Tính các giới hạn sau: a.
Trang 1BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ
1.Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
x 2
lim
�
b)
2 2
x 1
lim
�
c)
2 2
x 5
lim
�
d)
2
2
x 2
lim
�
e)
3 4
x 1
lim
�
f)
3 2
2
x 1
lim
�
g)
2 3 2
lim
8
x
x
�
h)
2 3
72 lim
x
�
i) 5
3
1
1
lim
1
x
x
x
�
j) 3 2
x 3
lim
�
k)
x 1
lim
�
l) 3 3 2
x 2
lim
�
m) 1 2
lim
� � n) 1 3
lim
x 1
lim
(1 x)
�
h 0
lim
h
�
q) 2
3 3
x a
lim
�
r) 4 4
x a
lim
x a
�
h 0
lim
h
�
t) x 1 2 2
lim
�
u) 2022
2020
x 1
lim
�
v)
n
2
x 1
lim
(x 1)
�
2 Tìm các giới hạn sau:
A =
8 x
18 x x
4
2 2
B = 22
x 5
lim
�
C =
x 1
x 1
lim
�
D =
2
1
x
2
lim
�
E = 22
x 1
lim
�
2
2
x 1
lim
�
H = 24
x 2
lim
�
L = 3 2 2
x 1
lim
�
I = 23
x 1
lim
�
J =
3 x 4 x
27 x
lim 2
3
3
x 2
lim
8 x
�
2
x 2
lim
�
F =
2
2 1
x
2
lim
�
P = 3 2 2
x 1
lim
�
Q = 3
2
x 1
lim
�
R = 53
x 1
lim
�
x 2
lim
�
Trang 23 Tìm các giới hạn sau:
x 0
lim
x
�
b)
2
x 7
x 3 2 lim
49 x
�
c) 2
x 2
lim
�
x 1
2x 7 3
lim
�
e)
x 4
lim
x 4
�
2
2
1
lim
x
x
�
f) 2
x 2
4x 1 3
lim
�
2
2 lim
8
x
x
�
1
1 lim
x
x
�
x 1
lim
�
j) x 4
lim
�
k)
x 1
lim
�
l) 3 2
0
lim
2
x
x
x x
�
x 2
lim 4x 1 3
�
n) 3 2 32
x 1
lim
(x 1)
�
�
2
3 1
) lim
x
p
x 1
x 1 lim
�
z) 3 2
x 2
2x 12 x lim
�
r) 3
x 1
x 7 2
lim
x 1
�
0
1 1 lim
1 1
x
x x
�
t) 3
x 1
x 7 2 lim
x 1
�
v) 34
x 1
x 1
lim
x 1
�
x 1
x 1 lim
4x 4 2
�
4 Tính các giới hạn sau:
a
x 0
lim
x
�
x 0
lim
x
�
c 3
x 0
lim
x
�
x 0
lim
x
�
2 1
lim
1
x
x
�
x 1
lim
�
Dạng vô định �
�
1 Tìm các giới hạn sau:
a)
x
2x 1
lim
x 1
� �
b)
2 2 x
lim
1 3x 5x
� �
c) 2
x
x x 1 lim
� �
d)
2 2 x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)
� �
e)
3
lim
x
���
f) lim3 34 2 2 1
x
���
g)lim 3 22 2 2
x
���
h)lim 43 3 2 1
x
���
i) xlim (x 1) (7x 2)2 4 2
(2x 1)
���
j) xlim (2x 3) (4x 7)22 2 3
(3x 4) (5x 1)
���
lim
x
x
� �
k)
2 x
lim 3x 1
��
m) lim 2 3 2
x
x
� �
n)
2 2 x
lim
���
2 x
lim
���
Trang 3p) 2
2 x
lim
���
x
x x 3 lim
� �
r) lim3 3 2 2
x
x
� �
s) lim3( 3 2 )2 2 2 3 3 2 2 2
x
� �
(x x x 1)( x 1) lim
(x 2)(x 1)
� �
1 Tìm các giới hạn sau
a) 2
2
2 lim
x
x
�
2
lim 2
x
x
�
c)
1
1 lim
1
x
x x
�
d)
1
1
lim
1
x
x
x
�
e) 2 3
x 0
lim
2x
�
f) 2 3
x 0
2x lim
�
� g) 2
3 3
lim 2
x
x
2
3 3 lim 2
x x
4
3 lim
4
x
x x
�
�
j)
2
3 3
lim 22
x x
2
3 3 lim 22
x x
x l) 23
x 1
lim
�
g)
�
x 0
1 x
lim x
x 1
lim
x 1
�
i)
x 2
1 cos2x lim
x 2
�
2 Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại xo và xét xem hàm số có giới hạn tại xo không ?
2 2
o
(x 1)
a) f(x)
x (x 1) 2
v�� i x 1
�
�
2
o
1 2x (x 2) v�� i x 2
�
�
�
3
1 x 1
x 0 c) f (x) 1 x 1
0
�
�
�
o
vớ i x
3 Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại xo:
a)
3
x 1 (x 1)
Ax 2 (x 1)
�
�
�
với x0 = 1
2
x 6 2x 9
�
�
với x0 = 3
Dạng1: x�a
Bài1:
1)
2
3 lim 3
2
x
x
7 2
3 4
x
2 4
2 3 2 lim
x x
x
4)
6 lim 3
2
x
x
7 2
1 5 lim
x
x 6) 2 2 6
3 5
2
x x
x
Bài2: Phân tích thành nhân tử
Trang 41)
2 5 3
10 3 lim 22
x x
x 2)
a x
a
a
lim
1
) (
) ( lim
a x
a x na a
a
1 lim
n nx
x n x
3 1
1 lim
x x
n
n
1 1
lim
1
7)
h
x h x
h
3 3 0
lim
x
x
x
1
1 lim
1 9)lim 2 3 15
2
x x
x
10)
5
15 2 lim 2
x x
6 ) 5 (
1 lim
3
x x
x
x
12) lim 33 96 2
2 3
x x x
x x
x x
4 3
2
14)
20 12
6 5 lim 2
2
x x
6
2 3 lim 2
2 3
x x x
x
16)
3 2
1 lim 2
4
x
6
4 4
2 3
x x x
x
Bài3: Nhân liên hợp
2
3 5
x
7
2 3 lim
7
x
x x
�
3)
x
x
5 lim
4)
2
1 5 3
lim
x
1 1
lim
x
x 6)
x x
x
1 lim
2
7)
x
x x
x
1 1
lim
2 0
25
3 4 lim 2
x
x
x x
x
x
1 2
1 lim
2 0
10)
4 10 2
3 lim
x
x 11)
1
2 3 lim
3
x x
x
x n x
1 1
lim 0
(n N, n 2) 13)
6
2 2 lim
x
x
14)
2 3
2 4
2 3
2
x x x
x
15)
1
1 3 2
x x
x
16)
2
58 3 lim
3
x x
3 2
1 lim 2
x x
Bài4: Nhân liên hợp căn bậc hai
1)
x
x x
x
5 5
lim
x
x x
x
1 1
lim
1
1 2 lim
x x
4)
x
a x a
x
0
lim (a > 0) 5)
x
x x x
x
1 1
lim
2 0
6)
2 3
2 4
2 3
2
x x x
x
x x
x
x
1 3
1 lim
2 0
Bài5: Nhân liên hợp căn bậc ba
a)
x
x x
1 4 1
lim3
0
2
2 4 lim 3
x
x
x
1 1
lim 3 0
1
1
lim
3
x
x
7)
2 3
2 4
2 3
3
x x x
x
a x a x
3 3
0
1
1 2
3
x x x
x
Bài6: Nhân liên hợp căn bậc hai
1)
x
x
5
3
lim
3 1 4
2 lim
x x
1 lim
2
x x x
Trang 54)
2 3
1 lim
2
3
x
1
1 lim
4
3
x
1
1 lim
3
x
x
6)
3 9
2 4
lim
2
2
x
3
5 2 7 lim
x
4
8 lim
x
x
Bài7: Nhân liên hợp căn bậc hai và căn bậc ba
1)
x
x x
x
3 0
8 1
2
lim
2 3
2 4
2 3
x x x
1
7 5
3 2 3
x x
x
4)
2 3
2 4
2
3
2 3
x x x
1
5 7 lim
2 3
x x
x
6)
x
x x
x
3 0
5 8 4 3
x
x x
x
7 1 2 1 lim3
0
Dạng2: Giới hạn một bên
1)
2
2 2 8
lim
x
x x
x x
3 2 lim
3)
2
4 4 6
3
x x x
1
; 1
1
; 1 3
x
x x
x
1 f x x
5)
0
; sin
0
; 1 2
3 2
x x
x
x x
x
x
1 f x
6)
1
; 1 2
1 0
;
0
; 2 2
x x
x
x x
x o
x
1 f x x ; lim ( )
0 f x x
7)
2
; 3
2
; )
(
2
x
x mx
x
8)
2
; 4
2
; 6 5 )
(
2
x mx
x x
x
x
f Tìm m để hs có giới hạn tại điểm xo =2
9)
3
; 3
3 1
; 5
6
1
; ) 3 2 ( 5
x x
x x
x x
x
f Tìm limx1 f(x); limx3 f(x)
10)
3 4
1 lim 2
4
x
4
2 lim
x x
x
Dạng3: Giới hạn ở vô cực - Các dạng vô định
6 6 2
1 3 lim
x x
x x
xlim
50
lim
2 1
x
x
� �
6) lim 2 7 1 2 3 2
x
4) lim 2 1 2 2
n
n n
x x x
lim
2 2
x
9) lim 4 2 7 2
lim
10) lim2 1 4 2 4 3
12) x x x x
xlim 3 3 2 2 2 2
Trang 613) lim3 3 2 3 1
1 lim
2 2
2 2
x
22) lim 3 1
25) lim 2 5 2 7
27) lim3 3 2 1 3 3 2 1
x
Dạng3: Dạng lượng giác , sử dụng giới hạn limsin 1
x
sin ( )
( )
u x
u x
u x
1)
x
x
x
5
sin
lim
0
x
x
2 tan lim
0
x
sin
sin lim 0
4)
2
0
cos
1
lim
x
x
x
5)
3
sin 3 sin 5 sin lim
x
x x x
x
6)
n
nx x
x
!
sin
2 sin sin lim
0
7) x 0 sinx 3 x x
sin
tan
sin sin lim 9) limxbcosx x bcosb 10)
x
x
1 2
1
lim
0
11)
c x
c x
c
tan tan
x x
x
cos 1 lim
3 0
13) limxccotx x ccotc 14) 2 2
2
2 sin sin
lim
a x
a x
a
cos cos
lim
x
x x
x
15)
x
x x
3 sin 5
sin
lim
0
2 tan 1
lim 1
x x
x
3
x
x
19) limx 1 cos1x.coscos2x x.cos3x
sin sin
2 2 sin lim
x
a x a x
a
x
2 0
tan tan
2 2 tan
lim
x
a x
a x
a
x
22)
2 0
cos cos cos
lim
x
cx bx ax
x
23) limx tansin a ax x tansin a a x x
) (
tan sin
lim
x b a
bx ax
x
25)
x
x x
1 1
2
lim
3 2 0
26)
x
x
cos 1 lim
0
x
x a x
a
x
) cos(
) cos(
lim
0
28)
3 0
tan sin
lim
x
x x
x
2 sin
sin cos sin lim
x x x
x
x
x
3 sin 1 1 lim
31)
x
x
cos 1
lim
0
0
tan tan
tan lim
x
a x
a x a x
4
2
0
4 sin sin
2
sin
lim
x
x x x
x
x x
x tan2 .tan 4
lim
4
x
x x
x sin 11
7 cos 5 cos 1
0
1 sin
1 lim
0
2 sin 2 1
2 sin sin
lim
2
x
x x
x
x x
3 sin 2 lim
0
cos 1
lim
x
x x
x
40)
3 0
sin 1 tan
1
lim
x
x x
x
41)
) 1 tan(
2 3 lim
x x
x
42)
2 0
cos 1 lim
x
ax
x
Trang 7
43) limx tansin57x x
0
2
cos lim
x
cos 1 lim
x
x
46)
4 sin
cos 2 2
lim
x
x
7 cos 5 cos 3 cos lim
x
x x x
x
x
x x
cos
sin
lim
x
x
x 1 2 sin
sin
6
1 cos 2
1 sin 2
x
x
51)
x x
1
lim
52) limx xtan.tanx x.sinsinx x
0
cos 1 lim
x
ax
x
ax
ax x
x 1 cos
sin lim
0
55)
bx
ax
x 1 cos
cos
1
lim
0
x x
x
2 cos 1 lim
2 0
3 4
) 1 sin(
lim 2
x x
58)
2
cos
lim
x
x
x
6
sin 2 1 lim
6
x
x
61)
x
x
x 1 cos 3
5 cos
1
lim
0
62) limx sin7xsinxsin5x
0
x
x
4
sin lim
4
1 Tính các giới hạn sau:
a) xlim0sin5x
3x
� b) xlim01 cos2x2
x
�
c)xlim0cosx cos7x2
x
�
d) xlim0cosx cos3x2
sin x
�
x 0
tgx sinx lim
x
�
f)
x 0
sinx sin3x
�
g) lim0sin2 sin
3sin
x
x
�
h) lim01 sin cos2
sin
x
x
�
Bài1 Tìm các giới hạn sau
a) lim(xx 0 3 5x2 10x)
x 1
lim
x 2
�
c) lim x 1 x 3
x 2
lim
�
e) x 1 3
lim
1 x 1 2x
�
� � f)
2 3
x 0
lim
�
g) x 1
lim
x
�
j)
0
tan sin2x
lim
cos
x
x x
�
h)
x 2
sinx lim x
k) x 4
tgx lim
x