Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng �B �'; C �C �' �� A � A '; B � ABC A ' B ' C ' � � �AB A ' B '; AC A ' C '; BC B ' C ' Các trường hợp hai tam giác Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác AB A ' B ' � � AC A ' C '�� ABC A ' B ' C '(c.c.c) BC B ' C ' � � Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác AB A ' B ' � � �B �' B �� ABC A ' B ' C '(c.g c ) BC B ' C '� � Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác � � A � A' � � � AB � A ' B '�� ABC A ' B ' C '( g.c.g ) � �B �' B � � “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Hệ Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng � A � A ' 900 � � BC B ' C ' �� ABC A ' B ' C ' � �B �' B � ( Cạnh huyền = góc nhọn) B Một số ví dụ: Ví dụ Cho ABC MNP a) Viết ký hiệu hai tam giác ba cách b) Cho AB = 5cm; AC = 6cm;NP = cm Tính chu vi tam giác? Hãy nêu nhận xét? Giải Tìm cách giải: Khi viết hai tam giác đỉnh tương ứng phải viết theo thứ tự Viết vậy, việc suy cặp cạnh tương ứng xác Trình bày lời giải a) ABC MNP; CBA PNM ; BAC NMP b) ABC MNP suy AB MN cm; AC MP 6cm; BC NP 7cm Chu vi ABC AB BC AC 18(cm) Chu vi MNP MN MP NP 18(cm) Nhận xét Hai tam giác có chu vi “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � � � $ Ví dụ Cho ABC HIK , biết A B 124 ; H I 16 Tính góc tam giác Giải Tìm cách giải Bài tốn u cầu tính số đo góc tam giác nên từ ABC HIK , quan tâm tới cặp góc tương ứng Trình bày lời giải �; B � I$; C �K � ABC HIK � � A H (cặp góc tương ứng) 0 � � � � $ $ Vì A B 124 � H I 124 ; H I 16 , nên � (1240 160 ) : 700 H I$ (1240 160 ) : 540 0 0 � $ � � � HIK có H I K 180 ; 70 54 K 180 � K 56 � � � � $ � Vì ABC HIK nên A H 70 ; B I 54 ; C K 56 Ví dụ Cho góc nhọn xOy, lấy điểm A thuộc Ox, điểm B thuộc Oy cho OA = OB Vẽ hai cung tròn tâm A tâm B có bán kính nhỏ OA cho chúng cắt hai điểm C D Chứng minh rằng: a) AOC BOC b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng Giải a) Xét OAC OBC có OA = OB (giả thiết), AC = BC ( bán kính nhau), OC cạnh chung � OAC OBC (c.c.c) � � b) OAC OBC (c.c.c) nên AOC BOC � � Tương tự OAD OBD (c.c.c) � AOD BOD Nên C, D thuộc tia phân giác góc xOy hay O, C, D thẳng hàng Nhận xét ~ Khi chứng minh hai tam giác bạn nên ý cạnh chung ~ Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng , ta chứng minh ba điểm nằm tia phân giác góc Ví dụ Cho ABC có AB = AC Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối tia CA cho CN = BM Gọi I điểm cho IB = IC; IM = IN Chứng minh IC AN Giải � � � � Ta có ABC ACI (c.c.c) � ACI ABI MBI NCI (c.c.c ) � NCI ABI “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � � Suy ACI NCI , mà hai góc kề bù, nên � ACI � NCI 900 , hay IC AN Nhận xét Đây tốn khó Để chứng minh IC AN � � suy nghĩ chứng minh ICA ICN điều cần thiết Sau tìm tam giác � � mà tam giác có chứa ICA ICN � Ví dụ Cho tam giác ABC có A 90 Kẻ đường phân giác góc B cắt AC D Trên cạnh BC lấy điểm M cho MA = MB a) Chứng minh MD BC b) Chứng minh AM BD � c) Nếu biết AMD 36 Tính số đo góc B, góc C tam giác ABC Giải � � a) ABD MBD có BA BM ; ABD MBD; BD cạnh chung � ABD MBD (c.g c) � BMD � 900 � BAD � DM BC � � b) Gọi I giao điểm AM BD Xét ABI MBI có AB MB; ABI MBI ; � � BI cạnh chung � ABI MBI (c.g.c) � AIB MIB 0 � � � � Mà AIB MIB 180 � AIB MIB 90 � AM BD 0 0 � � c) AMD 36 nên IMB 90 36 54 � 900 540 360 BIM vuông nên IBM 0 0 � � Suy B 36 72 C 90 72 18 “Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AM AB ; AM AB cho M C khác phía đường thẳng AB Vẽ đoạn thẳng AN AC AN AC cho N B khác phía đường thẳng AC Gọi I, K trung điểm BN CM Chứng minh rằng: a) AMC ABN b) MC BN MC BN ; c) AI AK AI AK Giải � � � a) MAC BAN ( 90 BAC ) nên AMC ABN (c.g.c) � � b) AMC ABN � BN CM AMC ABN Gọi P giao điểm AB CM � � Ta có: AMC APM 90 ( Vì AMP vng) � 900 � MC BN ABN BPO �� AMK � ABN ; AM AB CM BN � MK BI , mà � AMK ABI c.g c � AK AI nên � � � BAI � � MAK ; mà MAK KAB 90� � KAB � 90� � BAI hay AI AK Ví dụ Cho ABC vng A có BC AB Tia phân giác góc B cắt AC D a) Chứng minh BD CD b) Tính góc B góc C tam giác ABC Giải a) Gọi E trung điểm BC BE CE AB ( BC ) Suy ABD EBD có BA = BE � � ABD EBD (giả thiết); BD cạnh chung =>ABD = EBD (c.g.c) � � � => BAD BED => BED = 90° � � Xét BDE CDE có: BED CED =90°; BE = CE; DE chung =>BDE =CDE (c.g.c) =>BD=CD “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � � b) BDE =CDE(c.g.c) => B 2.C � � Mặt khác: B C = 90° (vì tam giác ABC vng A) � � � � => 2C C = 90° => C =30°, B = 60° Ví dụ Cho tam giác ABC có  = 60° Các tia phân giác góc B, góc C cắt O cắt AC; AB theo thứ tự D; E Chứng minh rằng: OD = OE Giải � � � ABC có A B C =180° � � Mà  = 60° nên B C =120° �C � 1B � 1C � B 1 2 = 60° Ta có � � � ∆BOC có BOC B1 C1 =180° � Nên BOC = 120°, Ô1 = 60° Kẻ Ox tia phân giác góc BOC, cắt BC I nên Ô2 = Ô3=60° � � Xét ∆BEO ∆BIO có B1 B2 (giả thiết); Ơ1 = Ơ2 (=60°) BO cạnh chung ∆BEO = ∆BIO (c.g.c) Suy OE = OI Chứng minh tương tự ta có ∆COD = ∆COI nên OD = OI Vậy OE = OD (=OI) * Nhận xét - Để chứng minh OE = OD, ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác Do ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ Cho số đo góc A ta liên hệ với biết nên tính số đo góc BOC góc BOE nên dựng điểm I - Bài tốn có cách khác, lấy điểm I BC cho BI = BE, sau chứng minh ∆BOE = ∆BOI chứng minh ∆COD = ∆COL - Từ cách ta suy kết đẹp BE + CD = BC Ví dụ Cho tam giác ABC Từ B kẻ BD AC, CE AB Gọi H giao điểm BD CE Biết HD = HE a) Chứng minh BHE = CHD; b) Chứng minh ABD = ACE � c) Chứng minh AH tia phân giác BAC d) Gọi I giao điểm AH BC Chứng minh AI BC Giải “Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � � a) BHE CHD có BEH CDH (=90°); HD = HE; � CHD � BHE => BHE = CHD (g.c.g) b) BHE = CHD => BH = CH; mà HD = HE =>BD = CE � � ∆ADB ∆AEC có ADB AEC (= 90°); BD = CE; � BAC chung => ∆ADB = ∆ACE (cạnh huyền, góc nhọn) c) ∆ABD = ∆ACE => AB = AC ∆ABH ∆ACH có AB = AC; AH cạnh chung; BH = CH (chứng minh trên) => ∆ABH = ∆ACH (c.c.c) � � � => BAH CAH => AH tia phân giác BAC � � d) ∆ABI ∆ACI có AB = AC; BAI CAI ; AI cạnh chung => ∆ABI = ∆ACI (c.g.c) � � � � � � => AIB AIC ; mà AIB AIC = 180° => AIB AIC = 90°, hay AIBC Ví dụ 10 Cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM = BC Giải *Tìm cách giải Để chứng minh AM = BC ta cần chứng minh BC = 2.AM Về mặt suy luận ta cần dựng đoạn thẳng 2.AM, chứng minh đoạn thẳng BC * Trình bày lời giải Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Suy AD = 2.AM � � ∆AMB ∆DMC có AM = MD; M M , MB = MC nên ∆AMB = ∆DMC Suy AB = DC; � � A1 D nên AB//CD => DCAC � � ∆ABC ∆CDA có AB = CD; BAC DCA (=90°), AC chung => ∆ABC = ∆CDA (c.g.c) => BC = DA => BC = 2AM hay AM = BC “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học * Nhận xét: Bài tính chất thú vị tam giác vng, thường sử dụng nối trung điểm cạnh huyền với đỉnh góc vng Ví dụ 11 Cho hình vẽ bên Biết AB // CD, AD // BC Chứng minh rằng: AB = CD, AD = BC Giải � � AB // CD ABD CDB (cặp so le trong) � � AD // BC ADB CBD (cặp so le trong) � � � � ABD CDB có ABD CDB , BD cạnh chung, ADB CBD , Suy ABD = CDB (g.c.g) AB = CD, AD = BC Nhận xét Đây tính chất thú vị, gọi tính chất đoạn đoạn chắn song song Tính chất vận dụng nhiều tập, đem lại hiệu cao C Bài tập vận dụng Định nghĩa tam giác 8.1 Điền vào chỗ trống (….) phát biểu sau: a) Nếu ABC = MNP AB = … ; …… = MP; BC = ……… $ � b) Nếu IHK = DEF I = ; = F ; � H = 8.2 Điền vào ô trống: ABC = MNP = IHL = � � � � 8.3 Cho ∆ABC = ∆MNP biết B C = 10°; N P = 120° Tính số đo góc tam giác “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 8.4 Cho ABC = MNP Biết AB + AC = 9cm; MN – NP = 3cm; NP = 5cm Tính chu vi tam giác BC AB ST – RS = 8cm; AC = 18cm Tính cạnh tam 8.5 Cho ABC = RST, biết giác Trường hợp c.c.c 8.6 Điền vào ô trống: PQS = NUV = EKI = � 8.7 Cho hình vẽ bên Chứng minh OB tia phân giác AOC 8.8 Trong hình vẽ bên biết AB = CD, AD = BC Chứng minh: AB // CD; AD // BC 8.9 Cho ABC có  = 50°; AB = AC Gọi M trung điểm BC Tính góc ABM ; ACM Trường hợp c.g.c � 8.10 Cho ABC vuông A Tia phân giác ABC cắt AC D; E điểm cạnh BC cho BE = BA a) Chứng minh rằng: ABD = EBD “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học b) Chứng minh rằng: DE BC c) Gọi F giao điểm DE AB Chứng minh DC = DF 8.11 Cho tam giác ABC nhọn Kẻ BDAC (DAC), CEAB (EAB) Trên tia đối tia BD lấy điểm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh: � � a) ABH ACK ; b) AH = AK � � 8.12 Cho tam giác ABC có B 2.C Tia phân giác góc B cắt AC D Trên tia đối BD lấy điểm E cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh rằng: AE = AK 8.13 Cho ABC Gọi D; E theo thứ tự trung điểm AB, AC Trên tia đối tia ED lấy điểm F cho EF = ED Chứng minh: a) BD = CF; AB // CF b) BCD = FDC c) DE // BC � 8.14 Cho ABC vuông A, AB < AC Tia phân giác ABC cắt AC D Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA Vẽ AH vng góc với BC H a) Chứng minh AD = ED b) Chứng minh AH // DE c) Trên tia DE lấy điểm I cho DI = AH Gọi O trung điểm đoạn thẳng DH Chứng minh ba điểm A, O, I thẳng hàng � 8.15 Cho ABC có B < 90° Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Vẽ tia Bx vng góc với BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ tia By vng góc với BA Trên tia By lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh a) AD = CE b) AD CE 8.16 Cho ABC có  < 90°; Gọi M trung điểm cạnh BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C kẻ tia Ax vng góc với AB, tia Ax lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B kẻ Ay vng góc với AC Trên tia Ay lấy điểm E cho AE = AC Trên tia đối tia MA lấy MN = MA Chứng minh rằng: a) BN = AE; DE b) ẠM = A B c) AM DE 8.17 Để đo khoảng cách AB mà không đo trực tiếp, O “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” D Page 10 C Phát triển tư Hình học người ta thực sau: - Chọn vị trí điểm O - Lấy điểm C tia đối tia OA cho OC = OA - Lấy điểm D tia đối tia OB cho OD = OB - Đo độ dài đoạn thẳng CD, khoảng cách AB Hãy giải thích sao? Trường hợp g.c.g � � 8.18 Cho tam giác ABC có  = 120° Các tia phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, � � F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BIM CIN = 30° � a) Tính số đo MIN ; b) Chứng minh CE + BF < BC � � � 8.19 Cho tam giác ABC có B C = 60°, tia phân giác BAC cắt BC D Trên AD lấy điểm O, � � tia đối tia AC lấy điểm M cho ABM ABO Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho � ACN � ACO Chứng minh AM = AN 8.20 Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia AB lấy điểm K D cho AK = BD Vẽ KI // BC; DE // BC (I; E AC) a) Chứng minh AI = CE b) Tính độ dài DE + KI 8.21 Cho ABC vng A có AB = AC Lấy M thuộc BC (BM > MC) Kẻ BD CE vng góc với đường thẳng AM Chứng minh rằng: a) ABD = CAE b) BD - CE = DE “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 11 ... Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng... ABC MNP a) Viết ký hiệu hai tam giác ba cách b) Cho AB = 5cm; AC = 6cm;NP = cm Tính chu vi tam giác? Hãy nêu nhận xét? Giải Tìm cách giải: Khi viết hai tam giác đỉnh tương ứng phải viết... nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng � A � A ' 900 � � BC B ' C ' �� ABC A ' B ' C ' �