Luận văn sư phạm Chéo hóa ma trận

Lời cảm ơn Trước hết, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm Khoa toán Tổ hình học với quý thầy cô đà tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thúy, người đà hướng dẫn tận tình thường xuyên động viên em trình hoàn thành đề tài Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đà bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận Do thời gian có hạn, kiến thức thân hạn chế nên nội dung khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến tiếp tục xây dựng đề tài quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Lệ Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành kết nghiên cứu tìm hiểu thân, với hướng dẫn tận tình cô Đinh Thị Kim Thúy Khóa luận với đề tài: Chéo hóa ma trận không trùng với kết công trình nghiên cứu khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Lệ Mục lục A mở ®Çu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu §èi tượng nghiên cứu NhiƯm vơ nghiªn cøu Ph­¬ng pháp nghiên cứu B néi dung Ch­¬ng 1: kiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1.Ma trËn 1.2 Ma trËn cđa ®ång cÊu tun tÝnh 1.3 C¬ së trùc chuÈn 1.4 Vectơ riêng giá trị riêng 1.5 Các phương pháp tính giá trị riêng vectơ riêng tự ®ång cÊu f 11 Ch­¬ng 2: chÐo hãa ma trËn 23 2.1 ChÐo hãa ma trËn cđa tù ®ång cÊu 23 2.2 ChÐo hãa trùc giao 29 2.3 Phương pháp chéo hóa ma trận 30 2.4 øng dông chÐo hãa ma trËn 46 2.7 Bài tập áp dụng 47 C kÕt luËn 54 Tµi liƯu tham kh¶o 55 Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp A mở đầu Lý chn ti Có thể nói Đại số tuyến tính môn học quan trọng sinh viên ngành Toán Nó coi môn học sở cho tất môn toán mà sinh viên học Trong ma trận toán liên quan đến ma trận phần kiến thức bản, gây nhiều hứng thú nội dung môn học Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận, chéo hóa ma trận vấn đề Do em muốn sâu vào tìm hiểu vấn đề Được hướng dẫn nhiệt tình cô Đinh Thị Kim Thúy với lòng yêu thích môn học em đà lựa chọn nghiên cứu đề tài Chéo hóa ma trận Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khắc sâu kiến thức ma trận chéo phương pháp chéo hóa ma trận Đối tượng nghiên cứu Các vấn đề chéo hóa ma trận NhiƯm vơ nghiªn cøu Nghiªn cøu mét sè kiÕn thøc liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận hai toán chéo hóa ma trận Phương pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, phân tích tổng hợp tập minh họa, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Trnh Th L K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghip B nội dung Chương 1: kiến thức chuẩn bị 1.1.Ma trận 1.1.1 Định nghĩa Cho trường tùy ý Một bảng gồm mn phần tử aij cã d¹ng:  a11 a12 a  21 a22    am1 am a1n  a2 n    amn gọi ma trận kiểu (m,n) Mỗi aij gọi thành phần ma trận Vectơ dòng (hay hàng) ai1 ain gọi dòng (hay hàng) thứ i ma trËn  a1 j  a   2j  Vectơ cột gọi cột thứ j cña ma trËn    amj  Ta thường kí hiệu ma trận chữ A,B,Ma trận kí hiệu đơn giản bởi: A=( aij )mn Ta cịng nãi A lµ ma trËn cã m dòng, n cột Khi m = n ma trận ( aij )mn gọi ma trận vuông cấp n KÝ hiƯu A=( aij )nn hc A=( aij )n Tập hợp tất ma trận kiểu (m,n) với phần tử thuộc trường kí hiệu Mat(mn,) 1.1.2 Các kiểu ma trận a Ma trận đơn vị Trnh Th L K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Phần tử đơn vị vành Mat(nn,) ma trận:     En =       0  Ta gäi En ma trận đơn vị cấp n b Ma trận chun vÞ Cho  a11 a12 a  21 a22 A=( aij )mn =    am1 am a1n  a2 n    amn  Ma trËn  a11   a12 ( aij )nm =    a1n a21 am1   a22 am    a2 n amn gọi ma trận chuyển vị ma trËn A , kÝ hiƯu lµ At c Ma trận nghịch đảo Ta gọi ma trận vuông AMat(nn,) ma trận khả nghịch (hay ma trận không suy biÕn) nÕu cã ma trËn vu«ng BMat(nn,) cho A.B  B A  En Khi ®ã B gọi ma trận nghịch đảo A kÝ hiƯu lµ B  A1 d Ma trËn chÐo Trịnh Thị Lệ K35C SP Tốn Chéo hóa ma trn Khúa lun tt nghip Đường chéo chứa phÇn tư a11 , a22 , , ann cđa ma trận vuông A=( aij )n gọi đường chéo ma trận A, đường chéo lại gọi đường chéo phụ Ma trận vuông A=( aij )n có tất phần tử nằm đường chéo gọi ma trận chéo e Ma trận đối xứng Ma trận A gọi đối xứng At A g Ma trËn trùc giao Ma trËn thùc A vu«ng cÊp n gọi ma trận trực giao At A En , At ma trận chuyển vị A , hay nói cách khác hệ vectơ cột A hệ trực chuẩn n với tích vô hướng tắc A lµ ma trËn trùc giao VÝ dơ: XÐt ma trËn  cos A=   sin   sin   , cos   cos sin   Khi ®ã: At =     sin  cos   cos At.A =    sin  sin    cos cos   sin   sin    = cos   0 = E2  VËy A lµ ma trËn trùc giao NhËn xÐt: NÕu A lµ ma trận trực giao A khả nghịch At A1 h Ma trận đồng dạng Trnh Th L K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp Cho hai ma trËn A A ' cïng thuéc Mat(nn,) Hai ma trËn A A ' đồng dạng có ma trận khả nghịch CMat(nn,) cho: A '  C 1 A.C 1.2 Ma trận đồng cấu tuyến tính Định nghĩa Giả sử V, W - không gian vectơ hữu hạn chiều,  e   e1 , e2 , , en sở V, 1 ,  , ,  m  lµ sở W Mỗi đồng cấu tuyến tính f :V W xác định    hƯ vect¬  f  e1  , f  e2  , , f  en Các vectơ f e j lại biểu thị tuyến tính cách nhÊt qua c¬ së     1 ,  , ,  m  cña W: m   f  e j    aij i , j=1,2,,n i Trong aij ®Ịu thc tr­êng  Nãi tãm l¹i, ®ång cÊu tun tính f xác định cách hƯ thèng nhÊt bëi hƯ   thèng c¸c v« h­íng aij  i  m,1  j n Ta xếp chúng thành ma trận:  a11 a  21 A=    am1 a12 a22 am a1n  a2 n    amn  Và gọi ma trận đồng cấu tuyến tính f :V W cặp sở e  vµ    Khi f :V V tự đồng cấu tuyến tính, ma trận f sở e xác định sau: Cột thứ j ma trận täa ®é Trịnh Thị Lệ K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp  cđa vect¬ f  e j  , j = 1,2,…,n sở e Ma trận phép biến đổi tuyến tính ma trận vuông 1.3 Cơ sở trực chuẩn 1.3.1 Cơ sở trực chuẩn Định nghÜa    a) Cho mét c¬ së gåm n vect¬ e1 , e2 , , en  cđa không gian Euclid n chiều gọi sở trực giao vectơ sở đôi vuông góc với nhau, tức ei , e j  nÕu ij    b) Cho mét c¬ së gåm n vect¬ e1 , e2 , , en  cđa kh«ng gian Euclid n chiều gọi sở trực chuẩn sở trực giao chuẩn vectơ sở ei ,ej   1 NÕu ij NÕu i=j 1.3.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt Phương pháp trực giao hóa Schmidt phương pháp chuyển hệ n vectơ độc lập tuyến tính không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơ không chứa vectơ , trực giao với đôi vectơ biểu diễn tuyến tính qua hệ đà cho Giả sử có sở e1 , e2 , , en không gian Euclid n    chiỊu E Ta x©y dùng hƯ n vect¬ trùc giao     1 ,  , ,  n  nh­ sau: Đặt :  e1 vµ  k 1  b11   bk  k  ek 1 , k  1, n    ek 1 ,  i ®ã: bi     , i  1, k i ,i      Thì nhận sở trực giao ,  , ,  n  cđa hƯ e1 , e2 , , en  E b»ng ph­¬ng ph¸p trùc giao hãa Schmidt Trịnh Thị Lệ K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp Chuẩn hóa cách đặt i i ta nhận hệ 1, , ,  n i    lµ mét c¬ së trùc chn cđa hƯ e1 , e2 , , en E phương pháp trùc chuÈn hãa Schmidt VÝ dô: H·y trùc giao, trùc chuẩn hóa hệ ba vectơ sau không  gian vect¬ Euclid 4: 1  1,1,0,0    1,0,1,0     1,0,0,1 Lêi giải: Dễ dàng chứng tỏ hệ vectơ , , hệ vectơ độc lập tuyÕn tÝnh XÐt hÖ:   e1  1  1,1,0,0    e1 , 1.1  1.0  0.1  0.0     e2  b1e1   , víi b1       11  e1 , e1  1   e2   1,1,0,0   1,0,1,0    ,  ,1,0  2      e3  b1e1  b2e2   ,víi:   e1 , 1.(1)  1.0  0.0  0.1  b1       e1 , e1 11   1   (1)      1.0  0.1 e ,  2  b2   2    1 e2 , e2  1 4  1 1  1   e3  (1,1,0,0)  ( ,  ,1,0)   1,0,0,1    , , ,1 2  3      Ta nhận sở trực giao e1 , e2 , e3 cđa hƯ 1 , ,3 4    ChuÈn hãa hÖ e1 , e2 , e3  nh­ sau: Trịnh Thị Lệ K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp Víi 3 = 3, xÐt hƯ:  d1P1  3d1  d2   18d1  3d1   d1P2  3d2  d3    99d1  3d d P   d  162d1  3d3 3   d2  d3    Chän d1 = ta cã: d2 = -15 , d3 = 54 Vậy vectơ riêng có d¹ng:  = 1.C(2) + (-15).C(1) + 54.C(0)    = (53,-26,4) – 15(7,-2,0) + 54(1,0,0)    = (2,4,4)  1 2  Chuẩn hóa được: e3 , ,  3 3    VËy ( e1 , e2 , e3 ) sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng A Ma trận trực giao lµm chÐo hãa ma trËn A lµ:    1 Q=     3  3 1 3  2 3  2  3 Ma trËn chÐo B lµ: 6 0  0  0   VÝ dô Cho ma trËn A, h·y t×m ma trËn trùc giao Q ®Ĩ ®­a ma trËn A vỊ d¹ng ®­êng chÐo B=Q-1.A.Q Trịnh Thị Lệ 41 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp  2    A=  2     2  Lêi gi¶i: Ta cã:  2   2   24 12 6        A2 =  2   2  =  12 24   2   2   6 33         2   24 12 6   108 108 54        A3 = A.A2 =  2   12 24  =  108 108 54         2   6 33   54 54 189  S1 = Tr(A) = a ii i 1 S2 = Tr(A ) =  a   = 24+24+33 = 81 i 1 3 S3 = Tr(A ) = = 2+2+5 = ii  a  = 108+108+189 = 405 i 1 ii Ta cã:   P1    P2    P3   P1  9   S1    (81  9.9)    ( S  PS  P2  1) 2  1  P3   (405  9.81  0.9)  108   ( S3  PS  P2 S1 )  3  VËy P1 = -9 , P2 = , P3 = 108 Phương trình đặc trưng ma trận A là:       9  108  Trịnh Thị Lệ 42 K35C SP Toán Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp C¸c gi¸ trị riêng A nghiệm phương trình:  9  108   1      2  (bội 1) (bội 2) Víi 1 = -3 ta xÐt hƯ phương trình tuyến tính nhất: a11  x1     a21x1  a x  31  a12 x2  a13 x3   a23 x3  a22  1  x2   (a33  1) x3  a32 x2  5x1  4x2     4x1  5x2  2x  2x    Chän 1   2, 2,1 2x3  2x3    x1   x2  x2 x3 8x3 vectơ riªng øng víi 1 = -3, chn hãa   2 , ,   3 3 Víi 2 =3 = ta xét hệ phương trình tuyến tính nhÊt :  a11  2  x1     a21x1  a x  31  a12 x2  a32 x2 a23 x3    (a33  2 ) x3   a22  2  x2 4x1  4x2  2x3     4x1  4x2  2x3   2x  2x  x   a13 x3  x1  x2 x3 Hệ phương trình có nghiệm tổng quát x1 , x2 , x1  x2  , x1 , x2 tïy ý Để tìm sở trực chuẩn không gian riªng øng víi 2 =3 = -1 ta cã thĨ tìm theo hai cách: Trnh Th L 43 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp  C¸ch 1: Chän x1  0, x2  ta ®­ỵc mét nghiƯm:    0,1,2  Chọn x1 1, x2 ta mét nghiÖm:   1,0, 2  Nh­ ta hệ gồm vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng =3 =   Trùc chuÈn hãa Schmidt hÖ a2 , a3   e2  a2   0,1,2        ,e 1.0  0.1  ( 2).2 e3  b1.e2   , b1   3 1    e1 , e1 1   2  e3   0,1,2   1,0, 2   1, ,    5         , , , ChuÈn hãa e2 , e3 : 0, , 3    5  3 5 Cách 2: Vectơ riêng có d¹ng x   x1 , x2 , 2 x1  x2       Chọn a2   0,1,2  ChuÈn hãa a2 0,1,2 0, ,   5  T×m   1 ,2 ,3  cho tháa m·n hÖ :     ,   1     3 ,3   Giải (1) ta được: 2  3      (i) 5 5 Giải (2) ta được: 12  22  32  (ii) Tõ (i) chän 3    2 Thế vào (ii) ta 1  3   , , Vậy ta  3 5 5 VËy ma trËn trùc giao lµm chÐo hãa ma trËn A lµ: Trịnh Thị Lệ 44 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp     Q =              5 5 Ma trËn chÐo B lµ:  3  B=    0 Chú ý: Ngoài phương pháp chéo hóa ma trận đà nêu phần trên, ta chéo hóa ma trận cho trước phương pháp Gauss sau Giả sử có ma trËn A = (aij)nn Ta sư dơng phÐp biÕn ®ỉi Gauss ®Ĩ biÕn ®ỉi ma trËn A, ®­a A dạng ma trận chéo với phép biến đổi sau: a Cộng vào dòng tổ hợp tuyến tính dòng khác b Nhân dòng với vô hướng khác Ví dụ: Dùng phương pháp Gauss đưa ma trận sau dạng ma trận chéo: 1    A = 2   1   Lêi gi¶i: 1    2D1-D2D2    1 4D1-D3D3   Trịnh Thị Lệ 1 2   D2-D3D3   0 9   45 1  0     0 8    K35C SP Toán Chéo hóa ma trận 8D2D2 D2+D3D2 Khóa luận tốt nghiệp 1   16  4D1+D3D1    0 8    4   16     0 8     16 0  4D1-D2D1  1/8D1,1/8D2,1/8D3 16    0 8    2 0  0     0 1    2 0    VËy dạng chéo ma trận A là:   0 1    2.4 øng dơng chÐo hãa ma trËn ViƯc tÝnh lịy thõa bËc n cđa ma trËn vu«ng A theo c«ng thøc nhân ma trận thông thường việc khó khăn Bây ta tìm công thức tính lũy thừa bậc n ma trận vuông dựa vào ma trận chÐo Gi¶ sư cho ma trËn A  Mat(nn,), A cã ma trËn chÐo lµ B víi B  C 1 A.C th× ta cã A  C.B.C 1 Sư dơng tÝnh chÊt nµy ta cã: An   C.B.C 1   C.B.C 1.C.B.C 1 C.B.C 1 , mµ C 1.C  En n  An  C.B n C (6) Đây công thức cần tìm VÝ dô: Cho ma trËn :  0 A     2   TÝnh An b»ng c¸ch chÐo hãa ma trận A? Lời giải: Bằng phương pháp chéo hóa ma trận phần trước ta tìm ma trận lµm chÐo hãa ma trËn A lµ: Trịnh Thị Lệ 46 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp 1 0 C   0  0 1   Khi ®ã ma trËn chÐo cđa ma trËn A lµ :  0   B=C-1.A.C=   0 áp dụng công thức (6) ta tính : An C.B nC n 1 0     0   2n   0 1   0  2n 0   3n 0 0  3n  2n 2n     1   0 1  3n  0 0 1 2.7 Bài tập áp dụng Bài 1: Trong ma trận sau ma trận chéo hóa được? Nếu hÃy đưa dạng chéo? 0 1   A=   ; 1 0   1 0   B=  1   0 2   0 1 C=  0  0 0 1 D=  0  0 Trịnh Thị Lệ 0 0  ; 0 1  0 47 0 0  0 1  0 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghip Đáp số: 0 Ma trận A có dạng chéo hóa là:   0 1   0 0   Ma trËn B cã d¹ng chÐo hãa lµ:   0 2    1  1  Ma trận C có dạng chéo hóa là: 0  0 0 0 0  0 Ma trận D không chéo hóa không tồn sở gồm vectơ riêng Bài 2: Giả sử f tự đồng cấu - không gian vectơ V, có ma trận A HÃy tìm sở V để ma trận f sở ma trËn chÐo :  2    A=  2 2  ;  2       B=     Trịnh Thị Lệ 2 1   1 C=   0 0 0 0  0  0 1 2  D=   3 0 0 1  1  0 1    ; 1   2 48 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khúa lun tt nghip Đáp số: Đối với ma trận A:{(2,2,1);(-2,1,2);(1,-2,2)} B:{(1,0,1);(-1,0,1);(1,1,0)} C:{(0,0,0,1);(1,1,0,0);(0,0,1,1);(0,1,0,0)} D:{(0,-1,-1,2);(0,0,-1.-1);(-2,3,7,0);(0,1,1,1)} Bài 3: Cho ma trận vuông cÊp hai thùc hay phøc: a b A=   Tìm điều kiện cần đủ a, b, c, d ®Ĩ ma trËn A c d   chéo hóa Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng ma trËn A: A   E2  a b c d      a  d    ad  bc    a  d    ad  bc Trường hợp 1: A ma trận thực + Nếu > A có hai giá trị riêng phân biệt, A chéo hóa + Nếu = A có giá trị riêng Để A chéo hóa A phải có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính:  x1  1   x1 , x2  ;   y1 , y2  ,   y1   a  0  x1  bx2    a  0  y1  by2  Trịnh Thị Lệ    Khi ®ã ta cã: y2   cx1   d  0  x2   cy1   d  0  y2  , Hai hệ phương trình có a c  d  0  Hay:  b0 x2 ; x1 x2 y1 y2  nªn a  0  b  vµ d  0 Suy a = d vµ b = c =   c0 49 K35C SP Toán Chéo húa ma trn Khúa lun tt nghip Từ điều ta dễ dàng suy điều kiện cần đủ để ma trận thực A chéo hóa >0 a = d b = c = Trường hợp 2: A ma trận phức Tương tự trường hợp thực ta suy ra: Điều kiện cần đủ để ma trận phức A chéo hóa hoặc a = d v b = c = Bµi 4: Cho ma trËn thực A, hÃy tìm ma trận Q để Q-1.A.Q có d¹ng chÐo? 0 0  A =   0 1  0 0 1    0  H­íng dÉn: Tr­êng hợp 1: n chẵn (n = 2k) Đa thức đặc tr­ng cđa A lµ:  det(A - .En) =  0  =(2 - 1).D2(k-1)  Quy n¹p theo k ta suy ra: D2k = (2 - 1)k Khi ®ã: A có hai giá trị riêng = (bi k), 2 = -1 (béi k) Víi 1 = ta dễ dàng tìm sở trực chuẩn: Trnh Thị Lệ 50 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp   1  ,0, ,0, u1    2    1  , , ,0  u2   0, 2     1  , , ,0  uk   0, , 2   Víi 2 = -1 ta t×m sở trực chuẩn: 1 uk 1   0, ,  , , ,0  2    1   u2 k 1   0,  , , ,0  2      ,0, , ,0  u2 k    2   Ma trËn trùc giao Q cÇn tìm là:  2   1      2    Q=    1    2    1    Trường hợp 2: n lẻ ( n = 2k+1) Khai triển theo dòng thứ k+1và sau ®ã tÝnh nh­ tr­êng hỵp 1, ta ®­ỵc: Trịnh Thị Lệ 51 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp det(A - .En) = D2k+1 = (1 - ).(2 1)k Vậy A có hai giá trị riªng 1 = (béi k+1), 2 = -1 (béi k) Tõ ®ã suy ma trËn trùc giao C trường hợp giống trường hợp chẵn Bài 5: Chứng minh rằng: Hai ma trận đồng dạng có đa thức đặc trưng, có giá trị riêng? Hướng dẫn: Giả sử A, B hai ma trận đồng dạng, tồn ma trận khả nghịch T cho B=T-1.A.T Khi đó: B  E  T 1 AT   E  T 1  A   E  T  A  .E Bµi 6: Cho ma trËn 1  a  a  a   , với a số thực khác HÃy tÝnh An A=   a a a  với n số tự nhiên Gợi ý: Ma trận A chéo hóa thành ma trËn B=  0   ®èi víi a2  c¬ së gåm hai vect¬ (1,a);(-1,1) Ma trËn chun từ sở đà cho sang sở gồm hai vectơ riêng nói T = a 1    An  (T B.T 1 ) n  T B.T 1.T B.T 1 T B.T 1 n  T B T 1   a n 1   a   a  a n 1  a 2n   a  a2n  3  TÝnh A2011 Bµi 7: Cho ma trËn A     1 Trịnh Thị Lệ 52 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp H­íng dÉn:  1  Ma trËn A chÐo hóa thành ma trận D Ma trËn lµm   0 1 chÐo hãa ma trËn A lµ P    1 2   2     12011  Do ®ã ta cã: A2011  P.D 2011.P 1     2011       0  32011  2011   2.3 Trịnh Thị Lệ 53 0  1  K35C SP Toán Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp C kÕt luận Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài Chéo hóa ma trận em đà nghiên cứu số vấn đề sau đây: Ma trận ma trận đồng cấu tuyến tính, vectơ riêng giá trị riêng, số phương pháp tính giá trị riêng vectơ riêng, chéo hóa ma trận, phương pháp chéo hãa ma trËn, vµ øng dơng cđa ma trËn chÐo Trong khóa luận tốt nghiệp em đà nêu số nhận xét, ý ví dụ cụ thể để hiểu rõ nội dung khãa ln ®· ®Ị cËp ®Õn Mong r»ng nã sÏ tài liệu bổ ích cho bạn đọc quan tâm tới vấn đề chéo hóa ma trận Qua việc thực nghiên cứu đề tài này, em đà mở rộng tầm hiểu biết vấn đề chéo hóa ma trận làm quen với việc nghiên cứu khoa học Do thời gian có hạn, lần làm quen với nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên có thĨ khãa ln cđa em cßn nhiỊu thiÕu sãt Em hy vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc Trnh Th L 54 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Khu Quốc Anh Nguyễn Anh KiƯt – T¹ MÉn – Ngun Do·n Tn (2001), Bài tập đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Bùi Thanh Hải Trịnh Thanh Đèo Thái Minh Đường Trần Ngọc Hội, Đại số tuyến tính, NXB Đại häc Quèc gia TP Hå ChÝ Minh TrÇn Träng Huệ, Giáo trình đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh (1996), Giáo trình đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Lương Hữu Thành (1998), Hướng dẫn giải tập đại số tuyến tính, Trường Đại học Giao thông vận tải Nguyễn Duy Thuận, Bài tập đại số tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm Phan Hồng Trường (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặng Văn Vinh (2008),Bài giảng môn toán ứng dụng, Trường Đại học B¸ch khoa TP Hå ChÝ Minh Trịnh Thị Lệ 55 K35C SP Toán ... ma trận sở V f chéo hóa ma trận A f đồng dạng với ma trận chéo Định nghĩa Ma trận AMat(nn,) đồng dạng với ma trận chéo B Mat(nn,) A gọi ma trận chéo hóa Nếu A chéo hóa ma trận đồng dạng với chéo. .. C-1.A.C ma trận chéo Làm để tìm ma trận C ma trận C có tính chất đặc biệt phụ thuộc vào kiểu ma trận A mà nã lµm chÐo hãa Trịnh Thị Lệ 30 K35C SP Tốn Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp NÕu A ma trận. .. gọi đường chéo ma trận A, đường chéo lại gọi đường chéo phụ Ma trận vuông A=( aij )n có tất phần tử nằm đường chéo gọi ma trận chéo e Ma trận đối xứng Ma trận A gọi đối xứng At  A g Ma trËn trùc