Khảo sát hàm số ôn thi ĐH

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số 1. Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác đònh của hàm số. – Tính y ′ . Tìm các điểm mà tại đó y ′ = 0 hoặc y ′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y ′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số. Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) p) Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) b) c) d) e) Trang 1 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 2 2 4 5y x x= − + + 2 5 4 4 x y x= + − 2 4 3y x x= − + 3 2 2 2y x x x= − + − 2 (4 )( 1)y x x= − − 3 2 3 4 1y x x x= − + − 4 2 1 2 1 4 y x x= − − 4 2 2 3y x x= − − + 4 2 1 1 2 10 10 y x x= + − 2 1 5 x y x − = + 1 2 x y x − = − 1 1 1 y x = − − 2 2 26 2 x x y x + + = + 1 3 1 y x x = − + − − 2 4 15 9 3 x x y x − + = 4 3 2 6 8 3 1y x x x= − + − − 2 2 1 4 x y x − = − 2 2 1 1 x x y x x − + = + + 2 2 1x y x − = 2 3 2 x y x x = − + 3 2 2y x x= + + − Khảo sát hàm số Trần Só Tùng f) g) h) i) k) l) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh) Cho hàm số , m là tham số, có tập xác đònh D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ D. • Hàm số f nghòch biến trên D ⇔ y ′ ≤ 0, ∀ x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y ′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu thì: • • 3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai : • Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. • Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = ) • Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai với số 0: • • • 5) Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: • Tính y ′ . • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến: (1) • Biến đổi thành (2) • Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) b) c) d) e) f) Bài 2. Chứng minh rằng các Trang 2 2 1 3y x x= − − − 2 2y x x= − 2 2y x x= − sin2 2 2 y x x   = − < <  ÷   π π sin2 2 2 y x x x   = − − < <  ÷   π π ( , )y f x m= y ax bx c 2 ' = + + 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a   = =   ≥  ≥ ∀ ∈ ⇔   >    ≤   ∆ 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a   = =   ≤  ≤ ∀ ∈ ⇔   <    ≤   ∆ 2 ( )g x ax bx c= + + 2 b a − 2 ( )g x ax bx c= + + 1 2 0 0 0 0 x x P S  >  < < ⇔ >   <  ∆ 1 2 0 0 0 0 x x P S  >  < < ⇔ >   >  ∆ 1 2 0 0x x P< < ⇔ < 3 2 y ax bx cx d= + + + 0 0 a  ≠  >  ∆ 1 2 x x d− = 2 2 1 2 1 2 ( ) 4x x x x d+ − = 3 5 13y x x= + + 3 2 3 9 1 3 x y x x= − + + 2 1 2 x y x − = + 2 2 3 1 x x y x + − = + 3 sin(3 1)y x x= − + 2 2 1x mx y x m − − = − Trần Só Tùng Khảo sát hàm số hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) b) c) Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của nó: a) b) c) d) e) f) Bài 4. Tìm m để hàm số: a) nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Bài 5. Tìm m để hàm số: a) đồng biến trên khoảng (1; +∞). b) đồng biến trên khoảng (2; +∞). c) đồng biến trên khoảng (1; +∞). d) đồng biến trong khoảng (–1; +∞). e) đồng biến trên khoảng (1; +∞). f) nghòch biến trên khoảng . VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: • Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥ , ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác đònh do đề bài chỉ đònh. • Xét dấu f ′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến. • Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ′ (x) thì ta đặt h(x) = f ′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h ′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) Trang 3 5 cot( 1)y x x= − + − cosy x x= − sin cos 2 2y x x x= − − 3 2 3 ( 2)y x mx m x m= − + + − 3 2 2 1 3 2 x mx y x= − − + x m y x m + = − 4mx y x m + = + 2 2 1x mx y x m − − = − 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − 3 2 3y x x mx m= + + + 3 2 1 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m= − + − + 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= − + − + + − 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x= + + − + + 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + mx y m x m 4 ( 2) + = ≠ ± + x m y x m + = − 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − 2 2 3 2 1 x x m y x − − + = + 1 ; 2   − +∞  ÷   3 sin , 0 6 x x x x với x− < < > 2 1 sin tan , 0 3 3 2 x x x với x+ > < < π Khảo sát hàm số Trần Só Tùng c) d) Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) c) Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) c) Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) c) d) Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) c) HD: a) . Xét hàm số . b) Xét hàm số . f(x) đồng biến trong khoảng và ∈ . c) Xét hàm số với x > 1. VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: • Chọn được nghiệm x 0 của phương trình. • Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) Bài 2. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) b) Bài 4. Giải các hệ Trang 4 tan , 0 2 x x với x< < < π sin tan 2 , 0 2 x x x với x+ > < < π tan , 0 tan 2 a a với a b b b < < < < π sin sin , 0 2 a a b b với a b− < − < < < π tan tan , 0 2 a a b b với a b− < − < < < π 2 sin , 0 2 x x với x> < < π π 3 3 5 sin , 0 6 6 120 x x x x x x với x− < < − + > x x x với xsin cos 1, 0 2 π + > < < 1 , 0 x e x với x> + > ln(1 ) , 0x x với x+ < > 1 ln(1 ) ln , 0 1 x x với x x + − > > + ( ) 2 2 1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ + 0 tan55 1,4> 0 1 7 sin20 3 20 < < 2 3 log 3 log 4> 0 0 0 tan55 tan(45 10 )= + 1 ( ) 1 x f x x + = − 3 ( ) 3 4f x x x= − 1 1 ; 2 2   −  ÷   0 1 7 ,sin20 , 3 20 1 1 ; 2 2   −  ÷   ( ) log ( 1) x f x x= + 5 5x x+ − = 5 3 1 3 4 0x x x+ − − + = 5 7 16 14x x x x+ − + + + + = 2 2 15 3 2 8x x x+ = − + + 5 5 5 1 2 3 0x x x+ + + + + = ln( 4) 5x x− = − 3 4 5 x x x + = 2 3 5 38 x x x + + = 3 4 5 1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − < 2 2 7 2 7 35x x x x x+ + + + + < Trần Só Tùng Khảo sát hàm số phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) HD: a, b) Xét hàm số c) Xét hàm số d) Xét hàm số f(t) = tant + t I. Khái niệm cực trò của hàm số Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x 0 ∈ D. a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) < f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f. b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) > f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x 0 là điểm cực trò của f thì điểm (x 0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f′ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò 1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x 0 } a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . 2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f′ (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . a) Nếu f′′ (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . b) Nếu f′′ (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . Trang 5 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 x y y y y z z z z x x x  + = + +   + = + +  + = + +  3 2 3 2 3 2 2 2 2 x y y y y z z z z x x x  = + + −   = + + −  = + + −  3 2 3 2 3 2 6 12 8 6 12 8 6 12 8 y x x z y y x z z  = − +   = − +  = − +  x y y x x y x y tan tan 5 2 3 4 , 2 2 π π π  − = −   + =   − < <   x y x y x y x y sin sin 3 3 5 , 0 π  − = −   + =   >   x y y x x y x y sin2 2 sin2 2 2 3 0 , 2 π π  − = −   + =   < <   x y x y x y x y cot cot 5 7 2 0 , π π  − = −  + =   < <  3 2 ( )f t t t t= + + 2 ( ) 6 12 8f t t t= − + II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khảo sát hàm số Trần Só Tùng VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1. • Tìm f ′ (x). • Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu f ′ (x). Nếu f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trò tại x i . Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2. • Tính f ′ (x). • Giải phương trình f ′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). • Tính f ′′ (x) và f ′′ (x i ) (i = 1, 2, …). Nếu f ′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f ′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f ′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: • Hàm số bậc ba có cực trò ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: + + , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y ′ . • Hàm số = (aa ′≠ 0) có cực trò ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác . Trang 6 2 3 3 2y x x= − 3 2 2 2 1y x x x= − + − 3 2 1 4 15 3 y x x x= − + − 4 2 3 2 x y x= − + 4 2 4 5y x x= − + 4 2 3 2 2 x y x= − + + 2 3 6 2 x x y x − + + = + 2 3 4 5 1 x x y x + + = + 2 2 15 3 x x y x − − = − 3 4 ( 2) ( 1)y x x= − + 2 2 4 2 1 2 3 x x y x x + − = + − 2 2 3 4 4 1 x x y x x + + = + + 2 4y x x= − 2 2 5y x x= − + 2 2y x x x= + − 3 2 1y x= + 3 2 2 1 x y x = + 4 x x y e e − = + 2 5 5 2lny x x x= − + + 2 4siny x x= − 2 ln(1 )y x x= − + 3 2 y ax bx cx d= + + + 3 2 0 0 0 0 ( )y x ax bx cx d= + + + 0 0 ( )y x Ax B= + 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + ( ) ( ) P x Q x ' ' b a − Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: hoặc • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. • Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí Vi–et. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) b) c) d) Bài 2. Tìm m để hàm số: a) có cực đại, cực tiểu. b) có cực đại, cực tiểu. c) đạt cực đại tại x = 2. d) có một cực đại e) đạt cực tiểu khi x = 2. f) có cực đại, cực tiểu. g) có một giá trò cực đại bằng 0. Bài 3.Tìm m để các hàm số sau không có cực trò: a) b) c) d) Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số: a) đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng tại x = b) có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x = . c) đạt cực trò bằng –6 tại x = –1. d) đạt cực trò tại x = 0 và x = 4. e) đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. Bài 5. Tìm m để hàm số : a) đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: . Trang 7 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x = 0 0 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x = 3 2 2 3 3 3( 1)y x mx m x m= − + − − 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + 2 2 4 ( 1) 1x m m x m y x m + − − + = − 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + 3 2 ( 2) 3 5y m x x mx= + + + − 3 2 2 3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − − 3 2 2 3 ( 1) 2y x mx m x= − + − + 4 2 2( 2) 5y mx m x m= − + − + − 1 . 2 x = 2 2 2x mx y x m − + = − 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − 2 1 x x m y x − + = − 3 2 3 3 3 4y x x mx m= − + + + 3 2 3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − − 2 5 3 x mx y x − + + = − 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − 3 2 y ax bx cx d= + + + 4 27 1 3 4 2 y ax bx c= + + 3 2 1 x bx c y x + + = − 2 ax bx ab y bx a + + = + 2 2 2 1 ax x b y x + + = + 3 2 2 2 2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − + 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 x x x x + = + Khảo sát hàm số Trần Só Tùng b) đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: . c) đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: . Bài 6. Tìm m để hàm số : a) có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu. b) có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất. c) có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thoả . d) có . Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số : a) có hai điểm cực trò là A, B và . b) có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. c) có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành. d) có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10. e) có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x. f) có hai điểm cực trò và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Bài 8. Tìm m để đồ thò hàm số : a) có hai điểm cực trò cách đều trục tung. b) có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. c) có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): . d) có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d): . Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số : a) có hai điểm cực trò ở Trang 8 3 2 1 1 3 y x mx mx= − + − 1 2 8x x− ≥ 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x= − − + − + 1 2 2 1x x+ = 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − 2 3 4 x x m y x − + + = − 4M m− = 2 2 3 2 2 x x m y x + + − = + 12 CĐ CT y y− < 3 2 4y x mx= − + − 2 2 900 729 m AB = 4 2 4y x mx x m= − + + 2 2x mx m y x m + + − = − 2 1 x mx y x + = − 2 2 5 1 x mx y x − + + = − 2 2 3x x m y x m + + + = − 3 2 2 12 13y x mx x= + − − 3 2 3 3 4y x mx m= − + 3 2 3 3 4y x mx m= − + 3 2 8 0x y− + = 2 2 (2 1) 1 1 x m x m y x + + + + = + 2 3 1 0x y− − = 2 ( 1) 2 1x m x m y x m − + + − = − Trần Só Tùng Khảo sát hàm số trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ. b) có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ. c) có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ. d) có hai điểm cực trò nằm ở hai phía của trục hoành (tung). VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò 1) Hàm số bậc ba . • Chia f(x) cho f ′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f ′ (x) + Ax + B. • Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trò thì: ⇒ Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. 2) Hàm số phân thức . • Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trò thì . • Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò ấy là: . Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số : a) b) c) d) e Bài 2.Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số: a) b) c) d) Bài 3. Tìm m để hàm số: a) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song với đường thẳng y = –4x + 1. b) có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên đường thẳng y = –4x. Trang 9 2 2 2 2 (4 1) 32 2 2 mx m x m m y x m + + + + = + 2 2 2 ( 1) 4mx m x m m y x m − + + + = − 2 2 (2 1) 1 1 x m x m y x + + + + = + 3 2 ( )y f x ax bx cx d= = + + + 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) y f x Ax B y f x Ax B  = = +  = = +  2 ( ) ( ) ( ) P x ax bx c y f x Q x dx e + + = = = + 0 0 0 '( ) '( ) P x y Q x = '( ) 2 '( ) P x ax b y Q x d + = = 3 2 2 1y x x x= − − + 2 3 3 2y x x= − 3 2 3 6 8y x x x= − − + 2 2 1 3 x x y x − + = + 2 1 2 x x y x − − = − 3 2 2 3 3 3( 1)y x mx m x m= − + − − 2 6x mx y x m + − = − 3 2 2 3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − − 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + 3 2 2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − − 3 2 2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + − Khảo sát hàm số Trần Só Tùng c) có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7. d) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (∆): . 1. Đònh nghóa: Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D ⊂ R). a) b) 2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì . b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì . VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng. • Tính f ′ (x). • Xét dấu f ′ (x) và lập bảng biến thiên. • Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]. • Tính f ′ (x). • Giải phương trình f ′ (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có). • Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ). • So sánh các giá trò vừa tính và kết luận. Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) trên [–1; 5] b) trên [–2; 3] Trang 10 3 2 7 3y x mx x= + + + 3 2 2 3y x x m x m= − + + 1 5 2 2 y x= − III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 0 0 ( ) , max ( ) : ( ) D f x M x D M f x x D f x M  ≤ ∀ ∈ = ⇔  ∃ ∈ =  0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m  ≥ ∀ ∈ = ⇔  ∃ ∈ =  [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f b f x f a= = [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b= = { } 1 2 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x= = { } 1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x= = 2 4 3y x x= + + 3 4 4 3y x x= − 4 2 2 2y x x= + − 2 2y x x= + − 2 1 2 2 x y x x − = − + 2 2 2 4 5 1 x x y x + + = + 2 1 ( 0)y x x x = + > 2 2 1 1 x x y x x − + = + + 4 2 3 1 ( 0) x x y x x x + + = > + 3 2 2 3 12 1y x x x= + − + 3 3y x x= − [...]... hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số: 2 a) b) 2 x 2 + 5x − 4 −x −1 +7 yy = = c) x −3 +1 VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THI N VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THI N VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1 Các bước khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số • Tìm tập xác đònh của hàm số • Xét sự biến thi n của hàm số: + Tính y′ Trang 16 2 x 2 + 2(2m +2 xx + 4m − 2 1) 2 mx 5 y= x +1 x −1 Trần Só Tùng Khảo sát. .. x+2 x x y = f (x) = hàm số x −1 Trang 23 Khảo sát hàm số Trần Só Tùng a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò (C) của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của x − 3y = 0 (C) vuông góc với đường thẳng c) Dùng đồ thò (C), biện luận số nghiệm của phương trình: 3 x 2 − (m + 2) x + m + 2 = 0 Bài 7 Cho hàm số x +1 y = f (x) = a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ x −1 đồ thò (C) của hàm số b) Viết phương trình... có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m Trang 22 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò Bài 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò (C) của hàm số Dùng đồ... của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số a' • Các dạng đồ thò: y= a.a′ > 0 Trang 18 a.a′ < 0 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y y′ = 0 vô nghiệm y 0 0 x x Bài 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của các hàm số: y y = 3 + 3 +2 + 2 x + 1 = x −− 3 x 3− 3 − 2 5 x x9 a) d) f) Bài 2 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của các hàm số: a) b) c) y = x 4 − 2 x2 − 1 x4 4 2 +... = x− xx+− 1 1 2 Khảo sát hàm số Trần Só Tùng VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1 Cho hai đồ thò (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C 1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của... − 2 1) 2 mx 5 y= x +1 x −1 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác đònh + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thi n ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thi n, cực trò của hàm số • Vẽ đồ thò của hàm số: + Tìm điểm uốn của đồ thò (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương) – Tính y′′ – Tìm các điểm tại đó... b) e) c) 3 y = −yx= −x −3 − (4x− x2 ( 3x 2 2 42 + 1 x 1) ) y= −x + 3 3 e) f) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của các hàm số: 2 x+ x1 3 −+1 x a) c) x+2 −4 1 1x−− 2 3x − x 21 d) y= f) 1x+− 3 2x 2x +1 Bài 4 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của các hàm số: 2 a) x2 + x + 2 −1 y= c) x +1 − d) f) Bài 5 Vẽ đồ thò của các hàm số: 3 a) yy= − x 3− 2 xx22− 3 = x4 − 3 x + 2 +3 −2 d) f) y= y= Trang 19 b) e)... (C) vuông góc với đường thẳng c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 x 2 − (m + 1) x + m + 1 = 0 Bài 8 Cho hàm số x2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ y = f ( x ) = x − 1 đồ thò (C) của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (1 − m) x 2 − (1 − m) x + 1 = 0 VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm... 2) m 2 − 1) = 0 33 2 2 c) x x −+ 3 x 18mx + mm = 0 x + − 9x − 2 = 0 d) Trang 26 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số 3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) 1 Ý nghóa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số tại điểm Khi đó phương trình tiếp tuyến M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) của (C) tại điểm là: y – y0 =... tiệm cận của đồ thò các hàm số sau: e x +x + 2− 51 y = ln( x 2 x − e− x 6) y = ln y= 2 2x −1 Trang 15 c) 3 y =x 2 3 x3 x + 2 − x3 − 2 x −1 y= y=x x x − 2 +1 Khảo sát hàm số Trần Só Tùng Bài 5 Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: 33 + 2x+ x 2 y =y = = y 2 22 2 4 x 3+ x ++ xm 3)1) x2m4 − 1 m +m x 2(22( + + x−+ + a) d) Bài 6 b) e)f) Tìm để đồ thò của các hàm số sau có tiệm cận xiên: . + 2 2 1 (1 ) (1 ) 2 1 1 x y P x y x y x y = + + + + + + − − − + 1 1 1 2 1 1x y x y + + − − − + [ ] 1 1 1 (1 ) (1 ) ( ) 9 1 1 x y x y x y x y   − + − + + + + ≥  ÷ − − +   1 1 1 9 1 1 2x y. > > + + = 1 1 1 x y z P x y z = + + + + + 1 1 1 3 1 1 1 P x y z   = − + +  ÷ + + +   [ ] 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 9 1 1 1 x y z x y z   + + + + = + + ≥  ÷ + + +   3 4 1 3 3 min 4 D P. )( 1) y x x= − − 3 2 3 4 1y x x x= − + − 4 2 1 2 1 4 y x x= − − 4 2 2 3y x x= − − + 4 2 1 1 2 10 10 y x x= + − 2 1 5 x y x − = + 1 2 x y x − = − 1 1 1 y x = − − 2 2 26 2 x x y x + + = + 1 3 1 y