Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề TAM GIÁC CÂN A Kiến thức cần nhớ Tam giác cân a) Định nghĩa: Tam giác cân tam giác có hai cạnh ∆ABC cân A b)Tính chất Trong tam giác cân, hai góc đáy ∆ABC cân A => c) Dấu hiệu nhận biết • Theo định nghĩa • Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Tam giác vng cân a) Định nghĩa: Tam giác vuông cân tam giác vng có hai cạnh góc vng ∆ABC vng cân A b)Tính chất: góc nhọn tam giác vuông cân 45° = 45° Tam giác a) Định nghĩa: Tam giác tam giác có ba cạnh ∆ABC b) Tính chất Trong tam giác đều, góc 60° “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học c) Dấu hiệu nhận biết • Theo định nghĩa • Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác • Nếu tam giác cân có góc 60° tam giác tam giác B Một số ví dụ: Ví dụ Cho hình vẽ bên Biết AB = AC = AD = 45°; =75° Tính số đo góc Giải * Tìm cách giải Chúng ta lưu ý rằng: tam giác cân, biết góc tính hai góc lại Chẳng hạn: ∆ABC cân A thì: Â= 180° - = 180° - = * Trình bày lời giải ∆ABC cân A nên = 180° - ∆ABC cân A nên Ta có = = 180° - + = 90° = 30° = 120° Ví dụ a) Một tam giác cân có góc 80° Số đo hai góc lại bao nhiêu? b) Một tam giác cân có góc 100° Số đo hai góc lại bao nhiêu? Giải a) Nếu góc đỉnh tam giác cân 80° , góc đáy tam giác cân là: =50° - Nếu góc đáy tam giác cân 80° góc đỉnh tam giác cân là: 180° - 80° - 80° = 20° “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học b) Nếu góc đáy tam giác cân 100°; tổng hai góc đáy là: 100° + 100° + 200° > 180 (không xảy ra) Do góc đỉnh tam giác cân góc đáy tam giác cân * Nhận xét: Bài tốn dễ bỏ sót trường hợp Khi đề chưa cho cụ thể số đo số đo đỉnh hay đáy , ta cần xét hai trường hợp Ví dụ Cho hình vẽ bên Biết Tính số đo Giải * Tìm cách giải tốn xuất nhiều tam giác cân, nên có nhiều góc Để lời giải đơn giản, không bị nhầm lẫn, nên đặt góc nhỏ hình vẽ x Sau biểu diễn góc khác theo x Trong q trình giải, lưu ý tính chất góc tam giác cân tính chất góc ngồi tam giác * Trình bày lời giải cân D Đặt có ( góc ngồi tam giác ) cân E nên có ( góc ngồi tam giác ) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học cân C nên cân A nên có Suy Do Ví dụ Cho tam giác ABC vng A Trên cạnh AC lay điểm E cho Trên tia BE lấy điểm M cho EM = BC So sánh Giải *, Cách Trên tia BE lấy điểm K cho cân C cân B ; mà , suy ra: *, Cách Kẻ Gọi MH cắt tia phân giác I “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ta có : mà ( so le trong) có cân I Từ suy cân I , mà Nên dễ có cân C suy Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) , vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm CD BE, K giao điểm AB CD a ) Chứng minh b ) Chứng minh c ) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh d ) Chứng minh e ) Chứng minh IA tia phân giác góc DIE Giải a) có “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học ( c.g.c) b) có nên hay c) có cân d ) Trên tia ID lấy IF = IB Ta có Xét nên tam giác có Suy Do e) nên Mà nên Hay IA tia phân giác góc DIE Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn thẳng AM Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = MH Chứng minh BN = AC “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học ( Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội , năm 2015) Giải * Tìm cách giải Bài tốn chưa ghép BN AC vào hai tam giác trực tiếp mặt khác MNB = MC , tự nhiên nghĩ tới việc tia đối tia MA lấy MD = MA giả thiết quen thuộc, để suy AC = BD Sau việc chứng minh BD = BN * Trình bày lời giải Trên tia đối tia MA lấy MD = MA, Xét có Suy Ta có có cân B Vậy BN = AC Ví dụ 7.Cho tam giác ABC vng cân A Lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C cho tam giác DAB vuông cân D; điểm E ( khác A) thuộc đoạn AD Đường thẳng qua E, vng góc với BE cắt AC F Chứng minh EF = EB Giải * Tìm cách giải Để chứng minh EF = EB , thông thường nghĩ tới việc ghép vào hai tam giác , sau chứng minh hai tam giác Tuy nhiên , với hình vẽ chưa thể ghép Phân tích đề bài, có nhiều góc vng , góc 450 cặp cạnh DA = DB , AB = AC Với phân tích , nghĩ tới việc kẻ thêm đường phụ nhằm kết hợp giả thiết với ghép EF EB hai cạnh tương ứng hai tam giác * Từ có hướng giải sau: “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học • Cách Có thể ghép EF vào có nên cần ghép EB vào tam giác có góc đối diện với 135 Khai thác yếu tố tam giác vuông cân ADB, lấy điểm K BD cho • Cách Nhận thấy vuông cân nên , tia AD tia phân giác góc ngồi đỉnh A , nên kẻ thêm EM, EN vng góc với đường thẳng AC, AB Dễ chứng minh EM = EN Từ có lời giải * Trình bày lời giải Cách Trên đoạn BD lấy điểm K cho BK = EA ( 1) Vì tam giác DAB vng cân D nên vng cân D, suy : mà nên Mặt khác ( ) Từ (1), (2),(3) suy : Từ EF = EB Cách Vẽ EM, EN vng góc với đường thẳng AC, AB “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Xét có , AE cạnh chung ( cạnh huyền góc nhọn ) Mặt khác , tâm giác vng cân, suy = có : ( cạnh huyền góc nhọn ) Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, có Chứng minh Giải * Tìm cách giải Từ đề bài, suy Gợi cho liên tưởng tới góc tam giác Phân tích kết luận hướng suy luận : • , dễ dàng cho hai Hướng Tạo đoạn thẳng 2.AC, sau chứng minh đoạn thẳng BC Chú ý , nên dựng điểm D tia CA cho CD = 2.AC Sau chứng minh BC = CD Bài toán giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học • Hướng Tạo đoạn thẳng thẳng AC Chú ý BC , sau chứng minh đoạn , nên gọi trung điểm M Sau chứng minh CM = AC Bài tốn giải * Trình bày lời giải Cách Dựng điểm D tia đối tia AC cho AD = AC có , AB cạnh chung, có Vậy Cách Gọi M trung điểm BC vng A có M trung điểm BC, suy ra; MA = MB = MC ( theo ví dụ 10, chuyên đề 8) có nên tam giác , suy Vậy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 10 Phát triển tư Hình học * Nhận xét Đây tính chất thú vị tam giác vuông đặc biệt Tính chất phát biểu sau; Trong tam giác vng có góc 300, cạnh đối diện với góc 300 nửa cạnh huyền Ví dụ Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC Biết chứng minh tam giác ABC vng A , Giải có nên cân M có Vậy tam giác ABC vng A * Nhận xét Đây tính chất thú vị để nhận biết tam giác vuông C Bài tập vận dụng 9.1 Cho hình vẽ bên Biết AB = AC ; AD = AE Cho tam giác ABC có Tính số đo góc điểm D cạnh AC Lấy E thuộc AB, F thuộc BC cho AE = AD CF = CD Tính số đo “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 11 Phát triển tư Hình học 9.3 Cho tam giác ABC vuông B ( AB > BC) Đường trung tuyến đoạn thẳng AC cắt AC AB D E Biết Tính số đo 9.4 Cho tam giác ABC có đường phân giác góc A cắt BC D Biết Tính số đo góc 9.5 Cho tam giác ABC vng A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM = BA, CN = CA Tính góc MAN 9.6 Cho tam giác ABC nhọn Lấy D thuộc cạnh AC cho AB = BD, lấy điểm E thuộc AB soa cho AC = CE Gọi F giao điểm BD CE Biết Tính số đo góc 9.7 Tìm x hình vẽ sau: 9.8 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE a ) Chứng minh tam giác ADE tam giác cân b ) Kẻ , kẻ Chứng minh BH = CK c ) Gọi O giao điểm BH CK Tam giác OBC tam giác ? Vì sao? 9.9 Cho tam giác ABC có Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC) Trên tia đối tia BA lấy BE = BH Đường thẳng EH cắt AC F Chứng minh: a ) FH = FA = FC b ) AE = HC “Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 12 Phát triển tư Hình học 9.10 Cho tam giác ABC ( ), đường cao AH, Kẻ HI vng góc với AB, kẻ HK vng góc với AC Gọi E, F điểm cho I; K trung điểm HE HF Đường tẳng E F cắt AB ; AC M N Chứng minh rằng: a ) AE = AF; b ) HA phân giác 9.11 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD BCE Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh rằng: a ) AE = BD b) c ) Tam giác MNC tam giác 9.12 Cho tam giác LMN có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác ba tam giác LMA; MNB NLC Chứng minh rằng: LB = MC = NA 9.13 Cho Oy tia phân giác ; Ot tia phân giác M điểm miền góc yOz Vẽ MA vng góc Ox, MB vng góc Oy, MC vng góc Ot Chứng minh rằng: OC = MA – MB 9.14 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D , cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Các đường thẳng vng góc kẻ từ A E với CD cắt BC G H Đường thẳng EH đường thẳng AB cắt M Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH I Chứng minh rằng: a) b) c ) BG = GH 9.15 Cho tam giác ABC với điểm N cho Trên tia phân giác góc ABC lấy So sánh độ dài CN CA “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 13 Phát triển tư Hình học 9.16 Cho có tia phân giác góc B C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tai D E Chứng minh BD + CE = DE 9.17 Cho có M trung điểm BC Biết AM tia phân giác góc BAC Chứng minh cân 9.18.Cho M điểm nằm tam giác từ ba đoạn MA, MB, MC ta dựng tam giác Chứng minh “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 14 ... Hình học c) Dấu hiệu nhận biết • Theo định nghĩa • Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác • Nếu tam giác cân có góc 60° tam giác tam giác B Một số ví dụ: Ví dụ Cho hình vẽ bên Biết AB = AC... dụ a) Một tam giác cân có góc 80° Số đo hai góc lại bao nhiêu? b) Một tam giác cân có góc 100° Số đo hai góc lại bao nhiêu? Giải a) Nếu góc đỉnh tam giác cân 80° , góc đáy tam giác cân là: =50°... bờ AB vẽ hai tam giác ACD BCE Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh rằng: a ) AE = BD b) c ) Tam giác MNC tam giác 9.12 Cho tam giác LMN có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác ba tam giác LMA; MNB