Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng Các trường hợp hai tam giác • Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác • Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác • Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác • “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Hệ • Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng • Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng • Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng ( Cạnh huyền = góc nhọn) B Một số ví dụ: Ví dụ Cho a) Viết ký hiệu hai tam giác ba cách b) Cho AB = 5cm; AC = 6cm;NP = cm Tính chu vi tam giác? Hãy nêu nhận xét? Giải • Tìm cách giải: Khi viết hai tam giác đỉnh tương ứng phải viết theo thứ tự Viết vậy, việc suy cặp cạnh tương ứng xác • Trình bày lời giải a) b) suy Chu vi Chu vi • Nhận xét Hai tam giác có chu vi Ví dụ Cho giác , biết Tính góc tam “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Giải • Tìm cách giải Bài tốn u cầu tính số đo góc tam giác nên từ , quan tâm tới cặp góc tương ứng • Trình bày lời giải (cặp góc tương ứng) Vì , nên có Vì nên Ví dụ Cho góc nhọn xOy, lấy điểm A thuộc Ox, điểm B thuộc Oy cho OA = OB Vẽ hai cung tròn tâm A tâm B có bán kính nhỏ OA cho chúng cắt hai điểm C D Chứng minh rằng: a) b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng a) Xét Giải có OA = OB (giả thiết), AC = BC ( bán kính nhau), OC cạnh chung b) nên Tương tự Nên C, D thuộc tia phân giác góc xOy hay O, C, D thẳng hàng • Nhận xét ~ Khi chứng minh hai tam giác bạn nên ý cạnh chung ~ Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng , ta chứng minh ba điểm nằm tia phân giác góc Ví dụ Cho có AB = AC Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối tia CA cho CN = BM Gọi I điểm cho IB = IC; IM = IN Chứng minh Giải Ta có Suy , mà hai góc kề bù, nên “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học , hay • Nhận xét Đây tốn khó Để chứng minh suy nghĩ chứng minh điều cần thiết Sau tìm tam giác mà tam giác có chứa Ví dụ Cho tam giác ABC có Kẻ đường phân giác góc B cắt AC D Trên cạnh BC lấy điểm M cho MA = MB a) Chứng minh b) Chứng minh c) Nếu biết Tính số đo góc B, góc C tam giác ABC Giải a) có cạnh chung b) Gọi I giao điểm AM BD Xét có BI cạnh chung Mà nên c) vuông nên Suy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng ; cho M C khác phía đường thẳng AB Vẽ đoạn thẳng cho N B khác phía đường thẳng AC Gọi I, K trung điểm BN CM Chứng minh rằng: a) b) c) ; Giải a) b) nên (c.g.c) Gọi P giao điểm AB CM Ta có: ( Vì AMP vng) , mà nên ; mà hay Ví dụ Cho vng A có a) Chứng minh Tia phân giác góc B cắt AC D b) Tính góc B góc C tam giác ABC Giải a) Gọi E trung điểm BC Suy ABD BA = BE EBD có (giả thiết); “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học BD cạnh chung => ABD = EBD (c.g.c) => => Xét => BDE BDE = = 90° CDE có: =90°; BE = CE; DE chung CDE (c.g.c) =>BD=CD b) BDE = CDE(c.g.c) => Mặt khác: vuông A) = 90° (vì tam giác ABC => = 90° => =30°, = 60° Ví dụ Cho tam giác ABC có Â = 60° Các tia phân giác góc B, góc C cắt O cắt AC; AB theo thứ tự D; E Chứng minh rằng: OD = OE Giải ABC có Mà Â = 60° nên =180° =120° Ta có ∆BOC có = 60° =180° Nên = 120°, Ô1 = 60° Kẻ Ox tia phân giác góc BOC, cắt BC I nên Ơ2 = Ơ3=60° Xét ∆BEO ∆BIO có (giả thiết); Ơ1 = Ơ2 (=60°) BO cạnh chung ∆BEO = ∆BIO (c.g.c) Suy OE = OI Chứng minh tương tự ta có ∆COD = ∆COI nên OD = OI Vậy OE = OD (=OI) * Nhận xét - Để chứng minh OE = OD, ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác Do ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ Cho số đo góc A ta liên hệ với biết nên tính số đo góc BOC góc BOE nên dựng điểm I - Bài tốn có cách khác, lấy điểm I BC cho BI = BE, sau chứng minh ∆BOE = ∆BOI chứng minh ∆COD = ∆COL “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học - Từ cách ta suy kết đẹp BE + CD = BC Ví dụ Cho tam giác ABC Từ B kẻ BD HD = HE a) Chứng minh ∆BHE = ∆CHD; b) Chứng minh ∆ABD = ∆ACE AC, CE AB Gọi H giao điểm BD CE Biết c) Chứng minh AH tia phân giác d) Gọi I giao điểm AH BC Chứng minh AI ⊥ BC Giải a) ∆BHE ∆CHD có (=90°); HD = HE; => ∆BHE = ∆CHD (g.c.g) b) ∆BHE = ∆CHD => BH = CH; mà HD = HE =>BD = CE ∆ADB ∆AEC có (= 90°); BD = CE; chung => ∆ADB = ∆ACE (cạnh huyền, góc nhọn) c) ∆ABD = ∆ACE => AB = AC ∆ABH ∆ACH có AB = AC; AH cạnh chung; BH = CH (chứng minh trên) => ∆ABH = ∆ACH (c.c.c) => => AH tia phân giác d) ∆ABI ∆ACI có AB = AC; => ; mà ; AI cạnh chung => ∆ABI = ∆ACI (c.g.c) = 180° => = 90°, hay AI BC Ví dụ 10 Cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM = BC Giải *Tìm cách giải Để chứng minh AM = BC ta cần chứng minh BC = 2.AM Về mặt suy luận ta cần dựng đoạn thẳng “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 2.AM, chứng minh đoạn thẳng BC * Trình bày lời giải Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Suy AD = 2.AM ∆AMB ∆DMC có AM = MD; nên AB//CD => DC , MB = MC nên ∆AMB = ∆DMC Suy AB = DC; AC ∆ABC ∆CDA có AB = CD; (=90°), AC chung => ∆ABC = ∆CDA (c.g.c) => BC = DA => BC = 2AM hay AM = BC * Nhận xét: Bài tính chất thú vị tam giác vuông, thường sử dụng nối trung điểm cạnh huyền với đỉnh góc vng Ví dụ 11 Cho hình vẽ bên Biết AB // CD, AD // BC Chứng minh rằng: AB = CD, AD = BC Giải AB // CD ⇒ (cặp so le trong) AD // BC ⇒ (cặp so le trong) ∆ABD ∆CDB có , Suy ∆ABD = ∆CDB (g.c.g) , BD cạnh chung, ⇒ AB = CD, AD = BC Nhận xét Đây tính chất thú vị, gọi tính chất đoạn đoạn chắn song song Tính chất vận dụng nhiều tập, đem lại hiệu cao C Bài tập vận dụng • Định nghĩa tam giác 8.1 Điền vào chỗ trống (….) phát biểu sau: a) Nếu ∆ABC = ∆MNP AB = … ; …… = MP; BC = ……… b) Nếu ∆IHK = ∆DEF = ; = ; = 8.2 Điền vào ô trống: “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học ∆ABC = ∆MNP = ∆IHL = 8.3 Cho ∆ABC = ∆MNP biết = 10°; = 120° Tính số đo góc tam giác 8.4 Cho ∆ABC = ∆MNP Biết AB + AC = 9cm; MN – NP = 3cm; NP = 5cm Tính chu vi tam giác 8.5 Cho ∆ABC = ∆RST, biết = 18cm Tính cạnh ST – RS = 8cm; AC tam giác • Trường hợp c.c.c 8.6 Điền vào ô trống: PQS = ∆NUV = 8.7 Cho hình vẽ bên Chứng minh OB tia phân giác ∆EKI = “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 8.8 Trong hình vẽ bên biết AB = CD, AD = BC Chứng minh: AB // CD; AD // BC 8.9 Cho ∆ABC có Â = 50°; AB = AC Gọi M trung điểm BC Tính góc ∆ABM ; ∆ACM • Trường hợp c.g.c 8.10 Cho ∆ABC vng A Tia phân giác cho BE = BA cắt AC D; E điểm cạnh BC a) Chứng minh rằng: ∆ABD = ∆EBD b) Chứng minh rằng: DE ⊥ BC c) Gọi F giao điểm DE AB Chứng minh DC = DF 8.11 Cho tam giác ABC nhọn Kẻ BD⊥AC (D∈AC), CE⊥AB (E∈AB) Trên tia đối tia BD lấy điểm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh: a) ; b) AH = AK 8.12 Cho tam giác ABC có Tia phân giác góc B cắt AC D Trên tia đối BD lấy điểm E cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh rằng: AE = AK 8.13 Cho ∆ABC Gọi D; E theo thứ tự trung điểm AB, AC Trên tia đối tia ED lấy điểm F cho EF = ED Chứng minh: a) BD = CF; AB // CF b) ∆ BCD = ∆ FDC c) DE // BC 8.14 Cho ∆ABC vuông A, AB < AC Tia phân giác điểm E cho BE = BA Vẽ AH vng góc với BC H cắt AC D Trên cạnh BC lấy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 10 Phát triển tư Hình học a) Chứng minh AD = ED b) Chứng minh AH // DE c) Trên tia DE lấy điểm I cho DI = AH Gọi O trung điểm đoạn thẳng DH Chứng minh ba điểm A, O, I thẳng hàng 8.15 Cho ∆ABC có < 90° Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Vẽ tia Bx vng góc với BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ tia By vng góc với BA Trên tia By lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh a) AD = CE b) AD ⊥ CE 8.16 Cho ∆ABC có Â < 90°; Gọi M trung điểm cạnh BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C kẻ tia Ax vng góc với AB, tia Ax lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B kẻ Ay vng góc với AC Trên tia Ay lấy điểm E cho AE = AC Trên tia đối tia MA lấy MN = MA Chứng minh rằng: a) BN = AE; b) ẠM = c) AM ⊥DE 8.17 Để đo khoảng cách AB mà không đo trực tiếp, A người ta thực sau: B - Chọn vị trí điểm O O - Lấy điểm C tia đối tia OA cho OC = OA - Lấy điểm D tia đối tia OB cho OD = OB D C - Đo độ dài đoạn thẳng CD, khoảng cách AB Hãy giải thích sao? • Trường hợp g.c.g 8.18 Cho tam giác ABC có Â = 120° Các tia phân giác BE, CF F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho a) Tính số đo cắt I (E, = 30° ; b) Chứng minh CE + BF < BC “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 11 Phát triển tư Hình học 8.19 Cho tam giác ABC có = 60°, tia phân giác tia đối tia AC lấy điểm M cho cắt BC D Trên AD lấy điểm O, Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho Chứng minh AM = AN 8.20 Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia AB lấy điểm K D cho AK = BD Vẽ KI // BC; DE // BC (I; E ∈AC) a) Chứng minh AI = CE b) Tính độ dài DE + KI 8.21 Cho ∆ ABC vng A có AB = AC Lấy M thuộc BC (BM > MC) Kẻ BD CE vng góc với đường thẳng AM Chứng minh rằng: a) ∆ ABD = ∆ CAE b) BD - CE = DE “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 12 ... • Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng • Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng... • Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng ( Cạnh huyền = góc nhọn) B Một số ví dụ: Ví dụ Cho a) Viết ký hiệu hai tam giác ba cách b) Cho AB = 5cm;... tam giác mà tam giác có chứa Ví dụ Cho tam giác ABC có Kẻ đường phân giác góc B cắt AC D Trên cạnh BC lấy điểm M cho MA = MB a) Chứng minh b) Chứng minh c) Nếu biết Tính số đo góc B, góc C tam