hàm số bậc nhất và bậc hai

CHƯƠNG  HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I HÀM SỐ TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Với hàm số y = f(x), ta có: D = {x | y tồn tại}, D gọi tập xác định hàm số SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) Một hàm số y = f(x) gọi tăng hay đồng biến khoảng (a, b) với x1, x2 thuộc khoảng ta có: x1 < x2  f(x1) < f(x2) Một hàm số y = f(x) gọi giảm hay nghịch biến khoảng (a, b) với x1, x2 thuộc khoảng ta có x1 < x2  f(x1) > f(x2) TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D  Hàm số y = f(x) gọi hàm chẵn với xD ta có:  x  D   f ( x)  f ( x)  Hàm số y = f(x) gọi hàm lẻ với xD ta có:  x  D   f ( x)   f ( x) NhËn xÐt:   Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a trục đối xứng đồ thị y = f(x)  với phép biến đổi toạ độ: X  x  a x  X  a    Y  y y Y hàm số Y = F(X) hàm số chẵn TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa: Điểm I(a; b) tâm đối xứng đồ thị y = f(x)  với phép biến đổi toạ độ: X  x  a   Y  y  b x  X  a  y Y b hàm số Y = F(X)b hàm số lẻ II HÀM SỐ BẬC NHẤT Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b, a, b số a  Cho hàm số: y = ax + b, với a  Miền xác định D = Sự biến thiên: hàm số đơn điệu Cụ thể:  Với a > 0, hàm số đồng biến  Với a < 0, hàm số nghịch biến Bảng biến thiên: Với a > Với a < x - x - + + + y y + - - Đồ thị: đồ thị hàm bậc đường thẳng (d), cần xác định hai điểm thuộc (d) ta có đồ thị (d)  Nếu b = 0, đồ thị (d) qua gốc toạ độ O điểm A(1, a)  Nếu b  0, đồ thị (d) qua hai điểm B(0, b) C( a>0 C y B a y=ax+b y=ax A O x y b , 0) a a 0, sang trái p đơn vị p < 0, ta nhận đồ thị hàm số y = a(x  p)2 gọi (P1) Tịnh tiến (P1) lên q đơn vị q > 0, xuống q đơn vị q < 0, ta nhận đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c Đồ thị hàm số bậc hai: đồ thị hàm số Parabol (P) có đỉnh S( nhận đường thẳng x =  b  , ) 2a 4a b làm trục đối xứng và: 2a  Hướng bề lõm lên a >  Hướng bề lõm xuống a < Từ đồ thị hàm số bậc hai, ta suy bảng biến thiên: Với a > Với a < x - y + - b 2a -  4a + x + y b 2a  4a - - + - - Vậy, ta có kết luận: Vậy, ta có kết luận: o Hàm số nghịch biến o Hàm số đồng biến khoảng (-; o khoảng (-;- Hàm số đồng biến khoảng o (- o b ) 2a b ; +) 2a Khi x=- b hàm số đạt cực tiểu 2a Hàm số nghịch biến khoảng (- o b ) 2a Khi x=- b ; +) 2a b hàm số đạt cực 2a đại ymin=f(- b  )=2a 4a ymax=f(- b )=2a 4a Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai không thực phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax2 mà thực nh- sau: Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S hai điểm A, B ®èi xøng víi qua S  Nèi ASB ®Ĩ ®-ỵc mét gãc råi thùc hiƯn vÏ ®-êng cong parabol lựon theo đ-ờng góc Ta có tr-ờng hợp:  Với a > thì: y y y (P) B A -/4a O  S -b/2a -b/a O O -b/2a -b/2a O -b/a x -b/a x -/4a x S y y -b/a x S B A -b/2a (P) B A S Với a < thì: y -/4a (P) B A (P) O -b/2a -b/a S A x -b/a B (P) S -/4a O (P) -b/2a A B x NhËn xÐt chung:     > Parabol cắt trục hoành hai điểm phân biệt  = Parabol tiếp xúc với trục hoành  < Parabol khơng cắt trục hồnh B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DNG TON LIấN QUAN Đ1 HM S Dạng toán 1: Tìm tập xác định hàm số Phương pháp thực Ta lựa chọn hai phương pháp sau: Ph-ơng pháp 1: Tỡm D ca x f(x) có nghĩa, tức tìm: D = {x  | f(x) } Ph-ơng pháp 2: Tỡm E ca x để f(x) khơng có nghĩa, tập xác định hàm số D = \E  Chú ý: 10 Thông thường f(x) cho biểu thức đại số với:    f ( x), f ( x) cã nghÜa f1 ( x ) điều kiện  f2 ( x)  f ( x)   f ( x) cã nghÜa f(x) = k f1 ( x ) (k  ) điều kiện  f ( x )   f(x) = ThÝ dô Tìm tập xác định hàm số: x 1 a y = b y = x  2x  x 1 + x  3x   Giải a Hàm số xác định khi: x   x  3 x22x     Vậy, tập xác định hàm số D = b Hàm số xác định khi: \{3, 1}  x  1 x 1   x  1 x       x     ( x  1)( x  2)   1  x   x  3x    x   Vậy, tập xác định hàm số D = [1; 1][2; +)  Chú ý: x3 khẳng định hàm số xác định x +   x  3 tập D = \{3} Đây lời giải sai phép biến đổi hàm số phép biến đổi tương đương Trong câu a), em học sinh biến đổi hàm số dạng y = ThÝ dô Tìm tập xác định hàm số: a y =  víi x   b y =  x    x víi x    3x   2x  Giải a Hàm số xác định khi: x  / 2  3x    x<  x  / 1  x    1 2 Vậy, tập xác định hàm số D =  ;  11 b Hàm số xác định khi:  x   víi x   x  3 víi x      2  x  víi x   x  víi x  Vậy, ta D =  Nhận xét: x   x  Như vậy, thí dụ trên:  Ở câu a), miêu tả điều kiện có nghĩa biểu thức dấu dạng đơn mẫu số  Ở câu b), gặp dạng hàm số hợp ThÝ dơ Tìm m để hàm số sau xác định đoạn [1; 3]: y =  x  mx  m  15  Giải Hàm số nghĩa khi:  2x2 + mx + m + 15   2x2 + mx + m + 15  Bài toán chuyển việc tìm m để (1) nghiệm với x  [1; 3] Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm với x[1; 3]  Nghiệm với x = 1, x = (1) 9  m  8 | 2m  17 |  1  2m  17       22  m = 8 | 3m  23 |  1  3m  23  8  m    Vậy, với m = 8 điều kiện cần để (1) nghiệm với x  [1; 3] Điều kiện đủ: Với m = 8, ta có: (1)  2x2  8x + 7   1  2x2  8x +   2 x  x       2 x  x   ( x  2)2    x    x  x   Vậy, với m = 8 thoả mãn điều kiện u bi Dạng toán 2: Xột s bin thiờn ca hàm số Phương pháp thực Ta lựa chọn hai phng phỏp sau: Ph-ơng pháp 1: S dng nh ngha Ph-ơng pháp 2: Thc hin theo cỏc bc: B-íc 1: Lấy x1, x2(a, b) với x1  x2 ta thiết lập tỉ số: f ( x1 )  f ( x2 ) A= x1  x2 B-íc 2: Khi đó:  Nếu A > với x1, x2(a, b) x1  x2 hàm số đồng biến (a, b) 12  Nếu A < với x1, x2(a, b) x1  x2 hàm số nghịch biến (a, b) ThÝ dơ Khảo sát biến thiên hàm số: a y = f(x) = x + b y = f(x) = x2 + x +  Giải a Với x1, x2  A= x1  x2 ta có: f ( x1 )  f ( x2 ) ( x1  3)  ( x2  3) = =1>0 x1  x2 x1  x2 Vậy, hàm số đồng biến b Với x1, x2  x1  x2 ta có: A= f ( x1 )  f ( x2 ) ( x12  x1  1)  ( x22  x2  1) = = x1 + x2 + x1  x2 x1  x2 Khi đó:   1 A > suy hàm số đồng biến ( ; +) 2 1 Nếu x1, x2 <  A < suy hàm số nghịch biến (;  ) 2 Nếu x1, x2 >   Chú ý: Với hàm số y = f(x) = ax + b, a  0, thì: Lấy x1, x2  x1  x2 ta có: f ( x1 )  f ( x2 ) (ax1  b)  (ax2  b) A= = = a x1  x2 x1  x2 Khi đó:  Nếu a > hàm số đồng biến  Nếu a < hàm số nghịch biến Với hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c, a  0, thì: Lấy x1, x2  x1  x2 ta có: f ( x1 )  f ( x2 ) (ax12  bx1  c)  (ax22  bx2  c) A= = x1  x2 x1  x2 b = a(x1 + x2 + ) a Khi đó: a Với a > 0, ta có: 13  Nếu x1, x2 >  (  b A > nên hàm số đồng biến 2a b  + ) 2a Nếu x1, x2 <  (;  b A < nên hàm số nghịch biến 2a b ) 2a b Với a < 0, ta có:  Nếu x1, x2 >  (  b A < nên hàm số nghịch biến 2a b  + ) 2a Nếu x1, x2 <  (;  b A > nên hàm số đồng biến 2a b ) 2a ThÝ dô Khảo sát biến thiên hàm số: a y = f(x) = x3 + 2x + b y = f(x) = x3 + 3x2 + 7x +  Giải a Với x1, x2  A x1  x2 ta có: = f ( x1 )  f ( x2 ) x1  x2 = ( x13  x1  8)  ( x23  x2  8) = x1  x2 ( x13  x23 )  (2 x1  x2 ) x1  x2 = x12  x22 + x1x2 + = 1 (x1 + x2)2 + ( x12  x22 ) + > 0, x 2 Vậy, hàm số đồng biến b Với x1, x2  x1  x2 ta có: A= f ( x1 )  f ( x2 ) ( x13  3x12  x1  1)  ( x23  3x22  x2  1) = x1  x2 x1  x2 ( x13  x23 )  3( x12  x22 )  7( x1  x2 ) = x12  x22 + x1x2 + 3x1 + 3x2 + x1  x2 1 = (x1 + x2)2 + ( x12  x22 ) + 3(x1 + x2) + 2 = 14 1 [(x1 + x2)2 +6(x1 + x2) + 9] + ( x12  x22 ) + 2 1 = [(x1 + x2) + 3]2 + ( x12  x22 ) + > 0, x 2 = Vậy, hàm số đồng biến ThÝ dô Khảo sát biến thiên hàm số: 2x  x2  x  a y = f(x) = b y = f(x) = 3x  x 1  Giải a Viết lại hàm số dạng: + 3(3x  1) Với x1, x2  \{ } x1 < x2 ta có: y= 3x1 < 3x2  3x1  < 3x2   3(3x1  1) < 3(3x2  1)  2 5 5 >  + > + 3(3x1  1) 3(3x2  1) 3(3x1  1) 3(3x2  1)  f(x1) > f(x2) Vậy, hàm số nghịch biến \{ } b Viết lại hàm số dạng: y  x Với x1, x2  x 1 \{1} phía so với 1, ta có:      x1  x     x2  x   f ( x1 )  f ( x2 )     A  x1  x2 x1  x2   1     x1  x2   x1  x2 x1  x2  x1  x2    x1  1 x2  1    >0 x1  x2  x1  1 x2  1  x1  x2    Vậy, hàm số đồng biến \{1} ThÝ dô Khảo sát biến thiên hàm số: 15 a y = f(x) =  Giải a Với x1, x2  x2  x  b y = f(x) = x1  x2 ta có: x   x22  f ( x1 )  f ( x2 ) = x1  x2 x1  x2 A= = x2  ( x12  2)  ( x22  2) ( x1  x2 )( x   x  2) 2 = x1  x2 x   x22  2 Khi đó:  Nếu x1, x2 > A > suy hàm số đồng biến (0; +)  Nếu x1, x2 < A < suy hàm số nghịch biến (; 0) b Với x1, x2  x1  x2 ta có: A= x12  x1   x22  x2  x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) = x1  x2 ( x12  x1  3)  ( x22  x2  3) = ( x1  x2 ) x1  x2  x  x1   x22  x2   x12  x1   x22  x2   Khi đó:  Nếu x1, x2 > 1 A > suy hàm số đồng biến (1; +)  Nếu x1, x2 < 1 A < suy hàm số nghịch biến (; 1) ThÝ dô Cho hàm số: ax x2 a Với a = 1, khảo sát biến thiên hàm số (2; +) b Tìm a để hàm số đồng biến (2; +) y = f(x) =  Giải Với x1, x2  (2; +) x1  x2 ta có: ax1 ax2  f ( x1 )  f ( x2 ) 2a x  x2  A= = = ( x1  2)( x2  2) x1  x2 x1  x2 a Với a = 1, suy ra: A < với x1, x2(2; +) x1  x2 Vậy, với a = hàm số nghịch biến (2; +) 16 =  x0    x0  2    x0  y0    y0  1   Vậy, đồ thị hàm số qua điểm cố định M(–2 ; –1) ThÝ dơ Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình: (dm): (m1)x + (2m3)ym1 = Xác định m để: a (dm) qua A(2, 1) b (dm) có hướng lên c (dm)//Ox d (dm) vng góc với đường thẳng (1): 3x + 2y100 = e (dm) song song với đường thẳng (2): x2y + 12 = Tìm điểm cố định mà họ (dm) qua  Giải Ta có: a (dm) qua điểm A(2, 1) điều kiện là: (m1).2 + (2m3).1m1 =  3m – =  m = b (dm) có hướng lên điều kiện là: ab <  (m1)(2m3)  < m < c (dm) song song với Ox điều kiện là: m – =  m = d (dm) vng góc với đường thẳng (1) điều kiện là: 3(m1) + 2(2m3) =  7m =  m = e (dm) song song với đường thẳng (2) điều kiện là: m  2m    4m =  m = 2 Giả sử đồ thị hàm số qua điểm M(x0 ; y0), ta có: (m1)x0 + (2m3)y0m1 = 0, m  (x0 + 2y0 – 1)m – x0 – 3y0 – = 0, m  x0  y0    x0     x0  y0    y0  2   Vậy, đường thẳng (dm) qua điểm cố định M(5 ; – 2) ThÝ dô Cho hai hàm số f(x) = (m2 + 1)x  g(x) = mx + 2, với m  Chứng minh rằng: a Các hàm số f(x), f(x) + g(x), f(x)  g(x) hàm đồng biến 30 b Hàm số g(x)  f(x) hàm nghịch biến  Giải a Ta xét:  Hàm số f(x) có hệ số a = m2 + > hàm đồng biến  Hàm số: f(x) + g(x) = (m2 + 1)x  + mx + = (m2 + m + 1)x  có hệ số:   1 2 a = m2 + m + =  m   +  >0 đó, hàm đồng biến Hàm số: f(x)  g(x) = (m2 + 1)x   (mx + 2) = (m2  m + 1)x  có hệ số: 1  a = m  m + = m   + >0 2  đó, hàm đồng biến b Hàm số: g(x)  f(x) = mx +  [(m2 + 1)x  4] = (m2  m + 1)x + có hệ số:  1 2 3  a = (m2  m + 1) =   m     <  đó, hàm nghịch biến ThÝ dơ Cho hàm số y = f(x) = ax + b, với a  a Chứng minh với giá trị x0 tuỳ ý cho trước, tìm hai số m n cho f(m) < f(x0) < f(n) b Chứng minh hàm số bậc khơng có giá trị lớn nhỏ  Giải a Ta biết với x0 tuỳ ý cho trước, có: x0  < x0 < x0 + Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với a > 0, hàm số đồng biến, đó: f(x0  1) < f(x0) < f(x0 + 1) từ đó, ta chọn m = x0  n = x0 + Trường hợp 2: Với a < 0, hàm số nghịch biến, đó: f(x0  1) > f(x0) > f(x0 + 1) 31 từ đó, ta chọn m = x0 + n = x0  b Giả sử trái lại hàm số có:  Giá trị lớn f(x1) ứng với x1  Giá trị nhỏ f(x2) ứng với x2 Theo kết câu a), ln tìm hai số m n cho: f(x1) < f(n)  f(x1) giá trị lớn f(x2) > f(m)  f(x2) giá trị nhỏ ThÝ dô Cho hàm số y = f(x) = ax, với a  a Chứng minh f(kx1) = kf(x1) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) b Các hệ thức câu a) với hàm số: y = g(x) = ax + b, với b  hay không ?  Giải a Ta có: f(kx1) = a(kx1) = akx1 = k(ax1) = kf(x1), đpcm f(x1 + x2) = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 = f(x1) + f(x2) , đpcm b Ta xét:  Với hệ thức: g(kx1) = kg(x1)  a(kx1) + b = k(ax1 + b) b0   akx1 + b = akx1 + bk  b(k  1) =  k = Vậy, hệ thức g(kx1) = kg(x1) với k = Với hệ thức: g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2)  a(x1 + x2) + b = (ax1 + b) + (ax2 + b)  ax1 + ax2 + b = ax1 + ax2 + 2b  b = 0, loại Vậy, hệ thức g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) khụng ỳng Dạng toán 2: Lập phương trình đường thẳng Phương pháp thực Thực theo bước: ThÝ dơ Viết phương trình y = ax + b đường thẳng: a Đi qua hai điểm A(4, 3) B(2, 1) b Đi qua điểm A(1, 1) song song với Ox  Giải a Ta có: A(4, 3)  (d): y = ax + b  = 4a + b B(2, 1)  : y = ax + b  1 = 2a + b 32 (1) (2) Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = 5 Vậy, phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x  b Đường thẳng (d) qua điểm A(1, 1) song song với trục hồnh nên có phương trình: y = 1 ThÝ dô Cho hàm số y = ax  3a a Xác định giá trị a để đồ thị hàm số qua điểm A(0; 4) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm a)  Giải a Đồ thị hàm số qua điểm A(0; 4) khi: = a.0  3a  3a = 4  a =  Vậy, hàm số có dạng y =  y B x + Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0) b Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng Trong OAB vng O, ta có: 1    OH = 2 OH OA OB OA.OB = O 4.3 3 12 Vậy, khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng OA  OB 2 2 = H A | x 12 Đ3 HM S BC HAI Dạng to¸n 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc hai Phương pháp thực Dựa lý thuyết phần kiến thức cần nhớ ThÝ dô Cho hàm số y = f(x) = x24x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Từ lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận đồ thị hàm số y = x22 c Giải thích với giá trị m phương trình x24x + = m x22 = m có số nghiệm  Giải a Ta tính: 33  b  =  =  2a 4a y=x22 y Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(2, 2), nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: x  + CĐ + + y 2 y=x24x+2 O 2 x S Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị A(0, 2), B(4, 2) b Giả sử: y = x22 = f(x + a)  x22 = (x + a)24(x + a) + = x2 + (2a4)x + a24a + Suy ra: 1    a =   2a   2  a  4a   Vậy, ta y = x22 = f(x + 2) Do đó, đồ thị hàm số suy phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang trái đơn vị c Vì số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x24x + y = x22, chúng có số nghiệm ThÝ dơ Cho hai hàm số (P1) (P2), biết: x 4x + a Khảo sát vẽ đồ thị hai hàm số (P1) (P2) hệ trục toạ độ b Tìm m để đường thẳng y = m cắt hai đồ thị vừa vẽ (P1): y = x2 + 2x + 3, (P1): y =  Giải a Ta có bảng sau: Khảo sát (P1)   34 b   =  = 2a 4a Bảng biến thiên: x  y CĐ  +  Khảo sát (P2)   b   =  = 5 2a 4a Bảng biến thiên: x  y + -5 CT + + Đồ thị: Hoành độ giao điểm (P1) (P2) nghiệm phương trình: x2 + 2x + = x  4x +  3x2  12x =  3x(x  4) =  y Khi đó, toạ độ giao điểm là: E(0, 3) F(4, 5) b Từ đồ thị (P1) (P2), đường thẳng y = m cắt hai đồ thị  5  m  Vậy, với 5  m  thoả mãn điều kiện đầu ThÝ dô a b c d (P1) S2 O x -5 S1 (P2) Cho hàm số (Pm): y = (1 + m)x2  2(m  1)x + m  Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số với m = (tương ứng (P0)) Bằng đồ thị tìm x để y  0, y  Viết phương trình đường thẳng qua đỉnh (P0) giao điểm (P0) với Oy Xác định m để (Pm) Parabol Tìm quĩ tích đỉnh Parabol (Pm) m thay đổi Chứng tỏ (Pm) qua điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định y  Giải a Với m = ta (P0): y = x2 + 2x  Ta tính:  x  x   b  = 1  = 4 2a 4a (P0) (d) B -1 O A -3 -3 S x C -4 Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1, 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: x - -1 + CT + + y -4 Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm đồ thị A(1, 0), B(-3, 0), C(0, -3) Từ đồ thị suy ra: Cabri3D_Download_212_Win.exe  y0  y   3  x  b Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng: (d): Ax + By + C = 0, A2 + B2 > Vì S(1, 4) C(0, 3) thuộc (d), ta được: (1) 35  A  B  C    A  B  3B   A  B       3B  C  C  3B C  3B (I) Thay (I) vào (1), ta được: (d): Bx + By + 3B =  (d): x  y  = c Để (Pm) Parabol điều kiện là: + m   m  1, (Pm) có đỉnh Sm( m 1 , ) m 1 m 1 Để nhận phương trình quĩ tích đỉnh Parabol (Pm) m thay đổi, ta thực việc khử m từ hệ: m 1 4 y  m 1  x  1 x    m 1  y m 1   x=  2x + y  =  4 y  y m  y  1 y  y  m 1 Vậy, quĩ tích đỉnh Sm đường thẳng (): 2x + y  = d Giả sử M(x0; y0) điểm cố định mà (Pm) ln qua, đó: y0 = (1 + m) x02  2(m  1)x0 + m  3, với m  ( x02  2x0 + 1)m + x02 + 2x0   y0 = 0, với m   x0   x0  x0     y  x  x   y     0   Vậy, họ (Pm) qua điểm cố định M(1; 0) ThÝ dô Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = |x1|(x + 3)  Giải Viết lại hàm số dạng: y=x  1(x + 3) ( x  1)( x  3) nÕu x    x  x  nÕu x  y1 y=  =  (1  x)( x  3) nÕu x    x  x  nÕu x S1  Bảng biến thiên: x  1 + CT + y  Đồ thị: ta lấy điểm A(3; 0), S(1; 4), B(1; 0) A Dạng toán 4: Hm số dạng y = ax2 + bx + c, với a  Phương pháp thực 36 O   B x y= x2  x + Thực theo bước: B-íc 1: Vẽ đồ thị hàm số (P): y = ax2 + bx + c, với a  B-íc 2: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c gồm hai phần:  Phần từ trục hoành trở lên đồ thị (P)  Đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh (P) qua trục hồnh B-íc 3: Dựa vào đồ thị ta lập bảng biến thiên hàm số y = ax2 + bx + c ThÝ dô Cho hàm số (P): y = x2 + 2x3 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên, tuỳ theo giá trị m, cho biết số nghiệm phương trình |x2 + 2x3| = m y y=|x2+x3|  Giải a Ta tính: y=m b  x  = 1  = 4 1 2a 4a  3 4 Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1; 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: x  1 + CĐ + + y 4 Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị A(3; 0), B(1; 0) b Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = |x2 + 2x3| (phần đường đậm) đường thẳng (d): y = m, ta được:  Với m < 0, phương trình vơ nghiệm  Với m = 0, phương trình có hai nghiệm x = x = 3  Với < m < 4, phương trình có bốn nghiệm phân biệt  Với m = 4, phương trình có ba nghiệm phân biệt  Với m > 4, phương trình có hai nghim phõn bit Dạng toán 5: Lp phng trỡnh Parabol Phương pháp thực Thực theo bước: B-íc 1: Giả sử Parabol (P): y= ax2 + bx + c, với a  B-íc 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c Trong bước ta cần lưu ý điều kiện thường gặp sau:  Điểm A(x0, y0)  (P) ta nhận điều kiện: 37  y0 = a x02 + bx0 + c (P) có đỉnh S(x0, y0) ta nhận điều kiện: b   x0   2a    y0    4a  (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) y0 ta nhận điều kiện: a  a     (hoặc   )  y   y   0   4a 4a  (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) điểm có hồnh độ x0 ta nhận điều kiện: a  a    b (hoặc  b )  x   x     2a 2a  (P) nhận đường thẳng x = x0 làm trục đối xứng ta nhận điều kiện: x0 =  b 2a B-íc 3: Kết luận ThÝ dơ Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết parabol đó: a Đi qua hai điểm M(1; 5) N(2; 8) b Đi qua điểm A(3; 4) có trục đối xứng x =  c Có đỉnh I(2; 2) d Đi qua điểm B(1; 6) tung độ đỉnh   Giải a Ta có:  M(1; 5)  (P)  = a + b +  N(2; 8)  (P)  = 4a  2b + Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = Vậy, ta (P): y = 2x2 + x + b Ta có:  A(3; 4)  (P)  4 = 9a + 3b +  38 b Trục đối xứng x =    =   b = 3a 2a (1) (2) (1) (2) Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a =  Vậy, ta (P): y =  b = 1 x  x + c Ta có:  b   b =2 ;   nên  2a  2a 4a  Đỉnh I(2; 2) Mà đỉnh S    I(2, 2)  (P)  2 = 4a + 2b +  2a + b = 2 Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = 4 Vậy, ta (P): y = x2  4x + d Ta có:  B(1; 6)  (P)  = a  b  Tung độ đỉnh:   =    = a  b2  8a = a  b2 = 9a 4a (1) (2) (1) (2) Từ (1) (2) ta có: a  b  b  a  b  a  b  a         2 (a  4)  9a b  9a b  9a a  a  16   a  b  a   b  3  ( P ) : y  x  3x      a        a  16   a  16 ( P) : y  16 x  12 x      b  12 Vậy, có hai parabol thoả mãn đề ThÝ dô a b c Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c Đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 1), C(1; 1) Có đỉnh I(1; 4) qua điểm D(3; 0) Có giá trị cực tiểu 1 qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3)  Giải a Ta có:  A(0; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  1 = c  B(1; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  1 = a + b + c  C(1; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  = a  b + c Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 1, b =  c =  Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2  x  b Ta có:  D(3; 0)  (P): y = ax2 + bx + c  = 9a + 3b + c  I(1; 4)  (P): y = ax2 + bx + c  = a + b + c (1) (2) (3) (1) (2) 39  I(1; 4) đỉnh (P)   b =   b = 2a 2a (3) Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 1, b = c = Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2 + 2x + c Ta có:  A(2; –1)  (P)  –1 = a.22 + b.2 + c  B(0; 3)  (P)  = a.0 + b.0 + c  Có giá trị cực tiểu –1    = –1 4a (1) (2) (3) Từ (1), (2) (3) ta có: a = ; b = ; c = Vậy, phương trình (P): y = 2x2 + 6x + C CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC Tìm m để hàm số: x 1 a y = xác định [0; 1) x  2(m  1) x  m2  2m b y =  x  2m   xác định (1; 3) 2x  m VÝ dô 1:  Giải a Điều kiện: x  m x  m  x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m   (x – m)(x – m – 2)    Vậy, để hàm số xác định [0; 1) {m ; m + 2}  [0; 1) m   m  2   m 1  m    m    m   1  m  b Điều kiện:  x  2m    x  2m       m x  2 x  m   Để hàm số xác định (1; 3) (1; 3) tập (*), tức là: m  <  2m   m = 2 Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu VÝ dô 2: 40 Cho a  , xác định tất hàm số f(x) cho: (*) f(ax) = f(x), với x  (1)  Giải a a a t suy t = x ax = + t Khi đó: 2 a a (1)  f( + t) = f( t), t  2 a a Đặt g(t) = f( + t), suy g(t) = f( t) Khi đó: 2 Đặt x = (2)  g(t) = g(t), t  Vậy hàm số f(x) = g(x  g(t) hàm chẵn a ) với g(x) hàm chẵn tuỳ ý (2) Cho ba đường thẳng: (d1): y = 2x1, (d2): y = 2x, (d3): y = ax + Xác định a để ba đường thẳng đồng quy, vẽ đồ thị ba đường thẳng hệ trục toạ độ VÝ dô 3:  Giải Để (d1), (d2), (d3) đồng quy (d3) phải qua giao điểm (d1) (d2) Hoành độ giao điểm (d1) (d1) xác định bởi: 2x – = – x  x =  y = Do đó, giao điểm (d1) (d2) điểm M(1 ; 1) Lại có, M  (d3) suy ra: = a.1 +  a = – Vậy, với a = – 2, ba đường thẳng cho đồng quy điểm M(1; 1) Học sinh tự vẽ hình VÝ dơ 4: Xác định a, b, c cho biết parabol y = ax2 + bx + c qua điểm A(8, 0) có đỉnh I(6, 12)  Giải Ta có:  A(8, 0)  (P)  = 64a + 8b + c  Đỉnh I(6, 12)  (P)  12 = 36a + 6b + c  Đỉnh có hồnh độ  b =  b = 12a 2a (1) (2) (3) Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 3, b = 36, c = 96 Vậy, ta (P): 3x2  36x + 96 41 Cho hàm số y = ax2 + bx + c, a  Chứng minh đồ thị hàm b số nhận đường thẳng x =  làm trục đối xứng 2a VÝ dô 5:  Giải Với phép biến đổi toạ độ:  b  b   X  x    x  X  2a  2a     Y  y  y  Y  hàm số có dạng: b   Y = a X   2a    b = a X2  X a  b2 = aX2 + – 4a b  b  b     + b X   + c = a  X  2a  + b  X   + c 2a  2a      b  b     + b X   + c 2a  4a   b2 + c hàm số chẵn với a, b, c 2a b Vậy, hàm số nhận đường thẳng x = – làm trục đối xứng 2a VÝ dô 6: Cho hàm số (P): y = x2 + 2x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x22|x| + m = y  Giải a Ta tính:  S A b   =  =   O x 2a 4a y=m Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1; 1), nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề y= x2 + x lõm xuống Bảng biến thiên: x  + CT y   Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị O(0; 0), A(2; 0) b Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = x2 + 2x (phần đường đậm) đường thẳng (d): y = m, ta được:  Với m > 1, phương trình vơ nghiệm  Với m = 1, phương trình có hai nghiệm x = 1 x =  Với < m < 1, phương trình có bốn nghiệm phân biệt 42   Với m = 0, phương trình có ba nghiệm phân biệt Với m < 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt VÝ dơ 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 + 4x3 + mx2 có trục đối xứng song song với Oy  Giải Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy x = a (a  0) Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X  x  a x  X  a    Y  y y Y hàm số Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 hàm số chẵn Ta có: Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 = X4 + (4 + 4a)X3 + (6a2 + m + 12a)X2 + (4a3 + 12a2 + 2ma)X + a4 + ma2 + 3a3 Hàm số (1) chẵn (1) 4a  12a  2ma  m      a  1 4  4a  Vậy, với m = hàm số nhận đường thẳng x = –1 làm trục đối xứng VÝ dô 8: Cho hàm số: x  (m  4) x  2m  y= x2 Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng  Giải Điểm I(2; 1) tâm đối xứng đồ thị với phép biến đổi toạ độ: X  x  x  X     Y  y   y  Y 1 hàm số sau hàm lẻ Y+1= 2( X  2)2  (m  4)( X  2)  2m  X  (m  3) X  Y= X X Để hàm số hàm lẻ điều kiện là: m + =  m = 3 Vậy, với m = 3 thoả mãn điều kiện đầu VÝ dô 9: Cho hàm số: y = x33mx2 + 3(m21)x + 1m2 (Cm) 43 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ  Giải Hai điểm: A(xA, yA) với yA = x 3A  3m x A2 + 3(m21)xA + 1m2, (1) B(xB, yB) với yB = x  3m x + 3(m 1)xB + 1m , (2) thuộc đồ thị hàm số Hai điểm A B đối xứng với qua gốc toạ độ B  xA  xB   y A  yB    B 2 (3) (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được: 3m x A2 = 1m2 Để tồn hai điểm A B phương trình (5) phải có nghiệm Do < x A2 nên: 0<  m  1  m2   3m 0  m  Vậy, với m 0, hàm số đồng biến  Với a < 0, hàm số. .. b hàm số có dạng: Y + b = f(X + a)  Y = F(X) (1) B-íc 2: Đồ thị hàm số nhận I(a, b) làm tâm đối xứng  hàm số (1) hàm số lẻ  tham số B-íc 3: Kết luận Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số