Hàm số luyện thi ĐH - 2009

Mathsvn.violet.vn A/ Đặt vấn đề. Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thờng lúng túng trong quá trình biện luận. Đặc biệt đối với phơng trình lợng giác việc biện luận để phơng trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phơng trình không phải lúc nào cũng dễ dàng. Có những bài toán phải vận dụng những phơng pháp đặc biệt mà việc nghĩ ra hay tìm thấy đều rất khó khăn. Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phơng trình lợng giác tôi đã tổng kết đợc một vài dạng bài cơ bản về phơng trình lợng giác có tham số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phơng pháp giải đối với dạng toán này. Trớc hết để làm đợc yêu cầu học sinh phải thành thạo trong việc giải các ph- ơng trình lợng giác không có tham số. Nắm thật chắc các phép biến đổi phơng trình đa về dạng đã biết. Ngoài ra học sinh cần nhớ nội dung hai định lý: * Định lý: Nếu f (x) liên tục trên { a;b} có maxf = M, min f = m . . . Từ đó thì phơng trình f (x) = a sẽ có nghiệm m a M Định lý Lagrăng: Nếu y = f (x) liên tục trên đoạn {a ; b} và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c (a ; b) sao cho f (c) = B/ Nội dung: Dạy phơng trình lợng giác có tham số I- Dạng 1: Biện luận để phơng trình có nghiệm Bài toán 1: Tìm điều kiện của m để phơng trình sau có nghiệm Sin 6 x + cos 6 x = m Ta có Sin 6 x + cos 6 x = 1 - sin 2 2x = 1 - ( 1 - cos 2 2x) Ta có: Sin 6 x + cos 6 x = 1 - sin 2 2x = 1 - ( 1 - cos 2 2x ) 1 ab afbf )()( 4 3 4 3 4 3 4 3 Mathsvn.violet.vn Sin 6 x + cos 6 x + cos 2 2x Hãy đánh giá vế trái: 0 cos 2 2x 1 sin 6 x + cosx 1 Hàm số f(x) = sin 6 x + cos 6 x có max f = 1, min f = f(x) liên tục nên phơng trình f(x) = m có nghiệm m 1 Vậy với m { ; 1 thì phơng trình f(x) = m có nghiệm Bài toán 2: Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm. Cos2x + cosx = m <=> 2cos 2 x - 1 + cosx = m Đặt cosx = t, điều kiện | t | 1 Xét hàm số f(x) = 2 t 2 + t - 1 với 1 1 1. Toạ độ đỉnh ( - ; - ) Bảng biến thiên t - -1 - 1 + f(t) + 0 - Dựa vào bảng biến thiên: max f(t) = 2 khi t = 1 min f(x) = - khi t = Phơng trình có nghiệm khi - m 2 Làm tơng tự: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: Sin2x + sinx cosx = m 2 sin2x + cosx - sinx = m Đặt t = sinx + cosx, đk | t | 2 4 1 4 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 8 9 4 1 8 9 8 9 4 1 8 9 2 Mathsvn.violet.vn * Tổng quát. Nếu f(x) là hàm liêu tục có max f = M, min f = m thì phơng trình f(x) = a có nghiệm m a M Bài toán 3: Cho phơng trình. Tìm a để phơng trình có nghiệm. Bài làm: Ta không nên biến đổi trực tiếp phơng trình. Hãy xét f(x) = với x Trong khoảng này cosx > 0, sin x < 0 Và lim cosx = 1 lim sinx = 0 - x 0 - x 0 - Lim cos x = 0 + lim sin x = -1 x + x + Do đó + Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục trên + Với a phơng trình f(x) = a luôn có nghiệm Bài toán 4: Chứng minh rằng a,b,c phơng trình. a cos3x + b cos2x + sin x = 0 luôn có nghiệm ( 0; 2) Xét f (x) = f (x) = acos3x + bcos 2 x + cosx + sin x f (x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; 2) f (0) = - cos 0 = -1 3 xx sin 1 cos 1 + 0; 2 2 + + xx sin 1 cos 1 lim + + xx sin 1 cos 1 lim 0x + x 0; 2 +== )()( lim;lim xx ff 0x 2 + x xxcx b x a cossin2sin 2 3sin 3 ++ 12cos )2( == f a xx =+ sin 1 cos 1 2 + Mathsvn.violet.vn Theo định lý Lagrăng Phơng trình f (x) = 0 có nghiệm ( 0; 2 ) Phơng trình đã cho luôn có nghiệm ( 0; 2) với a,b,c Bài toán 5: Tìm a,b để PT: cos 4 x + a cos 2x + b sin 2x = 0 có nghiệm. ở đây ta không trực tiếp xét phơng trình. Xét Vì f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ . Kết f (x) trên ( 0; ) f (x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; ) Theo định lý Lagrăng x 0 ( 0; ) f (x) = 0 PT f (x) = 0 có nghiệm (0; ) Vậy với a,b phơng trình đã cho có nghiệm. Bài toán 6: Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm Nếu là nghiệm của (I) thì đúng Phơng trình có nghiệm (1) Đảo lại: Nếu (1) có nghiệm thì là đúng đờng tròn Đơn vị x 0 (x 0, y 0 ) là 1 nghiệm của hệ 4 02 )0()2( ;)2;0( )( ' 0 0 = ff fx x x b x ax f x 2cos 2 2sin 24 4sin )( += xbxaxf 2sin2cos4cos )0( ' ++= 2 ; 2 )()0( b f b f = = = = 0 3 0 3 sinsin coscos yax yax I = = 0 0 yy xx = = 0 3 0 3 0 sinsin coscos yx yax = = 0 62 0 2 0 62 0 2 sinsin coscos yax yax 1sincos 0 62 0 62 =+ yaya 1sincos 6262 =+ yaya 1sincos 0 62 0 62 0 =+= yayayy ( ) ( ) 1sincos 2 0 3 2 0 3 =+ yaya 0 3 0 3 sin,cos yaya = = 0 3 0 0 3 0 sinsin coscos yax yax Mathsvn.violet.vn Vậy hệ có nghiệm PT (1) có nghiệm. Đến đây bài toán trở thành tìm a để phơng trình. có nghiệm. Nếu a = 0 phơng trình có dạng 0 =1, phơng trình vô nghiệm. Nếu a 0 (1) (1) có nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm. Bài tập tự luyện: 1. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm. 2. Cho phơng trình Tìm m để phơng trình có nghiệm. 3. Tìm a để phơng trình có nghiệm B/ Dạng 2. Biện luận số nghiệm. Bài toán 1: Cho phơng trình. Tìm m để phơng trình có đúng bảy nghiệm trong khoảng Có thể thấy ngay rằng việc tìm m để phơng trình có đúng 7 nghiệm quả là khó khăn. 5 1sincos 0 62 0 62 =+ yaya 2 0 62 0 6 1 sincos a yay =+ 2 2 1 2sin 4 3 1 a y = 21 2141 4 31 10 1 12sin 4 3 2 2 2 2 = a aa a a y ( ) ( ) mxxc mxb mxa =+=+ =+ =+ 3cos 3 1 2cos 2 1 cos1, cos2cos, sin1sin, 4 4 4 4 ( ) 01cot3 sin 3 2 2 =+++ gtgxmxtg x a xx = 3sin 1 3cos 1 01cos2cos3cos =+ xmxx 2; 2 2; 2 Mathsvn.violet.vn Trớc hết hãy đại số hoá phơng trình đã cho. Đặt t = cosx đk {t} 1 Ta đi xét số nghiệm x của phơng trình cos x = t Số nghiệm cos x = t Nhận thấy cos x = 0 có 2 nghiệm Phơng trình có đúng 7 nghiệm (2) có 5 nghiệm Tam thức f (t) = 4 t 2 - 2t + m - 3 có hai nghiệm t 1 , t 2 sao cho -1 < t 1 < t 2 < 1. 1< m <3 Vậy với 1< m <3 phơng trình đã cho có đúng bảy nghiệm Bài toán khai triển. - Tìm m để phơng trình có đúng 6 nghiệm Tam thức f (t) = 4 t 2 - 2t + m - 3 có 2 nghiệm t 1 , t 2 sao cho - Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm 6 ( ) ( ) ( ) =+ = =+ =+ =+ )2(0324 )1(0 0324 0324 011234 2 2 23 23 mtt t mttt tmtt tmttt 2; 2 t + 0 1 0 1 0 0 0 1n 0 1n 0 3n 0 2n 2; 2 2; 2 2; 2 2; 2 > > < 0 0 0 )1( )1( )0( f f f > >+ < 01 03 03 m m m > > < 4 3 3 m m m 2; 2 2; 2 <<= =<< 10;1 10 21 21 tt tt 2; 2 Mathsvn.violet.vn f (x) = 4 t 2 - 2t + m - 3 có 1 n 0 t = -1 hoặc t = 1 - Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm f (x) = 4t 2 - 2t + m - 3 vô nghiệm hoặc có nghiệm t = 0 t 1 t 2 < -1 hoặc 1 < t 1 t 2 ; t 1 < -1 < 1 < t 2 Bài toán 2: Cho phơng trình: sin 3x - mcos2x - (m+ 1+ sinx + m = 0 (1) Xác định giá trị của m để phơng trình có đúng 8 nghiệm ( o; 3) (1) 3sinx - 4 sin 3 x - m (1 - 2sin 2 x) - (m+1) sinx + m = 0 - 4sin 3 x + 2 m sin 2 x + (2 - m) sinx = 0 -sin {4sin 3 x + 2m sinx + (-2 + m)} = 0 sinx = 0 x = hoặc x = 2 (0; 3) Do phơng trình có đúng 8 nghiệm (0; 3) (2) có đúng 6 nghiệm (0; 3) ; 2 Đặt sinx = t (2) 4t 2 + 2mt + (-2 + m) = 0 Số nghiệm (0; 3) sinx = t Phơng trình có đúng 8 nghiệm (2) có nghiệm t 1 , t 2 sao cho 0 < t 1 < 1 = t 2 hoặc - 1 < t 1 < 0 < t 2 < 1 * TH 1: 0 < T 1 < 1 = t 2 f (1) = 0 m = 2 t 1 = 0 (loại) * TH 2: -1 < t 1 < 0 < t 2 < 1 7 2; 2 =++ = )2(02sin2sin4 0sin 2 mxm x t + 0 1 0 1 0 0 0 1n 0 2n 0 4n 0 2n 0 2n 0 4 2 21 = = m tt Mathsvn.violet.vn Vậy để phơng trình có đúng 8 nghiệm (0; 3) thì * Làm tơng tự: Tìm m sao cho phơng trình sin 3x + sin 2x = m sin x có đúng 8 nghiệm c) Dạng 3: Phơng trình tơng đơng. Bài 1: Tìm a và b để hai phơng trình sau tơng đơng. 1) 2) Ta biết rằng hai phơng trình tơng đơng nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (có thể là tập ) + Nếu (1) vô nghiệm tìm điều kiện để (2) vô nghiệm + Nếu (1) có nghiệm tìm điều kiện để nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) và ngợc lại. 1) Cần: Giả sử (1) và (2) tơng đơng. Vì là nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) Vì là nghiệm của (2) cũng là nghiệm của (1) 8 > < > 0 0 0 )1( )0( )1( af af af > < >+ 02 02 023 m m m < < > 2 2 3 2 m m m 2 3 2 << m 2 3 2 << m ) 2 5 ;0( xaxxa sin2cos222sin +=+ 1cossin22sin2cossin2 2 ++=+++ xxbbxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0coscos 1cossin2cos2sin2sin21sin2 01sin2cos2 2cos22cos2sin 22 = ++=+++ = = bxbx xxbbxxxx xax xxxa 4 = x 4 = x 2 2 0 2 2 1 2 2 .2 == bb 6 = x 6 = x Mathsvn.violet.vn a=2 a = 2 b = thì (1) Nhận thấy (1) và (2) tơng đơng Vậy với a = 2 b = thì 2 phơng trình đã cho tơng đơng. Bài toán 2: Tìm m để 2 phơng trình sau tơng đơng. sin x + m cosx = 1 (1) m sinx + cosx = m 2 (2) Bài làm Cần: Giả sử (1) và (2) tơng đơng Ta thấy x = là nghiệm của (1) x = cũng phải là nghiệm của (2) sin + cos = m 2 m = m 2 m 2 - m = 0 Với m = 0 (1) sin x = 0 (2) cos x = 0 sin x = 1 Hai phơng trình không tơng đơng. Với m = 1 (1) sin x + cos x = 1 (2) sin x + cos x = 1 Vậy m = 1 thì 2 phơng trình đã cho tơng đơng 9 01 6 sin.2 2 3 .2 = a 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 cos1sin2 01sin22cos2 = = xx xx 2 2 2 2 2 2 = = 1 0 m m )2()1( Mathsvn.violet.vn Bài toán 3: Tìm a để phơng trình sau tơng đơng. (1) 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x (2) 4cos 2 x - cos 3x = a cos x + (4 - a) (a + cos 2x) Bài làm (1) cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x 2cos 2 x - cos x = 0 cos x ( 2cos x - 1) = 0 (2) 4 cos 2 x - 4cos 3 x + 3 cos x = a cos x + (4 - a) (2cos 2 x - 1) Hai phơng trình tơng đơng Tơng tự: Tìm a để 2 phơng trình tơng đơng sin 3x = a sinx + (4 - 2{a}) sin 2 x sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sinx cos 2 x C/ kết luận Qua một số năm giảng dạy phơng trình lợng giác giải bằng cách phân dạng trên tôi thấy đã có những kết quả nhât định. Học sinh biết phân dạng bài tập và sử dụng phơng pháp thích hợp cho mỗi bài toán. Vì thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm cha nhiều tôi mong đợc sự đóng góp giúp đỡ của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Giáo viên 10 = = 01cos2 0cos x x = = 2 1 cos 0cos x x =+ = = 03cos2 01cos2 0cos ax x x = = = 2 3 cos 2 1 cos 0cos a x x x > < = 1 2 3 1 2 3 0 2 3 a a a 4 3 1 5 = =+ <+ > a a a a . 2cos 2 x - 1 + cosx = m Đặt cosx = t, điều kiện | t | 1 Xét hàm số f(x) = 2 t 2 + t - 1 với 1 1 1. Toạ độ đỉnh ( - ; - ) Bảng biến thi n t - -1 - 1 + . 3) (1) 3sinx - 4 sin 3 x - m (1 - 2sin 2 x) - (m+1) sinx + m = 0 - 4sin 3 x + 2 m sin 2 x + (2 - m) sinx = 0 -sin {4sin 3 x + 2m sinx + (-2 + m)} = 0