SKKN ứng dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit vào các bài toán liên hệ thực tế

Áp dụng sự thay đổi đó vào công tác giảng dạy và ôn thi THPT Quốc gia,bản thân tôi nhận thấy môn toán học lớp 12 phần chương II “ Hàm số lũy thừa,hàm số mũ và hàm số lôgarit” là phần kiế

Trang 1

MỤC LỤC Trang

I LỜI GIỚI THIỆU……… 3

II TÊN SÁNG KIẾN……… 3

III TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ……… 3

IV CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN ……… 3

V LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN……… 4

VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ……… 4

VII MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN……… 4

A NỘI DUNG SÁNG KIẾN……… 4

1 Cơ sơ lí thuyết……… 4

1.1.Hàm số mũ……… 4

1.2 Hàm số lôgarit……… 5

2 Một số dạng bài tập ứng dụng thực tế của hàm số mũ, hàm số lôgarit……… 6

3 Bài tập luyện tập ……… 24

B KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN……… 28

VIII NHỮNG THÔNG TIN CẦN BẢO MẬT……… 28

IX.CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN… 28

X ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHÚC, CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU, KỂ CẢ ÁP DỤNG THỬ ………

28 1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả……… 28

2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức cá nhân……… 29

XI DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ……… 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 31

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I LỜI GIỚI THIỆU

Giáo dục hiện nay đang có nhiều sự thay đổi mạnh mẽ, không chỉ giúp học sinh lĩnh hội các tri thức còn hướng tới phát triển các năng lực của học sinh,

Trang 2

hình thành những con người năng động, sáng tạo, tự chủ, biết giải quyết các vấn

đề nảy sinh Theo chủ trương của Bộ Giáo dục và nhu cầu thực tiễn, dạy họcmôn toán đang hướng tới giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng quát về Toánhọc, hiểu được vai trò và ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế, nhữngngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng nghềnghiệp, có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề có liên quan đếntoán học trong suốt cuộc đời

Áp dụng sự thay đổi đó vào công tác giảng dạy và ôn thi THPT Quốc gia,bản thân tôi nhận thấy môn toán học lớp 12 phần chương II “ Hàm số lũy thừa,hàm số mũ và hàm số lôgarit” là phần kiến thức quan trọng, nội dung ứng dụngcủa hàm số mũ, hàm số lôgarit vào các bài toán thực tế hay và khó, có nhiều ứngdụng liên hệ đến đời sống xã hội, ngành nghề và khoa học kỹ thuật Nội dungnày mới được khai thác nhiều hơn những năm gần đây, phần kiến thức này chưa

có nhiều tài liệu, nhiều học sinh còn lúng túng khi giải các bài toán này Để họcsinh có cái nhìn tổng quan, phân loại được bài tập, thành thạo các kỹ năng cũngnhư thao tác trong làm các câu hỏi trắc nghiệm liên quan phần kiến thức này, tôi

đã thay đổi phương pháp giảng dạy truyền thống là bắt học sinh nhớ máy móckiến thức sang phương pháp giảng dạy bản chất, dạy học sinh cách nhận biết cácdạng toán để có thể vận dụng nhanh khi làm bài nhằm đạt kết quả cao hơn trong

kì thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi

II TÊN SÁNG KIẾN

Ứng dụng của hàm số mũ và hàm số lôgarit vào bài toán liên hệ thực tế

III TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Hoàng Thị Thu Hà

- Địa chỉ : Trường THPT Quang Hà

- Số điện thoại:097471967

E_mail: hoangthithuha.gvquangha@vinhphuc.edu.vn

IV CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Hoàng Thị Thu Hà

- Địa chỉ : Trường THPT Quang Hà

- Số điện thoại: 0974719678

E_mail: hoangthithuha.gvquangha@vinhphuc.edu.vn

V LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Trang 3

- Đối tượng áp dụng sáng kiến:

+ Ôn thi THPT Quốc gia: Học sinh lớp 12B, 12H ( năm học 2018 – 2019)

+ Bỗi dưỡng học sinh giỏi vòng Tỉnh

- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh thi học sinh giỏi vòng Tỉnh và thi THPTQuốc gia

VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ

- Ngày áp dụng lần đầu: Tháng 11 năm 2018

VII MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

A NỘI DUNG SÁNG KIẾN

Trang 5

9

loglog

log

b a

b

x x

S: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn

M: Tiền gửi ban đầu

n : Số kỳ hạn tính lãi

r: Lãi suất định kỳ, tính theo %

*) Xây dựng công thức:

Trang 6



*) Bài tập

Bài 1: Một người gửi ngân hàng với số tiền 100 triệu đồng theo hình thức lãi

đơn (lãi không tính vào gốc) với lãi suất 5% một năm Nếu giữ nguyên số tiềngốc ban đầu như vậy thì sau 2 năm tổng số tiền người đó có được là bao nhiêu?(Giả sử lãi suất không đổi)

Hướng dẫn

Áp dụng công thức S n M(1nr)

Với M = 100(triệu đồng), n = 2(năm), r = 5%

Tổng số tiền người đó nhận được sau 2 năm là: S  n 100(1 2.0,05) 110  triệu

Bài 2: Một người gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi đơn với tiền gốc 20 triệu

đồng, lãi suất 5,1% một năm Người đó muốn nhận được ít nhất 25 triệu đồng cảvốn lẫn lãi thì người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm?

Với M = 20(triệu đồng), Sn = 25(triệu đồng), r = 5,1%

Từ công thức trên ta suy ra:

20.0, 051

n

S M n

Mr

Vậy người đó phải gửi ít nhất 5 năm để nhận được số tiền ít nhất 25 triệu

Bài 3: Một người gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi đơn với tiền gốc 30 triệu

đồng Sau 2 năm người đó nhận được 33,4 triệu đồng cả vốn lẫn lãi Tính lãisuất theo năm của tiền gửi?

Trang 7

Với M = 30(triệu đồng), Sn = 33,4(triệu đồng), n = 2(năm)

Từ công thức trên ta suy ra:

33, 4 30

0,057 30.2

n

r Mn

Vậy lãi suất tiền gửi là 0,057 (tức 5,7%) một năm

2.2 Bài toán 2: Lãi kép

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi dotiền gốc sinh ra thay đổi theo từng chu kỳ

a) Lãi kép, gửi một lần

(1 )n n

S M r

Trong đó:

Sn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn

; (1 )

n n

S M

r





*) Bài tập

Trang 8

Bài 4:

Một người gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kỳ hạn 3 thángvới lãi suất 0,59% một tháng Cứ sau 3 tháng tiền lãi mới được cộng vào tiềngốc để tính lãi cho chu kỳ tiếp theo Nếu người đó không rút lãi ở tất cả các địnhkỳ, hỏi sau 3 năm số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?(làm tròn tớihàng nghìn)

đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sửtrong suốt thời gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra

Áp dụng công thức tính lãi kép S n M(1r)nsuy ra

ln ln(1 )

n

S M n



Vậy thời gian ít nhất là 12 năm thì người đó nhận được ít nhất 100 triệu đồng

Bài 6: Một người gửi 30 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì

hạn là một tháng, sau 4 năm người đó nhận được 35,5 triệu đồng Hỏi lãi suấtgửi tiền là bao nhiêu một tháng?

Áp dụng công thức tính lãi kép S n M(1r)nsuy ra 1

n

n S r M

Trang 9

Nên

4 35,5

1 0,043 30

r   

Vậy lãi suất là 0,043(hay 4,3% mỗi tháng)

Bài 7: Một người vay ngân hàng một số vốn theo hình thứ lãi kép, lãi gộp vốn 6

tháng một lần, với lãi suất 9,6% một năm Tổng số tiền cửa hàng phải trả sau 4năm 6 tháng là 53625000 đồng Hỏi người đó đã vay số vốn ban đầu là baonhiêu?(làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)

Lãi suất 9,6% một năm là

1 9, 6% 4,8%

2  một chu kì sáu tháng

3 năm 6 tháng là 8,5 chu kì

Áp dụng công thức: S n M(1r)nsuy ra (1 )

n n

S M

b) Lãi kép, gửi định kỳ.

*)Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng

Tiền gửi tháng thứ nhất sau n – 1 kỳ hạn (n – 1 tháng) thành: M(1r)n1

Tiền gửi tháng thứ hai sau n – 2 kỳ hạn (n – 2 tháng) thành: M(1r)n2

………

Tiền gửi tháng cuối cùng là: M(1r)0

Trang 10

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân, số tiền cuối tháng n là:

Bài 8: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép kì

hạn 3 tháng lãi suất 6% / quý, Cứ sau 1 quý người đó gửi thêm 100 triệu đồngvới kì hạn và lãi suất như cũ Hỏi sau một năm người đó có bao nhiêu tiền cảvốn lẫn lãi?

3 tháng bằng 1 quý, một năm bằng 4 quý

Áp dụng công thức: (1 ) 1

n n

M

với M = 100 (triệu), r = 6%, n = 4 (quý)

Sau một năm người đó có bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi là:

4 100

Sn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn

Trang 11

Cuối tháng thứ hai, số tiền là:

n

S r

r M

Bài 9: Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất

0,7%/tháng Sau 10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khingân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?

Áp dụng công thức (1 ) 1

n n

Bài 10: Ông Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi

ngân hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi số tiền ít nhấtbao nhiêu vào đầu tháng?

Áp dụng công thức (1 ) 1 (1 )

n n

r M

r r



Với Sn = 100.106 (đồng), r = 0,7%/ tháng, n = 10 tháng

Trang 12

Vậy đầu mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi ít nhất 9621676 (đồng) vào ngân hàng

Bài 11: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với

lãi suất 0,6%/tháng Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng ( khi ngân hàng đã tính lãi)thì anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?

Áp dụng công thức (1 ) 1

n n

n

S r

r M

100.10 0,6%

3.10

1 30,3 ln(1 0,6%)

2.3 Bài toán 3: Vay vốn trả góp

Vay ngân hàng một số tiền M đồng, với lãi suất hàng tháng r (%)/ tháng.Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhauđúng 1 tháng, mỗi tháng hoàn nợ là X đồng Trả hết nợ sau n tháng, khi đó:

X: Số tiền phải trả vào hàng tháng

Số tiền còn nợ cuối tháng thứ nhất: S1 M Mr X M r   (   1) X

Trang 13

Số tiền còn nợ cuối tháng thứ hai:

2 2

n

n n

n

y

r r

Bài 12 (Đề minh họa THPTQG năm 2017)

Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/ năm.Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngàyvay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng,

số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền vay sau đúng 3 tháng kể từngày vay Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theocách đó là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thờigian ông A hoàn nợ

S  [ (M r 1)  m] [ (  M r 1)  m r m M r]   (  1)  m r[(  1) 1] 

Trang 14

Số tiền còn nợ cuối tháng thứ ba:

Vậy mỗi tháng ông A phải trả cho ngân hàng là 34002211 (đồng)

Bài 13: Một người vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất

0,9%/ tháng mỗi tháng trả 15 triệu đồng Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó trảhết nợ ngân hàng?

Áp dụng công thức:

(1 ) 1 (1 )

n n

Với M = 500 (triệu đồng), r = 0,9%/ tháng, X = 15(triệu đồng)

Giả sử sau n tháng người đó trả hết nợ, ta có

Vậy phải trả nợ trong vòng 40 tháng

2.4 Bài toán 4: Gửi ngân hàng và rút tiết kiệm hàng tháng( rút sổ tiết kiệm theo định kỳ)

Gửi vào ngân hàng một số tiền M đồng, với lãi suất hàng tháng r (%)/tháng Mỗi tháng vào ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền X đồng Sau n tháng sốtiền gửi hết, khi đó:

(1 ) (1 ) 1

Trang 15

X: Số tiền rút ra hàng tháng.

*) Xây dựng công thức

Sau tháng thứ nhất số tiền trong sổ còn lại là: S1 M r(   1) X

Sau tháng thứ hai số tiền trong sổ còn lại là:

2 2

n n

Bài 14: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, kì

hạn 1 tháng, lãi suất 0,65%/ tháng Mỗi tháng người đó rút ra 1 triệu đồng vàongày ngân hàng bắt đầu tính lãi Hỏi sau 2 năm người đó còn lại bao nhiêu tiền?

Áp dụng công thức:

(1 ) 1 (1 )

n n

Trang 16

Một người được lĩnh lương khởi điểm là M đồng/tháng Cứ sau k tháng (1chu kì) thì người đó được tăng thêm r (%)/ tháng Hỏi sau n chu kì người đóđược lĩnh tất cả số tiền bao nhiêu?

M: Lương khởi điểm

k: Số tháng của 1chu kì tăng lương

n : Số chu kì

r: Phần trăm tăng lương

Chu kì thứ 1 số tiền mỗi tháng nhận được u1 M

Chu kì thứ 2 số tiền mỗi tháng nhận được u2 M Mr M  (1 r)

Chu kì thứ 3 số tiền mỗi tháng nhận được u3 M(1 r) M(1 r r M)  (1 r)2

Chu kì thứ 4 số tiền mỗi tháng nhận được

(1 ) 1 (1 ) 1

n n

r

r r

Bài 15: Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700000 đồng/tháng Cứ 3 năm

người đó lại được tăng lương thêm 8% so với trước đó Hỏi sau 33 năm làm việcngười đó nhận được tổng số tiền là bao nhiêu?

Trang 17

Từ đầu năm thứ 1 đến hết năm thứ 3 người đó nhận được số tiền u 1 700000.36

Từ đầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6 người đó nhận được số tiền:

2.6 Bài toán 6: Bài toán tăng trưởng dân số

Cho biết tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của một quốc gia B là Angười, tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là r% Khi đó côngthức tính dân số của quốc gia B đến năm thứ n là:

Công thức 1: S n Ae nr (1)

Công thức 2: (1 ) (2)

n n

S A r

Trong đó:

A: Dân số của năm lấy làm mốc tính

Trang 18

Sn : Dân số sau năm n

r: Tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm

Từ CT(2) suy ra:

ln ln(1 )

n

S A n

r



 , (1 )

n n

S A

r





*) Bài tập

Bài 16: Dân số nước ta năm 2014 là 90,7 triệu người(theo Thông cáo báo chí

của ASEEANstats), tỉ lệ tăng dân số là 1,06%

a) Dự đoán dân số nước ta năm 2024 là bao nhiêu?

b) Biết rằng dân số nước ta sau m năm sẽ vượt 120 triệu người Tìm số m bénhất?

- Việc áp dụng công thức (1) hay công thức (2) tùy thuộc vào từng bài toán.

Công thức (1) thường dùng trong các bài toán có tính dự báo dân số trongmột thời gian dài Công thức (2) dùng trong việc tính toán dân số trongcác khoảng thời gian nhất định

Trang 19

- Trong các bài toán có thể đề bài nói rõ sử dụng công thức nào Nếu đề bài

không nói rõ khi đó ta sử dũng công thức nào cũng được vì sai số tínhtoán trong hai công thức trên là không lớn

2.7 Bài toán 7: Bài toán tính độ PH của dung dịch

Trong mỗi dung dịch người ta dùng độ pH để đánh giá dung dịch có tínhaxit hay bazo Độ pH của dung dịch được tính dựa vào nồng độ [H3O+](mol/lit),theo công thức:

Bia có pH = - log0,00008 -4 nên bia có tính axit

Rượu có pH = - log0, 0004 -3, 4 nên rượu có tính axit

2.8 Bài toán 8: Bài toán về sự phóng xạ của các chất

Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công

thức: 0

1 (t)

2

t T

m m   

  hay m(t) m e0 rt

Trong đó:

m0 khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0)

m(t): Khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t

T: Chu kỳ bán rã( khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ

bị biến thành chất khác)

r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0)

*) Bài tập

Trang 20

Bài 18 : Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu239 là 24360 năm(tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa) Sựphân hủy được tính theo công thức S = Aert, trong đó A là lượng chất phóng xạban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượngcòn lại sau thời gian phân hủy t Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì 10 gam Pu239

sẽ phân hủy còn 1 gam?

Vì Pu239 có chu kì bán hủy là 24360 năm nên er24360 =

A 2 r 0,000028

 Công thức phân hủy của Pu239 là S = A.e0,000028t

Theo giả thiết: 1 = 10 e0,000028t t  82235,18 năm

Vậy sau 82236 năm thì 10 gam Pu239 sẽ phân hủy còn 1 gam

Bài 19: Các loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng

nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon) Khi một bộ phận của cây xanh đó bịchết thì hiện tượng quang hợp cũng dừng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14nữa.Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp vàchuyển hóa thành Nitơ14

Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận củamột cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức:

1 500

2.9 Bài toán 9: Ứng dựng của hàm số lôgarit trong việc tính độ chấn động

và năng lượng giải tỏa của một trận động đất

Độ chấn động M của một địa chấn biên độ I được đo trong thang đoRichter xác định bởi công thức: 0

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	450,83 KB