Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề TAM GIÁC CÂN A Kiến thức cần nhớ Tam giác cân a) Định nghĩa: Tam giác cân tam giác có hai cạnh ABC � � ∆ABC cân A �AB AC b)Tính chất Trong tam giác cân, hai góc đáy � � ∆ABC cân A => B C c) Dấu hiệu nhận biết Theo định nghĩa Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Tam giác vng cân a) Định nghĩa: Tam giác vuông cân tam giác vng có hai cạnh góc vng ABC � � � 90� �AB AC ∆ABC vuông cân A � b)Tính chất: góc nhọn tam giác vuông cân 45° �C � B = 45° Tam giác a) Định nghĩa: Tam giác tam giác có ba cạnh �ABC � ∆ABC �AB BC CA b) Tính chất Trong tam giác đều, góc 60° c) Dấu hiệu nhận biết Theo định nghĩa Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác Nếu tam giác cân có góc 60° tam giác tam giác B Một số ví dụ: Ví dụ Cho hình vẽ bên Biết AB = AC = AD � � ABC = 45°; � ACD =75° Tính số đo góc BAD “Trên đường thành cơng khơng biếng” 0 có dấu chân kẻ lười 45 75 Page Phát triển tư Hình học Giải * Tìm cách giải Chúng ta lưu ý rằng: tam giác cân, biết góc tính � � hai góc lại Chẳng hạn: ABC cân A thì: Â= 180° - B = 180° - C � C � B = 180�  * Trình bày lời giải ∆ABC cân A nên � � BAC = 180° - ABC = 90° � � ∆ABC cân A nên CAD = 180° - ACD = 30° � � � Ta có BAD = BAC + CAD = 120° Ví dụ a) Một tam giác cân có góc 80° Số đo hai góc lại bao nhiêu? b) Một tam giác cân có góc 100° Số đo hai góc lại bao nhiêu? Giải 180� 80� a) Nếu góc đỉnh tam giác cân 80° , góc đáy tam giác cân là: =50° - Nếu góc đáy tam giác cân 80° góc đỉnh tam giác cân là: 180° - 80° - 80° = 20° b) Nếu góc đáy tam giác cân 100°; tổng hai góc đáy là: 100° + 100° + 200° > 180 (khơng xảy ra) Do góc đỉnh tam giác cân 100 góc đáy tam giác cân 1800 1000 400 * Nhận xét: Bài toán dễ bỏ sót trường hợp Khi đề chưa cho cụ thể số đo số đo đỉnh hay đáy , ta cần xét hai trường hợp Ví dụ Cho hình vẽ bên Biết AB AC ; AE DE CD BC CE Tính số đo � BAC Giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học * Tìm cách giải tốn xuất nhiều tam giác cân, nên có nhiều góc Để lời giải đơn giản, không bị nhầm lẫn, nên đặt góc nhỏ hình vẽ x Sau biểu diễn góc khác theo x Trong q trình giải, lưu ý tính chất góc tam giác cân tính chất góc ngồi tam giác * Trình bày lời giải � DEC � x DEC cân D Đặt DCE � DEC � 2x DEC có � ADE DCE ( góc ngồi tam giác ) � D� ADE x AED cân E nên EA � CAE � ECA � 3x AEC có BEC ( góc ngồi tam giác ) � BEC � 3x BCE cân C nên B � BCA � 3x ABC cân A nên B �C � 1800 ABC có � A B Suy 2x 3x 3x 180 � x 22,5 0 � Do BAC 2.22,5 45 Ví dụ Cho tam giác ABC vng A Trên cạnh AC lay điểm E cho � � EBC ABE Trên tia BE lấy điểm M cho EM = BC So sánh � � MBC BMC Giải *, Cách Trên tia BE lấy điểm K cho BK BC � BKC cân B “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � BKC � � BCK � 1800 KBC �EB 900 � ABE A CEK cân C � CE CK ; � CKE � � CEB � CKM � CEK mà BK EM � BE KM � CEB CKM c.g.c , suy ra: � BMC � MBC *, Cách Kẻ MH AC H �AC � Gọi MH cắt tia phân giác BCE I 1� � � � IBC � � ABE EBI EBC � � �2 � Ta có : � � mà ABE EMI ( so le trong) � CBI � � � EMI ABE � IMB � � BIM BIM có IBM cân I � IB IM Từ suy IBC IME c.g.c � IE IC � IEC cân I , mà IH EC Nên dễ có EMH CMH c.g.c � EM CM � BC CM � BMC � � BCM cân C suy MBC Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) , vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm CD BE, K giao điểm AB CD a ) Chứng minh ADC ABE � b ) Chứng minh DIB 60 c ) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d ) Chứng minh IA IB ID e ) Chứng minh IA tia phân giác góc DIE Giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học a ) ADC ABE có � BA � E 600 BAC � AD AB DAC ; AC AE � ADC ABE ( c.g.c) � � b ) ADC ABE � ADC ABE � D 600 ADK có KA nên � ADC � AKD 1200 � 1200 � BKI � 600 � �� ABE BKI hay DIB 60 c ) ADC ABE � DC BE � DM BN � � ADM ABN có AD AB; ADK ABN ; DM BN � ADM = ABN c.g c � AM AN � AMN cân � � � DAM � MAB � MAB � BAN � � MAN � 600 DAM BAN � AMN d ) Trên tia ID lấy IF = IB � Ta có BIF 60 nên BIF tam giác Xét BFD BIA có Suy � � � , BF BI BD BA, DBF ABI 600 FBA BFD = BIA c.g c � DF IA Do IA IB DF FI ID 0 � � � e ) BIF nên BFI 60 � BFD 120 � BIA 120 � 600 � � � � DIA AIE 600 DIA AIE 60 � Mà BID 60 nên Hay IA tia phân giác góc DIE Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn thẳng AM Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = MH Chứng minh BN = AC ( Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội , năm 2015) Giải * Tìm cách giải Bài toán chưa ghép BN AC vào hai tam giác trực tiếp mặt khác MNB = MC , tự nhiên nghĩ tới việc tia đối tia MA lấy MD = MA giả thiết quen thuộc, để suy AC = BD Sau việc chứng minh BD = BN “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học * Trình bày lời giải Trên tia đối tia MA lấy MD = MA, Xét ACM DBM có � , BM CM AM MD, � AMC DMB Suy ACM = DBM c.g c � BD AC Ta có HN HA AN HA 2.HM AM HM HD MD + HM AM HM � HN H D DBN có BH DN ; HD HN � DBN cân B � BN BD Vậy BN = AC Ví dụ 7.Cho tam giác ABC vng cân A Lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C cho tam giác DAB vuông cân D; điểm E ( khác A) thuộc đoạn AD Đường thẳng qua E, vng góc với BE cắt AC F Chứng minh EF = EB Giải * Tìm cách giải Để chứng minh EF = EB , thông thường nghĩ tới việc ghép vào hai tam giác , sau chứng minh hai tam giác Tuy nhiên , với hình vẽ chưa thể ghép Phân tích đề bài, có nhiều góc vng , góc 450 cặp cạnh DA = DB , AB = AC Với phân tích , nghĩ tới việc kẻ thêm đường phụ nhằm kết hợp giả thiết với ghép EF EB hai cạnh tương ứng hai tam giác * Từ có hướng giải sau: � Cách Có thể ghép EF vào AEF có EAF 135 nên cần ghép EB vào tam giác có góc đối diện với 1350 Khai thác yếu tố tam giác vuông cân ADB, lấy điểm K BD cho DEK vuông cân � Cách Nhận thấy BAD 45 nên , tia AD tia phân giác góc ngồi đỉnh A ABC , nên kẻ thêm EM, EN vng góc với đường thẳng AC, AB Dễ chứng minh EM = EN Từ có lời giải * Trình bày lời giải Cách Trên đoạn BD lấy điểm K cho BK = EA ( 1) Vì tam giác DAB vng cân D nên DKE vuông cân D, suy � 450 DKE “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 0 � : BKE 180 45 135 0 � mà EAF 45 90 135 nên � EAF � 2 BKE Mặt khác � 900 DEB � � KBE AEF 3 Từ (1), (2),(3) suy : � ( BEF 90 ) BKE EAF g c.g Từ EF = EB Cách Vẽ EM, EN vng góc với đường thẳng AC, AB Xét AME ANE có � AME � ANE 900 ; � E NA � E 450 MA , AE cạnh chung � AME = ANE ( cạnh huyền góc nhọn ) � EM EN Mặt khác , AME ANE tâm � giác vuông cân, suy MEN 90 BNE FME có : � EMF � 900 ; BEN � F �EM 900 F �EN ; EN EM ENB BNE = FME ( cạnh huyền góc nhọn ) � EF EB � Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, có ABC 30 Chứng minh AC BC Giải * Tìm cách giải Từ đề bài, suy Gợi cho liên tưởng tới góc AC BC tam giác Phân tích kết luận , dễ dàng cho hai hướng suy luận : Hướng Tạo đoạn thẳng 2.AC, sau chứng minh đoạn � thẳng BC Chú ý ACB 60 , nên dựng điểm D tia CA cho CD = 2.AC Sau chứng minh BC = CD Bài toán giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học BC Hướng Tạo đoạn thẳng , sau chứng minh đoạn � thẳng AC Chú ý ACB 60 , nên gọi trung điểm M BC Sau chứng minh CM = AC Bài toán giải * Trình bày lời giải Cách Dựng điểm D tia đối tia AC cho AD = AC ABC ABD có AD AC � BA � D 900 BAC , AB cạnh chung, ABC ABD c.g.c � BC BD � BCD có ACB 60 , BC BD � BCD � BC CD Vậy AC = BC Cách Gọi M trung điểm BC ABC vuông A có M trung điểm BC, suy ra; MA = MB = MC ( theo ví dụ 10, chuyên đề 8) � MAC có MA MC , ACB 60 nên MAC tam giác , suy AC MC Vậy AC BC * Nhận xét Đây tính chất thú vị tam giác vng đặc biệt Tính chất phát biểu sau; Trong tam giác vng có góc 300, cạnh đối diện với góc 300 nửa cạnh huyền AM BC Ví dụ Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC Biết , chứng minh tam giác ABC vuông A Giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học M AMC có AM CM nên AMC cân � �� A B � � � ABC có A B2 C1 180 �� A � A2 � A1 1800 � � A 1800 � � A 900 Vậy tam giác ABC vuông A * Nhận xét Đây tính chất thú vị để nhận biết tam giác vuông C Bài tập vận dụng � 9.1 Cho hình vẽ bên Biết AB = AC ; AD = AE BAD 60 Tính số đo góc �DE C � Cho tam giác ABC có B 80 điểm D cạnh AC Lấy E thuộc AB, F � thuộc BC cho AE = AD CF = CD Tính số đo EDF 9.3 Cho tam giác ABC vuông B ( AB > BC) Đường trung tuyến đoạn � � DCE BCE Tính số đo thẳng AC cắt AC AB D E Biết � ACB 9.4 Cho tam giác ABC có đường phân giác góc A cắt BC D Biết � 1140 ; AB BD AC � BAC Tính số đo góc ACB 9.5 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM = BA, CN = CA Tính góc MAN 9.6 Cho tam giác ABC nhọn Lấy D thuộc cạnh AC cho AB = BD, lấy điểm E � thuộc AB soa cho AC = CE Gọi F giao điểm BD CE Biết BFC 150 Tính � số đo góc BAC 9.7 Tìm x hình vẽ sau: “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 9.8 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE a ) Chứng minh tam giác ADE tam giác cân b ) Kẻ BH AD H �AD , kẻ CK AE K �AE Chứng minh BH = CK c ) Gọi O giao điểm BH CK Tam giác OBC tam giác ? Vì sao? � � 9.9 Cho tam giác ABC có B 2.C Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC) Trên tia đối tia BA lấy BE = BH Đường thẳng EH cắt AC F Chứng minh: a ) FH = FA = FC b ) AE = HC � 9.10 Cho tam giác ABC ( BAC 90 ), đường cao AH, Kẻ HI vng góc với AB, kẻ HK vng góc với AC Gọi E, F điểm cho I; K trung điểm HE HF Đường tẳng E F cắt AB ; AC M N Chứng minh rằng: a ) AE = AF; � b ) HA phân giác MHN 9.11 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD BCE Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh rằng: a ) AE = BD b ) CME CNB c ) Tam giác MNC tam giác 9.12 Cho tam giác LMN có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác ba tam giác LMA; MNB NLC Chứng minh rằng: LB = MC = NA � � � 9.13 Cho xOz 120 Oy tia phân giác xOz ; Ot tia phân giác xOy M điểm miền góc yOz Vẽ MA vng góc Ox, MB vng góc Oy, MC vng góc Ot Chứng minh rằng: OC = MA – MB 9.14 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D , cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Các đường thẳng vng góc kẻ từ A E với CD “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page 10 Phát triển tư Hình học cắt BC G H Đường thẳng EH đường thẳng AB cắt M Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH I Chứng minh rằng: a ) ACD AME b ) AGB MIA c ) BG = GH � � 9.15 Cho tam giác ABC với ABC ACB 36 Trên tia phân giác góc ABC lấy � điểm N cho BCN 12 So sánh độ dài CN CA 9.16 Cho ABC có tia phân giác góc B C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tai D E Chứng minh BD + CE = DE 9.17 Cho ABC có M trung điểm BC Biết AM tia phân giác góc BAC Chứng minh ABC cân 9.18.Cho M điểm nằm tam giác ABC Chứng minh từ ba đoạn MA, MB, MC ta dựng tam giác “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page 11 ... a) Một tam giác cân có góc 80° Số đo hai góc lại bao nhiêu? b) Một tam giác cân có góc 100° Số đo hai góc lại bao nhiêu? Giải 180� 80� a) Nếu góc đỉnh tam giác cân 80° , góc đáy tam giác cân là:... đáy tam giác cân 80° góc đỉnh tam giác cân là: 180° - 80° - 80° = 20° b) Nếu góc đáy tam giác cân 100°; tổng hai góc đáy là: 100° + 100° + 200° > 180 (không xảy ra) Do góc đỉnh tam giác cân 100... IEC cân I , mà IH EC Nên dễ có EMH CMH c.g.c � EM CM � BC CM � BMC � � BCM cân C suy MBC Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) , vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác