THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA Chuyên đề mơn Tốn: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP VÀ ỨNG DỤNG NỘI DUNG A – LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính thể tích khối chóp Khối đa diện Cơng thức KHỐI CHĨP: Hình minh họa B.h V= Với B diện tích đáy h h chiều cao khối chóp B Chú ý: Hình chóp tam giác Tứ diện Là hình chóp có đáy tam giác đều, hình Là hình chóp có mặt tam giác chiếu vng góc đỉnh trùng với tâm tam giác đáy Hình chóp tứ giác Là hình chóp có đáy hình vng hình chiếu đỉnh mặt đáy trùng với tâm đáy S A B O D C Tỉ số thể tích: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: S C' VSABC SA SB SC VSA'B'C' SA ' SB ' SC ' A' A B' C B * Một số lưu ý xác định chiều cao khối chóp Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy cạnh chiều cao S A C B Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy chiều cao hình chóp đường thẳng thuộc mặt bên, kẻ từ đỉnh vng góc với giao tuyến mặt bên với mặt đáy S A C H B Hình chóp có hai mặt vng góc với đáy giao tuyến hai mặt đường cao khối chóp S B A C Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao H tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy S H A C B Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao H tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy S A C H B Một số lưu ý tính thể tích  Hệ thức lượng tam giác vng : Cho    Định lý Pitago : BC2 AB2 BA CH.CB  AH2 BH.BC; CA ABC vng A ta có : AC2 A AB AC = BC AH AB2 b c AC2  Hệ thức lượng tam giác thường: B * Định lý Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * Định lý Sin: a sin A b sin B c sin C M H C a 2R  Các công thức tính diện tích  Cơng thức tính diện tích tam giác: S a.h a a.bsin C a.b.c 4R p.r p.(p a)(p b)(p c) với p a b c Đặc biệt : ABC vuông A : S ABC cạnh a: S AB.AC , a2 a , với chiều cao h   Diện tích hình vng : S = a2 (với a: độ dài cạnh hình vng)  Diện tích hình chữ nhật : S = a.b (với a, b độ dài hai cạnh hình chữ nhật)  Diện tích hình bình hành: S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD  Diện tích hình thoi : S = a.b (với a, b độ dài hai đường chéo hình thoi) = AB AD.sin BAD  Diện tích hình thang : S (a+b).h (với a, b độ dài hai cạnh đáy hình thang, h độ dài chiều cao hình thang) B – CÁC DẠNG BÀI TẬP I – THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP DẠNG 1: KHỐI CHĨP CĨ MỘT CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY Ví dụ Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA vng góc với  ABCD  SA  a a Tính thể tích khối chóp S ABCD S b Tính thể tích khối tứ diện S.BCD Hướng dẫn giải a Thể tích khối chóp VS ABCD  S ABCD SA  b VS BCD a3 A D B 1 a3 a3  VS ABCD   2 C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 2a Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Tính thể tích khối chóp S ABO Hướng dẫn giải Ta có: S AC AC  2a  OA  OB  a 2  SOAB  OA.OB  a 3 Vậy : VS OAB  SA.SOAB  a 2.a  a A B O D C Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC với SA , SB , SC đôi vuông góc SA  SB  SC  a Tính tích khối chóp S ABC Hướng dẫn giải 1 3 Ta có V  SSBC SA  SB.SC.SA  a3 Ví dụ Cho hình hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với mặt đáy SA  a Đáy ABC tam giác cạnh a Thể tích khối chóp S ABC Hướng dẫn giải Ta có: SABC  AB a  4 1 a a3 VS ABC  SA.SABC  a  3 4 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a ; SA vng góc mặt đáy; Góc SC mặt đáy hình chóp 600 Thể tích khối chóp S ABCD Hướng dẫn giải S  Ta có  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA  600 SA  AC.tan 600  a  a 3 Vậy VABCD  S ABCD SA  a a  a3 A B 60 D C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên  SCD  hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp S ABCD Hướng dẫn giải Do  AD  CD  CD   SDA   SA  CD   SCD  ,  ABC   SDA Khi SA  AD tan 60  a a3 Suy VS ABCD  SA.S ABCD  3 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hai mặt phẳng  SAB   SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  ; góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD Hướng dẫn giải  SAB    ABCD   Ta có  SAD    ABCD   SA   ABCD    SAB    SAD   SA  AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng  ABCD     SC ,  ABCD   SCA  60 Tam giác SAC vng A có SA  AC.tan 60  a Khi VSABCD 1 a3  SA.S ABCD  a 6.a  3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.(NB) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Thể tích khối chóp S ABCD A 4a B 2a3 C a3 D 2a 3 Bài (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a, BC  2a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Tính thể tích khối chóp S ABCD A 2a 3 B a3 C 2a3 D 2a Bài (NB) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 C a3 D a3 12 Bài (NB) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , đáy ABCD hình thang vng A B có AB  a, AD  3a, BC  a Biết SA  a 3, tính thể tích khối chóp S.BCD theo a A 3a B 3a C 3a D 3a3 Bài (NB) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  a , BC  2a , SA   ABC  , SA  3a Thể tích khối chóp S ABC A a B a C a D 3a Bài (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , BC  2a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  SA  3a Thể tích khối chóp S ABCD A a B 3a C 6a3 D 2a3 Bài (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 2a Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Tính thể tích khối chóp S ABO a3 A 2a B 12 a3 C 12 4a D Bài (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vng góc với đáy tạo với đường thẳng SB góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 12 B a3 C a3 24 D a3 Bài (VDT) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với O OA  , OB  , OC  Thể tích khối tứ diện cho A 24 B 16 C D 48 Bài 10 (VDT) Hình chóp S ABC có SA  a , SB  b , SC  c đơi vng góc với Thể tích khối chóp A 2abc B abc C abc D abc 9 DẠNG 2: KHỐI CHĨP CĨ MỘT MẶT BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,  SAD    ABCD  , SA  SD Tính thể tích V khối chóp S ABCD biết SC  a 21 Hướng dẫn giải S Gọi H trung điểm AD  SH  AD  SH  ( ABCD) Ta có: HC  a 2a  SH  2a  V  a 2a  3 A D H B C Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vng cân C nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABD  , tam giác ABD tam giác có cạnh 2a Tính thể tích khối tứ diện ABCD Hướng dẫn giải D Gọi H trung điểm AB Ta có DH   ABC  DH  a ABC vuông cân C nên 2CA2  AB  AC  BC  a Do VABCD 1 a3  DH S ABC  a .a 2.a  3 A C H B Ví dụ Cho khối chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh 3a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABCD , biết góc SC  ABCD  600 Hướng dẫn giải Ta có S ABCD   3a   9a 2 Gọi H trung điểm AB  SH   ABCD  CH hình chiếu vng góc SC  ABCD    SC,  ABCD     SC, CH   SCH  60 Xét SCH vuông H có 10 CH  BC  BH  VS ABCD 3a 3a 15 , SH  CH tan SCH  2 9a 15  S ABCD SH  Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , có BC  a Mặt phẳng  SAC  vng góc với mặt đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC Hướng dẫn giải Kẻ SH  BC  SAC    ABC  nên SH   ABC  Gọi I , J hình chiếu H AB BC  SJ  AB, SJ  BC Theo giả thiết SIH  SJH  45 Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH đường phân giác ABC từ suy H trung điểm AC HI  HJ  SH  a a3  VSABC  S ABC SH  12 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có tam giác SAB cạnh a, tam giác ABC cân C Hình chiếu S mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh AB Đường thẳng SC tạo với mặt đáy góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB  SH   ABC    SC ,  ABC     SC , HC   SCH  30 SAB cạnh a  SH  a a 3a Xét SCH vuông H , CH    tan SCH tan 30 SH a 3a 3a ABC cân C ,  SABC  2SACH  AH CH   2 a 3a2 3  a Vậy VS ABC  SH SABC  11 A 95 2a 48 B 95 2a 16 C 125 2a 48 D 125 2a 16 III MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy thể tích khối chóp a3 Tính cạnh bên SA Hướng dẫn giải Đáy tam giác cạnh a nên diện tích S ABC  a2 3V SA đường cao nên VS ABC  SA.S ABC  SA  S ABC S ABC 3a3  24  a a Ví dụ Khối chóp tam giác tích V  2a3 , cạnh đáy 2a chiều cao khối chóp Hướng dẫn giải 3V 3.2a 2a V  B.h  h    B 2a 3   Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  a , AC  a , AD  a , tam giác ABC , ACD , ABD tam giác vuông đỉnh A Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  Hướng dẫn giải Do tam giác ABC , ACD , ABD vuông A nên D đỉnh hình chóp AD đường cao hình chóp Khi thể tích khối chóp D.ABC là: D VD ABC 1 a3  DA.S ABC  a .a 2.a  3 Ta lại có VABCD  VD ABC  d  A,  BCD   SBCD  d  A,  BCD    3VABCD S BCD C A B 26 Ta có AB  a , AC  a , AD  a nên BC  a , BC  2a , CD  a Theo cơng thức Hê rơng, ta có S BCD  11 a a3 6  a 66 Vâỵ d  A,  BCD    11 11 a Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A , ABC  30o ; SBC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABC a3 Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  16 Hướng dẫn giải Ta có : d (C , ( SAB))  3V a Giả sử BC  a AB  SSAB H trung điểm BC SH  S a BC a , AH   2 Tam giác SAB cân S nên có đường cao a 3 a 13 h  a     4   S SAB H C a 13 a a 39   16 suy d (C , ( SAB))  A B 3V a 39  SSAB 13 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đơi vng góc SA  a , SB  a , SA  a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC  Hướng dẫn giải  Thể tích khối chóp: V  SA.SB.SC  a3  AB  SA2  SB  a ; AC  SA2  SC  2a ; BC  SB  SC  a ; 27 B a S a C a A  S ABC  p  p  AB  p  AC  p  BC    Suy ra: d  S ,  ABC    AB  AC  BC a 11 , với p  2 3V a 66  S ABC 11 BÀI TẬP TỰ LUYỆN (VD – VDC) Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB  a , AC  a Biết thể tích khối chóp S ABC a3 Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC  bằng: 3a a a C D Bài Cho tứ diện ABCD có AB  CD  , AC  BD  , AD  BC  Tính khoảng A 3a B cách từ đỉnh A đến mặt phẳng  BCD  A B C Bài Cho hình chóp S ABC tích 42 D a3 , mặt bên tạo với đáy góc 24 60 Khi khoảng cách từ A đến mặt  SBC  A a B a C a D 3a Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SA vng góc mặt đáy, thể tích khối chóp S ABC A a B 4a C a3 Tính độ dài đoạn SA a D a Bài Cho khối chóp S ABCD tích a Mặt bên SAB tam giác cạnh a đáy ABCD hình bình hành Tính theo a khoảng cách SA CD 28 A 3a a B C a D 2a Bài Cho khối chóp S ABCD tích 2a3 đáy ABCD hình bình hành Biết diện tích tam giác SAB a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD A a 3a B C 3a D a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SD  a 17 , hình chiếu vng góc H S lên mặt phẳng  ABCD  trung điểm đoạn AB Tính chiều cao khối chóp H SBD theo a A 3a B a C a 21 D a IV MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  SC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho Hướng dẫn giải S Đặt cạnh BC  x  Tam giác vuông ABC, có AC  16  x Tam giác vng SAC , có SA  SC  AC  20  x Diện tích hình chữ nhật S ABCD  AB.BC  x A B x Thể tích khối chóp VS ABCD  S ABCD SA  x 20  x 3 Áp dụng BĐT Cơsi, ta có x 20  x  x2   20  x O D  2 40  10 Suy VS ABCD  10  3 Dấu "  " xảy  x  20  x  x  10 Vậy Vmax   C 40  Cách Xét hàm số f  x   x 20  x 0;2 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có SA  SB  SC  29 Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho Hướng dẫn giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S ABC hình chóp  SO   ABC  Đặt AB  x  Diện tích tam giác SABC Gọi M trung điểm BC  AM  x2  S x x  OA  AM  3 Tam giác vng SOA, có SO  SA2  OA2   x2 A C O Khi VS ABC 1 x 3 x  SABC SO   x  x 3 12 M  B  Xét hàm f  x   x  x 0; , ta max f  x   f  0;  12 Cách Ta có x    16 1  x2  x2   x2  3 x  x x   x      2   Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân C , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABC  Biết SC  1, tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho Hướng dẫn giải Giả sử CA  CB  x  Suy SA  SC  AC   x S Diện tích tam giác SABC  CACB  x2 Khi VS ABC  SABC SA  x  x A B Xét hàm f  x   x  x  0;1 , C  2 ta max f  x   f     0;1   27 Cách Ta có 30 x 1  x2  x2   x2  1 x  x x   x      2   Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh AB  x cạnh lại Tìm x để khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải: Gọi M, N trung điểm AB, CD ABC cân C nên AB  MC ABD cân D nên AB  MD  AB   MCD   VABCD  1 AM SMCD  BM SMCD  AB.S MCD 3 CBA  DBA  c  c  c   MC  MD  12  A x2 M  MCD cân M B x2  MN  CD, MN  CM  CN   D N C  SMCD x2  MN CD   VABCD  x2 x x2  x2 x2  x        3 3 4  4 (theo bất đẳng thức Cauchy) x x2    x3 Đẳng thức xảy Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A, SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  Tính cos thể tích khối chóp S.ABCS nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC  AM  BC Kẻ AH  SM  BC  AM  BC  SA Vì  H  H  SM   BC   SAM   BC  AH A C M B 31  AH  SM  AH  BC Ta có:   AH   SBC   AH  d  A;  SBC    Mà:  SBC    ABC   BC , SM  BC , AM  BC Suy ra: góc  SBC   ABC  góc SM AM Hay SMA   Đặt AB  AC  x; SA  y   1 1   2  2 AH SA AB AC 1 1 1    3  3 (theo bất đẳng thức Cauchy)  x2 y  81 2 y x x y x x  yx  Thể tích khối chóp S.ABC là: 1 1 27 VS ABC  SA.S ABC  y x.x  x y  81  3 6 Dấu "  " xảy x  y  3  AB  AC  SA, AM  AM , SM   cos =  2 SM BÀI TẬP TỰ LUYỆN (VDT – VDC) Bài Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x cạnh lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x  B x  C x  D x  14 Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C , SA  AB  Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABC  Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB SC Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S AHK A Vmax  B Vmax  C Vmax  D Vmax  Bài Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân C Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC a , Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC tích nhỏ A AB 2a B AB 3a C AB 3a D AB 3a Bài Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên a , góc hợp đường cao SH 32 hình chóp mặt bên  Tìm  để thể tích S ABCD lớn A 300 B 450 C 600 D 750 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AD=4a, cạnh bên hình chóp a Cosin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) thể tích chóp S.ABCD lớn bằng: 3 A B C D 5 5 V ỨNG DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TẾ Ví dụ Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 m Các lối phòng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10 xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2,5.103 kg / m3 Số lần vận chuyển đá để xây dựng kim tự tháp là: Hướng dẫn giải: Thể tích kim tự tháp V  2302 144  2539200m3 Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V  1777 440m3 Gọi x số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp x.10.6000  1777440  x  74060 2,5.103 Ví dụ 2: Bên cạnh đường trước vào thành phố người ta xây tháp đèn lộng lẫy Ngọn tháp hình tứ giác S ABCD cạnh bên SA  600 mét, ASB  15 Do có cố đường dây điện điểm Q (là trung điểm SA ) bị hỏng, người ta tạo đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng: AM , MN , NP , PQ (hình vẽ) Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư nghiên cứu có chiều dài đường từ A đến Q ngắn Tính tỉ số k  AM  MN NP  PQ Hướng dẫn giải Giả sử trải mặt hình chóp đường tròn tâm S bán kính R  SA Ta có SAA có ASA  15o.4  60o  S AA Mà đoạn đường AQ ngắn A , M , N , P , Q thẳng hàng Khi N trọng tâm SAA Suy k  AM  MN AN  2 NP  PQ NQ 33 S Q S P M N P A Q D N M C B K A B C D Ví dụ Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình Biết cạnh hình vng 20cm , OM  x  cm  Tìm x để hình chóp tích lớn nhất? Hướng dẫn giải: Ta có: OM  x  AC  x , AM  2x Suy ra: OH  x x x , MH  , SH  10  2 2 x   x   10 SO  SH  OH       2  2  2 S  20 10  x  A 1 20 V  SO.Sđáy  20 10  x .2 x  40  x x 3 H O D 20 V  M x C 20  40  x  x  x  x  x  20 152   40  x  x.x.x.x      Dấu "  " xảy 40  x  x  x  Ví dụ Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Người ta cắt bỏ tam giác cân bên ngồi nhơm, phần lại gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x  m  , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để khối chóp nhận tích lớn 34 Hướng dẫn giải x h x z y Ta có: y  x 1 2x z  y2 2     1 x    y   x    x Chiều cao hình chóp: h  z   2     1  Vchop  x  x 2 Vchop lớn hàm số y  x y'   x đạt GTLN 2 5 x  x  x 2 x  y '   5 x  x    x  2  Ví dụ Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện tất cạnh a , người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói Hướng dẫn giải S Từ giả thiết  VS ABCD  VS ABCD A'  VS ABC  VS ABC ( Do khối chóp tứ giác đều) D' B' C' A SA a VS ABC   SA      SA   VS ABC  SA  2 D  O B a2 a  AB  SA   Std  AB2  C 35 Ví dụ Một lều dựng từ bạt tre có dạng hình chóp tứ giác hình vẽ Biết người dọc theo cạnh lều với vận tốc  s  phải giấy Hỏi thể tích lều góc 0,5 m tre mặt đất 700 ? Kết cuối làm tròn đến hàng phần trăm Hướng dẫn giải: Dựng mơ hình lều khối chóp S.ABCD với S đỉnh lều, cạnh bên SA, SB, SC, SD tre dùng để dựng lều -Một người dọc theo cạnh đáy lều   với vận tốc 0,5 m s vòng giây, S Như độ dài quãng đường người độ dài lều P  0,5.6  3m Từ ta có diện tích đáy B  32   m  A D O B C - Theo đề góc tre mặt đất 70 góc cạnh bên đáy Đối với khối chóp góc cạnh bên đáy nên ta cần xét góc cạnh bên đáy đủ Ở ta xét góc SA đáy  ABCD  - Góc SA đáy góc SA hình chiếu lên đáy (ở OA) góc OAS Xét tam giác OAS vng O, ta có: SO  OA.tan OAS  tan 700  m  Thể tích lều thể tích khối chóp:  1 3 V  B.h   tan 700   17, 48  m3  3   Ví dụ Một lều có dạng hình chóp lục giác với phần khung gồm tre tạo với mặt đất góc 600 Các mặt bên lều che kín lớp vài bạt, riêng mặt cắt diện tích tam giác cân hình bên để làm lối vào (Hình 3.10.4) với đáy tam giác cân đáy mặt lều chọn Biết thể tích lều 2m3 diện tích cổng vào 80 0 diện tích mặt bên tương ứng Hỏi người cao 1m75 thẳng vào lều mà khơng cần khom người hay khơng? Hướng dẫn giải: Dựng mơ hình lều hình chóp lục giác có đỉnh S chiều cao SI 36 Mặt bên lều chọn để tạo cổng vào tam giác HBC Chiều cao cổng độ dài đoạn HK Chứng minh SH cắt BC trung điểm M BC Lần lượt gọi chiều cao lều độ dài cạnh đáy h(m) a(m) S Nhận xét Đáy lục giác tách thành tam giác có chung đỉnh I (xem hình 3.10.5b), diện tích tam giác H 2 a m  B M Do ta chứng minh độ dài IA=a diện tích lục giác nói A C D 3 2 a m  Góc tre mặt đất góc cạnh bên đáy hay nói cách khác góc SAI: tan SAI  SI h h  tan 600   a  AI a Dựa vào công thức tính thể tích khối chóp ta có: 13 3 V  B.h   a h  h  h3   h   m  3 Bây có chiều cao lều, ta tìm cách xác định tỉ số : Nhận xét: Tỉ số Suy ra: MH MS MH tỉ số diện tích hai tam giác HBC SBC MS HK MH S HBC 4    80 0   HK  SI   1,53m SI MS S SBC 5 Vậy người cao 1m75 vào lều thẳng người BÀI TẬP TỰ LUYỆN (VDT – VDC) Bài Từ miếng bìa hình tam giác cạnh người gấp thành tứ diện (quan sát hình vẽ minh họa) Tính thể tích khối tứ diện gấp A 96 B 12 C 96 D 16 37 Bài Để tạo mơ hình kim tự tháp Ai Cập, từ bìa hình vng cạnh 5dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân có đáy cạnh hình vng gấp lên sau ghép lại thành hình chóp tứ giác Hỏi cạnh đáy mơ hình mơ hình tích lớn dm A dm B C dm D 2 dm Bài Một kim tự tháp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 trước công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 154m; độ dài cạnh đáy 270m Khi thể tích khối kim tự tháp là: A 3.742.200 B 3.640.000 C 3.500.000 D 3.545.000 Bài Từ miếng bìa hình vng có cạnh 5, người ta cắt góc bìa tứ giác gập lại phần lại bìa để khối chóp tứ giác có cạnh đáy x Nếu chiều cao khối chóp tứ giác A x = B x = C x = D x = x bằng: Bài Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tơn hình vng ABCD có cạnh a, cắt mảnh tôn theo tam giác cân AEB; BFC; CGD DHA; sau gò tam giác AEH; BEF; CFG; DGH cho đỉnh A, B, C, D trùng (Như hình) Thể tích lớn khối tứ diện tạo là: A a3 36 B a3 24 C a3 54 D a3 48 Bài Hai miếng giấy hình vng hai bạn Việt Nam cắt tạo thành hình chóp tứ giác sau: 38 Việt: Cắt bỏ miếng giấy hình (với M trung điểm OA) tạo thành hình chóp tứ giác Nam: cắt bỏ miếng giấy hình (với M nằm OA thỏa mãn :OM = MA) tạo thành hình chóp tứ giác Gọi V1 thể tích khối chóp Việt; V2 thể tích khối chóp Nam Tính tỉ số A B C D V1 V2 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12- Nhà xuất Giáo dục Học tốt mơn tốn hình học 12- Nguyễn Thị Lanh Thể tích khối đa diện- Nguyễn Bảo Vương, Đặng Việt Đông https://issuu.com/daykemquynhonofficial/docs/nbtttkddktx Đề thi THPT quốc gia mơn tốn – Bộ Giáo dục Đào tạo 40 ... Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA vng góc với  ABCD  SA  a a Tính thể tích khối chóp S ABCD S b Tính thể tích khối tứ diện S.BCD Hướng dẫn giải a Thể tích khối chóp. .. diện chứa đỉnh S tích V’, V thể tích khối chóp ban đầu Ví dụ Cho hình chóp S.ABC A’, B’, C’ trung điểm cạnh SA, SB, SC Gọi V1 thể tích khối chóp S.A’B’C’ V2 thể tích khối chóp S.ABC Tính tỉ số V1... Diện tích tam giác ABC SABC  6a2 Vậy thể tích khối chóp S ABC VS ABC  6a 119 a  a 119 Ví dụ Cho khối chóp S ABC có góc ASB  BSC  CSA  60 SA  , SB  , SC  Tính thể tích khối chóp