SỰ BIẾN THIÊN HÀM SỐ VÀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm không chứa tham số Hàm số đồng biến trên các khoảng: Hàm số nghịch biến trên các khoảng:... Điểm được gọi là điểm cực tiểu của hàm số trên khoả

Địa chỉ: 81 NAM CAO, Đ NẴNG

ĐT: 0975.050.027 FACEBOOK: facebook.com/nobi39 FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”

Khai giảng ngày 26.6.2016

II Các lớp bồi dƣỡng kiến thức 6; 10; 11

- Lớp 10: khai giảng ngày 15.7.2016

- Lớp 11: 3 – 5 – 7 ( 19h30 )

Khai giảng ngày 13.6.2016

- Lớp 6: 2- 4 ( 15h30 )

Khai giảng ngày 12.6.2016

Liên hệ: lớp Toán thầy Xuân – 81 Nam Cao – Hòa Khánh Nam

Điện thoại: 0975.050.027

của các em

Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách

khó khăn của cuộc sống Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó

là kì thi đại học Đây là một thử thách không có chổ cho những suy

nghĩ bồng bột, lười nhác…

Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán

Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang

bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên của cuộc đời một cách dễ dàng hơn

Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi sai sót…các em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em

khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá

Chúc các em học tốt

Địa chỉ: 81 NAM CAO, Đ NẴNG

ĐT: 0975.050.027 FACEBOOK: facebook.com/nobi39 PAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”

- Phương trình được gọi là

phương trình tổng quát của đường thẳng

- Cho Khi đó đường thẳng qua có một trong 2 dạng sau:

khác phía so với d

cùng phía so với d

4

CHƯƠNG I: HÀM SỐ

BÀI 1 SỰ BIẾN THIÊN HÀM SỐ

I Các định nghĩa, định lý

1 Định nghĩa sự biến thiên

Cho hàm số xác định trên ( có thể là hoặc …)

a Hàm số được gọi là đồng biến trên nếu:

+ Nếu đồng biến trên thì

+ Nếu nghịch biến trên thì

+ Nếu không đổi trên thì

Định lý 2

+ Nếu thì hàm số đồng biến trên

+ Nếu thì hàm số nghịch biến trên

+ Nếu thì hàm số không đổi trên

5

II Các bài toán thường gặp

1 Bài toán 1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm

không chứa tham số

Hàm số đồng biến trên các khoảng:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

7

d

√

Tập xác định

√

Bảng biên thiên Kết luận: Hàm số đồng biến trên

Ví dụ 2: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau

√

Ví dụ 3: Chứng minh rằng a Hàm số √ nghịch biến trên

b Hàm số sau đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

c Hàm số

Đồng biến trên

9

2 Bài toán 2

Vận dụng tính đơn điệu để tìm cực trị hàm một biến

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên

khoảng

B1 Tính đạo hàm

B2 Giải phương trình

B3

 Lập bảng biến thiên (nếu K là khoảng, nửa khoảng)

 Tính các giá trị đặc biệt nếu K là đoạn

B4 So sánh và kết luận

Ví dụ 1:

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

trên

Giải

Hàm số liên tục trên

Ta có

Vậy

tại tại

Ví dụ 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên

10

Ví dụ 3:

Tìm min, max của hàm số √

Giải TXĐ:

√ ( √ )

Ta có

Vậy tại

tại

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau a

b √ √ √

c

11

3 Bài toán 3

Vận dụng tính đơn điệu để biện luận phương trình, bất

phương trình

Ghi nhớ:

Ví dụ 1: Định m để phương trình sau có nghiệm a √ √ √

Ví dụ 2: Định m để phương trình √ có nghiệm

Ví dụ 3: Định m để phương trình √ có nghiệm

13

5 Bài toán 5

Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình

Định lý

a Hàm số đơn điệu ( trên

Khi đó phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên

b Hàm số đơn điệu ( trên

Khi đó ta có

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm

√

Phân tích Những phương trình chứa căn Trước khi làm các

em nên dùng Casio 570 ESPL để đoán nghiệm

Đối với phương trình này, ta bấm thấy vô nghiệm

Do đó ta liên tưởng tới cách làm sau

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

14

Ví dụ 2: Giải phương trình

√

Phân tích Những phương trình chứa căn Trước khi làm các

em nên dùng Casio 570 ESPL để đoán nghiệm

Đối với phương trình này, nghiệm

Dùng hàm để chứng minh nghiệm duy nhất

Phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm

Phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm

Ta có

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Kĩ năng này, sẽ được thầy rèn luyện và định hình cho các em ở

chuyên đề pt và hpt sau này

16

Vế trái cũng có dạng trên

Do đó có thể vận dụng b để giải phương trình này

Giải

Điều kiện

√

Xét hàm

Hàm số đồng biên trên

Ta có √ và √

√

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình √

Phân tích Vế phải có dạng hàm

Ta sẽ kiểm tra xem vế trái có dạng đó không?

Vế trái cũng có dạng trên Do đó có thể vận dụng b để giải phương trình này Giải Điều kiện

√

Xét hàm

Hàm số đồng biên trên

Ta có √ và √

√

Vậy { }

17

Nhận xét

Ví dụ trên nhằm giúp các em làm quen với việc nhận dạng

hàm số Nên khi ra đề thầy đã cố tình không rút gọn ở 2 vế

Vào bài toán cụ thể, đề bài sẽ được ra ở dạng tối giản nhất Vì thế

nhiệm vụ của các em là phải thêm bớt những nhân tố mới ở 2 vế của

phương trình để được dạng như ý

Ta có

Thế vào ta được nghiệm của hệ đã cho là

{( ) }

19

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

{ √

Giải Điều kiện

√

Xét hàm

Ta có (√ )

Thế vào (2) ta được

Vậy nghiệm của hệ đã cho là { }

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình { √ √

Phân tích Phương trình (1) có dạng hàm Nhưng bị thiếu yếu tố để đưa ra phương trình đặc trưng Để giải quyết thiếu sót đó ta có thể cộng hoặc từ vế theo vế 2 phương trình trong hệ Giải Điều kiện

Cộng vế theo vế cả hai phương trình trong hệ ta được √ √

Xét hàm √

√

20

Ta có

Với thế vào (2) ta được

Với thế vào (2) ta được

Vậy nghiệm của hệ là

21

√ √ Hàm số dòng nghịch biến trên

Phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Ta có nên là nghiệm duy nhất của

Với

Vậy nghiệm của hệ là { }

Chú ý: khoảng xác định của hàm phải chứa

khoảng điều kiện của

Phải ở về 2 vế của hệ Nếu có căn thức thì thường nhân

liên hợp

Điểm được gọi là điểm cực tiểu của hàm số

trên khoảng nếu thì Và được

gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

Điểm được gọi là điểm cực đại của hàm số

trên khoảng nếu thì Và được

gọi là giá trị cực đại của hàm số

Chú ý:

Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là các điểm cực trị

Nếu là một điểm cực đại (cực tiểu) thì ta nói rằng hàm số

đạt cực đại (cực tiểu) tại

1 Dấu hiệu 1

đổi dấu từ dương sang âm qua thì là điểm cực đại đổi dấu từ âm sang dương qua thì là điểm cực tiểu không đổi dấu trên thì hàm số không có cực trị

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng

Hàm số nghịch biến trên các khoảng

33

III Đồ thị

1 Phương pháp

Cho hàm số

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

34

3 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

35

Ví dụ 2: Cho hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau đồng biến (nghịch

biến) trên mỗi khoảng xác định của nó

37

c

trên đoạn

d

trên đoạn

e

√ trên đoạn

f | | trên

g | | trên

Câu 5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm sau a √

b √ √

c

√

d √ √ √

e √ √ √

Câu 6 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm sau a √ trên * + b trên * + c * +

d * +

e

f

g

h

Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất của các hàm sau a ( )

b

c ( )

39

d √

e √ √

f √ √ √

g √

h

Câu 13 Giải phương trình a √

b √

c √

d √

e √

f √

g √

h (√ )(√ √ )

Câu 15 Giải hệ phương trình a {

√

b { ( )

√

c {( √ )( √ )

√ √

d { √ √

e { √ √ √ √

40

Câu 16 Tìm cực trị của các hàm số sau

a

b

c

d

e

f

g

Câu 17 Tìm cực trị của các hàm số sau a

b

c √

d √

e √

f | |

g

Câu 18 Tìm để các hàm số sau a đạt cực tiểu tại

b đạt cực đại tại

c đạt cực đại tại

d đạt cực tiểu tại

Câu 19 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau a

b

c

41

d

e | |

f | | | |

Câu 20 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau a

b

c

d | |

Câu 21 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau a

b

c

d | |

e | || |

42

Phần 2 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

BÀI 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Tam giác

1 Diện tích

Cho có độ dài các cạnh là Khi đó

a √

b

c √

d thì √

với là nửa chu vi tam giác 2 Các định lý a Định lý cos:

b Định lý sin:

c Định lý đường trung tuyến:

d Đường cao trong tam giác vuông:

II Các định lý trong không gian 1 Vuông góc a {

b {

c {

43

2 Song song

a {

b {

III Một số ví dụ về bài toán góc

Ví dụ 1 Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

√ và vuông góc đáy Gọi M, N lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A lên SB, SD Tính:

Ví dụ 3 Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có

√ và vuông góc đáy Biết góc giữa (SCD) và

(ABCD) bằng 60

a Tính SA

b Tính góc giữa (SBC) và (SCD)

- Cạnh bên vuông góc đáy thì cạnh bên là chiều cao

- Mặt bên vuông góc đáy thì chân đường cao nằm trên giao

tuyến của mặt bên đó và đáy

- Hai mặt bên vuông góc đáy, thì đường cao là giao tuyến 2

mặt bên đó

- Hình chóp đều, hình chóp có các cạnh bên hợp với đáy bằng nhau, hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là

tâm của đáy

3 Tính chất đặc biệt của hình chóp tam giác ( tứ diện)

45

II Bài tập

1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy đều cạnh

vuông góc đáy Biết √

Theo giả thuyết

là đường cao của hình chóp

Ta giác đều nên

Ví dụ 2

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh √ vuông góc đáy lần lượt là trung điểm Tính theo thể tích hình chóp

47

Ví dụ 4

Cho hình chóp có tam giác vuông cân ở

√ , vuông góc với đáy

1 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

2 Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Suy ra

( ) √

49

TÍNH GÓC

Bài 1 Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có

√ và SA vuông góc đáy M là điểm trên CD sao cho Tính:

a Góc giữa cạnh bên và đáy

b Góc giữa mặt bên và đáy

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, góc ̂ , cạnh AC  a 3 Góc giữa SB với mặt đáy bằng 0

60 Tính:

a Độ dài SA

b Tinh góc giữa (ABC) và (SBC)

c Gọi M là trung điểm BC Tính góc SM và (ABC)

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang

vuông tại A và Mặt bên tạo

với mặt đáy một góc 600 Gọi I là trung điểm cạnh Biết hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng

là trung điểm cạnh AB Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)

Bài 3 Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác

đều cạnh a, và vuông góc với mặt phẳng Gọi

và lần lượt thuộc các và sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Tính thể tích của khối chóp theo

Bài 4 Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC đều cạnh

a,  tạo với mặt đáy một góc bằng 300

Tính thể tích khối chóp theo

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, góc ̂ , cạnh AC  a 3 Góc giữa SB với mặt đáy bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp

Bài 6 Cho hình chóp có đáy là hình vuông

cạnh , có  , Góc giữa với mặt đáy bằng

Bài 8 Cho hình chóp có đáy là hình vuông,

 và AC2a Góc giữa với mặt đáy

bằng 300 Tính theo

51

Bài 9 Chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh

bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Hãy tính thể tích của

khối chóp đó

Bài 10 Cho tam giác vuông cân ở và Trên

đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng lấy điểm

sao cho Mặt phẳng qua vuông góc với , cắt tại và cắt Tính thể tích khối tứ diện

Bài 11 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại

√ góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng tam giác cân tại thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích hình chóp

Bài 12 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật,

√ góc giữa và mặt đáy là Gọi

Hình chiếu của lên mặt phẳng đáy là trung điểm của

Tính thể tích hình chóp

Bài 13 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Gọi là giao điểm của Biết , √ Tính thể tích khối chóp

Bài 14 Cho hình chóp tứ giác đều , đáy là hình vuông

cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc Gọi là trung điểm Mặt

phẳng đi qua và song song với , cắt tại E và cắt SD tại F

Tính thể tích khối chóp

Bài 15 Cho hình chóp có đáy là hình vuông

cạnh a, SA vuông góc đáy, √ Gọi là hình chiếu của A lần lượt lên Mặt phẳng cắt tại Chứng minh

Tính thể tích khối chóp