Hàm số mũ, hàm số logarit và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHÙNG THỊ HOÀNG NGHĨA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – CƠ – TIN HỌC Phùng Thị Hoàng Nghĩa HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thành Văn Hà Nội – Năm 2012 Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức 1.1 Khái niệm hàm số, hàm ngược ………… 1.2 Hàm số mũ ……………………………… 1.3 Hàm số logarit ………………………… 1.4 Định lý Lagrange ……………………… Đẳng thức, bất đẳng thức mũ logarit 2.1 Tính giá trị biểu thức …………………… 2.2 Chứng minh đẳng thức ………………… 2.3 Chứng minh bất đẳng thức ……………… Phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ logarit 3.1 Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ logarit ……………………………………………………………… 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 Bài tập áp dụng …………………………………………………… 3.2.1 3.2.2 Giải 3.2.3 Tìm Kết luận Tài liệu tham khảo LỜI NÓI ĐẦU Hàm số khái niệm quan trọng tốn học có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác kinh tế, học, vật lý, hóa học, kỹ thuật, … Ở bậc trung học phổ thơng hai hàm số sơ cấp quan trọng hàm số mũ hàm số logarit Các toán liên quan đến hai hàm số tốn khó xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm Một nguyên nhân làm cho học sinh trung học phổ thơng khó tìm lời giải toán tập liên quan đến hàm số mũ, logarit phong phú, đa dạng với nhiều phương pháp giải Do đó, tác giả chọn đề tài “Hàm số mũ, hàm số logarit số vấn đề liên quan” để làm luận văn Nội dung luận văn gồm lời nói đầu, kết luận chia thành ba chương  Chương Một số kiến thức Chương trình bày số kiến thức hàm số, hàm ngược, hàm số mũ hàm số logarit định lý Lagrange, định lý Rolle  Chương Đẳng thức, bất đẳng thức mũ logarit Chương tác giả trình bày số tập liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức mũ logarit : rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức  Chương Phương trình, bất phương trình mũ logarit Trong chương này, tác giả nêu số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ logarit : phương pháp đưa số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đưa phương trình, bất phương trình tích, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp so sánh phương pháp sử dụng đạo hàm kèm theo số tập minh họa Cuối chương tập áp dụng phương pháp nêu Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Thành Văn Thầy tận tình hướng dẫn, bảo cho học trò suốt thời gian xây dựng đề tài hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo khoa Tốn – Cơ – Tin học, Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian lực cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong thầy giáo bạn góp ý xây dựng Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2012 Học viên Phùng Thị Hoàng Nghĩa Chƣơng Một số kiến thức 1.1 Khái niệm hàm số, hàm ngƣợc Định nghĩa 1.1 Cho D tập khác rỗng tập hợp số thực ¡ Một hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng với số x Ỵ D với số thực y , kí hiệu f (x ) Phần tử x Ỵ D gọi biến số độc lập (hay biến số, hay đối số) Số thực y tương ứng với biến số x gọi giá trị hàm số f x D gọi tập xác định (hay miền xác định) hàm số f Tập f (D ) = {y Ỵ ¡ } | $ x Ỵ D : y = f (x ) gọi tập giá trị hàm số f Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f (x ) xác định K Định nghĩa 1.2 Hàm số y = f (x ) đồng biến (tăng) K ( ) ( ) " x 1, x Î K : x < x Þ f x < f x2 Hàm số y = f (x ) nghịch biến (giảm) K ( ) ( ) " x 1, x Î K : x < x Þ f x > f x2 Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K Định nghĩa 1.3 Cho hàm số f : D ® ¡ f (D ) = {y Ỵ ¡ với tập giá trị } | $ x Ỵ D : y = f (x ) := Y Nếu với giá trị y Ỵ Y , có x Ỵ D cho f (x ) = y , tức phương trình f (x ) = y với ẩn x có nghiệm x Ỵ D cách đặt tương ứng với y Ỵ Y phần tử x Ỵ D đó, ta xác định hàm số g :Y ® ¡ ( )(x y x=g y thỏa mãn f (x ) = y ) Hàm số g xác định gọi hàm số ngược hàm số f , ký hiệu y = g (x ) 1.2 Hàm số mũ Định nghĩa 1.4 Hàm số mũ (hay gọi hàm mũ) hàm có dạng y = ax với < a ¹ , a gọi số hàm số mũ Hàm số mũ có tập xác định ¡ , tập giá trị 0; + ¥ Tính chất hàm số mũ • Với a > 1, hàm số y = ax • Với a < 1, hàm số y = ax • Với a, b > , với x , x 1, x2 Ỵ x a x a ổ ửx ỗ ỗ ỗ ốb ứ ã Nu a > b > a x > bx , " x >  Với < a, b ¹ a ¹ b a x = bx Û x = 1.3 Hàm số logarit Định nghĩa 1.5 Hàm số ngược hàm số y = ax gọi hàm số logarit số a ký hiệu y = loga x Hàm số logarit y = loga x có tập xác định (0; + ¥ ), tập giá trị ¡ Tính chất hàm số logarit  Với a > 1, hàm số y = loga x hàm đồng biến lim log x®0 +  Với a < 1, hàm số y = loga x hàm nghịch biến lim log x®0 + • loga = loga a = • a log a x = x , " x > loga a x = x , " x ẻ Ă ã loga xy = loga x + loga y , " x , y thỏa mãn xy > • log a • log x a a • loga x = x y 100 3.2.3 Tìm điều kiện tham số thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Bài tốn 3.49 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu Giải Đặt 2x = t , t () trình f t < t < < t2 Theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai ta có í ï () ïmf 0 ỵï Vậy giá trị cần tìm m m < - Bài tốn 3.50 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x 1, x2 < x < x2 < : Giải Đặt log trình sau có hai nghiệm y 1, y2 thỏa mãn - < y < y2 (2) có hai nghiệm y 1, y2 x- ( >0, 101 í ï ï ï D>0 ï ï ì ï af - > Û ( ) ï ï ï S ï ï ï -1< ï ỵ Vậy giá trị cần tìm m m Ỵ Bài tốn 3.51 Tìm giá trị tham số k log x + = log kx í ïx>-3 ï Ûì ỵï ïf (1) có nghiệm (2) có nghiệm kép lớn - (2) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn x < - < x2  Trường hợp : (2) có nghiệm kép lớn - (2) có nghiệm kép lớn -  Trường hợp : (2) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn x < - < x2 (2) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn x < - < x2 f (- 3)< Û 3k < Û k < Vậy giá trị cần tìm k k Ỵ (- ¥ ; 0)È {12} 102 Bài tốn 3.52 Tìm tất giá trị m để với a > , phương trình sau có nghiệm thỏa mãn điều kiện < x < Giải ( Đặt y = log2 - (1) có nghiệm x Ỵ Xét phương trình (2) ta có D = a + 4m Nếu m < ln tìm a > để D < , (2) vơ nghiệm nên (1) vơ nghiệm Nếu m = (2) có hai nghiệm y thuộc khoảng - Nếu m > (2) có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm y Yêu cầu toán thỏa mãn - < y < 0, " a > í ïm>0 ï ï Û ì ï a- a ï ï ỵï í Û ïm>0 ï +4 ì ï m < 2a + ï ỵ Vậy giá trị cần tìm m m Ỵ 103 Bài tốn 3.53 Tìm a để bất phương trình sau thỏa mãn với x Giải Đặt 2x = t , t > tốn trở thành : Tìm a để bất phương trình sau thỏa mãn với t >  Trường hợp : a = thay vào không thỏa mãn  Trường hợp : a < , (2) vơ nghiệm (2) có nghiệm giới nội a < khơng thỏa mãn • Trường hợp : a > é a>1 Û ïa£ êaa- ³ ê a>1 êa < ê ë Vậy giá trị cần tìm a a Î Bài toán 3.54 Xác định m cho x nghiệm bất phương trình Giải f ' (t ) = Û t = - Bảng biến thiên hàm số f (t ), £ t £ t f Mọi x nghiệm (1) f (1)³ m Û m £ Vậy giá trị cần tìm m m £ Bài tốn 3.55 Xác định m cho bất phương trình sau có nghiệm Giải Đặt sin 2x Xét hàm số f t f't = () - log ( ( - log = Bảng biến thiên hàm số f 105 (1) có nghiệm Vậy giá trị cần tìm m m £ 106 KẾT LUẬN Sau thời gian năm học tập Khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô trực tiếp giảng dạy hướng dẫn đặc biệt PGS TS Nguyễn Thành Văn, tác giả hoàn thành luận văn với tên đề tài “Hàm số mũ, hàm số logarit số vấn đề liên quan” Luận văn đạt số kết sau Luận văn nêu số kiến thức hàm số mũ, logarit tính chất hai hàm số này, giúp củng cố kiến thức để học sinh vận dụng tốt giải toán Luận văn hệ thống phân loại dạng toán liên quan đến hàm số mũ, logarit với nhiều ví dụ minh họa áp dụng phương pháp giải toán phong phú kèm tập tham khảo trích từ kì thi học sinh giỏi toán, Olympic toán đề thi Đại học, Cao đẳng Vì luận văn làm tài liệu tham khảo cho học sinh bậc Trung học phổ thông luyện thi học sinh giỏi thi Đại học Luận văn thể hướng nghiên cứu, vận dụng sáng tạo phương pháp vào giải tốn phổ thơng Tác giả mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để để tài tiếp tục hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! 107 Tài liệu tham khảo [1] Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Lộc, Vũ Văn Thỏa (2000), Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Hàn Liên Hải, GS Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, NGƯT Nguyễn Đạo Phương, Lê Tất Tơn, Đặng Quan Viễn (1998), Tốn bồi dưỡng học sinh 11, NXB Hà Nội [3] Phan Huy Khải (1998), Toán nâng cao cho học sinh lớp 11, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2009), Các giảng hàm số mũ loga, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu (2005), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2010), Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo dục, Hà Nội [7] Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ (1997), NXB Giáo dục, Hà Nội [8] Tuyển tập năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ (2003), NXB Giáo dục, Hà Nội [9] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ (2005), NXB Giáo dục, Hà Nội [10] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng lần thứ IX (2003), NXB Giáo dục, Hà Nội [11] Tuyển tập 10 năm đề thi Olympic 30 tháng (2006), NXB Giáo dục, Hà Nội [12] Website : www.vnmath.com, www.mathvn.com 108 ... tìm lời giải tốn tập liên quan đến hàm số mũ, logarit phong phú, đa dạng với nhiều phương pháp giải Do đó, tác giả chọn đề tài ? ?Hàm số mũ, hàm số logarit số vấn đề liên quan? ?? để làm luận văn Nội... 1.3 Hàm số logarit Định nghĩa 1.5 Hàm số ngược hàm số y = ax gọi hàm số logarit số a ký hiệu y = loga x Hàm số logarit y = loga x có tập xác định (0; + ¥ ), tập giá trị ¡ Tính chất hàm số logarit. .. xác định hàm số g :Y ® ¡ ( )(x y x=g y thỏa mãn f (x ) = y ) Hàm số g xác định gọi hàm số ngược hàm số f , ký hiệu y = g (x ) 1.2 Hàm số mũ Định nghĩa 1.4 Hàm số mũ (hay cịn gọi hàm mũ) hàm có