (A-  k.En)x = ta l y m t   vect a1 nƠo có chu n b ng sau tìm m t vect nghi m khác a th a mãn:        a1 , a    a2 , a2  Ti p t c trình nh v y cho vect nghi m sau tr c giao v i vect nghi m ch n tr c vƠ có chu n b ng Cu i ta đ cc s tr c chu n c a không gian riêng ng v i giá tr riêng  k ( k  1, n ) Và ghép chúng l i ta đ B c c s tr c chu n g m vect riêng c 3: - L p ma tr n Q có c t th j lƠ t a đ c a vect th j c s v a tìm đ c b c - L p ma tr n chéo B có ph n t đ ng chéo lƠ giá tr riêng c a A, ph n t khác b ng khơng 2.2.2 Các ví d Ví d 1: Cho ma tr n A, tìm ma tr n tr c giao Q cho B = Q-1AQ ma tr n chéo   A   2   2   0   L i gi i: Nguy n Th Qu nh ơng 42 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p L y C(o) = (1, 0, 0) 2    (1, 0, 0)  7    C(1) = A.C(o) =  2    C(1) = (6, -2, 2) T ng t ta có: C(2) = (44, -22, 26); C(3) = (360, -198, 270); V y P1.C(2) + P2 C(1) + P3 C(o) = C(3)  P1.(44, -22, 26) + P2.(6, -2, 2) + P3.(1, 0, 0) = (360, -198, 270)  (44.P1+ 6.P2 + P3 , - 22.P1 - P2 , 26.P1 + 2.P2 ) = (360, -198, 270)   44.P  6.P  22.P1  2.P2  26.P + 2.P   18  P1  P3  360   198   P2  99   270  P3  162 T có đa th c đ c tr ng c a A lƠ:  ậ 18  + 99  ậ 162 =  (  6).( 12.  27)  Gi i ph ng trình ta đ c :  = 6;  = 9;  = V y ma tr n A có giá tr riêng lƠ:  = 6;  = 9;  = V i  = 6, xét h :  d1.P1  d1.P2   d1.P3  18.d1   99.d1  162.d1  1.d1  1.d2  1.d3  d2   d3  0  6.d1  d2   6.d2  d3   6.d3 0 Ch n d1 = , ta có : d2 = -12, d3 = 27  V y vect riêng  có d ng :   = 1.C(2) + (-12).C(1) + 27.C(o) Nguy n Th Qu nh ơng 43 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p    = (44, -22, 26) ậ 12.( 6, -2, 2) + 27.( 1, 0, 0)    = ( -1, 2, 2)  Chu n hóa 1 đ  1 2 c: e1  ( , , ) 3 V i  = 9, xét h :  2 d2  2 d2  2 d3  d1.P1  d1.P2   d1.P3  18.d1   99.d1  162.d1  d2   d3  0  9.d1  d2   9.d2  d3   9.d3 0 Ch n d1 = ta có :d2 = -9, d3 = 18  V y vect riêng  có d ng :   = 1.C(2) + (-9).C(1) + 18.C(o)    = (44, -22, 26) ậ 9.( 6, -2, 2) +18.( 1, 0, 0)    = ( 8, -4, 8)  Chu n hóa  đ 1  c: e2  ( , , ) 3 V i  = 3, xét h :  d1.P1  d1.P2   d1.P3  18.d1   99.d1  162.d1  3.d1  3.d2  3.d3  d2   d3  0  3.d1  d2   3.d2  d3   3.d3 0 Ch n d1 = 1, ta có :d2 = - 15, d3 = 54 Nguy n Th Qu nh ơng 44 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p  V y vect riêng  có d ng :   = 1.C(2) + (-15).C(1) + 54.C(o)    = (44, -22, 26) ậ 15.( 6, -2, 2) + 54.( 1, 0, 0)    = ( 8, 8, -4)  Chu n hóa  đ 2 1  c: e3  ( , , ) 3    V y ( e1 , e2 , e3 ) lƠ c s tr c chu n g m toƠn vect riêng c a A Ma tr n tr c giao lƠm chéo hóa ma tr n A là:  1    Q     2 3  1  3  1   3 Ma tr n chéo B lƠ: 6  B  0  0 0  0  3 Ví d 2: Cho ma tr n A, tìm ma tr n Q đ đ a A v d ng đ ng chéo B=Q-1 A.Q Tìm ma tr n B 1  A   2  2  2   L i gi i: Ta có : Nguy n Th Qu nh ơng 45 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p 2 1 2 9 8     2       1 2 1 8 9 1  A2    2  1  A  AA  2  2  2   8   41 42 42          42 41 42       8   42 42 41    Ta có : S1  Tr  A   a ii     i 1 S2  Tr  A2    a ii 2     27 i 1 S3  Tr  A    a ii3  41  41  41  123 3 i 1 Ta có :   P1    P2    P3    S1   (S2  P1.S1 )   P1    P2    P3    (S3  P1.S2  P2 S1 )  3   (27  9)  9   (123  3.27  9.3)  5 V y đa th c đ c tr ng c a ma tr n A lƠ :        3.  9.  Các giá tr riêng c a ma tr n A lƠ nghi m c a ph ng trình :   3.  9.        1       5     1 V i  = 5, xét h ph Nguy n Th Qu nh ông (b i 1) (b i 2) ng trình : 46 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p 4.x  2.x   2.x 1  2.x2  4.x2  2.x2  2.x3   2.x3   4.x3   x1  t  x1  x3     x2  t  x2  x3  x  t  t  0   Ch n 1 = ( 1, 1, 1) m t vect riêng ng v i  = 5, chu n hóa 1 đ   1  , ,   3 3 c e1   V i  =  = -1 gi i h (A-  E3).x =0  2.x   2.x  2.x 1  2.x2  2.x2  2.x2  2.x3   2.x3   2.x3   x1  x2  x3   x  x  x  t1  t2  t1  t  t1 , t2   tìm c s tr c chu n c a không gian riêng ng v i  =  = -1 ta có th tìm theo cách: - Cách 1: C s c a không gian riêng ng v i  =  = -1 là:   a  (1,0, 1) ; a3  (0,1, 1)   Tr c chu n hóa Gram- Schmidt h {a , a3} :   e2  a  (1,0, 1) ;   e2 , a    e3  a3    e2 e2 , e2   e2 , a  1  e3  (0,1, 1)  (1,0, 1) ; v i   = ; 2 e2 , e2 Nguy n Th Qu nh ơng 47 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p  1 1  e3  ( ,1, ) 2 1   1 1 , ) c:   ( ,0, ) ;   ( , 6 2   - Cách 2: Vect riêng có d ng x   x1 , x2 ,  x1  x2  , Ch n a  (1,0, 1)   Chu n hóa e2 , e3 đ 1  c   ( ,0, ) 2   ,    Tìm  = ( x1, x2, x3) cho th a mãn h :      ;    Chu n hóa a  (1,0, 1) ta đ Gi i (1) ta đ (1) (2) c x1 ậ x3 =  x1 ậ (- x1 ậ x2) =  x2 = - 2.x1 K t h p v i (2), ch n x1 = ta đ  1 1 , ) c : 3  ( , 6 V y ma tr n tr c giao lƠm chéo hóa ma tr n A là:     Q      3 2 1   6  ; 6  1   Ma tr n chéo B lƠ: 5  B  0  0 0  1   1 Ví d 3: Cho ma tr n th c A: Nguy n Th Qu nh ơng 48 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p  0     0    A     0     0    Hãy tìm ma tr n tr c giao Q đ Q-1.A.Q có d ng chéo L i gi i: * Tr ng h p 1: n ch n (n = 2k) a th c đ c tr ng c a A lƠ:  A  En  D2 k     0  0  0    0  0  0  1  0 (do khai tri n dòng th nh t c a đ nh th c)  0    1  0    0        1 D2. k 1 Quy n p theo k ta suy D2 k     1 k V y A có hai giá tr riêng 1  (b i k) vƠ 2  1 (b i k) Nguy n Th Qu nh ơng 49 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p V i 1  ta d dƠng tìm đ c c s tr c chu n lƠ:   1  u1   ,0, ,0,  2    1  u2   0, , , ,0  2     1  uk   0,0, , , , ,0  2   V i 2  1 ta d dƠng tìm đ c c s tr c chu n lƠ:    1 uk 1   0,0, , , , ,  2      1 u2 k 1   0, , , ,0  2      1 , 0, , 0, u2 k    2  V y ma tr n tr c giao Q lƠ:        Q        * Tr 1 1 2 1 0 1   2            ng h p 2: n l (n = 2k+1) Khai tri n theo dòng th k+1 vƠ sau tính nh tr đ c: A  E2 k 1  D2 k 1  1       1 ng h p n ch n, ta k V y A có hai giá tr riêng 1  (b i k+1) vƠ 2  1 (b i k) Nguy n Th Qu nh ơng 50 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p T suy ma tr n tr c giao C tr ng h p nƠy gi ng nh n ch n 2.3 BƠi t p Bài 1: Trong ma tr n A d i đơy ma tr n nƠo chéo hóa đ c? N u đ c tìm ma tr n C lƠm chéo hóa A vƠ tìm ma tr n B bi t B = C-1 A.C 3 a A   2 3  b A   i  0 4 ;  3  1 d A   3 4  1    c A   1      1 i   0  4 1 1 0  0  3  1  G i ý: a A chéo hóa đ c vƠ : 2   1   ; B     1   5 1 C   b A chéo hóa đ 1  C  i 2 0 c vƠ: i 0  ;  2 c Không chéo hóa đ c d Khơng chéo hóa đ c 1  B  0  0 0  i 0  i  Bài 2: Cho f : R3 R3 xác đ nh b i: f ( x1, x2, x3) = (4.x1 ậ 5.x2 + 2.x3, 5.x1 ậ 7.x2 + 3.x3, 6.x1 ậ 9.x2 + 4.x3) tìm m t c s R3 đ c s ma tr n c a f có d ng chéo vƠ tìm ma tr n chéo Nguy n Th Qu nh ơng 51 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p G i ý: Ta có ma tr n c a A c s t c c a R3 là:  6   A   5 7     4    C s lƠ: 1  (1,1,1);  (1,1,0);  (1,0, 3) vƠ ma tr n chéo lƠ: 1  C  0  0 0  0  1 Bài 3: Ch ng minh r ng ma tr n vng A giao hốn đ tr n vng c p chéo hóa đ c v i t t c ma c G i ý: - Gi s A lƠ ma tr n vuông c p n - Vì A giao hốn đ hốn đ c v i t t c ma tr n vuông c p n nên A giao  1  0 c v i ma tr n chéo B, v i B =   0  2 0  0   - S d ng tính ch t giao hốn suy đ chéo hóa đ n  c A có d ng chéo nên A c Bài 4: Cho ma tr n A : a 0  A   1 1  1   Nguy n Th Qu nh ông ; 1    A   1      1 b 52 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p c 1  0 A  0 0  0 0 0 0 0  0  0  ; 1 1   1 1 1 A   1 1 1 1 1 1    d Hãy tìm ma tr n tr c giao Q cho đ đ a A v d ng đ ng chéo B = Q-1AQ G i ý:     a Q        c       Q          1 2   3   3    6 2 1 1 2 1 0 Nguy n Th Qu nh ông ; b    Q             d Q                 ;   2    53 30 2 30 5  6 2   6  6  30 12 1   1 1 12   1 12  12 0   2       K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p C K T LU N Trong khóa lu n t t nghi p nƠy em nghiên c u m t s v n đ c b n sau đơy: Ma tr n vƠ h ng c a ma tr n, vect riêng - giá tr riêng, chéo hóa ma tr n, chéo hóa tr c giao vƠ hai bƠi tốn chéo hóa ma tr n Khóa lu n t t nghi p nƠy mang tính ch t t ng quan nh ng em trình bày c th m t s ki n th c v chéo hóa ma tr n Em nêu m t s nh n xét, ý ví d c th đ hi u rõ h n n i dung khóa lu n nƠy đ c p đ n Mong r ng s lƠ m t tƠi li u b ích cho nh ng b n quan tơm đ n đ tƠi hoƠn thƠnh t t khóa lu n nƠy em xin chơn thƠnh c m n th y giáo t Hình h c, đ c bi t lƠ cô inh Th Kim Thúy t n tình giúp đ em su t trình th c hi n đ tƠi nƠy Do th i gian có h n, l n đ u tiên lƠm quen v i nghiên c u khoa h c, kh n ng vƠ v n ki n th c c a b n thơn cịn h n ch nên có th khóa lu n c a em cịn nhi u thi u sót Em hi v ng nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô vƠ b n Nguy n Th Qu nh ơng 54 K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O [1] Khu Qu c Anh - Nguy n Anh Ki t - T M n - Nguy n Doãn Tu n (2001), Bài t p đ i s n tính hình h c gi i tích, NXB i h c Qu c gia HƠ N i i s n tính, NXB [2] Nguy n H u Vi t H ng (2001), i h c Qu c gia HƠ N i [3] oƠn Qu nh (ch biên) (1996), Giáo trình đ i s n tính hình h c gi i tích, NXB [4] L Tr ng i h c Qu c gia HƠ N i ng H u Thành (1998), H ng d n gi i t p đ i s n tính, i h c Giao thông v n t i [5] Phan H ng Tr ng (2001), Giáo trình đ i s n tính, Tr ng ih c S ph m HƠ N i Nguy n Th Qu nh ông 55 K32G Toán ... nghi p Gi s A lƠ ma tr n m t c s nƠo c a V f chéo hóa đ c vƠ ch ma tr n A c a f đ ng d ng v i ma tr n chéo nh ngh a 1.15: Ma tr n A Mat  n  n, K  đ ng d ng v i ma tr n chéo B  Mat  n  n,... BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TR N 2.1 Bài tốn a Bài toán Cho ma tr n A Mat  n  n, K  , tìm ma tr n kh ngh ch C  Mat  n  n, K  vƠ ma tr n B  Mat  n  n, K  cho B = C-1.A.C lƠ ma tr n chéo L i... Cho ma tr n vuông A, n u t n t i ma tr n tr c giao Q cho Q-1AQ lƠ ma tr n chéo ta nói A chéo hóa tr c giao đ c vƠ Q lƠ ma tr n lƠm chéo hóa tr c giao ma tr n A + Khi ta có : B = Q-1 A.Q lƠ ma