Luyện thi đại học – Chun đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thiên hàm số HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh) VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức BÀI 2: CỰC TRỊ VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò BÀI 3: MAX-MIN VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên Giới thiệu sơ sơ về BĐT BÀI 4:TIỆM CẬN BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ BÀI 8: BIỆN LUẬN BẰNG ĐỒ THỊ BÀI 9: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc BÀI 10: CÁC DẠNG ĐẶNG BIỆT VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố đònh của họ đồ thò (C m ): y = f(x, m) VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thò nào của họ đồ thò (C m ): y = f(x, m) đi qua VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thò của họ đồ thò (C m ): y = f(x, m) đi qua VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm trên đồ thò (C): y = f(x) có toạ độ nguyên VẤN ĐỀ 5: Tìm cặp điểm trên đồ thò (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b VẤN ĐỀ 6: Đối xứng tâm-trục VẤN ĐỀ 7: Tìm cặp điểm trên đồ thò (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) VẤN ĐỀ 8: Khoảng cách VẤN ĐỀ 9: Quỹ tích Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 1 Luyện thi đại học – Chun đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thiên hàm số BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ 1. Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác đònh của hàm số. – Tính y ′ . Tìm các điểm mà tại đó y ′ = 0 hoặc y ′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y ′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số. VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 593 23 +−−= xxxy • D=R • 963' 2 −−= xxy Cho = −= ⇒=−−⇔= 3 1 09630' 2 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số đồng biến: )1;( −−∞ và );3( +∞ , Hàm số nghịch biến: )3;1(− b) 733 23 ++−= xxxy , D=R • 363' 2 +−= xxy Cho 103630' 2 =⇒=+−⇔= xxxy • BBT • Vậy: hàm số ln đồng biến trên D c) 12 24 −−= xxy • D=R • xxy 44' 3 −= Cho = = ⇒=−⇔= 1 0 0440' 2 3 x x xxy • BBT Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 2 Luyện thi đại học – Chuyên đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thiên hàm số • Vậy: hàm số tăng : )0;1(− và );1( +∞ , Hàm số giảm: )1;( −−∞ và )1;0( d) 122 34 ++−= xxxy , D=R • 264' 23 +−= xxy Cho −= = ⇒=+−⇔= 2 1 0 02640' 23 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số tăng : ); 2 1 ( +∞− , Hàm số giảm: ) 2 1 ;( −−∞ • Vậy: hàm số giảm: )1;0( và )2;1( , Hàm số tăng: )0;(−∞ và );2( +∞ e) 1 1 − + = x x y D= }1{\R • 0 )1( 2 ' 2 < − − = x y • BBT • Vậy: hàm số luôn giảm trên ( ) ( ) ;1 1;−∞ ∨ +∞ f) 1 22 2 − +− = x xx y D= }1{\R • 2 2 )1( 2 ' − − = x xx y Cho = = ⇒=−⇔= 2 0 020' 2 x x xxy • BBT x −∞ 0 1 2 + ∞ y ′ + - - + y −∞ -2 −∞ + ∞ 2 + ∞ • Vậy: hàm số giảm: )1;0( và )2;1( ; Hàm số tăng: )0;(−∞ và );2( +∞ g) 2 4 xy −= ]2;2[−∈D • 2 4 ' x x y − − = Cho 00' =⇔= xy • BBT Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 3 Luyện thi đại học – Chun đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thiên hàm số • Vậy: hàm số giảm: (0;2), Hàm số tăng: )0;2(− h) xxy −= 4 , ]4;(−∞∈D • x x x x xy − − = − −−= 42 38 42 4' Cho 4 3 8 0380' <=⇒=−⇔= xxy • BBT • Vậy: hàm số tăng: ) 3 8 ;(−∞ , Hàm số giảm: )4; 3 8 ( BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 2 2 4 5y x x= − + + b) 2 5 4 4 x y x= + − c) 2 4 3y x x= − + d) 3 2 2 2y x x x= − + − e) 2 (4 )( 1)y x x= − − f) = − + − 3 2 3 3 1y x x x g) 4 2 1 2 1 4 y x x= − − h) 4 2 2 3y x x= − − + i) 3 2 4 3 2 1y x x x= − + − k) 2 1 5 x y x − = + l) − = − 5 2 x y x m) 1 1 1 y x = − − n) 2 2 26 2 x x y x + + = + o) 1 3 1 y x x = − + − − p) 2 4 15 9 3 x x y x − + = Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 4 3 2 6 8 3 1y x x x= − + − − b) 2 2 1 4 x y x − = − c) 2 2 1 1 x x y x x − + = + + d) 2 2 1x y x − = e) 2 3 2 x y x x = − + f) 3 2 2y x x= + + − g) 2 1 3y x x= − − − h) 2 2y x x= − i) 2 2y x x= − k) 3 1 y x = j) 4 1 y x = n) 2 1 4 4 2y x x x= − + − + VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh) Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác đònh D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ D. • Hàm số f nghòch biến trên D ⇔ y ′ ≤ 0, ∀ x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y ′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ax bx c 2 ' = + + thì: Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 4 Luyện thi đại học – Chun đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thiên hàm số • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a = = ≥ ≥ ∀ ∈ ⇔ > ≤ ∆ • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a = = ≤ ≤ ∀ ∈ ⇔ < ≤ ∆ 3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ( )g x ax bx c= + + : • Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. • Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a − ) • Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai 2 ( )g x ax bx c= + + với số 0: • 1 2 0 0 0 0 x x P S > < < ⇔ > < ∆ • 1 2 0 0 0 0 x x P S > < < ⇔ > > ∆ • 1 2 0 0x x P< < ⇔ < 5) Để hàm số 3 2 y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: +TH1: a=0 +TH2:a ≠ 0 • Tính y ′ . • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến: 0 0 a ≠ > ∆ (1) • Biến đổi 1 2 x x d− = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4x x x x d+ − = (2) • Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. VD1: Định m để hàm số ln đồng biến a) mmxxxy +++= 23 3 • D=R • mxxy ++= 63' 2 Hàm số ln đồng biến >= ≤∆ ⇔≥⇔ 01 0' 0' a y 3039 ≥⇒≤−⇒ mm • Vậy: với 3 ≥ m thì hs ln đồng biến trên D. b) 2)2()12( 23 −−+−−= xmxmmxy • D=R • 2)12(23' 2 −+−−= mxmmxy Hàm số ln đồng biến TH1: m=0 khơng thoả mãn TH2: m ≠ 0 thì Hàm số ln đồng biến >= ≤∆ ⇔≥⇔ 03 0' 0' ma y > ≤−−+− ⇔ 0 0)2(3144 2 m mmmm > ≤+ ⇔ 0 0)1( 2 m m 0>⇔ m KL: Vậy: với 0 > m thì hs ln đồng biến trên D. Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 5 Luyện thi đại học – Chuyên đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thiên hàm số c) mx mx y + + = 4 , D= }{\ mR − • 2 2 )( 4 ' mx m y + − = Hàm số luôn đồng biến > −< ⇒>−⇔>⇔ 2 2 040' 2 m m my • Vậy: với > −< 2 2 m m thì hs luôn đồng biến trên D. VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến: xm mxx y − ++ = 3 2 • D= }{\ mR • 2 22 )( 32 ' mx mmxx y + +++− = Hàm số luôn nghịch biến <−= ≤∆ ⇔<⇔ 01 0' 0' a y 03 22 ≤++⇒ mm (điều không thể) • Vậy: không tồn tại m để hs luôn nghịch biến trên D. VD3: Định m để hàm số mxmxxy 4)1(3 23 +−++= nghịch biến trong ( - 1; 1) • D=R • 163' 2 −++= mxxy Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1) 0'≤⇔ y và 21 11 xx <<−< < <− ⇔ 0)1( 0)1( af af <−++ <−+− ⇔ 0)163(3 0)163(3 m m −< < ⇔ 8 4 m m 8−<⇒ m • Vậy: 8 −< m thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1). VD4: Định m để hàm số xmmxmxy )232()1( 223 ++−−+= tăng trên );2( +∞ • D=R • )232()1(23' 22 ++−−+= mmxmxy Hàm số tăng trên );2( +∞ 0'≤⇔ y và 2 21 ≤< xx < ≥ >∆ ≤∆ ⇔ 2 2 0)2( 0' 0' S af < −− ≥++− >++ ≤++ ⇔ 2 2.3 )1(2 0)62(3 0177 0177 2 2 2 m mm mm mm −> ≤≤− ⇔ 5 2 2 3 m m 2 2 3 ≤≤−⇒ m • Vậy: 2 2 3 ≤≤− m thì hs tăng trên );2( +∞ VD5: Định m để hàm số mmxxxy +++= 23 3 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. • D=R • mxxy ++= 63' 2 Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 6 Luyện thi đại học – Chun đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thiên hàm số Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 0'≤⇔ y và 1 21 =− xx 4 3 144 3 14 039 2 =⇒ =− < ⇒ =− >− ⇔ m m m PS m • Vậy: 4 3 =m thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 3 5 13y x x= + + b) 3 2 3 9 1 3 x y x x= − + + c) 2 1 2 x y x − = + d) 2 2 3 1 x x y x + − = + e) 3 sin(3 1)y x x= − + f) 2 2 1x mx y x m − − = − Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 5 cot( 1)y x x= − + − b) cosy x x= − c) sin cos 2 2y x x x= − − Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của nó: a) 3 2 3 ( 2)y x mx m x m= − + + − b) 3 2 2 1 3 2 x mx y x= − − + c) x m y x m + = − d) 4mx y x m + = + e) 2 2 1x mx y x m − − = − f) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − Bài 4. Tìm m để hàm số: a) 3 2 3y x x mx m= + + + nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) 3 2 1 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m= − + − + nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= − + − + + − đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Bài 5. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x= + + − + + đồng biến trên khoảng (1; +∞). b) 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + đồng biến trên khoảng (2; +∞). c) mx y m x m 4 ( 2) + = ≠ ± + đồng biến trên khoảng (1; +∞). d) x m y x m + = − đồng biến trong khoảng (–1; +∞). e) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − đồng biến trên khoảng (1; +∞). f) 2 2 3 2 1 x x m y x − − + = + nghòch biến trên khoảng 1 ; 2 − +∞ ÷ .HD: Xét TH1: 0y ′ < ta có a<0 Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 7 Luyện thi đại học – Chun đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thiên hàm số ( 0y ′ = không sảy ra vì nếu như vậy thì hàm số tử chia được cho mẫu xét riêng) TH2: 1 0 2 y x ′ > ∀ > − (a<0) ⇔ 1 2 0 0 1 2 a x x < ∆ > < ≤ − 0 0 1 . 0 2 1 2 2 2 a a f S b a ∆ > < ⇔ − ≥ ÷ = − < − g) 3 2 1 2 3sin 2 (sin cos ) ( ) 1 3 4 x a y a a x x= − + + + tìm a hàm số luôn đồng biến i) 3 2 2 4 6 . 2 3 .sin 2. 6 ln(2 )y x x cos a x sin a a a= − + + − xét dấu 1 2 ( )f ′ k) 2 2 1 2 2 sin cos 2 4 y mx cos x m x x cos x= − − + tìm m hàm số nghòch biến với mọi x Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 8 1 x 2 x + 1 2 − . Luyện thi đại học – Chun đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thi n hàm số HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thi n của hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều. số có cực trò BÀI 3: MAX-MIN VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thi n Giới thi u sơ sơ về BĐT BÀI 4:TIỆM CẬN BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO BÀI 7:. tích Nguyễn Văn Loan - Trường THPT Cẩm Lý – Năm học 2011 - 2012 1 Luyện thi đại học – Chun đề Hàm số - Đồ thị- CĐ: Biến thi n hàm số BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ 1. Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên