VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN VÀO CÁC BÀI TOÁN CƠ HỆ

Định luật bảo toàn cơ năng a Cơ năng: W = W đ + W t Là đại lượng bằng tổng động năng và thế năng của hệ vật ở một thời điểm b Định luật bảo toàn cơ năng Trong hệ cô lập và kín các vật

VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN VÀO CÁC BÀI TOÁN CƠ HỆ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

I ĐỘNG LƯỢNG

1/ Động lượng của hệ vật: p  m v

Động lượng phụ thuộc hệ quy chiếu

Động lượng của hệ vật: p  p1  p2  p3

2/ Định lý biến thiên động lượng :  p   F  t

Độ biến thiên động lượng của một vật trong khoảng thời gian Δt bằng xung lượng của tổng các lực tác dụng lên vật trong khoảng thời gian đó

3/ Định luật II Newton dưới dạng tổng quát:

dt

p d

F 



4/ Định luật bảo toàn động lượng

n

p p

p

p1  2  3   '1  '2  '3  '

Tổng vecto động lượng của một hệ vật cô lập và kín là một đại lượng bảo toàn

II ĐỘNG NĂNG THẾ NĂNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG

1 Động năng

a) Động năng của một vật: Wđ = 2

2

1

mv

b) Định lý về động năng: Wđ   A

Độ biến thiên động năng của một vật bằng công toàn phần của các lực tác dụng lên vật

2 Thế năng và lực thế

a) Lực thế

Một lực được gọi là lực thế nếu công mà nó thực hiện trên một vật không thuộc vào hình dạng đường đi của vật mà chỉ phụ thuộc các vị trí đầu và cuối của đường đi Nói một cách khác, công mà lực thế thực hiện trên một vật chuyển động theo một đường kín bằng 0

Trọng lực, lực hấp dẫn, lực đàn hồi, lực tĩnh điện là lực thế

b) Thế năng

Khi một hệ vật tương tác với nhau bằng một lực thế thì hệ dự trữ một năng lượng gọi là thế năng Thế năng phụ thuộc vào loại lực thế

- Thế năng trọng trường: Wt = mgz

trong đó m là khối lượng của vật, z là độ cao của vật tính từ mặt ngang được chọn làm gốc thế năng

- Thế năng đàn hồi: Wt = ( )2

2

1

l

k  trong đó Δl là độ biến dạng của lò xo

c) Định lý độ biến thiên thế năng: A t   W t

Tổng đại số công các lực thế trong một quá trình biến đổi thì bằng độ giảm thế năng

3 Cơ năng Định luật bảo toàn cơ năng

a) Cơ năng: W = W đ + W t

Là đại lượng bằng tổng động năng và thế năng của hệ vật ở một thời điểm

b) Định luật bảo toàn cơ năng

Trong hệ cô lập và kín các vật chỉ tương tác nhau bởi lực thế thì độ tăng động năng bằng độ giảm thế năng và ngược lại Nói khác cơ năng của hệ được bảo toàn

W = Wt + Wđ = const

Hay ΔWđ = - ΔWt

4 Định luật về độ biến thiên cơ năng ( định luật bảo toàn năng lượng):

1 2

0 W W

A t  



Tổng công của các lực không phải là lực thế tác dụng lên hệ bằng độ biến thế thiên cơ năng của hệ

III BÀI TOÁN VA CHẠM

1/ Va chạm trực diện

Va chạm được gọi là trực diện nếu như trước và sau khi va chạm hai vật vẫn chuyển động trên cùng một phương, như vậy những biểu thức vecto có thể viết dưới dạng các biểu thức đại số

Ta phân biệt các kiểu va chạm

a) Va chạm đàn hồi

Va chạm đàn hồi tuân theo các định luật bảo toàn động lượng và động năng

b) Va chạm không đàn hồi

Vẫn tuần theo định luật bảo toàn động lượng, nhưng động năng không bảo toàn Phần động năng mất đi chủ yếu chuyển thành nhiệt năng:

M1v1 + m2v2 = m1v’1 +m2v’2

2

1

m1v’1 2

+

2

1

m2v’2 2

+ Q =

2

1

m1v1 2

+

2

1

m2v2 2

Trong va chạm không đàn hồi thường đặc trưng bởi một đại lượng gọi là hệ số hồi phục

1 2

1 2

1 2

1

'

'

'

v v

v v v

v

v v e













Nếu e = 1 là va chạm đàn hồi

Nếu e = 0 là chạm mềm

2/ Va chạm không trực diện

Là loại va chạm, sau khi va chạm hai vật đổi phương chuyển động

Để khảo sát loại này ta thường phân tích chuyển động của chúng trước và sau va chạm trên hệ hai trục tọa độ thích hợp và viết các phương trình định luật bảo toàn động lượng trên các trục này

Nếu va chạm đàn hồi thì động năng của hệ cũng bảo toàn

V 0 V 0

B PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN

Ghi chú: Khi sử dụng phương pháp các định luật bảo toàn để giải các bài toán cơ học

ta cần thực hiện các bước sau:

- Chọn hệ vật phù hợp với đề bài

- Xác định điều kiện để áp dụng các định luật bảo toàn

- Chỉ rõ hệ quy chiếu quán tính và mốc thế năng

1 Bài toán về va chạm

Ví dụ 1 Hai vật cùng khối lượng m = 0,5kg đứng yên trên mặt sàn nhẳn nằm ngang,

chúng được nối với nhau bằn một lò xo nhẹ, có chiều dài tự nhiên 30cm và độ cứng

16N/m Các vật đồng thời được cấp vận tốc v0 = 0,36m/s hướng tới một bức tường Vật bên phải va chạm tuyệt đối đàn hồi với tường

a) Xác định độ nén lớn nhất của lò xo trong quá

trình va chạm

b) Sau va chạm với tường, sau bao lâu thì hai vật

gần nhau nhất

c) Sau đó hệ còn xảy ra va chạm với tường nữa không? Các vạt chuyển động thế nào sau thời gian đủ lâu?

d) Tìm độ thay đổi động lượng của hệ sau khi tất cả các va chạm đã xảy ra

Giải:

Vật bên phải va chạm tuyệt đối đàn hồi với tường nên ngay sau va chạm vận tốc của vật

là v0 hướng sang trái

a) Khi lò xo bị nén nhiều nhất thì hai vật ngừng chuyển động

Định luật bảo toàn cơ năng

2 2 ) (

2

max

mv l

k    Δlmax = 0,09m b) Sau va chạm đầu tiên với tường khối tâm G của hệ đứng yên, nên hai vật dao động như các con lắc lò xo có độ cứng k’ = 2k Thời gian để hai vật gần nhất là Δt =

s k

m T

16 2

2 4

1

4





c) Sau khi hai vật gần nhất chúng lại chuyển động ngược chiều nhau, đến khi lò xo không biến dạng chúng có cùng tốc độ là v0 vật bên phải lại va chạm với tường lần

nữa và đổi chiều chuyển động vận tốc là v0 Hai vật cùng chuyển động sang trái với vân tốc v0 và khoảng cách không đổi là 30cm

d) Độ thay đổi động lượng của hệ

Δp = 2mv0 – (- 2mv0) = 4mv0 = 1,8kgm/s

Ví dụ 2 Hai quả cầu có bán kính bằng nhau chuyển động trên trục Ox Gọi m1 và m2 là khối lượng của chúng; v1 và v2 là giá trị đại số của vận tốc của chúng trước va chạm

Va chạm là trục diện Đặt x =

1

2

m

m

a) Xác định giá trị đại số của vận tốc v’1 và v’2 của hai quả cầu ngay sau va chạm theo x; v1; v2 và hệ số hồi phục e

b) Tính v’1 ; v’2 trong ba trường hợp:

- va chạm tuyệt đối đàn hồi

- va chạm không đàn hồi với e = 0,5

- Và chạm mềm

c) Hai quả cầu chuyển động ngược chiều nhau Ngay trước va chạm tốc độ của quả cầu

2 gấp đôi quả cầu 1 Hãy xác định v’1 và v’2 của hai quả cầu ngay sau va chạm theo

tỉ số x trong hai trường hợp:

- Va chạm tuyệt đối đàn hồi

- Va chạm không đàn hồi với e = 0,5

BD HSG cơ 1

Giải

a) Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo trục Ox

m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’ (1)

Hệ số hồi phục theo định nghĩa

2 1

' 2

' 1

v v

v v e







 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

2 1

2 2

1 2 1

' 1

) 1 ( )

(

m m

v e m

v em m

v











Thay m2 = xm1 vào ta được

x

v e x v e v

x

v e x v ex

v





















1

) ( ) 1 ( '

; 1

) 1 ( )

1

(

b) Xét các trường hợp đặc biệt

- Va chạm tuyệt đối đàn hồi: Thế e = 1 và (3)

- Va chạm không đàn hồi: đề bài cho e = 0,5

- Va chạm mềm: thế e = 0

c) Hai quả cầu chuyển động ngược chiều nhau:

Chọn chiều dương là chiều của v1

 Trường hợp 1: e = 1 và v2 = -2v1

Ta có

x

v x v

x

v x v













1

) 2 4 ( '

; 1

) 5 1 (

2 1 1

Lập bảng:

x 0 1/5 2



v’1 + 0 - | -

v’2 + | + 0 -

Khi x = : Quả cầu 1 bật trở lại với tốc độ lớn gấp 5 lần trước, còn quả cầu 2 gần như chuyển động vã như cũ

Ví dụ 3:

Một mặt phẳng nghiêng khối lượng m2 được đặt trên một mặt phẳng nhẵn có phương ngang Một quả bóng đàn hồi khối lượng m1 bay đến đập vào mặt phẳng nghiêng với vận tốc u theo phương ngang Sau va chạm quả bóng nảy lên khỏi mặt phẳng nghiêng, sau đó lại rơi xuống và va chạm với mặt phẳng nghiêng vẫn tại vị trí va chạm lần đầu Tính tỷ số khối lượng của quả bóng và mặt phẳng nghiêng Biết mặt phẳng nghiêng góc θ

so với phương ngang

Giải:

Quả bóng khối lượng m1 có vận tốc ban đầu u đến va chạm với mặt phẳng nghiêng đứng yên Ngay sau va chạm, quả bóng có vận tốc v1, mặt phẳng nghiêng có vận tốc v2, góc phản xạ của quả bóng (là góc giữa vectơ vận tốc v1 với mặt phẳng nghiêng) là α

Góc tới của quả bóng (là góc giữa vectơ vận tốc u với mặt phẳng nghiêng) là θ, là góc

nghiêng của mặt phẳng nghiêng Để xác định tỷ số 2

m m

q  , bằng bốn điều kiện sau:

- Theo phương ngang, không có ngoại lực tác dụng vào hệ, do đó thành phần động lượng theo phương ngang được bảo toàn, ta có:

1.cos q.v

v

- Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi, mặt phẳng nằm ngang hoàn toàn không có ma sát nên động năng của hệ được bảo toàn, ta có:

2 2

2

1

2

.v

q

v

- Trong va chạm, lực tương tác giữa quả bóng và mặt phẳng nghiêng vuông góc với mặt phẳng nghiêng, do đó thành phần song song với mặt phẳng nghiêng của vectơ vận tốc được bảo toàn, ta có:



 cos

cos

- Vì va chạm lần hai xảy ra tại cùng một vị trí trên mặt phẳng nghiêng, do đó theo phương ngang, tốc độ chuyển động của quả bóng và mặt phẳng nghiêng là như nhau, ta có:

1 cos v

Thay (4) vào (1) và (2) ta được:

 1 q.v1.cos

2

cos

1 q

v

Từ (5) và (6) ta có:

2 2

2

tan tan 1

tan tan

































 q

Từ (5) và (3) ta có:

q

q







1

tan cot

Thay (8) vào (7), ta có:





2 2

tan

1

tan





Với

4 0

 









 q

Thay (9) vào (8), ta được:



 tan3

tan 

Nhận xét:

+    Dấu “=” xảy ra khi

4

;

0 

 

+ Đặc biệt, kết quả này phù hợp cả khi mặt phẳng nghiêng góc θ > 45o Khi θ = 45o, mặt phẳng có thể có khối lượng bất kỳ so với quả bóng, khi đó động lượng của hệ theo phương ngang luôn bằng không sau lần đầu va chạm

Ví dụ 4: Một quả bóng đàn hồi rơi tự do từ độ cao h 2m Sau mỗi va chạm với sàn

ngang cơ năng chỉ còn lại k = 81% so với trước lúc va chạm Quỹ đạo bóng luôn thẳng đứng

Lấy g = 9.8m/s2 Hỏi sau bao lâu thì bóng dừng, trong thời gian đó bóng đi được quãng đường dài bao nhiêu?

Giải:

Cơ năng ban đầu của bóng: E 0 mgh

Sau va chạm thứ i : E i  k i E o mghk i và độ cao bóng đạt được là: h i k i h

Thời gian bóng bay từ sau va chạm thứ i đến va chạm tiếp theo với sàn là:

i

g

h

Thời gian để bóng dừng là:









n

i

i

t

t

t

1

với

g

h

t0  2 , n là số lần va chạm

 

   

 

k k

g h k

k g h g

h

k k

g h g

h

k g

h g

h t

n n

n

n

i

i











































1

2 1

2 1

1 2

2 2

1 2

2 2

2 2 2

1 1

1

Vì k  1 nên khi n thì  k n1  0 Do đó:

s k

k g

h

1

1







m k

k

h

1

1









Ví dụ 5: Một tấm ván khối lượng M được treo vào một dây dài nhẹ, không giãn Nếu viên

đạn có khối lượng m bắn vào ván với vận tốc v0 thì

nó dừng lại ở mặt sau của ván, nếu bắn với vận tốc v1

> v0 thì đạn xuyên qua ván Tính vận tốc v của ván

ngay sau khi đạn xuyên qua Giả thiết lực cản của ván

đối với đạn không phụ thuộc vào vận tốc của đạn

Giải:

 Khi vận tốc đạn là v 0

Sau khi xuyên qua, đạn và tấm gỗ cùng chuyển động với vận tốc v’

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và năng lượng cho hệ ngay trước và sau khi va chạm ta có:

mv 0 =(M+m)v ’ (1)

0

2mv  2 M m v  Q (2)

Q: Công của lực cản biến thành nhiệt

2 2



2 0

mM



 (3)

Quãng đường đi được của bóng là:

k

k k h k

k h h k

k k h h

k k

k h h k h h h h

s

n n

n

n n

i i n

i i



























































1

2 1

1

1 2

1 2

2 2

2

1 1

2

2 1

1

Vì k 1 nên khi n thì k n1 0 do đó:

0

v



(2)

(1) (3)

 Khi đạn có vận tốc v 1 > v 0

Gọi v 2 là vận tốc đạn sau khi xuyên qua tấm gỗ

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và năng lượng cho hệ ngay trước và sau khi va chạm ta có:

mv1  Mv m v2 (4)

12 2 22

2mv  2Mv 2mv Q (5) Thay (3), (4) vào (5) ta suy ra:

2

1 M 1 M M 0



2 2

2

m v mv

Giải phương trình ta được:

m



Nếu chọn dấu “+”, thay vào (4) ta suy ra:

Điều này vô lý vì vận tốc đạn sau khi xuyên qua gỗ không thể nhỏ hơn vận tốc tấm gỗ Do

đó ta chọn:

v m ( v1 v12 v02)



2 Hệ vật tương tác kéo dài

Thường ta khảo sát bài toán trong hệ qua chiếu phi quán tính

Công thức công vận tốc v13 v12 v23 phải xét trong quá trình tương tác

Ví dụ 1 Trên mặt bàn nằm ngang đặt một chiếc nêm có khối lượng M, có mặt cắt là

một tam giác vuông ABC tại B, mặt AC nằm trên một mặt phẳng ngang Tại A của mặt nghiêng có đặt một vật nhỏ khối lượng m Lúc đầu vật và nêm đứng yên Sau đó kích cho vật m chuyển động theo hướng AB với vận tốc đầu v0 Bỏ qua mọi ma sát Hỏi v0

phải thỏa điều kiện gì để m có thể vượt qua được điểm B

Giải:

Vật và nêm là một hệ kín Các ngoại lực là trọng lực

P của hai vật và phản lực N của mặt sàn tác dụng lên

nêm có phương thẳng đứng nên xét theo phương

ngang thì hệ cô lập

Để vật có thể vượt qua nêm thì khi đến đỉnh B thành phần vận tốc nằm ngang của vật ít

nhất phải bằng vận tốc của nêm

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng trên phương ngang

mvomincosα = (m+M)u (1)

Định luật bảo toàn cơ năng mv02  (mM)u2 mgh

2

1 2

1

(2)

(1) và (2) suy ra



2 min

0

sin

) (

2

Mm

M m gh

Ví dụ 2: Một vật có dạng bán cầu, khối lượng M, bán kính

R được đặt nằm ngang trên một mặt phẳng nhẵn năm

ngang Trên đỉnh của M đặt một vật nhỏ có khối lượng M

= 3m Vật m bắt đầu trượt xuống với vận tốc ban đầu

không đáng kể Bỏ qua ma sát giữa m và M ( Hình vẽ 2) Tìm vị trí vật m có góc hợp bởi

đường nối vật m và tâm bán cầu với phương thẳng đứng mà tại đó vật m bắt đầu rời khỏi M

Giải:

- Khi xét vật ở vị trí xác định bởi góc  như hình vẽ Gọi

V và u tương ứng vận tốc của bán cầu và của vật m so với

bán cầu

Vận tốc vật m so với đất vuV

Theo phương ngang động lượng của hệ được bảo toàn

x

mu  MVm(u cos V)MV V mu cos



 (1)

Khi bắt đầu rời khỏi M ta có

2 mu

mg cos

R

  u2 gR cos (2)

Hình 2



u v

V0

u

m

B

A

C

u

Mặt khác v2 V2 u2 2uV cos (3)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng

mgR(1 cos )

    (4)

Từ các phương trình (1),(2),(3),(4) ta được m cos3 3cos 2 0

Mm      (5)

Vật m rời khỏi M tại vị trí có góc α xác định bởi phương trình (5)

Khi M = 3m thì

0,25.cos3 3cos 2 0  4600’18.83’’

Ví dụ 3

Một quả cầu bán kính R, khối lượng M được đặt trên mặt

bàn nằm ngang Từ đỉnh A của quả cầu, một vật nhỏ khối lượng m

trượt không ma sát với vận tốc ban đầu bằng 0

Quả cầu nằm tự do trên mặt bàn nhẵn Xác định tỉ số m/M để vật

nhỏ rời mặt cầu tại tại độ cao 7R/4 bên trên mặt bàn

Giải:

Khi m rời M : gọi v2 là vận tốc của M và v1 vận tốc m so M

Do ngoại lực tác dụng lên hệ 2 vật theo phương thẳng đứng lên

động lượng bảo toàn theo phương ngang

) sin (

0Mv2 m v2 v1 

M m

mv v





2

(1) Theo định luật bào toàn cơ năng

2 2 1 2

2

1 2

1 ) cos 1 (









(2)

) 90 cos(

2 )

(v1 v2 2 v12 v22  v1v2 

(3) Thay (3) và (1) vào (2) biến đổi ta thu được biểu thức



2 1

cos )

sin 1 ( 2

m M

M m gR

v









(4) Khi m bắt đầu rời M thì N = 0, HQC gắn với M là HQC quán tính



R

O

A

P

1

v

2

v

Theo định luật II Niu tơn ta có :



2

R

v m

(5)

Từ (4) và (5) ta có :









2 cos sin sin

4

2 sin 3







M m

Theo hình ta có

4

3 sin  

Giải ra ta có

11

16



M m

Ví dụ 4 Trên mặt bàn phẳng nhẵn nằm ngang có đặt một nêm khối lượng M Góc nghiêng

của nêm là α Trên đỉnh nêm ở độ cao h so với mặt bàn có đạt một vật nhỏ khối lượng m

Bỏ qua mọi ma sát Hệ bắt đầu chuyển động từ

trạng thái nghỉ Tìm hướng và độ lớn của vận tốc của

m khi nó chuyển động tới chân nêm

Giải:

Gọi v12 là vật tốc của vật so với nêm, v23 là vận tốc của nêm so với đất, v13 là vận tốc của vật so với đất Chọn hệ trục Ox,Oy như hình vẽ

Công thức cộng vận tốc v13 v12 v23 ,

ta có tanα =

23 ) ( 13

) ( 13

v v

v

x

y

 (1) Chọn hệ quy chiếu đất Theo phương ngang động lượng của hệ bảo toàn : mv13(x) – Mv23 =

Hệ không ma sát nên cơ năng bảo toàn 232

2 13

2

1 2

1

Mv mv

2

) ( 13

2

V 12

V 13

V 23

x

y

O

h